21_数值分析6数值积分.ppt

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1、第第6 6章章 数值积分数值积分 引言引言n使用牛顿-莱布尼茨公式求积分, 需要被积函数的原函数.但在实际问题计算中, 原函数很难求. 例如: 下列积分都不能通过解析的方法来求解.必须使用数值的方法数值的方法去计算这些积分.F (x) 是 f (x)的原函数f (x) 是被积函数n矩形公式矩形公式 依积分中值定理知依积分中值定理知, 有有 a, b , 使使故故, 只要对平均高度只要对平均高度 f ( ) 给出一种算法给出一种算法, 可得积分值可得积分值的一种算法的一种算法. n梯形公式梯形公式 若用若用 f (a) + f (b) / 2 作为平均高度作为平均高度 f ( ) 的近似值的近似

2、值, 可导出可导出 梯形公式梯形公式:曲边梯形的面积等于矩形的面积!梯形公式示意图6.1 求积公式及其代数精度求积公式及其代数精度一、数值求积公式一、数值求积公式式中式中 x0, , , ,x1, , xn 叫叫求积节点求积节点, 它们满足它们满足 a x0 x1 xn b , Ak 叫做叫做求积系数求积系数， 它与被积函数无关它与被积函数无关. 用求积公式用求积公式 (6.1) 计算积分近似值计算积分近似值 In， 任务是确定节点与求积系数任务是确定节点与求积系数 Ak .二、截断误差二、截断误差 (余项余项) In 积分积分近似值近似值 I 积分积分精确值精确值Rn三、三、m次代数精度次代

3、数精度定义定义 若求积公式若求积公式 (6.1) 满足满足: 当当 f (x) 为任何次数不高为任何次数不高于于 m 的多项式时的多项式时, (6.1) 都成为等式都成为等式; 对某个对某个 m+1 次多项次多项式式, 式式(6.1) 不能成为等式不能成为等式, 则称此求积公式有则称此求积公式有 m 次代数次代数精度精度.四、判别求积公式代数精度的方法四、判别求积公式代数精度的方法若当若当 f x) 分别为分别为 1, ,x1, , xm 时时, 求积公式求积公式 (6.1) 都成为都成为等式等式, 则当则当 f x) 为任何次数不高于为任何次数不高于 m 的多项式时的多项式时, 求积求积公式

4、必为等式公式必为等式.最简洁的说明用余项最简洁的说明用余项 Rn 来解释：来解释： 若若又又则则也可以如下证明也可以如下证明: :解：逐次检查公式是否精确成立解：逐次检查公式是否精确成立代入代入 P0 = 1：=代入代入 P1 = x ：=代入代入 P2 = x2 ： 代数精度代数精度 = 1例例 求梯形公式求梯形公式 (6.0) 的代数精确度。的代数精确度。求积节点 x0=a, x1=b例例1 1 判别以下两个求积公式的代数精度。判别以下两个求积公式的代数精度。（1）代数精度）代数精度 = 1；（2）代数精度）代数精度 = 3。 例例 设有求积公式设有求积公式 试确定系数试确定系数 ，使上述

5、求积公式的代数精度尽量，使上述求积公式的代数精度尽量高，并指出该求积公式所具有的代数精度。高，并指出该求积公式所具有的代数精度。解：解：令求令求积积公式依次公式依次对对 都精确成立，都精确成立，即系数即系数 应满应满足方程足方程组组解得：解得： 因此，因此，该该求求积积公式公式为为 又容易又容易验证验证，该该求求积积公式公式对对于于也精确成立，但也精确成立，但对对求求积积公式不能精确成立，因此，公式不能精确成立，因此，该该求求积积公式具有公式具有三次三次代数精度。代数精度。 6.2 插值型求积公式插值型求积公式n思路思路 利用利用插值多项式插值多项式 pn(x) f(x) 则积分易算。则积分易

6、算。 在在 a, b 上取上取 a x0 x1 xm b ，做，做 f 的的 n 次次 L-插插值多项式值多项式 ，即得到，即得到Ak其中，其中， Ak 由由节点决定节点决定与与 f (x) 无关。无关。(6.2)插值型求积公式(C)由式由式 (C)和和(6.2) 确定的求积公式叫确定的求积公式叫 插值型求积公式插值型求积公式.其截断误差为其截断误差为:(6.3)拉格朗日插拉格朗日插值余项值余项n n定理定理定理定理6.16.1 n+1个节点的求积公式个节点的求积公式 (6.1) 至少有至少有 n 次代数精次代数精度度 它是插值型的是插值型的.n n证明证明证明证明 ( (充分性充分性) )

7、因为因为, 当当 f (x) 为次数不高于为次数不高于 n 的多项式的多项式时时, 有有 f (n+1)(x) 0, 故故, 由由 (6.3) 知知, Rn f 0. 依代依代数精度定义数精度定义, 知结论成立知结论成立.n( (必要性必要性) ) 若求积公式若求积公式 (6.1) 至少有至少有n 次代数精度次代数精度, 这时公这时公式式(6.1) 对插值基函数对插值基函数 lk(x) 准确成立准确成立 (它是它是 k 次多项式次多项式). 即有即有, 注意到注意到, lk(xj) = ij , 上式右端实际上等于上式右端实际上等于 Ak , 因而因而, 即即, (6.1) 是插值型求积公式是

8、插值型求积公式.n n推论推论推论推论 n+1个节点的插值型求积公式中的求积系数个节点的插值型求积公式中的求积系数 Ak 满足满足其中其中, a , b 为积分下上限为积分下上限. 证证证证 因为插值型求积公式因为插值型求积公式 有有 n 次代数精度次代数精度, 故代入多项式故代入多项式 f (x) 1 后后, 成立等式成立等式:例例2 给定求积节点给定求积节点x0=1/4,x1=3/4,试推出计算积分试推出计算积分 的插值型求积公式的插值型求积公式,并写出它的截断误差并写出它的截断误差.解：解：由公式计算求积系数由公式计算求积系数故求积公式为故求积公式为求积公式的截断误差为求积公式的截断误差

9、为6.3 Newton-Cotes 求积公式求积公式n一、等距节点插值积分一、等距节点插值积分 将积分区间将积分区间 a, b 划分为划分为 n 等份等份, 步长为步长为 , 选选等距节点等距节点 xk a kh , 构造出的插值求积公式构造出的插值求积公式称为称为 Newton-Cotes求积公式求积公式，式中，式中 称为称为 Cotes 系数系数. 插值型求积系数为插值型求积系数为 对它做积分变换对它做积分变换 x a th, 则有则有故故 做积分变换x a th注解注解注解注解: : 上页第一行中，第上页第一行中，第 3 到第到第 4 个等号所用到的运算。个等号所用到的运算。nCotes

10、 系数只依赖于系数只依赖于n，而与积分区间和被，而与积分区间和被积函数都无关，因此，只要给出积函数都无关，因此，只要给出n，就能算，就能算出出Cotes 系数，并且在求出系数，并且在求出Cotes 系数后，系数后，将使用任意的将使用任意的 f(x) 与任意的与任意的 a,b，代入公，代入公式，将得相应的式，将得相应的 Newton-Cotes 公式，此类公式，此类的的N-C公式也称为闭型的公式也称为闭型的N-C公式公式。nCotes 系数只与系数只与 k 和和 n 有关，有关， 与与 f (x) 被积函数及积分区被积函数及积分区间间 a, b 都无关。都无关。 n用公式（用公式（6.5）计算出

11、的）计算出的 Cotes 系数表如下：系数表如下：n = 2 时，时， 依依 (6.5) 有有n二、二、Cotes 系数的具体数值系数的具体数值 n =1 时，时， nCotes 系数表系数表-454401049698928350n三、三、Newton-Cotes 求积公式求积公式n四、截断误差四、截断误差n五、五、 Newton-Cotes 求积公式的代数精度求积公式的代数精度 作为插值型求积公式，作为插值型求积公式，n 阶的阶的N-C公式至少具公式至少具有有n 次代数精度，实际上的代数精度能否进一步次代数精度，实际上的代数精度能否进一步提高呢？提高呢？ 定理定理6.3 当当 n 为为偶数偶

12、数时，时， n+1 个节点的个节点的 n 阶阶Newton-Cotes 求积公式的代数精度至少是求积公式的代数精度至少是 n+1 次。次。n六、几个常用的六、几个常用的N-C求积公式求积公式1、梯形公式、梯形公式 当当 n =1 时，时， N-C求积公式变为求积公式变为 下面的梯形公式：下面的梯形公式： 截断误差：截断误差：当当 f (x) 在区间在区间 a, b 上有二阶连续导数时，上有二阶连续导数时，使用公式使用公式 (6.7) , 容易得到梯形求积公式有如下的截断误容易得到梯形求积公式有如下的截断误差：差：代数精度代数精度 = 12、Simpson 公式公式当当 n =2 时，时， N-

13、C求积公式为求积公式为 称为称为Simpson (辛普生辛普生)公式公式，又叫，又叫抛物线公式抛物线公式。截断误差：截断误差：当当 f (x) 在区间在区间 a, b 上有上有 4 阶连续导数时阶连续导数时,使用公式使用公式 (6.7) , 易得抛物线公式有如下的截断误差：易得抛物线公式有如下的截断误差：代数精度代数精度 = 33、Simpson 3/8 求积公式求积公式当当 n = 3 时，时， N-C求积公式为求积公式为 称为称为Simpson 3/8公式。公式。截断误差：截断误差：当当 f (x) 在区间在区间 a, b 上有上有 4 阶连续导数时，阶连续导数时，使用公式使用公式 (6.

14、7) , 容易得到此公式有如下的截断误差：容易得到此公式有如下的截断误差：代数精度代数精度 = 34、Cotes 求积公式求积公式当当 n = 4 时，时， N-C 求积公式为求积公式为 称为称为Cotes 公式。公式。截断误差：截断误差：当当 f (x) 在区间在区间 a, b 上有上有 6 阶连续导数时，阶连续导数时，使用公式使用公式 (6.7) , 容易得到此公式有如下的截断误差：容易得到此公式有如下的截断误差：代数精度代数精度 = 5例例 分别用梯形公式、辛普生（分别用梯形公式、辛普生（Simpson）公式、）公式、柯特斯（柯特斯（Cotes）公式计算积分：）公式计算积分：解：解：由梯

15、形公式有：由梯形公式有： 由辛普生公式有：由辛普生公式有： 由由柯特斯柯特斯公式有：公式有：n例例3 试分别使用梯形公式和试分别使用梯形公式和Simpson公式计算积分公式计算积分 的近似值，并估计截断误差的近似值，并估计截断误差。解：解：由梯形公式有：由梯形公式有： 由辛普生公式有：由辛普生公式有：6.4 N-C 求积公式的收敛性与稳定性求积公式的收敛性与稳定性n一、收敛性一、收敛性 考察是否对任何在考察是否对任何在 a, b 上可积的函数上可积的函数 f (x) 都有都有其中，其中， 是是 Newton-Cotes 求积系数。求积系数。n这个问题的答案是否定的。这个问题的答案是否定的。 因

16、为，有因为，有例子例子： n在此例中在此例中, 计算计算 In( f ) 数值数值, 得结论得结论 In( f ) 不收敛于不收敛于 I( f ). nIn( f )2468105.49022.27763.32881.94113.5956n二、数值稳定性二、数值稳定性设计算设计算 f (xk) 时有舍入误差时有舍入误差 并假定对任何的并假定对任何的 k，均有，均有 | k | ，则计算，则计算 In( f ) 时，由时，由 k 引起的积累误差为引起的积累误差为今考察当今考察当 n 时，时， | n | 是否有界，此即是否有界，此即 N-C 求积公式的求积公式的数值稳定性问题数值稳定性问题。n

17、n可以证明：可以证明：可以证明：可以证明：对于对于 Newton-Cotes 求积系数，当求积系数，当 n 时时, | n | 是无界的。是无界的。 从而，从而， N-C 求积公求积公式的数值稳定性是无保证的。式的数值稳定性是无保证的。n n综上，综上，综上，综上，不宜使用多节点的不宜使用多节点的 N-C 求积公式，求积公式， 用得用得较多的是较多的是 n = 1, 2, 4 的情形。的情形。 n小于小于等于等于76.5 复化求积法复化求积法n问题问题 多节点的多节点的 N-C 求积公式不宜使用，但当积分区间较求积公式不宜使用，但当积分区间较长时，少节点的求积公式误差太大。长时，少节点的求积公

18、式误差太大。n解决方案解决方案 把积分区间分成若干的小子区间，在每个子把积分区间分成若干的小子区间，在每个子区间上使用少节点的区间上使用少节点的 N-C 公式，这就是公式，这就是复化求积法复化求积法。6.5.1 复化梯形公式与复化复化梯形公式与复化Simpson公式公式设在区间设在区间 a, b 上上 f (x) 有二阶连续的导数，取等距节有二阶连续的导数，取等距节点点在每个子区间上使用梯形公式在每个子区间上使用梯形公式(6.8)及截断误差公式及截断误差公式(6.9)，得到，得到于是，有于是，有略去右端第略去右端第2个和式，整理后有个和式，整理后有复化的梯形求积公式：复化的梯形求积公式：梯形

19、公式xkxk+1梯形公式梯形公式截断误差截断误差n复化的梯形求积公式的截断误差复化的梯形求积公式的截断误差因为因为在区间在区间 a, b 上上, f (x) 有二阶连续的导数，有二阶连续的导数，由连续由连续函数的介值定理知，存在函数的介值定理知，存在 a, b ， 使使因此，复化的梯形公式的截断误差可表为因此，复化的梯形公式的截断误差可表为n复化的梯形公式收敛于积分值复化的梯形公式收敛于积分值 利用定积分的定义，易证，只要利用定积分的定义，易证，只要 f (x) 在区间在区间a,b上可积上可积,则当则当 n 时时, 复化的梯形公式复化的梯形公式(6.12)收敛于积分值。收敛于积分值。n复化的梯

20、形求积公式有稳定性复化的梯形求积公式有稳定性因为求积系数满足因为求积系数满足n复化的复化的 Simpson 公式公式 当当 f (x) 在区间在区间a,b上有上有4阶连续的导数，取等距节点阶连续的导数，取等距节点 在子区间在子区间 x2i-2 , x2i 上使用上使用Simpson 公式公式(6.10)及其截断及其截断误差误差(6.11) ，可以得到，可以得到 n复化的复化的Simpson公式公式: :n截断误差为截断误差为n同样复化的同样复化的Simpson公式是收敛的也是稳定的。公式是收敛的也是稳定的。1n例例4 用用11个节点的复化个节点的复化Simpson公式计算积分公式计算积分 的近

21、似值并估计截断误差。的近似值并估计截断误差。 解解 m=5，h=0.1，求积节点为，求积节点为xk=1+0.1k (k=0,1,10) 由公式由公式 1由由得误差估计式得误差估计式由此可知，积分的近似值能有由此可知，积分的近似值能有四位四位有效数字。有效数字。n例例 用用9个节点的复合公式计算积分的近似值。个节点的复合公式计算积分的近似值。解解：(1)将区间将区间0,1八等分，用复合梯形公式有：八等分，用复合梯形公式有：(2)将区间将区间0,1八八等分，用复合抛物线公式有：等分，用复合抛物线公式有：积分的准确值：积分的准确值：I=0.9460831(3)将区间将区间0,1八八等分，用复合柯特斯

22、公式有：等分，用复合柯特斯公式有：积分的准确值：积分的准确值：I=0.9460831n n例例例例 用用变步长的梯形法变步长的梯形法计算积分的近似值。计算积分的近似值。积分的准确值积分的准确值:I=0.9460831解解：计算结果如下表计算结果如下表kTk00.920735510.939793320.944513530.945690940.945985050.9460586kTk60.946081570.946082780.946082790.9460830100.9460830110.9460831n例例5 如果用复化的梯形公式计算下积分如果用复化的梯形公式计算下积分n的近似值的近似值, 并

23、要求至少有四位有效数字并要求至少有四位有效数字, 则须用多少则须用多少个节点的复化梯形公式个节点的复化梯形公式? (不计舍入误差不计舍入误差).n解解n复化求积公式的代数精度复化求积公式的代数精度定义定义 设复化求积公式为设复化求积公式为其中其中n为区间为区间 a,b 的等分数，且对任何的等分数，且对任何a,b上可积函上可积函数数 f(x) 有有 。记。记 ，若存在常数，若存在常数 p1和和c0，使对任何，使对任何n有有成立，则称积分近似值序列成立，则称积分近似值序列Sn(f )是是 P 阶收敛的。阶收敛的。注：注：复化的梯形求积公式复化的梯形求积公式二阶二阶收敛；复化的收敛；复化的Simps

24、on公式公式四阶四阶收敛。收敛。6.5.2 区间逐次分半法（变步长的求积法）区间逐次分半法（变步长的求积法） 复化求积法对提高积分精度是行之有效的，但复化求积法对提高积分精度是行之有效的，但在使用求积公式前，必须给出合适的步长，步长取在使用求积公式前，必须给出合适的步长，步长取得太大，精度难以保证；步长太小，则会导致计算得太大，精度难以保证；步长太小，则会导致计算量的增加，而事先给出一个恰当的步长又往往是困量的增加，而事先给出一个恰当的步长又往往是困难的，因此，在实际计算中常常采用所谓的难的，因此，在实际计算中常常采用所谓的“变步变步长求积法长求积法”。 基本思想是：基本思想是：在步长逐次折半

25、的过程中，反复在步长逐次折半的过程中，反复用复合求积公式进行计算，直到二分前后的两次积用复合求积公式进行计算，直到二分前后的两次积分计算结果之差的绝对值分计算结果之差的绝对值 I2n-In 小于允许的精度小于允许的精度 为止，并取为止，并取 I2n作为所求的积分的近似值。采用这作为所求的积分的近似值。采用这种方法计算时，步长种方法计算时，步长 h 不是固定不变的，因此叫做不是固定不变的，因此叫做变步长求积法。变步长求积法。 变步长的梯形求积公式变步长的梯形求积公式注：注：序列序列Tm收敛于积分收敛于积分I(f )。精度控制精度控制-求积法迭代过程的结束准则求积法迭代过程的结束准则由截断误差表达

26、式，可知由截断误差表达式，可知因此，可预先给定因此，可预先给定Tm的绝对误差限的绝对误差限 0，当满足，当满足时停止计算，并认为时停止计算，并认为 已满足精度要求。已满足精度要求。6.6.1 Richardson（李查逊）（李查逊） 外推技术外推技术n逼近精度逼近精度 设有一个常数设有一个常数 F*, 由一个依赖于由一个依赖于 h 0 的算法的算法 F(h) 去逼近它去逼近它, 其中其中, F*与与 h 无关无关, 又已知又已知 F(h) 逼近逼近 F*的截断误差是的截断误差是其中其中, ak 是与是与 h 无关的常数无关的常数, 且且若若 (6.17) 成立成立, 我们说我们说 F(h) 逼

27、近逼近 F*的精度是的精度是 h p1 级的级的, 或是或是 p1 阶的阶的.6.6 Romberg（龙贝格）积分法（龙贝格）积分法加速收敛技巧n问题问题 利用已知数据 F(h), 构造一个新的算法F1(h), 使F1(h)逼近F*的精度比 p1阶更高. n结论结论 如下取 F1(h), 可满足要求:n理由理由 取 q 0, q 1, 代入式 (6.17), 有(6.17) ( I ) 有做运算做运算得下面的式子:其中, 都是与h无关的常数。令那么，由式（6.18）知，F1(h) 逼近 F* 的精度达到 P2 阶。重复上面的过程，令nRichardson 外推算法外推算法 从满足式从满足式(

28、(6.17) )的序列的序列 F (h) 出发出发, 定义下面的序列定义下面的序列 Fj , nFj 逼近逼近 F*的的截断误差截断误差为为则，F2(h) 逼近 F* 的精度达到 P3 阶。其中其中, ( k j +1 ) 是与是与 h 无关的常数。无关的常数。Richardson 外推序列的计算顺序表外推序列的计算顺序表Richardson 外推序列的算法外推序列的算法，对 m=1,2, 反复做(2)与(3)(6.21)6.6.2 Romberg（龙贝格）积分法（龙贝格）积分法n复化的梯形公式产生的序列 Tm , 仅以二阶速度收敛于积分值 I( f ), 在 Tm 的基础上，使用Richar

29、dson 外推技术，可产生加速收敛序列。n 条件条件 设 f (x) 在区间 a, b 上足够光滑; 是步长为 的复化梯形积分值。取 ，对 m=1,2, 反复做(1)至(3)(6.22)n 龙贝格积分法龙贝格积分法 利用算法（6.21），我们得到如下的求积分方法 (只产生四个序列 Tm(0)，Tm(1)，Tm(2)，Tm(3)称算法（6.22）为（Romberg）龙贝格积分法。龙贝格积分法。11 12 13 14 n 龙贝格积分法的计算顺序龙贝格积分法的计算顺序二阶收敛复化梯形值序列四阶收敛复化Simpson序列六阶收敛复化Cotes序列八阶收敛Romberg序列n龙贝格求积法迭代过程的结束准

30、则龙贝格求积法迭代过程的结束准则例例6 用龙贝格方法计算积分用龙贝格方法计算积分 的近似值。的近似值。 要求要求解：解：计算如下表2.1835015502.0656177952.0263232102.0318928682.0206512262.0202730942.0230498682.0201022012.0200655992.0200623062.0208085832.0200587732.0200587732.020058665积分近似值6.7 Gauss（高斯）型求积公式高斯）型求积公式6.7.1 一般理论一般理论n目标目标：用尽可能高的代数精度计算用尽可能高的代数精度计算带权积分带权

31、积分 其中，其中， (x)是区间是区间 (a,b) 上的权函数。上的权函数。n方法方法：在区间：在区间 a, b 上取上取 n 个互异的求积节点个互异的求积节点 x1, , x2, , xn ，形成数值，形成数值求积公式求积公式其中，求积系数其中，求积系数 Ak 与被积函数与被积函数 f (x) 无关无关. 寻找节点寻找节点 xk 与系数与系数 Ak ，使求积公式，使求积公式 (6.23) 到达尽可能高到达尽可能高的精度。的精度。n一、一、m次代数精度次代数精度定义定义 若求积公式若求积公式 (6.23) 满足满足: 当当 f (x) 为任何次数不高为任何次数不高于于 m 的多项式时的多项式时

32、, (6.23) 都成为等式都成为等式; 对某个对某个 m +1 次多次多项式项式, 公式公式 (6.23) 不能成为等式不能成为等式, 则称求积公式则称求积公式 (6.23)具有具有 m 次代数精度次代数精度.n以以 x1, , x2, , xn 做插值节点，设做插值节点，设 f (x) 在在 a,b 上有上有n 阶导数，对阶导数，对 f (x) 进行进行 Lagrange 插值，有插值，有其中，n二、求积系数二、求积系数 由此得插值型求积公式由此得插值型求积公式(6.23)中求积系数中求积系数为为n三、截断误差三、截断误差 为为n从截断误差从截断误差 (6.25) 知，不管求积节点知，不管

33、求积节点 x1, , x2, , xn 如何如何选取，只要选取，只要 f (x) 为次数不超过为次数不超过 n 1 的多项式，那么，我的多项式，那么，我们总有们总有 f (n)(x) 0，故，求积公式故，求积公式 (6.23) 与与 (6.24) 的代的代数精度至少是数精度至少是 n 1次次.n四、最高可能精度分析四、最高可能精度分析 不管如何选取节点不管如何选取节点 x1, , x2, , xn ，求积公式，求积公式 (6.23) 都不可能达到代数精度都不可能达到代数精度 2n 次。次。事实上，针对节点 x1, , x2, , xn ，取 2n 次多项式其中，互异的 x1, , x2, ,

34、xn 在 a,b 上可以任取, 我们有但不论求积系数 Ak 如何选取，我们将恒有由此见，求积公式 (6.23) 不可能达到代数精度 2n 次。 公式 (6.23) 的最高可能精度是 2n 1 次。 可以选取适当的节点与求积系数，使求积公式 (6.23-4) 的代数精度达到 2n 1 次。n五、定义五、定义 如果如果 n 个节点的求积公式个节点的求积公式 (6.23) 的代数精度为的代数精度为 2n 1 次，则称它为次，则称它为高斯求积公式高斯求积公式。相应的节点。相应的节点 x1, , x2, , xn 叫叫高斯点高斯点。n六、高斯积分公式的求解方法一六、高斯积分公式的求解方法一 根据定义，要

35、使 (6.23) 具有 2n 1 次代数精度，只要取 f (x) xm，对 m 0,1, 2n 1, 使 (6.23) 精确成立。得当给定权函数 (x), 求出右端积分, 则可由上式解得 Ak 及 xk.例例 试构造下列积分的高斯公式解解 令公式 (6.23) 对于 f (x) 1 , x , x2 , x3 准确成立, 得由于利用 (L1) 的第 1 式，可将第 2 式化为同样，因为利用第2式化第3 式，有利用第3式化第4式，有从上面三个式子消去(x1 x0)A1，得进一步整理得所求高斯公式为n由此例可以看到，求解非线性方程组 (6.23) 较复杂，通常n 2 时，便很难求解。一般情况下，构

36、造高斯公式是从分析高斯点特征着手。由此解出从而求出n定理定理6.5 插值型求积公式插值型求积公式 (6.23) 的的节点节点 a x1 x2 xn b 是是 高斯点高斯点 以这些节点为零点的多项式以这些节点为零点的多项式 n(x) (x x1) (x x2) (x xn)与任何次数不超过与任何次数不超过 n 1的多项式的多项式 P(x) 带权带权 (x)正交正交, 即即n证证 (必要性) 依必要性条件知， 当 f (x) 是任意的次数不高于 2n 1 的多项式时，求积公式(6.23)均可成为等式，故对任意的次数不高于 n 1 的多项式 P(x)， 总有又 n(xk) =0 ( k 1,2,n)

37、 , 故 式(*)成立。 (充分性) 任取次数不高于的多项式 f (x), 使用带余除法, 有 f (x) q(x)n(x) r (x)其中， q(x) 和 r(x) 都是次数不超过 n 1的多项式，并且f (xk) r (xk) ( k 1,2,n) 。于是有由于插值型求积公式(6.23)至少有n 1次代数精度，故可见，求积公式 (6.23) 对一切次数不超过2n 1的多项式均精确地成立，因此， x1, , x2, , xn 为高斯点。证毕。n高斯节点求法二高斯节点求法二 高斯点是高斯点是a,b 上带权上带权 (x)的的 n 次正交次正交多项式多项式 gn(x) 的的 n 个零点个零点 x1

38、, , x2, , xn .因为，定理表明n(x)是a,b上带权 (x) 的正交的多项式系(定理5.6)，又由正交多项式的唯一性(P120,性质2)知，对于任何 a,b 上带权 (x)的正交多项式系gn (x)均有，gn(x) an n(x), 其中， an 是 gn(x) 的首系数。从而， xk 是 n(x) 的零点，亦为gn(x) 的零点。n使用关系式 gn(x) an n(x) 代入 (6.24), 有求积系数公式:对任何 a,b 上带权 (x)的正交多项式系gn (x)均适用。n高斯求积公式的构造方法高斯求积公式的构造方法 (1)求解a,b上带权 (x) 的正交多项式系gk (x)，找

39、出次数为 n 的多项式 gn(x)，求 gn(x) 的 n 个根 x1, , x2, , xn ，此即求积节点。(注意：正交多项式的零点互异！)(2) 按下公式求系数 Ak 。或做完(1)后，也可用下面的线性方程组来求解系数 Ak。 n例例7 试构造下面的高斯求积公式。n解解 在5.5.1节，已知区间1, 1上带权 (x) x2 的正交多项式组为求 g3(x) 的根，得 计算求积系数由 得到所要的高斯公式为 n定理定理6.6 设设 f (x) 在区间在区间 a,b 上有上有 2n 阶连续导数，则高阶连续导数，则高斯斯 求积公式求积公式 (6.23) 的截断误差的截断误差是是(6.28)n定理定

40、理6.7 高斯型求积公式高斯型求积公式 (6.23) 的求积系数的求积系数 Ak 满足：满足：n定理定理6.8 ( (收敛性收敛性) ) 若若 f (x) Ca, b, 则则高斯型求积公式高斯型求积公式 (6.23) 满足：满足：6.7.2 几种几种Gauss（高斯）型求积公式（高斯）型求积公式1、高斯、高斯-勒让德求积公式勒让德求积公式n勒让德正交多项式 Ln(x) 对应的权函数 (x) 1，积分区间是 1,1。n取 Ln(x) 的零点作求积节点，所形成的求积公式 叫高斯高斯-勒让德求积公式。勒让德求积公式。其中，n下面来计算求积系数 Ai. 考察积分n因被积函数是2n 2 次多项式，故由(

41、6.30)有n另一方面，按分部积分法，令 则n因为u是次数小于n 1的多项式，故上式右端的积分为0，再根据性质 ，从而有Ln(xj)=0n高斯高斯-勒让德求积公式的勒让德求积公式的截断误差为截断误差为n例例8 8 分别用三点辛普森公式与三点高斯-勒让德计算积分：n解解 用三点辛普森公式计算，得n用三点高斯-勒让德公式计算，有n精确值为1.885 618 083。+1+1 =1.892725829表表6-6 高斯高斯-勒让德求积节点与求积系数勒让德求积节点与求积系数nxiAi1022 0.577 350 269 213 0.774 596 669 200.555 555 555 60.888 8

42、88 888 94 0.861 136 311 6 0.339 981 043 60.347 854 845 10.652 145 154 95 0.906 179 845 9 0.538 469 310 100.236 926 885 10.478 628 670 50.568 888 888 96 0.932 469 514 2 0.661 209 368 5 0.238 619 186 10.171 324 492 40.360 761 573 00.467 913 934 6n区间 a,b 上的积分, 用变量替换处理：n例例9 用四点高斯-勒让德求积公式计算积分解解 令 ，则记 ，则得

43、2、高斯、高斯-拉盖尔求积公式拉盖尔求积公式n权函数为 (x) e-x，积分区间为0, ) ，使用带权 e-x 的n次拉盖尔拉盖尔正交多项式n取 Un(x) 的零点作求积节点，所形成的求积公式叫 高斯高斯-拉盖尔求积公式。拉盖尔求积公式。其中，类似于高斯-勒让德求积系数的解法，可以求得n截断误差为截断误差为n高斯高斯-拉盖尔的求积节点和求积系数，见拉盖尔的求积节点和求积系数，见P171，表，表6-7。3、高斯高斯-埃尔米特求积公式埃尔米特求积公式n权函数为 ，积分区间为 (, ) ，使用带权(x) 的n次Hermit正交多项式n取 Hn(x) 的零点作求积节点，所形成的求积公式叫 高斯高斯-埃

44、尔米特埃尔米特求积公式。求积公式。其中，n截断误差为截断误差为n求积节点和求积系数，见求积节点和求积系数，见P172，表，表6-8。4、高斯、高斯-切比雪夫求积公式切比雪夫求积公式n权函数为 ，积分区间为 1, 1 ，使用带权 (x) 的n次切比雪夫正交多项式n取 Tn(x) 的零点作求积节点，所形成的求积公式叫 高斯高斯-切比雪夫求积公式。切比雪夫求积公式。其中，零点n截断误差为截断误差为n高斯积分的优点：少节点，高精度。n高斯型求积公式, 使用较少的节点, 可得到高精度的结果.例如，计算积分它的精确值(八位有效数字)为 I = 0.693 147 18。使用节点数为129的复化辛普森公式计

45、算，得I 0.693 146 70。使用节点数为10的高斯-勒让德公式计算，得I 0.693 147 10。n高斯积分的另一明显优点：计算许多广义积分。n高斯积分的缺点： 节点和求积系数需要查表，并且当节点数目n增加时，原来的节点几乎都不能用，先前计算的被积函数值不能重复使用，这将造成不必要的浪费。n数学符号 x0, , , ,x1, , xm, 0x,1x, , nx, , na x0 x1 xmb , f (x) a0 a1x amxm, , , ,a1, , am,nL0x, L1x, , Lnx, k=0,1, , n (x) ,n x0 n 20 a x b k 1, nm, q 0, q 1, n n n k 0 f (x)Ca, b (xj,yj),j=0,1,m, n ij ( f p*, f p*), , x a th, n n | k | n h (b a) / n , a, b n, (6.17) (I), n+1(x) (x x0) (x x1) (x xn)n (x) 1, 1,1,