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1、第五节第五节一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组二、方程组所确定的隐函数组 及其导数及其导数隐函数的求导方法 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数方程在什么条件下才能确定隐函数 .例如, 方程C 0 时, 不能确定隐函数2) 方程能确定隐函数时方程能确定隐函数时, 研究其求导方法问题研究其求导方法问题.本节讨论本节讨论:一、一个方程的情形一、一个方程的情形隐函数存在定理隐函数存在定理1在点在点的某一的某一邻邻域内具有域内具有设函数设函数连续的偏导数，连续的偏导数， 且且能唯一确定一个能唯一确定一个单值连续单值连续且具有且具有连续导连
2、续导数的函数数的函数 则则方程方程在点在点的某一的某一邻邻域内恒域内恒，它，它满满足条件足条件，并有，并有 隐函数的求导公式隐函数的求导公式定理证明略定理证明略. 推导求导公式：推导求导公式：两边对两边对 x 求导求导在在的某邻域内的某邻域内则则解解 令令则则 连续连续 , ,一阶导数：一阶导数：例2 设方程确定一个隐函数确定一个隐函数解解 令令由隐函数求导公式，得由隐函数求导公式，得 则则求求两边对两边对x求导，求导，另解另解解出解出隐函数存在定理隐函数存在定理2 2 设设函数函数在点在点的某一的某一邻邻域内有域内有连续连续的偏的偏导导数，数， 一一邻邻域内恒能唯一确定一个域内恒能唯一确定一
3、个单值连续单值连续且具有且具有则则方程方程在点在点的某的某连续偏导数的函数连续偏导数的函数 ，它满足条件它满足条件并有并有 且且两边对两边对x求偏导求偏导同样可得同样可得则则推导求偏导公式：推导求偏导公式：隐函数的求导公式隐函数的求导公式解解令令则则思路：思路：解解令令则则整理得整理得整理得整理得整理得整理得则则于是于是二、方程组的情形二、方程组的情形雅可比(1804 1851)德国数学家. 他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础. 他对行列式理论也作了奠基性的工作. 在偏微分方程的研究中引进了“雅可比行列式”, 并应用在微积 分中. 他的工作还包括代数学,
4、 变分法, 复变函数和微 分方程, 他在柯尼斯堡大学任教18年, 形成了以他为首的学派.在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献 .解解1直接代入公式；直接代入公式；解解2运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导并移项求导并移项将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导，用同样方法得求导，用同样方法得 两种方法相比，法二较简便，因为可避免两种方法相比，法二较简便，因为可避免商的求导运算。商的求导运算。则则这样一次就可求得全部的一阶偏导数。这样一次就可求得全部的一阶偏导数。全微分法全微分法利用全微分形式不变性，在所给的方程两边直接利用全微分形式不变性，在所给的方程两边直接求全微分求全微分（分以下几种情况）（分以下几种情况）隐函数的求导法则隐函数的求导法则小结小结思考题思考题思考题解答思考题解答作作 业业p.89 习题习题7-52; 3; 6; 8; 9; 11.备用题分别由下列两式确定 :又函数有连续的一阶偏导数 ,1. 设解解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得(2001考研)解得因此2. 设设是由方程和所确定的函数 , 求解法解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得(1999考研)解法2 微分法微分法.对各方程两边分别求微分:化简得消去可得
