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1、5.1 预备知识预备知识: 向量的内积向量的内积 一、向量内积的定义及性质一、向量内积的定义及性质 在解析几何中有两向量的在解析几何中有两向量的数量积数量积的概念的概念, 即设即设x, y为两向量为两向量, 则它们的数量积为则它们的数量积为:x y = | x | y | cos . 设向量设向量x, y 的的坐标表示式为坐标表示式为 x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), 则则x y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 .由此引出了向量的由此引出了向量的长度长度(即即模模)和两向量和两向量夹角夹角的概念的概念:定义定义1: 设有设有n维向量维向量x
2、, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn,称称x, y为向量为向量 x 与与 y 的的内积内积. 说明说明1. n(n 4)维向量的内积是维向量的内积是3维向量维向量数量积数量积的的推广推广, 但是没有但是没有3维向量直观的几何意义维向量直观的几何意义. 说明说明2. 内积是向量的一种运算内积是向量的一种运算, 如果都是列向量如果都是列向量, 内积可用矩阵记号表示为内积可用矩阵记号表示为: x, y = xT y.我们把两向量的我们把两向量的数量积数量积的概念向的概念向 n 维向量推广维向量推广:记记内积的运算性质内积的运算性质设设x, y, z为为n维向量维向量, 为实数为
3、实数, 则则(1) x, y = y, x;(2) x, y = x, y;(3) x+y , z = x, z + y, z;(4) x, x 0, 当且仅当当且仅当x=0时有时有x, x=0.二、向量的长度及性质二、向量的长度及性质称称| x |为为n维向量维向量 x 的的长度长度(或或范数范数).定义定义: 令令向量的长度具有下述性质向量的长度具有下述性质:(1) 非负性非负性: | x | 0, 当且仅当当且仅当x=0时有时有| x | = 0;(2) 齐次性齐次性: | x| = | | | x |;(3) 三角不等式三角不等式: | x+y | | x | + | y |.单位向量
4、及单位向量及n 维向量间的夹角维向量间的夹角(1)当当| x |=1时时, 称称x为为单位向量单位向量.(2)当当| x | 0, | y | 0 时时, 称为称为n维向量维向量 x 与与 y 的的夹角夹角, 规定规定0 .例例1: 求向量求向量x = (1, 2, 2, 3)与与y = (3, 1, 5, 1)的夹角的夹角.解解: x, y=1 3+2 1+2 5+3 1=18, 所以所以故故, 向量向量x与与 y 的夹角为的夹角为:三、正交向量组的概念及求法三、正交向量组的概念及求法1. 正交的概念正交的概念2. 正交向量组的概念正交向量组的概念若若一非零一非零向量组中的向量两两正交向量组
5、中的向量两两正交, 则称该向量则称该向量组为组为正交向量组正交向量组.当当x, y=0时时, 称向量称向量 x 与与 y 正交正交.由定义知由定义知, 若若x=0, 则则 x与任何向量都正交与任何向量都正交.3. 正交向量组的性质正交向量组的性质 定理定理1: 若向量组若向量组 1, 2, , r 是是n维维正交向正交向量组量组, 则则 1, 2, , r 线性无关线性无关.证明证明: 设有数设有数 1, 2, , r, 使得使得: 1 1 + 2 2 + + r r = 0向量的正交是几何空间中向量垂直概念的推广向量的正交是几何空间中向量垂直概念的推广.由于由于 1, 2, , r 是是两两
6、正交的非零向量组两两正交的非零向量组,当当 i j 时时, i, j= iT j = 0, 当当 i = j 时时, i, i= iT i 0,则有则有用用 iT ( i =1, 2, , r )左乘上左乘上式得式得, 1 iT 1 + + i iT i + + r iT r = iT0 = 0, i iT i = 0.即即从而得从而得, 1= 2= = r=0,所以所以 1, 2, , r 线性无关线性无关.4. 向量空间的正交基向量空间的正交基 定义定义: 若正交向量组若正交向量组 1, 2, , r是向量空是向量空间间V的一组基的一组基, 则称则称 1, 2, , r 是向量空间是向量空
7、间V的一组的一组正交基正交基.例例2: 已知三维向量空间中两个向量已知三维向量空间中两个向量正交正交. 试求试求 3使使 1, 2, 3构成三维空间的一组正交基构成三维空间的一组正交基. 1=(1, 1, 1)T, 2=(1, 2, 1)T即即解之得解之得解解: 设设 3=(x1, x2, x3)T 0, 且且分别与分别与 1, 2正交正交. 则有则有 1, 3= 2, 3=0,x1 = x3, x2 = 0.若令若令 x3 = 1, 则有则有构成三维空间的一组正交基构成三维空间的一组正交基.则则5. 规范正交基规范正交基例如例如 定义定义: 设设n维向量组维向量组e1, e2, , er是向
8、量空间是向量空间V Rn的一组正交基的一组正交基, 且都是单位向量且都是单位向量, 则称则称e1, e2, , er是向量空间是向量空间V的一组的一组规范规范(单位单位)正交基正交基.由于由于所以所以, e1, e2, e3, e4为为R4的一组规范正交基的一组规范正交基.同理可知同理可知也为也为R4的一组规范正交基的一组规范正交基(即即单位坐标向量组单位坐标向量组). 设设e1, e2, , er是向量空间是向量空间V的一组的一组规范规范正交正交基基, 则则V中的任一向量中的任一向量a可由可由e1, e2, , er线性表线性表示示, 设表示式为设表示式为:a = 1e1 + 2e2 + +
9、 rer ,用用eiT左乘上左乘上式式, 有有 eiTa = i eiTei = i ,即即 i = eiTa = a, ei,这这就是向量在规范正交基中的就是向量在规范正交基中的坐标坐标(即即线性表示系数线性表示系数)的计算公式的计算公式. 利用该公式可方便地计算向量在规范正利用该公式可方便地计算向量在规范正交基中的交基中的坐标坐标, 因此我们常取向量空间的因此我们常取向量空间的规范正交基规范正交基.6. 求规范正交基的方法求规范正交基的方法 已知已知 1, 2, , r 是向量空间是向量空间V 的一组基的一组基, 求求V 的一组规范正交基的一组规范正交基, 就是要找一组两两正交的单就是要找
10、一组两两正交的单位向量位向量e1, e2, , er , 使使e1, e2, , er 与与 1, 2, , r 等价等价, 这样一个问题称为这样一个问题称为把基把基 1, 2, , r 规范正交化规范正交化.(1) 正交化正交化设设a1, a2, , ar 是向量空间是向量空间V 的一组基的一组基. 取取 b1 = a1, 则则b1, b2, , br两两正交两两正交, 且且b1, b2, , br与与a1, a2, ,ar等价等价.(2) 单位化单位化, 取取则则e1, e2, , en是向量空间是向量空间V的一组的一组规范正交基规范正交基. 上述由线性无关向量组上述由线性无关向量组a1,
11、 a2, , ar 构造出构造出正交向量组正交向量组b1, b2, , br 的的过程称为过程称为施密特施密特(Schimidt)正交化过程正交化过程. 例例3: 用施密特正交化方法用施密特正交化方法, 将向量组将向量组a1=(1, 1, 1, 1), a2=(1, -1, 0, 4), a3=(3, 5, 1, -1)正交规范化正交规范化.解解: 先先正交化正交化. 取取b1= a1=(1, 1, 1, 1),再再单位化单位化.得规范正交向量组如下得规范正交向量组如下:例例4: 设设试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.解解: 先先正交化正交化.
12、取取b1= a1再再单位化单位化.得规范正交向量组如下得规范正交向量组如下:故故, e1, e2, e3 即为所求即为所求.例例5: 已知已知求一组非零向量求一组非零向量a2, a3, 使使a1, a2, a3两两正交两两正交.解解: 非零向量非零向量a2, a3应满足方程应满足方程 a1Tx = 0, 即即x1+ x2+ x3= 0.它的基础解系为它的基础解系为:把把基础解系正交化基础解系正交化, 即为所求即为所求. 亦即取亦即取其中其中 1, 2=1, 1, 1=2,于是得于是得几几 何何 解解 释释 b2 = a2 c2, c2为为a2在在b1上上的投影向量的投影向量, 即即b1 = a
13、1, b3 = a3 c3, c3为为a3在在b1, b2所确定的平面上的投影向量所确定的平面上的投影向量, 由于由于b1 b2, 故故c3等于等于a3分别在分别在b1, b2上的投影向量上的投影向量c31及及c32之和之和, 即即四、正交矩阵与正交变换四、正交矩阵与正交变换 定理定理: A为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是A的列向量都是的列向量都是单位向量且两两正交单位向量且两两正交. 若若n阶方阵阶方阵A满足满足ATA = E, 即即A-1=AT, 则称则称A为为正正交矩阵交矩阵.证明证明: 由于由于ATA = E性质性质1 1: 正交变换保持向量的长度不变正交变换保持向量的长度
14、不变. 定义定义: 若若P为正交阵为正交阵, 则线性变换则线性变换 y = Px 称为正称为正交变换交变换.证明证明: 设设线性变换线性变换 y = Px为正交变换为正交变换. 则有则有 性质性质2: 设设A为正交矩阵为正交矩阵, 则则A-1=AT也为正交矩阵也为正交矩阵, 且且|A|=1或或1. 性质性质3: 设设A,B都是正交矩阵都是正交矩阵, 则则AB也为正交矩阵也为正交矩阵.例例6: 判别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵.解解(1): 考察矩阵的第一列和第二列考察矩阵的第一列和第二列. 所以所以(1)不是正交矩阵不是正交矩阵.由于由于解解(2): 注意到注意到, 该矩阵为对
15、称矩阵该矩阵为对称矩阵, 则有则有所以所以(2)是正交矩阵是正交矩阵.例例6: 验证矩阵验证矩阵 解解: P 的每个列向量都是单位向量的每个列向量都是单位向量, 且两两正交且两两正交, 所以所以P是正交矩阵是正交矩阵.是正交矩阵是正交矩阵.五、小结五、小结 1. 将一组基规范正交化的方法将一组基规范正交化的方法: 先用施密特正交化方法将基正交化先用施密特正交化方法将基正交化, 然后再将其然后再将其单位化单位化.2. A为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立:(1) A-1=AT;(2) ATA=E;(3) A的的列列向量是两两正交的单位向量向量是两两正交的单位向量;(4) A的的行行向量是两两正交的单位向量向量是两两正交的单位向量.思考题思考题求一单位向量求一单位向量, 使它与下列向量正交使它与下列向量正交.a1=(1, 1, 1, 1), a2=(1, 1, 1, 1), a3=(2, 1, 1, 3),思考题解答思考题解答设所求向量为设所求向量为x=(a, b, c, d), 解解得得:或或则由题意可得则由题意可得: :
