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1、第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统第第2章章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.1引言引言2.2序列的傅里叶变换的定义及性质序列的傅里叶变换的定义及性质2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式2.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系信号傅里叶变换之间的关系2.5序列的序列的Z变换变换2.6利用利用Z变换分析信号和系统的频域特性变换分析信号和系统的频域特性数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统2.2
2、序列的傅里叶变换的定义及性质序列的傅里叶变换的定义及性质 2.2.1序列傅里叶变换的定义序列傅里叶变换的定义 定义定义(2.2.1)为为序序列列x(n)的的傅傅里里叶叶变变换换，用用FT(FourierTransform)表表示。示。FT成成立立的的充充分分必必要要条条件件是是序序列列x(n)绝绝对对可可和和，即即满满足下式：足下式：(2.2.2)数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 FT反变换定义为：反变换定义为：(2.2.4)(2.2.1)和和(2.2.4)式组成一对傅里叶变换公式。式组成一对傅里叶变换公式。一些绝对不可和的序列（如周期序列
3、），其傅里叶一些绝对不可和的序列（如周期序列），其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来。变换可用冲激函数的形式表示出来。数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统【例例2.2.1】设x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里叶变换。解解 当N=4时，其幅度与相位随频率的变化曲线如图2.2.1所示。 数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统图2.2.1R4(n)的幅度与相位曲线 数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统2.2.2序列傅里叶变换的性质序列傅里叶变换的性
4、质1.FT的周期性的周期性在定义式在定义式(2.2.1)中，中，n取整数，下式成立：取整数，下式成立：M为为整整数数(2.2.6)序列的傅里叶变换是频率序列的傅里叶变换是频率的周期函数，周期是的周期函数，周期是2。这这样样X(ej)可可以以展展成成傅傅里里叶叶级级数数，(2.2.1)式式就就是是傅傅里里叶叶级数的形式，级数的形式，x(n)是其系数。是其系数。由于由于FT的周期性，一般的周期性，一般只分析只分析或或02之间的之间的FT数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统2.线性线性 则则 设设 式中式中a,b为常数。为常数。 3.时移与频移时移与
5、频移 设设X(ej)=FTx(n)，则：，则：(2.2.7)(2.2.8)(2.2.9) ）数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统4.对称性对称性先了解共轭对称与共轭反对称以及它们的性质：先了解共轭对称与共轭反对称以及它们的性质：定定义义：设设序序列列xe(n)满满足足xe(n)=x*e(-n)则则称称xe(n)为为共共轭对称序列。轭对称序列。共轭对称序列的性质：共轭对称序列的性质：将将xe(n)用其实部与虚部表示：用其实部与虚部表示：xe(n)=xer(n)+jxei(n)两边两边n用用n代替，并取共轭，得：代替，并取共轭，得：x*e(-n)=
6、xer(-n)-jxei(-n)xer(n)=xer(-n)(2.2.11)xei(n)=-xei(-n)(2.2.12)v共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。对比两式，对比两式，得：得：数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统共轭反对称序列的性质：共轭反对称序列的性质：将将x0(n)用实部与虚部表示：用实部与虚部表示：xo(n)=xor(n)+jxoi(n)得：得：xor(n)=-xor(-n)(2.2.14)xoi(n)=xoi(-n)(2.2.15)v共轭反对称序列的实部是奇函数，共轭反对称
7、序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数而虚部是偶函数。定义：满足下式的序列称共轭反对称序列：定义：满足下式的序列称共轭反对称序列：xo(n)=-x*o(-n)(2.2.13)数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统v一一般般序序列列可可用用共共轭轭对对称称与与共共轭轭反反对对称称序序列列之之和和表表示示，即：即：x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.16)xe(n),xo(n)可以分别用原序列可以分别用原序列x(n)求出求出将将(2.2.16)式中的式中的n用用-n代替，代替，再取共轭得到：再取共轭得到：x*(-n)=xe(n)-xo(n)(2.2
8、.17)比较两式，比较两式，得得：(2.2.18) (2.2.19) 数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统在频域，函数在频域，函数X(ej)也有类似的概念和结论：也有类似的概念和结论：X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej)(2.2.20)共轭对称部分共轭对称部分Xe(ej)和共轭反对称部分和共轭反对称部分Xo(ej)满足：满足：Xe(ej)=X*e(e-j)(2.2.21)Xo(ej)=-X*o(e-j)(2.2.22)同样有下面公式：同样有下面公式：(2.2.23) (2.2.24) 数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系
9、统时域离散信号和时域离散系统 FT的对称性的对称性(a)将序列将序列x(n)分成实部分成实部xr(n)与虚部与虚部xi(n)x(n)=xr(n)+jxi(n)进行进行FT，得：，得：X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej)式中式中 xr(n)和和xi(n)都是实数序列。都是实数序列。Xe(ej)具有共轭对称性，其实部是偶函数，虚部是奇函数。具有共轭对称性，其实部是偶函数，虚部是奇函数。Xo(ej)具有共轭反对称性质，其实部是奇函数，虚部是偶函数。具有共轭反对称性质，其实部是奇函数，虚部是偶函数。结论：结论：x(n)=xr(n)+jxi(n) X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej)数字信号处理第三
10、版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 (b)将将序序列列分分成成共共轭轭对对称称部部分分xe(n)和和共共轭轭反反对对称称部部分分xo(n)，即：，即：x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.25)由由(2.2.18)式和式和(2.2.19)式：式： 将上面两式分别进行将上面两式分别进行FT，得：，得：FTxe(n)=1/2X(ej)+X*(ej)=ReX(ej)=XR(ej)FTxo(n)=1/2X(ej)-X*(ej)=jImX(ej)=jXI(ej)因此对因此对(2.2.25)式进行式进行FT得到：得到：X(ej)=XR(ej)+jXI(ej)(2.2
11、.26)结论结论：x(n)=xe(n)+xo(n) X(ej)=XR(ej)+jXI(ej)数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统x(n)=xe(n)+xo(n) X(ej)=XR(ej)+jXI(ej)x(n)=xr(n)+jxi(n) X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej)利用利用FT的对称性的对称性，可得以下四个结论：可得以下四个结论：（1）x(n)为为实实序序列列（xi(n)=0），得得X(ej)=Xe(ej)为为共共轭对称函数，即轭对称函数，即X(ej)=X*(e-j)（2）x(n)为为实实偶偶序序列列（xi(n)=0且且x(n)=x(
12、-n)，x0(n)=0），得得X(ej)为实偶函数，即为实偶函数，即X(ej)=X(e-j)（3）x(n)为为实实奇奇序序列列（xi(n)=0且且x(n)=-x(-n)，xe(n)=0），得得X(ej)为纯虚奇对称函数，即为纯虚奇对称函数，即X(ej)=X*(e-j)=-X(e-j)（4）x(n)为实因果序列：为实因果序列：x(n)=xe(n)+xo(n)，或：或：x e(n)=1/2x(n)+x(-n)xo(n)=1/2x(n)-x(-n)数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统对对实实因因果果序序列列，只只要要知知道道XR(ej)，就就可可求求
13、得得x(n)，过程如下：过程如下：已知：已知：XR(ej)=FTxe(n)xe(n)x(n)X(ej)已知已知XI(ej)和和x(0)：jXI(ej)xo(n)x(n)X(ej)v对实对实因果因果序列：序列：其傅里叶变换其傅里叶变换X(ej)的实部的实部包含了包含了X(ej)或或x(n)的全部信息，即的全部信息，即X(ej)中有冗余信息中有冗余信息。数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统例例2.2.3x(n)=anu(n)，0a1，求求其其偶偶函函数数xe(n)和奇函数和奇函数xo(n)。解：解：x(n)=xe(n)+xo(n)数字信号处理第三版
14、第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统5.时域卷积定理时域卷积定理 设设y(n)=x(n)*h(n),则则Y(ej)=X(ej)H(ej)(2.2.32)定理说明，定理说明，两序列卷积的两序列卷积的FT，服从相乘的关系。，服从相乘的关系。对对LTI系统，其输出的系统，其输出的FT等于输入信号的等于输入信号的FT乘以单位脉冲乘以单位脉冲响应的响应的FT。因此求系统的输出信号，因此求系统的输出信号，(1)可以在时域用卷积公式可以在时域用卷积公式(1.3.7)；(2)可以在频域按照可以在频域按照(2.2.32)式，求出输出的式，求出输出的FT，再作逆，再作逆FT求出输出
15、信号。求出输出信号。数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统6.频域卷积定理频域卷积定理设设y(n)=x(n)h(n)，则：，则：(2.2.33)定理说明，在时域两序列相乘，对应频域为卷积关系。定理说明，在时域两序列相乘，对应频域为卷积关系。7.帕斯维尔帕斯维尔(Parseval)定理定理 定理说明，信号时域的总能量等于频域的总能量。定理说明，信号时域的总能量等于频域的总能量。这这里里频频域域总总能能量量是是指指|X(ej)|2在在一一个个周周期期中中的的积积分分再再乘乘以以1/(2)。(2.2.34)数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号
16、和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统2.3周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式及傅里叶变换表示式 2.3.1周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数设设是是以以N为为周周期期的的周周期期序序列列，由由于于周周期期性性，可以展成傅里叶级数：可以展成傅里叶级数：(2.3.1)式中式中ak是傅里叶级数的系数。是傅里叶级数的系数。-k1 X(z)存在的条件是存在的条件是|z-1|1，由由X(z)表表达达式式表表明明，极极点点是是z=1，单单位位圆圆上上的的Z变变换换不不存存在在，或或者者说说收收敛敛域域不不包包含含单单位位圆圆。因因此此其其傅傅里里叶叶变变换换
17、不不存存在在，更不能用更不能用(2.5.4)式求式求FT。该该序序列列的的FT不不存存在在，但但如如果果引引进进奇奇异异函函数数()，其其傅傅里里叶变换可以表示出来叶变换可以表示出来(见表见表2.3.2)。该该例例说说明明一一个个序序列列的的傅傅里里叶叶变变换换不不存存在在，在在一一定定收收敛敛域域内内Z变换是存在的。变换是存在的。数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统2.5.2序列特性对收敛域的影响序列特性对收敛域的影响 序序列列的的特特性性决决定定其其Z变变换换收收敛敛域域，了了解解序序列列特特性性与与收收敛域的一些关系，有助于敛域的一些关系
18、，有助于Z变换的使用。变换的使用。 x(n)n1nn2x(n)=0其它其它其其Z变换为：变换为：1.有限长序列有限长序列如序列如序列x(n)满足：满足：数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统x(n)为为有有界界序序列列，由由于于是是有有限限项项求求和和，除除0与与两两点点是是否收敛与否收敛与n1、n2取值有关外，整个取值有关外，整个z平面均收敛。平面均收敛。若：若：n10，出现，出现z-n项，则收敛域不包括项，则收敛域不包括z=0点；点；如果是因果序列，收敛域包括如果是因果序列，收敛域包括z=点。点。v有限长序列的收敛域表示如下：有限长序列的收敛
19、域表示如下：n10，n20，0|z|:n10，00，0|z|:数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统例例2.5.2求求x(n)=RN(n)的的Z变换及其收敛域。变换及其收敛域。解：解： 这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为0z。从从X(z)的的分分母母看看到到z=1似似乎乎是是X(z)的的极极点点，但但同同时时分分子子多多项项式式在在z=1时时也也有有一一个个零零点点，极极零零点点对对消消，X(z)在在单单位位圆圆上仍存在。上仍存在。数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和
20、时域离散系统2.右序列右序列右右序序列列是是在在nn1时时，序序列列值值不不全全为为零零，而而在在nn1时时，序列值全为零的序列。序列值全为零的序列。v第一项为有限长序列，设第一项为有限长序列，设n1-1，其收敛域为其收敛域为0|z|。v第第二二项项为为因因果果序序列列，其其收收敛敛域域为为Rx-|z|，Rx-是是第第二二项项最小的收敛半径。最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为将两收敛域相与，其收敛域为Rx-|z|。如果是因果序列，如果是因果序列，收敛域定为收敛域定为Rx-|z|。数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统v 如如果果n20,z
21、=0点点收收敛敛，z=点点不不收收敛敛，其其收收敛敛域域为为0|z|0，则收敛域为则收敛域为0|z|n2，序列值全为零的序列。序列值全为零的序列。其其Z变换为：变换为： 数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统4.双边序列双边序列一一个个双双边边序序列列可可以以看看作作一一个个左左序序列列和和一一个个右右序序列列之之和，其和，其Z变换为：变换为：X(z)的收敛域是的收敛域是X1(z)和和X2(z)收敛域的公共收敛区域。收敛域的公共收敛区域。v如果如果Rx+Rx-，其收敛域为其收敛域为Rx-|z|Rx+，这是一个环状域这是一个环状域v如如果果Rx+R
22、x-，两两个个收收敛敛域域没没有有公公共共区区域域，X(z)没没有有收收敛敛域，域，因此，因此，X(z)不存在。不存在。数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统例例2.5.5x(n)=a|n|,a为实数，求为实数，求x(n)的的Z变换及其收变换及其收敛域。敛域。解解第一部分收敛域为第一部分收敛域为|az|1，得，得|z|a|1;第二部分收敛域为第二部分收敛域为|az1|a|。如果。如果|a|1,两部分的公共收敛域为两部分的公共收敛域为|a|z|a|1,其其Z变换如下式变换如下式:如果如果|a|1，则无公共收敛域，因此，则无公共收敛域，因此X(z)不
23、存在。当不存在。当0aa，求求其其逆逆Z变换变换x(n)。解：解：用留数定理求解，用留数定理求解，要先找出要先找出F(z)的极点，的极点，极点有：（极点有：（1）z=a（2）当）当n0时，时，z=0也是极点也是极点其中极点其中极点z=0与与n的取值有关：的取值有关：n0时，时，n=0不是极点。不是极点。n0时，时，z=0是一个是一个n阶极点。阶极点。因此要分成因此要分成n0和和n0两种情况求两种情况求x(n)。数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统（1）n0时，只有一个极点：时，只有一个极点： （2）n0时时，增增加加z=0的的n阶阶极极点点，不
24、不易易求求留留数数，采采用用留留数数辅辅助助定定理理求求解解，检检查查(2.5.10)式式是是否否满满足足，由由于于n0，只只要要N-M0，(2.5.10)式就满足。式就满足。本例满足本例满足(2.5.10)式。式。N-M-n1(2.5.10)图图2.5.4例中例中na，根据前面分析的序，根据前面分析的序列特性对收敛域的影响知道，列特性对收敛域的影响知道，x(n)一定是因果的右序列，这一定是因果的右序列，这样样n0部分一定为零，无需再求。部分一定为零，无需再求。数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统例例2.5.7已知已知,求求其逆变换其逆变换x(
25、n)。解该例题没有给定收敛域，为求出唯一的原序解该例题没有给定收敛域，为求出唯一的原序列列x(n)，必须先确定收敛域。分析，必须先确定收敛域。分析X(z)，得到其极点得到其极点分布如图分布如图2.5.5所示。图中有两个极点：所示。图中有两个极点：z=a和和z=a1，这样收敛域有三种选法，它们是这样收敛域有三种选法，它们是（1）|z|a1|，对应的，对应的x(n)是因果序列；是因果序列；（2）|z|a|，对应的，对应的x(n)是左序列；是左序列；（3）|a|z|a1|:这种情况的原序列是因果的右序列，无须求这种情况的原序列是因果的右序列，无须求n0时的时的x(n)。当。当n0时，时，F(z)在在
26、c内有两个极点：内有两个极点：z=a和和z=a1，因此因此数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统最后表示成：最后表示成：x(n)=(anan)u(n)。 数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统（2）收敛域为收敛域为|z|a|:这种情况原序列是左序列，无须计算这种情况原序列是左序列，无须计算n0情况。实情况。实际上，当际上，当n0时，围线积分时，围线积分c内没有极点，因此内没有极点，因此x(n)=0。n0时，时，c内只有一个极点内只有一个极点z=0，且是，且是n阶极点，改求阶极点，改求c外外极点留数之
27、和。极点留数之和。n0时时,数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统最后将最后将x(n)表示成封闭式：表示成封闭式：x(n)=(anan)u(n1)（3）收敛域为收敛域为|a|z|a1|:这种情况对应的这种情况对应的x(n)是双边序列。根据被积函数是双边序列。根据被积函数F(z)，按，按n0和和n0两种情况分别求两种情况分别求x(n)。n0时，时，c内只有内只有1个极点：个极点：z=a,x(n)=ResF(z),a=ann0时时，c内内极极点点有有2个个，其其中中z=0是是n阶阶极极点点，改改求求c外极点留数，外极点留数，c外极点只有外极点只有z=
28、a1，因此因此x(n)=ResF(z),a1=an最后将最后将x(n)表示为表示为即即x(n)=a|n|数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统2.5.4Z变换的性质和定理变换的性质和定理1.线性线性设设X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+Y(z)=ZTy(n),Ry-|z|Ry+则则ZTax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z),Rm-|z|Rm+(2.5.15)其中：其中：Rm+=minRx+,Ry+Rm-=maxRx-,Ry-即即Z变变换换的的收收敛敛域域(Rm-，Rm+)是是X(z)和和Y(z)的的公公共共收收敛敛域域，若无公共收
29、敛域则若无公共收敛域则Z变换不存在。变换不存在。数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统2.序列移位序列移位 设设X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+则则ZTx(n-n0)=z-n0X(z),Rx-|z|Rx+(2.5.16)3.乘指数序列乘指数序列设设X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+y(n)=anx(n),a为常数为常数则则Y(z)=ZTanx(n)=X(a-1 z) |a|Rx- |z| |a|Rx+ (2.5.17)数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统4.序列乘序列乘n设设 则
30、则(2.5.18) 5.复序列的共轭复序列的共轭设设6.初值定理初值定理设设x(n)是因果序列，是因果序列，X(z)=ZTx(n)(2.5.20)则则数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统7.终值定理终值定理若若x(n)是是因因果果序序列列，其其Z变变换换的的极极点点，除除可可以以有有一一个个一一阶极点在阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则上，其它极点均在单位圆内，则 ：终值定理也可用终值定理也可用X(z)在在z=1点的留数表示：点的留数表示：如果单位圆上如果单位圆上X(z)无极点，则无极点，则x()=0。 (2.5.22) 数字信号处理第
31、三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统9.复卷积定理复卷积定理如果如果ZTx(n)=X(z)，Rx-|z|Rx+ZTy(n)=Y(z),Ry-|z|Ry+w(n)=x(n)y(n)则则W(z)的收敛域的收敛域(2.5.24) (2.5.25)8.序列卷积序列卷积设设 数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统10.帕斯维尔帕斯维尔(Parseval)定理定理那么那么 v平面上，平面上，c所在的收敛域为：所在的收敛域为：设设(2.5.27)数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离
32、散系统 2.5.5利用利用Z变换解差分方程变换解差分方程用用Z变变换换求求解解差差分分方方程程，将将差差分分方方程程变变成成了了代代数数方方程程，使求解过程简单。使求解过程简单。N阶线性常系数差方程为：阶线性常系数差方程为：利用线性和序列移位性利用线性和序列移位性对于对于N阶差分方程，求其解必须已知阶差分方程，求其解必须已知N个初始条件。个初始条件。设设x(n)是因果序列（是因果序列（x(n)=0,nmax(|a|,|b|)式中第一项为零输入解，第二项为零状态解。式中第一项为零输入解，第二项为零状态解。数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统2.6
33、.2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性因因果果(可可实实现现)系系统统其其单单位位脉脉冲冲响响应应h(n)一一定定满满足足当当n0时时，h(n)=0，那那么么其其系系统统函函数数H(z)的的收收敛敛域域一一定定包包含含点点，即即点点不不是是极极点点，极极点点分分布布在在某某个个圆圆的的圆圆内内，收收敛敛域域在某个圆外。在某个圆外。稳稳定定系系统统要要求求，对对照照Z变变换换定定义义，系系统统稳稳定定要求收敛域包含单位圆。要求收敛域包含单位圆。如如果果系系统统因因果果且且稳稳定定，收收敛敛域域包包含含点点和和单单位位圆圆，那那么收敛域可表示为
34、：么收敛域可表示为：r|z|，0r1 v系统因果且稳定，系统因果且稳定，H(z)的极点集中在单位的极点集中在单位圆圆的内部。的内部。v具体系统的因果性和稳定性可由系统函数的具体系统的因果性和稳定性可由系统函数的极点分布极点分布确定。确定。数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统例例2.6.1已知已知，分析其因果性，分析其因果性和稳定性。和稳定性。解：解：H(z)的极点为的极点为z=a，z=a-1，如图所示。，如图所示。(1)收收敛敛域域a-1|z|，对对应应的的系系统统是是因因果果系系统统，但但由由于于收收敛敛域域不不包包含含单单位位圆圆，因因此此
35、是是不不稳稳定定系系统统。单单位位脉脉冲冲响响应应：h(n)=(an-a-n)u(n)(见例题见例题2.5.7)，这是一个因果序列，但不收敛。，这是一个因果序列，但不收敛。(2)收收敛敛域域0|z|a，对对应应的的系系统统是是非非因因果果且且不不稳稳定定系系统统。其其单单位位脉脉冲冲响响应应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(见见例例题题2.5.7)，这这是是一一个个非非因果且不收敛的序列。因果且不收敛的序列。(3)收收敛敛域域a|z|a-1，对对应应的的系系统统是是一一个个非非因因果果系系统统，但但由由于于收收敛敛域域包包含含单单位位圆圆，因因此此是是稳稳定定系系统统。其其单单位位脉脉
36、冲冲响响应应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列，如图，这是一个收敛的双边序列，如图2.6.1(a)所示所示。数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统下面分析本例这种系统的可实现性：下面分析本例这种系统的可实现性：在在H(z)H(z)的三种收敛域中，前二种系统不稳定，不能选用；的三种收敛域中，前二种系统不稳定，不能选用；在最后一种收敛域中，系统稳定但非因果，还是不能具体在最后一种收敛域中，系统稳定但非因果，还是不能具体实现。实现。严格地讲，这种系统是无法具体实现的。严格地讲，这种系统是无法具体实现的。但是我们利用数字系统或计算机的存贮性质，可
37、以近似实但是我们利用数字系统或计算机的存贮性质，可以近似实现第三种情况。现第三种情况。方法：将图方法：将图2.6.1(a)2.6.1(a)的的h(n)h(n)从从-N-N到到N N截取一段，再向右移，截取一段，再向右移，形成如图形成如图2.6.1(b)2.6.1(b)所示的所示的h(n)h(n)序列，将序列，将h(n)h(n)作为具体实现作为具体实现的系统单位脉冲响应。的系统单位脉冲响应。N N愈大，愈大，h(n)h(n)表示的系统愈接近表示的系统愈接近h(n)h(n)系统。系统。具体实现时，预先将具体实现时，预先将h(n)h(n)存贮起来，备运算时应用。存贮起来，备运算时应用。v这种非因果但
38、稳定系统的近似实现性，是数字信号处理技这种非因果但稳定系统的近似实现性，是数字信号处理技术比模拟信息处理技术优越的地方。术比模拟信息处理技术优越的地方。数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统2.6.3利用系统的极零点分布分析系统的频率特性利用系统的极零点分布分析系统的频率特性将将(2.6.2)式因式分解，得：式因式分解，得： 式中：式中：A=b0/a0，影响传输函数的幅度大小；，影响传输函数的幅度大小；cr是是H(z)的零点，的零点，dr是其极点。是其极点。零点零点cr和极点和极点d的分布影响系统的特性。的分布影响系统的特性。下下面面用用几几何何
39、方方法法来来研研究究系系统统零零极极点点分分布布对对系系统统频频率率特特性的影响。性的影响。将将(2.6.4)式分子分母变为正幂次，得：式分子分母变为正幂次，得：(2.6.4) 数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统设系统稳定，将设系统稳定，将z=ej，得到频率响应函数：，得到频率响应函数：(2.6.5) (2.6.6) 若若N=M，则：，则：(2.6.7)数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 和和分别称为零点矢量和极点矢量，将它们用分别称为零点矢量和极点矢量，将它们用极坐标表：极坐标表：将将和和
40、表表示示式式代代入入(2.6.7)式式，得：得： 在在z平平面面上上，ej-cr用用一一条条由由零零点点cr指指向向单单位位圆圆上上ej点点B的的向向量量表表示示；同同样样ej-dr用用由由极极点点指指向向ej点点B的的向量向量表示，如图所示。表示，如图所示。数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统(2.6.8)(2.6.9)式中：式中：系统的传输特性或信系统的传输特性或信号的频率特性由号的频率特性由(2.6.8)式式和和(2.6.9)式确定。式确定。当频率当频率从零变化到从零变化到2时，这些向量的终点时，这些向量的终点B沿单位圆逆时针旋转一周，沿
41、单位圆逆时针旋转一周，按照上述两式，可以分别按照上述两式，可以分别估算出系统的幅度特性和估算出系统的幅度特性和相位特性。相位特性。图图2.6.2频响的几何表示法频响的几何表示法下图表示了有一个零下图表示了有一个零点和二个极点的频率特性。点和二个极点的频率特性。数字信号处理第三版第二章第第1章章时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 按照按照(2.6.8)式，由零极点分布，可以确定零极点位置式，由零极点分布，可以确定零极点位置对系统特性的影响。对系统特性的影响。当当B点转到极点附近时，极点矢量长度最短，因而幅度点转到极点附近时，极点矢量长度最短，因而幅度特性可能出现峰值，且极点愈靠
42、近单位圆，极点矢量长度愈特性可能出现峰值，且极点愈靠近单位圆，极点矢量长度愈短，峰值愈高愈尖锐。短，峰值愈高愈尖锐。如果极点在单位圆上，则幅度特性为如果极点在单位圆上，则幅度特性为 ，系统不稳定。，系统不稳定。对于零点，情况相反，当对于零点，情况相反，当B点转到零点附近，零点矢量点转到零点附近，零点矢量长度变短，幅度特性将出现谷值，零点愈靠近单位圆，谷值长度变短，幅度特性将出现谷值，零点愈靠近单位圆，谷值愈接近零。当零点处在单位圆上时，谷值为零。愈接近零。当零点处在单位圆上时，谷值为零。结论：结论：极点位置影响频响的峰值位置及尖锐程度，极点位置影响频响的峰值位置及尖锐程度，零点位置影响频响的谷点位置及形状。零点位置影响频响的谷点位置及形状。数字信号处理第三版第二章
