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1、3.1.2空空间向量的数乘运算向量的数乘运算例如例如: :一、一、 显然显然,空间向量的数乘运算满足分配律空间向量的数乘运算满足分配律及结合律及结合律FEDCBA一、共线向量:零向量与任意向量共线. 1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作 2.共线向量定理:对空间任意两个向量 的充要条件是存在实数使OOA AB BP Pa a 推论推论: :如果如果 为经过已知点为经过已知点A A且平行且平行已知非零向量已知非零向量 的直线的直线, ,那么对任一点那么对任一点O,O,点点P P在直线在直线 上的充要条件是存在实数上的充要条件是
2、存在实数t,t,满足等式满足等式OP=OP=OA+tOA+t 其中向量叫做直线的其中向量叫做直线的方向向量方向向量. . 若若P P为为A,BA,B中点中点, , 则则二二 共面向量共面向量: :1.1.共面向量共面向量: :平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, ,叫做共面向量叫做共面向量. .OOA A注意：注意：空间任意两个向量是共面的，但空间空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。任意三个向量就不一定共面的了。2.2.共面向量定理共面向量定理: :如果两个向量如果两个向量 不共线不共线, ,则向量则向量 与向量与向量 共面的充要共面的充要条件是存在实数对条件是
3、存在实数对 使使2空空间的的两两非非零零向向量量a，b共共面面，能能否否推推出出ab(R)?提提示示：不不能能推推出出ab.因因空空间中中任任意意两两向向量量都都共共面，面，a，b共面未必有共面未必有ab，则不一定有不一定有ab.提示：提示：能判定能判定P、A、B共共线问题探究探究课堂互动讲练课堂互动讲练空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算考点一考点一考点突破考点突破空间向量的数乘运算与平面向量的数乘运算没有空间向量的数乘运算与平面向量的数乘运算没有什么区别，只是将适用范围由平面推广到了空间什么区别，只是将适用范围由平面推广到了空间运算要正确地使用向量加法和减法的平行四边运算要正确地使用向量加
4、法和减法的平行四边形法则和三角形法则，以及准确使用运算律形法则和三角形法则，以及准确使用运算律例例例例1 1【思思路路点点拨】解解答答本本题需需准准确确画画图，先先利利用用三三角角形形法法则或或平平行行四四边形形法法则表表示示出出指指定定向向量量，再再根据根据对应向量的系数相等，求出向量的系数相等，求出x、y的的值即可即可向量共线问题向量共线问题考点二考点二考点二考点二判判定定向向量量共共线就就是是充充分分利利用用已已知知条条件件找找到到实数数x，使使axb成成立立，或或充充分分利利用用空空间向向量量的的运运算算法法则，结合合具具体体的的图形形，通通过化化简、计算算得得出出axb，从从而得出而
5、得出ab即即a与与b共共线例例例例2 26-8证明明三三个个向向量量共共面面的的常常用用方方法法：(1)设法法证明明其其中中一一个个向向量量可可表表示示成成另另两两个个向向量量的的线性性组合合；(2)寻找平面找平面，证明明这些向量与平面些向量与平面平行平行向量共面问题向量共面问题考点三考点三例例例例3 3【思路点思路点拨】利用向量共面的充要条件利用向量共面的充要条件或向量共面的定或向量共面的定义来来证明明（1）（）（4）是；（）是；（2）（）（3)不是不是方法感悟方法感悟1向量共向量共线的充要条件及其的充要条件及其应用用(1)空空间共共线向向量量与与平平面面共共线向向量量的的定定义完完全全一一
6、样，当当我我们说a，b共共线时，表表示示a，b的的两两条条有有向向线段段所所在在直直线既既可可能能是是同同一一直直线，也也可可能能是是平平行行直直线；当当我我们说ab时，也具有同，也具有同样的意的意义(2)“共共线”这个个概概念念具具有有自自反反性性(aa)，也也具具有有对称称性，即若性，即若ab，则ba.(3)如如果果应用用上上述述结论判判断断a，b所所在在的的直直线平平行行，还需需说明明a(或或b)上有一点不在上有一点不在b(或或a)上上(2)共共面面向向量量的的充充要要条条件件给出出了了空空间平平面面的的向向量量表表示示式式，即即任任意意一一个个空空间平平面面可可以以由由空空间一一点点及及两两个个不不共共线的的向向量量表表示示出出来来，它它既既是是判判断断三三个个向向量量是是否否共共面面的的依依据据，又又可可以以把把已已知知共共面面条条件件转化化为向量式，以便于向量式，以便于应用向量用向量这一工具一工具
