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1、第三章 实 数 集实数理论是数学的基础。实数的连续性是极限的基础，极限是微积分的基础。人们在对实数的认识过程中，知道了有限与无限，距离及逼近，完备与连续。1数学的研究对象：现实世界中的 数量关系及空间形式研究数量关系离不开数。我们这里涉及自然数、整数、有理数(无理数) 、实数。集合符号分别为：2研究数的重要性对数的研究形成了集合论及代数系统的重要内容实数的连续性是极限的基础，极限是微积分的基础人们在对实数的认识过程中，知道了有限与无限，距离及逼近，完备与连续实数理论是数学的基础3一、如何衡量元素的数目1.你能数到多少？例1：两个古代贵族的数字游戏两个古代贵族的数字游戏某些原始部落，不存在比某些
2、原始部落，不存在比3大的数词大的数词例例2：印度舍罕王的奖赏：印度舍罕王的奖赏例例3：世界末日的传说：世界末日的传说只能数到不太大的有限数42.元素多少的比较集合对等的概念例4：玻璃珠与铜币哪个多？玻璃珠与铜币哪个多？集合集合A与与集合集合B 对等：对等：存在一一对应存在一一对应(1-1,满）满）有限集的计数（元素个数）（势）：有限集的计数（元素个数）（势）： 记记 Mn =1,2,n（ n为正整数）为正整数）如如A为空集或与某个为空集或与某个Mn 对等，称对等，称A为有限集，为有限集，当当A与某个与某个Mn 对等时，称对等时，称n为为A 的计数。的计数。5两个有限集对等的充分必要条件是其元素
3、个数相等有限集不与其真子集对等63.怎样计数无穷大的数字？ 无限集的讨论l 自然数集l 可数集l 可数集的运算l 可数集的例子 7l无限集必有可数子集l可数集是最小的无限集l研究可数集的意义8例5：客满旅店如何接待新客人u无限集必与其某个真子集对等无限集必与其某个真子集对等u在无穷大的世界里，部分可能等于全部。94. 不可数集(0,1)区间不可数区间不可数通过一一对应通过一一对应, (a, b)与与(0,1)区间对等。区间对等。通过一一对应通过一一对应, (0,1)区间与实数集区间与实数集 R 对等。对等。105. 集合的势（定义，大小比较）空集，有限集，可数集，不可数集116.无限集的分类如
4、如A与与B 对等，则势相同，对等，则势相同， A与与B 属于同一类。属于同一类。第一类：可数集类（最简类）第一类：可数集类（最简类）第二类：连续统类第二类：连续统类 12二、实数的连续性1.1. 有理数的定义有理数的定义 分数 有限小数与无限循环小数 132. 无理数的发现无理数的发现 大约公元前400年，古希腊毕达哥拉斯学派成员希帕索斯发现“等腰直角三角形的直角边与斜边不可通约”（ 的发现）。 芝 诺 悖 论 第一次数学危机的产生及解决。 14 十九世纪后半叶，十九世纪后半叶，康托、康托、魏尔斯特拉斯、戴德金魏尔斯特拉斯、戴德金各自独各自独立地对无理数进行了严格定义，立地对无理数进行了严格定义，建立了完整的实数理论。建立了完整的实数理论。15
