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1、 定义定义: 设设M0是空间曲线是空间曲线L上的一个定点上的一个定点, M是是L上上的一个动点的一个动点, 当当M沿曲线沿曲线L趋于趋于M0时时, 割线割线M0M的极的极限位置限位置MT0(如果极限存在如果极限存在)称为称为曲线曲线L在在M0处的切线处的切线.下面导出空间曲线的切线方程下面导出空间曲线的切线方程. 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用一、空间曲线的切线和法平面一、空间曲线的切线和法平面 1. 空间曲线方程为参数方程的情形空间曲线方程为参数方程的情形: (1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导. 且导数不同时为零且导数不同时为零. L:(1) 设设M0(
2、x0, y0, zo)对应参数对应参数 t=t0, M(x0+ x, y0+ y, zo+ z)对应参数对应参数 t=t0+ t. 则割线则割线M0M的方程为的方程为:微分学几何应用考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程: 上式分母同除以上式分母同除以 t , 得得 当当MM0, 即即 t 0时时, 曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程为为: 切向量切向量(切线的方向向量切线的方向向量)为为 法平面法平面(过过M0点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面)的方程为的方程为: 微分学几何应用故故, 切线方程为切线方程为: 法平面方程为法平面方程为: 解解: 当当t=0
3、时对应曲线时对应曲线 上的点的坐标为上的点的坐标为M0(0, 1, 2), 而而则切向量为则切向量为: 例例1:求曲线求曲线 在在t=0处的切线处的切线 和法平面方程和法平面方程. 即即微分学几何应用在在M0(x0, y0, zo)处处, 取取x为参数为参数, 则则 切向量为切向量为: 的情形的情形: 2. 空间曲线方程为空间曲线方程为 法平面方程为法平面方程为: 切线方程为切线方程为: 3. 空间曲线方程为空间曲线方程为 的情形的情形: 切线方程为切线方程为: 微分学几何应用法平面方程为法平面方程为: 例例2: 求曲线求曲线 在点在点(1, 2, 1)处的切处的切 线及法平面方程线及法平面方
4、程. 解一解一: 直接利用公式直接利用公式. 解二解二: 在所给方程的两边对在所给方程的两边对x求导并移项求导并移项, 得得 解得解得 在点在点(1, -2, 1)处处 微分学几何应用由此得切向量为由此得切向量为: 所求切线方程为所求切线方程为: 法平面方程为法平面方程为: 即即二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线 1. 曲面曲面 的的方程为一般方程方程为一般方程F(x, y, z)=0的情形的情形: 在曲面上任取一条通过点在曲面上任取一条通过点M(x0, y0, z0)的曲线的曲线对应对应M有有 t=t0 . 微分学几何应用曲线曲线 在在M处的切向量为处的切向量为: 令令又因为又因为
5、 为曲面为曲面 上的曲线上的曲线, 故有故有 F( (t), (t), (t) 0上式在上式在t = t0 处对处对 t 求导得求导得, Fx(x0, y0, z0)(t0)+Fy(x0, y0, z0)(t0)+Fz(x0, y0, z0)(t0)=0 切平面切平面的方程为的方程为: Fx(x0, y0, z0)(xx0)+Fy(x0, y0, z0)(yy0)+Fz(x0, y0, z0)(yy0)=0 曲线曲线 在点在点M处的切向量满足处的切向量满足: 由曲线由曲线 在在 曲面曲面 上的任意性知上的任意性知, 上过点上过点M的任意曲线的切线都的任意曲线的切线都垂直于同一向量垂直于同一向量
6、 因此因此, 所有这些切线都在同一平面所有这些切线都在同一平面上上. 且这张平面的法向量为且这张平面的法向量为 , 并称并称 为曲面为曲面 的的在在点点M处的处的法向量法向量; 称这张平面为曲面称这张平面为曲面 在在点点M处的处的切平面切平面.微分学几何应用 通过点通过点M(x0, y0, z0)而垂直于切平面的直线称为而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的曲面在该点的法线法线. 法线方程为法线方程为:2. 曲面曲面 的的方程为显函数方程为显函数z=f(x, y)的情形的情形: 令令F(x, y, z)=f(x, y)z, 则曲面则曲面 在点在点M(x0, y0, z0)的的法向量为法向量为:
7、故故, 切平面方程为切平面方程为: 法线方程为法线方程为: 微分学几何应用因为因为, 曲面曲面z=f(x, y)在在M处的切平面方程为处的切平面方程为 切平面上点的竖切平面上点的竖坐标的增量坐标的增量 z.全微分的几何意义全微分的几何意义 函数函数z=f(x, y)在在(x0, y0)的全微分的全微分, 表示曲面表示曲面z=f(x, y)在点在点(x0, y0, z0)处的切平面处的切平面上的点的竖坐标的增量上的点的竖坐标的增量, 即即以切平面上点的改变量近似以切平面上点的改变量近似代替曲面上该点处的改变量代替曲面上该点处的改变量.函数函数z=f(x, y)在在(x0, y0)的全微分的全微分
8、.即即dz=fx(x0, y0) x+ fy(x0, y0) y.微分学几何应用 若若 , , 表示曲面的法向量的方向角表示曲面的法向量的方向角, 并假定法并假定法向量的方向是向上的向量的方向是向上的, 即使得它与即使得它与z轴的正向所成的角轴的正向所成的角 是锐角是锐角, 则法向量的则法向量的方向余弦方向余弦为为: 其中其中 MT) P N 回顾一元函数微分的几回顾一元函数微分的几何意义何意义: 设曲线设曲线C的方程为的方程为y=f(x), 曲线曲线C上的点上的点M处有切线处有切线. 则则 y是曲线是曲线C上关于点上关于点N的纵坐的纵坐标的增量标的增量, 而而d y是是曲线曲线C在点在点M处
9、的切线对应点处的切线对应点P的纵坐标的纵坐标的增量的增量.微分学几何应用 例例3: 求旋转抛物面求旋转抛物面 z=x2+y21 在点在点(2, 1, 4)处的处的切平面及法线方程切平面及法线方程.解解: 设设f(x, y)= x2+y21. 则法向量为则法向量为: 切平面方程为切平面方程为: 法线方程为法线方程为: 即即 例例4: 求曲面求曲面 z ez + 2xy = 3 在点在点(1, 2, 0)处的切处的切平面及法线方程平面及法线方程. 解解: 令令 F(x, y, z)= z ez + 2xy 3, 则则 微分学几何应用切平面方程为切平面方程为: 法线方程为法线方程为: 解解: 设设(
10、x0, y0, z0)为曲面上的切点为曲面上的切点, 曲面在该点曲面在该点处的法向量为处的法向量为:切平面方程为切平面方程为: 依题意依题意, 切平面平行于已知平面切平面平行于已知平面x+4y+6z=0, 得得 即即 例例5: 求曲面求曲面 x2+2y2+3z2=21平行于平面平行于平面 x+4y+6z=0 的切平面方程的切平面方程. 即即微分学几何应用因为因为(x0, y0, z0)是曲面上的切点是曲面上的切点, 故满足方故满足方程程 因此所求切点为因此所求切点为: (1, 2, 2)和和(1, 2, 2). 所求切平面方程为所求切平面方程为: 解解: 令令 则则x02+2y02+3z02=
11、21, 即即 x02+2(2x0)2+3(2x0)2=21, 得得, x0= 1, 和和即即和和上求一点上求一点, 使它的使它的 法线与坐标轴正向成等角法线与坐标轴正向成等角. 例例6: 在椭球面在椭球面 微分学几何应用注意到法线与坐标轴正向的夹角注意到法线与坐标轴正向的夹角 , , 相等相等, 即即 解得解得 所求点的坐标为所求点的坐标为: 故椭球面上任一点故椭球面上任一点P(x0, y0, z0)的法线方向向量为的法线方向向量为: 故故, 又又微分学几何应用曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线: 求法向量的方向余弦时注意求法向量的方向余弦时注意符号符号.三、小结三、小结 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面: 当空间曲线方程为一般式时当空间曲线方程为一般式时, 求切向量注意采用求切向量注意采用推导法推导法.微分学几何应用思考题解答思考题解答 设切点设切点P(x0, y0, z0), 则法向量为则法向量为: 依题意知依题意知, 切平面的法向量为切平面的法向量为: 又由于切点满足曲面和平面方程又由于切点满足曲面和平面方程, 即即 则则得得解得解得: 思考题思考题 如果平面如果平面3x+ y3z+16=0与椭球面与椭球面3x2+y2+z2=16相切相切, 求求 .微分学几何应用
