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1、 第2章 二二 、收敛数列的性质、收敛数列的性质 三三 、极限存在准则、极限存在准则 一、数列极限的定义一、数列极限的定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第2 2章数列与极限章数列与极限2.1数列的极限数列的极限定义定义2.1.1 按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数叫做数列.刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 记作或叫做数列的项，第n个数叫数列的第第n项项或通项通项并把每个数若令则可以看出，数列实际上是自变量取正整数的函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.1.1机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般地,如果存在正数，使得对一切正整数n,都有则称 为数列 下界；（b为数列
2、 上 界）.单调数列：单调数列： 单调增加数列：单调增加数列： 单调减少数列：单调减少数列： 有界数列：有界数列：一个数列,如果存在正数，使得对一切正整数n都有则称数列 有界；否则称之无界.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.1.1 数列极限的概念数列极限的概念 对于数列我们研究的主要问题是观察一般项随着n的增大的变化趋势一般项随着n的增大趋于0.一般项随着n的增大趋于0.一般项随着n的增大趋于2.一般项随着n的增大不趋于某一数.一般项随着n的增大无限增大.定义定义2.1.2 设数列及常数 a ，如果对于任意给定当 n N 时,有记作此时也称数列 收敛 , 否则称数列发散 .几何解释 :即
3、或则称该数列的极限为 a ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 正数 ，总存在正整数N，例例2.1.2 已知证明数列的极限为2. 证证: 欲使即只要因此 , 取则当时, 就有故机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.1.3. 设证明等比数列证证:欲使只要即亦即因此 , 取, 则当 n N 时, 就有故的极限为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.1.2 数列极限的性质数列极限的性质证证: 用反证法.及且取因故存在 N1 , 从而同理, 因故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有定理定理2.1.1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当 n N1 时, 假设从而矛盾.因此
4、收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时, 故假设不真 !满足的不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2.1.2. 收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证证: 设取则当时, 从而有取 则有由此证明收敛数列必有界.说明说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,虽有界但不收敛 .有数列机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2.1.3. 收敛数列的保号性收敛数列的保号性.若且时, 有证证: 对 a 0 , 取推论推论: 若数列从某项起(用反证法证明)机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋
5、于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节本节内容内容 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.2 函数的极限 1. 时时函数的极限函数的极限引例引例. 测量正方形面积.面积为A )边长为(真值:边长面积直接观测值间接观测值任给精度 ,要求确定直接观测值精度 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义2.2.1 . 设函数在点的某去心邻域内有定义 ,当时, 有则称常数 A 为函数当时的极限,或即当时, 有若记作几何解释几何解释:极限存在函数局部有界这表明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 时时函数的极限函数的极限例例2.2.1. 证明证证:欲使取则当时 , 必有因
6、此只要机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.2.2. 证明证证:故取当时 , 必有因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义2.2.2左极限与右极限左极限与右极限左极限 :当时, 有右极限 :当时, 有( P38 题8 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.2.3. 设函数讨论 时的极限是否存在 . 解解: 因为显然 所以不存在 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限定义定义2.2.3 设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,几何解释几何解释:记作直线 y = A 为曲线的水平渐近线机动 目录 上页 下页
7、返回 结束 A 为函数例例2.2.4. 证明证证:取因此注注:就有故欲使即机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.2.2 函数极限的性质函数极限的性质定理定理2.2.1.（极限的唯一）收敛数列的极限唯一（极限的唯一）收敛数列的极限唯一.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2.2.2. （局部有界性）如果（局部有界性）如果定理定理2.2.3. （局部保号性）（局部保号性）若且 A 0 ,则存在( A 0 ,证证: 已知即当时, 有当 A 0 时, 取正数则在对应的邻域上( 0)则存在( A 0 )(P37定理3)机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、极限存在准则三、极限存在准则由此性质
8、可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极限 ,例如， 发散 !夹逼准则; 单调有界准则; 柯西审敛准则 .则原数列一定发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 2.4.1. 夹逼准则夹逼准则 (准则1) 证证: 由条件 (2) ,当时,当时,令则当时, 有由条件 (1)即故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 证明证证: 利用夹逼准则 .且由机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 4.2单调有界单调有界准则2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.4.6. 设证明数列极限存在 . 证证: 利用二项式公式 , 有机动 目录 上页 下页 返回 结束 大大 大大 正
9、正又比较可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据准则 2 可知数列记此极限为 e , e 为无理数 , 其值为即有极限 .原题 目录 上页 下页 返回 结束 又定理定理 2 . 若在的某去心邻域内, 且 则证证: 用反证法.则由定理 1,的某去心邻域 , 使在该邻域内与已知所以假设不真, (同样可证的情形)思考: 若定理 2 中的条件改为是否必有不能不能! 存在如 假设 A 0 , 条件矛盾,故机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.3.2极限的运算法则极限的运算法则刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2.3.1 极限的四则运算法则极限的四则运算法则若取则在对应的邻域上 若则存在使
10、当时, 有推论推论:(P37 推论)分析分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .两种特殊情况两种特殊情况 :当时, 有当时, 有几何意义几何意义 :例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明: 当证证:欲使且而可用因此只要时故取则当时,保证 .必有机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 函数极限的或定义及应用2. 函数极限的性质:保号性定理与左右极限等价定理思考与练习思考与练习1. 若极限存在,2. 设函数且存在, 则例3 作业作业 P37 1(4) ; 2(2) ;
11、 5 ; 6 ; 7 ; 9 Th1Th3Th2是否一定有第四节 目录 上页 下页 返回 结束 ？*3. 柯西极限存在准则柯西极限存在准则(柯西审敛原理) 数列极限存在的充要条件是:存在正整数 N , 使当时,证证: “必要性”.设则时, 有 使当因此“充分性” 证明从略 .有柯西 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用2. 收敛数列的性质:唯一性 ; 有界性 ; 保号性;任一子数列收敛于同一极限3. 极限存在准则:夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 如何判断极限不存在?方法1. 找一个趋于的子数列;方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.2. 已知, 求时,下述作法是否正确? 说明理由.设由递推式两边取极限得不对不对!此处机动 目录 上页 下页 返回 结束 故极限存在，备用题备用题 1.1.设 , 且求解：解：设则由递推公式有数列单调递减有下界，故利用极限存在准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设证证: 显然证明下述数列有极限 .即单调增, 又存在“拆项相拆项相消消” 法法
