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1、上页 下页 返回 结束 无穷级数 无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具表示函数表示函数研究性质研究性质数值计算数值计算数项级数数项级数幂级数幂级数付氏级数付氏级数第十二章:上页 下页 返回 结束 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理四、柯西审敛原理 第一节 第十二章 :上页 下页 返回 结束 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 :上页 下页 返回 结束 如今，我们来定义无穷级数如今，我们来定义无穷级数.数列：数列：考虑数列
2、各项的和：考虑数列各项的和：无穷级数：无穷级数：:上页 下页 返回 结束 级数的例子：级数的例子：:上页 下页 返回 结束 无穷多个数的和是否仍然是一个数？无穷多个数的和是否仍然是一个数？其和是什么？其和是什么？考虑它的前考虑它的前 n 项的和项的和部分和部分和:上页 下页 返回 结束 又如又如:上页 下页 返回 结束 定义：定义：给定一个数列给定一个数列将各项依将各项依即即称上式为无穷级数，称上式为无穷级数， 其中第其中第 n 项项叫做级数的一般项叫做级数的一般项,级数的前级数的前 n 项和项和称为级数的部分和称为级数的部分和.次相加次相加, 简记为简记为收敛收敛 ,则称无穷级数则称无穷级数
3、并称并称 S 为级数的和为级数的和,（也称级数收敛于（也称级数收敛于S ）注：关于无穷级数的定义是纯形式的，这里的注：关于无穷级数的定义是纯形式的，这里的“+”与代数里的加号有区别，代数里的加法与代数里的加号有区别，代数里的加法只是对有限多项施行的只是对有限多项施行的.:上页 下页 返回 结束 当级数收敛时当级数收敛时, 称差值称差值为级数的余项为级数的余项.则称无穷级数发散则称无穷级数发散 .显然显然记作记作发散级数没有和！发散级数没有和！:上页 下页 返回 结束 级数与数列极限的关系级数与数列极限的关系给定级数给定级数就有部分和数列就有部分和数列反之，反之，就有以其为部分和数列的级数就有以
4、其为部分和数列的级数由定义，由定义，给出了由部分和数列确给出了由部分和数列确定该级数定该级数 的每一的每一项的公式项的公式.在收敛时，有在收敛时，有:上页 下页 返回 结束 解解例例 级数收敛，级数收敛， 级数发散级数发散分析：利用级数收敛的定义来讨论分析：利用级数收敛的定义来讨论:上页 下页 返回 结束 级数发散，级数发散， 级数发散级数发散 综上综上n 为奇数为奇数n 为偶数为偶数:上页 下页 返回 结束 2.收敛等比级数的求和公式收敛等比级数的求和公式等比级数的和等比级数的和=1.等比级数的收敛性等比级数的收敛性:上页 下页 返回 结束 已知级数为等比级数，已知级数为等比级数，解解例例由
5、等比级数的敛散性，由等比级数的敛散性，:上页 下页 返回 结束 例例3. 3. 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性: :解解: (1) 所以级数所以级数 (1) 发散发散 ;技巧技巧:利用利用 “拆项相消拆项相消” 求求和和:上页 下页 返回 结束 所以级数所以级数 (2) 收敛收敛, 其和为其和为 1 .技巧技巧:利用利用 “拆项相消拆项相消” 求求和和:上页 下页 返回 结束 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质:上页 下页 返回 结束 性质性质1. 若级数若级数收敛于收敛于 S ,则各项则各项乘以常数乘以常数 c 所得级数所得级数也收敛也收敛 ,证证: 令令那么那么这说明这
6、说明收敛收敛 , 其和为其和为 c S . 说明说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .即即其和为其和为 c S .考虑：假设 发散，那么 收敛还是发散？二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质:上页 下页 返回 结束 性质性质2. 设有两个收敛级数设有两个收敛级数则级数则级数也收敛也收敛, 其和为其和为证证: 令令那那么么这说明级数这说明级数也收敛也收敛, 其和为其和为:上页 下页 返回 结束 说明说明:(3) 若两级数中一个收敛一个发散若两级数中一个收敛一个发散 , 那那么么必发散必发散 . 但若二级数都发散但若二级数都发散 ,不一定发散不一定发
7、散.例如例如, (2) 性质性质2 表明收敛级数可逐项相加或减表明收敛级数可逐项相加或减 .(用反证法可证用反证法可证)设有两个收敛级数设有两个收敛级数则级数则级数也收敛也收敛,其和为其和为(1)性质性质1、2结合起来可写成：结合起来可写成：:上页 下页 返回 结束 性质性质3. 在级数前面加上或去掉或改变有限项在级数前面加上或去掉或改变有限项, 不会不会影响级数的敛散性影响级数的敛散性. 证证: 将级数将级数的前的前 k 项去掉项去掉,的部分和为的部分和为数敛散性相同数敛散性相同. 当级数收敛时当级数收敛时, 其和的关系为其和的关系为类似可证前面加上或改变有限项的情况类似可证前面加上或改变有
8、限项的情况 .极限状况相同极限状况相同, 故新旧两级故新旧两级所得新级数所得新级数注：一个级数是否收敛，取决于按照一定规律无休注：一个级数是否收敛，取决于按照一定规律无休止地给出的那些项是怎样的，而不是取决于前面的止地给出的那些项是怎样的，而不是取决于前面的有限多项是什么有限多项是什么.如级数如级数:上页 下页 返回 结束 性质性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和的和.证证: 设收敛级数设收敛级数若按某一规律加括弧若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列则新级数的部分和序列 为原级数部分和为原级数部分和序列序列 的一个子序列的一个子序列
9、,推论推论: 若加括弧后的级数发散若加括弧后的级数发散, 则原级数必发则原级数必发散散.注意注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有因此必有例如，用反证法可证用反证法可证例如例如注注:(1)此性质说明收敛级数项中任意加括号，此性质说明收敛级数项中任意加括号，既既不改变级数的收敛性，也不改变它的和不改变级数的收敛性，也不改变它的和.(2)若一个级数加括号后收敛，则原级数敛散性不若一个级数加括号后收敛，则原级数敛散性不定定.:上页 下页 返回 结束 :上页 下页 返回 结束 :上页 下页 返回 结束 三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要
10、条件:上页 下页 返回 结束 设收敛级数设收敛级数则必有则必有证证: 可见可见: 若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散则级数必发散 .例如例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.注：级数的一般项不趋于注：级数的一般项不趋于0 , 是判定级数发散的是判定级数发散的一种常用方法一种常用方法 .三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件:上页 下页 返回 结束 注意注意:并非级数收敛的充分条件并非级数收敛的充分条件.例如例如, 调和级数调和级数虽然虽然但此级数发散但此级数发散 .事实上事实上 , 假设调和级数收敛于假设调和级数收敛于 S , 那那么么但但矛盾矛盾! !所
11、以假设不真所以假设不真 .调和级数发散很调和级数发散很慢，其一亿项的慢，其一亿项的部分和不超过部分和不超过20.:上页 下页 返回 结束 例例4.判断级数的敛散性判断级数的敛散性:解解: 考虑加括号后的级数考虑加括号后的级数发散发散 ,从而原级数发散从而原级数发散 .:上页 下页 返回 结束 例例5:上页 下页 返回 结束 解解:上页 下页 返回 结束 :上页 下页 返回 结束 :上页 下页 返回 结束 :上页 下页 返回 结束 的充要条件是的充要条件是:定理定理.有有证证: 设所给级数部分和数列为设所给级数部分和数列为因为因为所以所以, 利用数列利用数列 的柯西审敛原理的柯西审敛原理(第一章
12、第一章第六节第六节) 即得本定理的结论即得本定理的结论 .* *四、柯西审敛原理四、柯西审敛原理:上页 下页 返回 结束 例例7. 解解: 有有利用柯西审敛原理判别级数利用柯西审敛原理判别级数 :上页 下页 返回 结束 当当 nN 时时,都有都有由柯西审敛原理可知由柯西审敛原理可知, 级数级数 :上页 下页 返回 结束 课堂练习课堂练习. . 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性, , 若收敛求其和若收敛求其和: :发散发散 收敛收敛 发散发散 收敛收敛 :上页 下页 返回 结束 小结常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法:上页 下页 返回 结束 作业作业 3, 42,5） :
