《2011届高考数学第一轮总复习经典实用 2-5函数的奇偶性与周期性学案课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011届高考数学第一轮总复习经典实用 2-5函数的奇偶性与周期性学案课件（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、基础知识基础知识一、函数的奇偶性一、函数的奇偶性1一一般般地地，对对于于函函数数f(x)，如如果果对对于于定定义义域域内内每每一一个个x，都都有有f(x) ，那那么么函函数数f(x)就就叫叫奇奇函函数数；都都有有f(x) ，函函数数f(x)叫叫偶偶函函数数，奇奇偶偶函函数数的的定定义义域域是是 (大前提大前提)f(x)f(x)关于原点对称的关于原点对称的2函数可分函数可分为为(按奇偶性按奇偶性)： 、 、 、 任任何何一一个个定定义义域域对对称称的的非非奇奇非非偶函数都可写成一个奇函数与一个偶函数的和，即偶函数都可写成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x) 奇函数奇函数偶函数偶函数既奇既奇且偶
2、函数且偶函数 非奇非偶函数非奇非偶函数3基基本本性性质质：在在公公共共定定义义域域上上，两两函函数数有有：奇奇奇奇 ，偶偶偶偶 ，奇奇奇奇 ，偶偶偶偶 ，奇奇奇奇 ，偶偶偶偶 (分母不分母不为为零零)奇奇函函数数的的反反函函数数是是 ，若若奇奇函函数数的的定定义义域域包包含含0时时，则则 .4图图象象特特征征：奇奇函函数数图图象象关关于于 对对称称；偶偶函函数数图图象关于象关于 对对称；反之亦然称；反之亦然奇奇偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶奇函数奇函数f(0)0原点原点y轴轴5判定方法：首先看函数的判定方法：首先看函数的 ，若，若对对称，再看：称，再看：f(x)是是奇奇函函数数f(x) f(x)f(x)
3、 图图象象 对对称；称；f(x)是是偶偶函函数数f(x) f(x)f(x) f(x)f(|x|) 图图象象关关于于 对对称称定义域是否关于原点定义域是否关于原点对称对称f(x)01(f(x)0)关于原点关于原点f(x)01(f(x)0)f(x)y轴轴6推广：推广：yf(ax)是偶函数是偶函数f(ax) f(x) f(x)关关于于 对对称称；类类似似地地，f(ax)f(bx)f(x)关于关于x 对对称称yf(bx)是奇函数是奇函数f(bx) f(x)关于关于 成成中中心心对对称称图图形形；类类似似地地，f(ax)f(bx)f(x)关于关于( ，0)中心中心对对称称f(ax)f(2ax)xaf(b
4、x)(b,0)7一些重要一些重要类类型的奇偶函数：型的奇偶函数：函函数数f(x)axax为为 函函数数，函函数数f(x)axax为为 函数；函数；函数函数f(x) (a0且且a1)为为 函数；函数；函数函数f(x)loga为为 函数；函数；函数函数f(x)loga(x)为为 函数函数奇奇奇奇奇奇奇奇偶偶二、函数的周期性二、函数的周期性1对对于于函函数数f(x)，如如果果存存在在一一个个 常常数数T，使使得得当当x取取定定义义域域内内的的 值值时时，都都有有 ，那那么么函函数数f(x)叫叫做做周周期期函函数数，非非零零常常数数T叫叫f(x)的的 如如果果所所有有的的周周期期中中存存在在一一个个
5、，那那么么这这个个 就就叫叫f(x)的最小正周期的最小正周期2周周期期函函数数 有有最最小小正正周周期期，若若T0是是f(x)的的周周期期，则则kT(kZ，k0)也也一一定定是是f(x)的的周周期期，周周期期函函数数的的定定义域无义域无 界界非零非零每一个每一个f(xT)f(x)周期周期最小的正数最小的正数最小正数最小正数不一定不一定上、下上、下3设设a为为非非零零常常数数，若若对对f(x)定定义义域域内内的的任任意意x，恒恒有有下下 列列 条条 件件 之之 一一 成成 立立 ： f(x a) f(x)； f(x a) ；f(xa) ；f(xa) ；f(xa) ；f(xa)f(xa)，则则f(
6、x)是是 函函数数， 是是它它的的一一个周期个周期(上述式子分母不上述式子分母不为为零零)周期周期2a若若f(x)同同时时关关于于xa与与xb对对称称(a0)，则则f( )_.解析：解析：f( )f( )又又f( )f(T )f( )故故f( )0.答案：答案：05(2009重重庆庆，12)若若f(x) a是是奇奇函函数数，则则a_.解析：解析：f(x)为奇函数，为奇函数，f(x)f(x)，答案：答案：【例【例1】判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性命命题题意意图图本本题题主主要要考考查查对对函函数数奇奇偶偶性性定定义义的的理理解解解解答答(1)由由 0，得得定定义义域域为为1,1)，不不
7、关关于原点对称，故于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数(3)当当x0，则，则f(x)(x)2(x)x2xf(x)当当x0时，时，x1，f(3)a，则，则()Aa3Ca1解解析析f(x5)f(x)，f(3)f(25)f(2)，又又f(x)为为奇奇函函数数，f(2)f(2)，又又f(2)1，a1，选择，选择C.答案答案C设设f(x)是是定定义义在在R上上的的奇奇函函数数，且且yf(x)的的图图象象关关于于直直线线x 对对称，称，则则f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)_.解析：解析：f(x)在在R上为奇函数，上为奇函数，f(x)f(x)，且有，且有f(0)0.又又yf(x)的图象
8、关于的图象关于x 对称，对称，f( x)f( x)，f(1x)f ( x)f ( x)f(x)f(x)f(2x)f(1x)f(2x)f(x)函数的周期为函数的周期为2，且，且f(1)0.f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(1)f(0)f(1)f(0)f(1)0.答案：答案：0总总结结评评述述：本本题题考考查查函函数数的的奇奇偶偶性性、对对称称性性、周周期期性性等函数性质等函数性质.【例例3】(2009朝朝阳阳模模拟拟)已已知知函函数数f(x)是是定定义义域域为为R的奇函数，且它的的奇函数，且它的图图象关于直象关于直线线x1对对称称(1)求求f(0)的的值值；(2)证证明函数明函数f(x
9、)是周期函数；是周期函数；(3)若若f(x)x(0x1)，求求xR时时，函函数数f(x)的的解解析析式式，并画出并画出满满足条件的函数足条件的函数f(x)至少一个周期的至少一个周期的图图象象解解析析(1)因因为为函函数数f(x)是是奇奇函函数数，所所以以f(x)f(x)，又又f(x)的的定定义义域域为为R，令令x0，则则f(0)f(0)，所所以以f(0)0.(2)证证明明：因因为为函函数数f(x)是是奇奇函函数数，所所以以f(x)f(x)又又f(x)关于直关于直线线x1对对称，所以称，所以f(x)f(2x)，即即f(x2)f(x)所以所以f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)f(x)所以所以
10、f(x)是以是以4为为周期的周期函数周期的周期函数. (3)解解：设设1x0，则则0x1，所所以以f(x)x，又又f(x)f(x)，所所以以当当1x0时时，f(x)x，即即f(x)x.又又因因为为f(0)0，所以当所以当1x1时时，f(x)x.当当1x3时时，3x1，则则12x1，所以所以f(2x)2x，而，而f(x)关于直关于直线线x1对对称，称，所以所以f(2x)f(x)，所以，所以f(x)2x(1x3)，则则f(x)则则f(x)总总结结提提示示(1)若若奇奇函函数数f(x)在在x0处处有有定定义义，则则f(0)0.(2)若若函函数数f(x)对对定定义义域域内内的的任任意意x都都有有f(a
11、x)f(ax)，则则函函数数f(x)的的图图象象关关于于直直线线xa对对称称，反反之之也也成成立立函函数数f(x)的的定定义义域域为为Dx|x0，且且满满足足对对于于任任意意x1、x2D，有，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求求f(1)的的值值；(2)判断判断f(x)的奇偶性并的奇偶性并证证明；明；(3)如如果果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且且f(x)在在(0，)上是增函数，求上是增函数，求x的取的取值值范范围围解解：(1)令令x1x21，有有f(11)f(1)f(1)，解解得得f(1)0.(2)令令x1x21，有有f(1)(1)f(1)f(1)解得解得f(1)0.令令x
12、11，x2x，有，有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)f(x)为偶函数为偶函数(3)f(44)f(4)f(4)2，f(164)f(16)f(4)3.又又f(3x1)f(2x6)3即即f(3x1)(2x6)f(64)(*)f(x)在在(0，)上是增函数，上是增函数，(*)等价不等式等价不等式组组或或即即 或或3x5或或总总结结评评述述：这这种种利利用用函函数数满满足足某某一一等等式式，判判断断其其奇奇偶偶性性问问题题，主主要要是是利利用用取取特特殊殊值值法法，如如本本题题中中可可令令x11，x2x，使使式式子子中中出出现现f(x)与与f(x)，然然后后再再一一步步步步地地考考虑虑还还需需
13、求求f(1)，f(1)，仍仍然然用用取取特特殊殊值值法法求求解解抽抽象象函函数数不不等等式式，主主要要是是利利用用函函数数的的单单调调性性再再结结合合函函数数其其他他性性质质脱脱去符号去符号“f”1奇奇偶偶性性是是函函数数在在定定义义域域上上的的整整体体性性质质，因因此此讨讨论论函函数数奇奇偶偶性性首首先先要要看看其其定定义义域域函函数数具具有有奇奇偶偶性性的的必必要要条条件件是是其其定定义义域域关关于于原原点点对对称称，一一个个函函数数是是奇奇(偶偶)函函数数的的充充要条件是其函数图象关于原点要条件是其函数图象关于原点(y轴轴)对称对称2奇奇偶偶性性定定义义是是判判断断函函数数奇奇偶偶性性的的主主要要方方法法之之一一，为为了了便便于于判判断断，有有时时需需要要将将函函数数进进行行化化简简，或或应应用用定定义义的的变形式：变形式：f(x)f(x) 3解解题题中要注意以下性中要注意以下性质质的灵活运用：的灵活运用：(1)f(x)为为偶函数偶函数f(x)f(|x|)；(2)若奇函数若奇函数f(x)在在x0处处有定有定义义，则则f(0)0.4函函数数周周期期性性问问题题应应牢牢牢牢把把握握周周期期函函数数的的定定义义，并并掌握一些常掌握一些常见见的确定函数周期的条件的确定函数周期的条件 请同学们认真完成课后强化作业
