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1、学案学案6 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 简单的三角简单的三角恒等变换恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换( (包括导出积化和差、和差化积、半角包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）公式，但不要求记忆）. . 高考的必考内容高考的必考内容,常利用其解决三角函数的化简、常利用其解决三角函数的化简、求值和三角恒等式的证明，也常同三角函数的值域、求值和三角恒等式的证明，也常同三角函数的值域、单调性结合在一起考查三角函数的综合应用单调性结合在一起考查三角函数的综合应用.证明证明化简化简 求值求值 【分析分析分析分析】用诱导公式及逆用两角和差的正
2、、余弦公用诱导公式及逆用两角和差的正、余弦公式，将式，将70,10,40化成与化成与20有关的角有关的角,约分求解约分求解.考点考点考点考点1 1 三角函数式的化简三角函数式的化简三角函数式的化简三角函数式的化简 化简：化简：【解析解析】【评析评析评析评析】三角函数式的化简要遵循三角函数式的化简要遵循三角函数式的化简要遵循三角函数式的化简要遵循“ “三看三看三看三看” ”原则原则原则原则. .（1 1）一看）一看）一看）一看“ “角角角角” ”，这是最重要的一环，通过看角之间，这是最重要的一环，通过看角之间，这是最重要的一环，通过看角之间，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合
3、理的拆分，从而正确使用的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；公式；公式；公式；（2 2）二看）二看）二看）二看“ “函数名称函数名称函数名称函数名称” ”，看函数名称之间的差异，从，看函数名称之间的差异，从，看函数名称之间的差异，从，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有而确定使用的公式，常见的有而确定使用的公式，常见的有而确定使用的公式，常见的有“ “切化弦切化弦切化弦切化弦” ”；（3 3）三看）三看）三看）三看“ “结构特征结构特征结构特征结构特征” ”，分析结构特征，可
4、以帮助我，分析结构特征，可以帮助我，分析结构特征，可以帮助我，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有们找到变形的方向，常见的有们找到变形的方向，常见的有们找到变形的方向，常见的有“ “遇到公式要通分遇到公式要通分遇到公式要通分遇到公式要通分” ”等等等等. .考点考点考点考点2 2 三角函数式求值三角函数式求值三角函数式求值三角函数式求值 【分析分析分析分析】化为一角一函的形式再求周期和最值化为一角一函的形式再求周期和最值.考点考点考点考点3 3 三角函数式的变换及应用三角函数式的变换及应用三角函数式的变换及应用三角函数式的变换及应用已知函数已知函数f(x)=2 sinxcosx+
5、2cos2x-1(xR).(1)求函数求函数f(x)的最小正周期及在区间的最小正周期及在区间 上的上的最大值和最小值最大值和最小值;(2)若若f(x0)= , x0 ,求求cos2x0的值的值. 【解析】【解析】 (1)由由f(x)=2 sinxcosx+2cos2x-1,得得f(x)= (2sinxcosx)+(2cos2x-1)= sin2x+cos2x=2sin(2x+ ),所以函数所以函数f(x)的最小正周期为的最小正周期为.因为因为f(x)=2sin(2x+ )在区间在区间 上为增函数上为增函数,在区在区间间 上为减函数上为减函数,又又f(0)=1,f( )=2,f( )=-1,所以
6、函所以函数数f(x)在区间在区间 上的最大值为上的最大值为2,最小值为最小值为-1. (2)由由(1)可知可知f(x0)=2sin(2x0+ ).又因为又因为f(x0)= ,所以所以sin(2x0+ )= .由由x0 ,得得2x0+ ,从而从而cos(2x0+ )= .所以所以cos2x0=cos(2x0+ )- =cos(2x0+ )cos +sin(2x0+ )sin = . 【评析评析评析评析】本题考查二倍角公式的正用及逆用本题考查二倍角公式的正用及逆用,利用一角一利用一角一函的形式求出最值函的形式求出最值.第第(2)问考查了求值问题问考查了求值问题.已知函数已知函数 (1)当当m=0时
7、时,求求f(x)在区间在区间 上的取值范围；上的取值范围；(2)当当tan=2时，时，f()= ，求，求m的值的值.【解析解析】 (1)当当m=0时时,f(x)=sin2x+sinxcosx= (sin2x-cos2x)+ = sin(2x- )+ .又由又由x 得得2x- ，所以所以sin2x- ,从而从而f(x)= sin(2x- )+ .(2)f(x)=sin2x+sinxcosx- cos2x= + sin2x- cos2x= sin2x-(1+m)cos2x+ .由由tan=2得得所以所以 ，解得解得m=-2.在化简三角函数表达式时在化简三角函数表达式时在化简三角函数表达式时在化简三
8、角函数表达式时, , , ,要合理运用同角三角函数的要合理运用同角三角函数的要合理运用同角三角函数的要合理运用同角三角函数的基本关系式、三角函数的诱导公式以及和角、倍角和基本关系式、三角函数的诱导公式以及和角、倍角和基本关系式、三角函数的诱导公式以及和角、倍角和基本关系式、三角函数的诱导公式以及和角、倍角和半角公式，还应尽量向特殊角的三角函数转化半角公式，还应尽量向特殊角的三角函数转化半角公式，还应尽量向特殊角的三角函数转化半角公式，还应尽量向特殊角的三角函数转化. . . .另外，另外，另外，另外，三角函数表达式的化简和求值问题对最终结果的要求三角函数表达式的化简和求值问题对最终结果的要求三
9、角函数表达式的化简和求值问题对最终结果的要求三角函数表达式的化简和求值问题对最终结果的要求是相同的，即：项数尽量少，次数尽量低，尽量不含是相同的，即：项数尽量少，次数尽量低，尽量不含是相同的，即：项数尽量少，次数尽量低，尽量不含是相同的，即：项数尽量少，次数尽量低，尽量不含分母，尽量不含根式，能求值的要求出值来分母，尽量不含根式，能求值的要求出值来分母，尽量不含根式，能求值的要求出值来分母，尽量不含根式，能求值的要求出值来. . . . 三角函数式的化简、求值、证明中，要注意从三角函数式的化简、求值、证明中，要注意从三角函数式的化简、求值、证明中，要注意从三角函数式的化简、求值、证明中，要注意从“ “角角角角”“”“名名名名”“”“形形形形” ”三方面去考虑，选择合适的公式三方面去考虑，选择合适的公式三方面去考虑，选择合适的公式三方面去考虑，选择合适的公式. .
