《复变函数与积分变换课后答案(高教社、第二版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数与积分变换课后答案(高教社、第二版)（193页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、复变函数与积分变换课后答案（ 苏变萍 陈东立）高等教育出版社（ 第二版）武汉大学珞珈学院第 一 章 .2第 二 章 .38第 三 章 .86第 四 章 .108第 五 章 .153第一章第 一 篇 复 变 函 数第 1 章 复 数 与 复 变 函 数1 . 1 内容要点复数的各种表示法代数表示法：z二/+ i y .三角表小法；z = r （ c o s。 + i s i n J ） .指数表示法：z =2 .短数的代数运售及几何意义复数的加减法:向土 z ?=（ 福士比2 ） + K y i 九） .复数的乘法：2 1和二（ 犯犯- 力力） + ： （ 孙力+孙力） 复数的除法： 至/ 学
2、学 + 产 丁 受 （ 双 # 。 ） .Z2 42 + V1 %2 + 72定 理1两个复数乘积的模等于它们模的乘积； 两个复数乘积的辐角等于它们福角的和.定 理2两个复数商的模等于它们模的商； 两个熨数商的辐角等于破除数与除数的辐角差.3 .扩充复平面、 平面点集4 .复变函数的概念及其几何意义定 义1设 ，是一个给定的复数集， 如果有一法则/,对于每一个数x D ,总有确定的复数w和 它 对 应 .则 称 /是 。上确定的复变数函数（ 简称复变函数） .记作物- / G ） .数 集D叫做这个函数的定义域.5 .初等函数的定义及性质1 . 2教学要求和学习注意点I .教学要求牢固掌握复数
3、的各种表示方法及其运算， 了解区域的概念， 理解复变函数的概念， 了解指数函数、 对数函数、 幕函数和三角函数的定义及它们的主要性质.重点： 复数的运算， 复变函数的概念.难点： 初等函数中的多值函数的理解.2 .学习注意点( 1 ) 下面的证明过程错在何处？题目： 证 明 若ZZ2Z3 = 0,则Z |,Z 2，Z 3中至少有一个为零.证： 设 4= r * e ( A = 1 ,2 ,3 ) ,则Zi z2z3 = rt r 2 r 3 e 式 P = 0.C， 2 , 2中至少有一个为零，Z i，Z 2，Z 3中至少有一个为零.答： 证明过程的设是错误的， 当 z = 0 时， Z不具有
4、指数表达式.正确的证明为：若 Z 3 # 0,则 ZtZ2 = Z 1 Z2( Z 3 = ，若 3 2 K o ， 则 Z = Z Z 2 ， ；) = 0,故Z ,Z 2，Z 3中至少有一个为0 .( 2 ) 下面的解题过程错在何处？题目： 求益的全部单根.解 :85 = ( 23) = 2 1 = = = 土届答； 此解题过程在第二步到第三步的推导时出错了， 正确的是：在复数范围内( 2 3 - = 力 卷 = & 各 a = 0,1 ,2 ) .在实数范围内( 23) i = 2 2 .( 3 ) 下面的解题过程错在何处？题目： 设 z i = - 1 + V3 i , z2 = -
5、1 + i .求 a r g z j Z j .解： A r g z , z2 = A r g Z + A r g z j2 3=3 417 i- j 2 K + 2 47C ,1 7 a r g 2 jz2 = -7T. 2 答 ；一 氧 &rgZZ2 W八 ,J. aiK j32 =辞女是错误的.正确答案：由 Argzjzj = -吉江+ 2时,得7argzjz2= - 冠n.( 4 ) 证明：( a) Ln(i， ) = ( A + ! ) ”i = /L n i (A = 0, 1, 土 2 ,) ;(b) Lni?尹2Lni.i 、 i证：( a) ,/ Ln(i2 ) = iarg
6、( i2 ) + 2krti（ 2An + 彳） i,（ 2人第iLn(il) = Lni (& = 0 , l , 2 , ) ,(b) Lni2 = Ln( -* 1) = (2k + 1) 7ri,2J.ni = 2( 三 + = ( 4fc 4 1 rri,1 Lni2 # 2 Lni.1 . 3释疑解难1 . 复 方 程az2 + Az + c = O （ # z + e = 0 T所以若 M _ 4GC = 0 , 则bTa2 ,证 明： (a )若 Inz = lnr + i6 (弓兀) ， 那么Ini2 匚 21ni;( b )若 Inz = lnr + id( r 0 ,年久
7、 9 0,R e(Z2) 0时 ，ln( Z Z2) = Inz1+ Inz2 + 2km ( i = 0) 0 或 R e ( / 0 时 ，f argzj + aigz2, I aq z】 + aigz2 W n ，arg(zlz2) =.argZi + aigzj 2K, I argzi + argz? I 兀 .In I zj z2 = In I I + In I Z21 ,ln( zj z2) = Inz】+ lnz2 + 2 Airi ( k = 0, 1).当 R e(zi) 0 且 R e(zz) .In I Z Z2 I = In I z J + in I z2 ln(zjz
8、2) = Inz + inz2 + 2km ( A = 0, 1).综上所述， 对任何非零复数句和Z2都有In zj z2) = Inzj + Inzj + 2km (左=0. 1) .4 .求证：三个复数ZZ2， Z3成为等边三角形顶点的必要与充分条件是：Z； + Z； + = ZZ2 + Z2Z3 + Z3 的 .证 ： 三角形 Z1Z2Z3是等边三角形的必要与充分条件为： 向量互元绕Z 旋转 4 方 或 - 年得向量Z Z 3 , 即 Z 3 - Z i =(Z ? - z j e ” 或Z 3 - Z 1 73 . Z ? 一 句 1 73 . - 2 -=-5 72 * VZ 1 =
9、 Z ? - Z - - NV = ，71 ，两边平方化简得结论.1 . 4典型例题例 1将复数Y 化为三角表示式和指数表示式.-1 + 1解 ：= 1 - i . 1 1 - i l = V 2 , a i (l - i ) = * 4 * 二. +I 的三角表示式为:4 c o s ( - + i s i n(- ) ,的指数表示式为： 行e -久-1 + 1例 2若(l + i ) * = (l -i ) , 试 求 e的值.解 : 由 (l + i ) ” = (l -i ) “ 可得：2 * c o s 号 + i s i n 明= 2 * 8 管 + i s i n 钥,n n .
10、 -s i n = s i n - ： -4 4= = _ = + 2 E .4 4则得例 3n = 4k ( k为整数) .判 断 I m (z ) = l 是否为区域？答 ： 点集I z l l m (z ) = 1 1 不是区域. 因为此点集的每一个点都不是内点， 依照区域的定义知其不是区域.例 4判 断 I m (z )3 so是开区域还是闭区域， 有界否？答 ： 依平面点集部分有关开区域、 闭区域、 有界集和无界集的概念, I m (z ) 0为无界的开区域, I m (z ) =0 为 I m (z ) 0 的 边 界 澈 Im320 为无界的闭区域.例 5 如果复数a + i b
11、 是实系数方程aozn + 1 + + a “ _ 芹+ % = 0 的根 ， 那 么 a - i b 也是它的根.证 ：因为a0(2 )R + 5( 三) * + + a _ j Z + an=即 (Z ) + Q j (z i ) + + a “ _ i 与 + 4=a () za + a i z - 1 + + an_iz + a =aozn + a 1 2n * 1 + + % _ Z + a = 0,所以， 若z = a + 泌 为上述方程的根， 则其共扼复数乞=a-泌也为方程的根.例6为什么在复数范围内I c o s z l w L k i n z I这1未必总成立？答 ： 设z
12、= # + i y ,则c o s z = c o s x c h y - i s i nx s h y ,I c o s 2 I = v (c o s x c h y )2 + (s i n s h y )2二，(1 + s h2y ) c o s2% + s i n2x s h2y=v c o s2 JU + s h2y.当s h y 时 ， 有I c o s z I 1 ;当8 时J c o s z I f 8 , 所以， | 皿立| w 1未必总成立.同理I s in z I w 1也未必总成立.例7证明： 若z在圆周I z 1二2上 ， 那么-丁 ? - w,z - 4z + 3 3
13、证 ：|/ _4 / + 3 | / | / - 4Z2I - 3 n | / | _ | 4ZT - 3 = 3, 1 1 / - 4z2 + 3例8求 (- &+ &i吐的所有的根、 单根， 并说明几何意义.解 ： 所有的方根： ( - & + 扬 ) 孑 = (2 # +。 ) := + 4 ) ( A = 0, 1, + 2, ) .单根：加e糊 出 塔.几何意义： 半径为超的圆内接等边三角形的三个顶点.1 . 5习题选解1.1.4 证明：（ a ） = ： （ Z 1 。 ， 交工。 ） ；z z2 X1 z2（ l ） = 仁3 K 0 ,如 # 。 ） .Z3Z4z3 Z4让 ：
14、: - -, z* = ,忍2 ）2 21 Z. . .（ a） J_ = _ L .（Z2.X）=. = 1 .1;Zl?2 2Z z 22l ZfZ? Z2 为 Z21.1.5整数.( b )迫=(Z H2)( .Z3Z4 3 ZAI Z3 为_ n _证明：(Z| + Z2)* = Xd z f Y名 ， 其 中Z 1 , a为任意的复数， ，为正i = 0, 6 ,证：当n=1时， 等式显然成立.设4 = 小 时 ， 5 + z2r = 成立， 则人。当 “ =zn + 1 时，m( Z + Z 2)m“ = ( / + L名i= 0故结论成立. _ _ _ _ _ _1.1.7 证明
15、：( a ) z + 3i = 2 - 3i; ( b ) iz = - ii; ( c ) ( 2 + i)2 = 3 - 4i;( d ) l( 2z+5) ( V 2-i) l =7312Z + 5I.证：( a ) z + 3i = z + 3i = z - 3i;(b ) iz = 1, z = - z i( c ) ( 2+i)2 = ( 2T l)2 = ( 2-i)2 = 3-4i；( d ) l( 2z+5) ( 72-i) l = l72-iH2i + 5l =73I2Z +51 = 6 l 2 z + 5L1 . 1 . 8应用数学归纳法证明：当茂= 2, 3,时，( a
16、 )町+ Z2+ + Zn = /+ a+ + Zn； ( b )工i即4 = Z14 Z* 证：(a ) zi + Z2 = Z + 犯 .设 Zi + Z2 + + Zg = Z + 上 + + Z”，而Z； + 22 + + 2： + 或+ 1 = Zi + Z2 + + Zg + Z, + 1= Zi + 彳2 + + Zg + Z e+ ,二结论成立.( b ) ,/ ZX Z2 = N Z2.设 ZiZ2 = Z Z2 Zm，而Z lZ z -Z -Z g + i = 2IZ 2 ZE ZE + I = Zi Z2- Zm + i. 7 结论成立.1.1.9 证明：& lzlxlR
17、 e ( z) l +证：* / x2 + y2 2l x I I / I ,2( / + / ) 2 / + 2 1 % | | y | + / ，/. 21 z I ?注(I * I + I y I ,7 2 1 z I I R e ( z) I + I I m( z) I .1.1.10 证明： 当22，句为非零复数时，Z2I Z ? I I 的 I证：( a J - = r - *zi = ； t Z i I ,Z1Z2 x2 y lIzJZ 1 I Z1II 22的 I I 数 I I Z3 I1.1.11 证明；当I Z 3I KI Z 4I时， 不 等 式 恐 经 上 山 上 曳
18、 一 成 立 .Z 3+Z 4 5 1 -忆1Z1 + Z2Z3 +犯I Z I + 突 I I Z I + I 念 I1.1.12 证明： 当 I zl 1 时，| lm( l-2 + ，) | 3.证：| I m( 1 - z + z2 ) | = | I m( 1 - x + iy + x2 - y2 + 2x y i) |= y + 2x y y + 2lxf ly l 3 ( I z I 1) .1.1.15 证明：以即为中心， K为半径的圆的方程lz-z( j l =R可以写成:lzl2-2R e ( 0) + l z o - = m证 ：z - ZQ2 = (Z-Z0) (Z-Z
19、 Q) = ( z-z0) ( f -f0)=z2 - 2R e (五0) + I z012,以Z o为心，K为半径的圆的方程可以写为：I z I2 - 2R e ( 2ZQ) + I z0 12 = R2,1.1.16 证明： 双 曲 线 -尸 =1可以写成孑+尸=2., 8 ,证 ：, /4 2 7 2 = (/六 Z +一 52iZ? 十 + 2衣 + Z2 + z2 - 2点1.1.184z2 + /=2 ，双曲线x2 - y2 = 1可以写为：/ + / = 2.就以下各种情况， 分别求argz.(a)- 2z 二- :1+标 (b )z = -1 (c) z - (V3 - i)6
20、-/ 一解 ：2 Kargz 二 ;.3元, argz = 一彳；( C)W = ( e -i)6=2% 6( ,. argz =1 . L 1 9利用复数的三角表达式或指数表达式证明；(a) ( - l + i)7= - 8 ( l + i ) ; (b) ( l+ 7 3 i) -10 = 2 -, l(-l+ V 3 i).证 ：(a) (-1 + 3 )7 =屎7(第+ 2 % )= e - %= -8 (1 + i);(b) ( + H i) T 。 = 2 T %( 争 + 2。) ( - =2 - 4知I= 2 -” ( - 1 + 技) .1.1.20 证明： ( a) 1 /
21、1 = 1; ( b ) 3 = e - %(c) /./ , = ”# + %) = 2 ,3 ,) .证 ：( a) I e1 ? I = I co8& + isinB 1=1;(b) e = cos(9 - isin? = cos( -0)-(- isin( - 6) - el9 i(c) v e喉 嗅 = e 0, R e ( Z 2) 0,那么 a喀( z g ) = a rg z, + a rg z2.证：R e ( z() 0, R e (z2) 0,It 7 t K 冗- y a rg Z i y - y a rg a y - k a rg Z ) + a rg z2 l)x/
22、 a2 + 1结论成也.( b ) * . * = - / A,a = a r g( a + i) ) ,a , acos + is jn acos a = ,a / 1 + cos a I A + acos = 2- = 土 2A a /I - COSQ A - as m2 = 7Ae 2 = 土 石 (- / A + a + i A - a ) 1.2.3 ( a ) 证明： 二次方程a ? + 任+ c = 0( a # 0 ) 当 a” ,c为复常数时的求根公式是- 6 + v 62 - 4a cz = 2a ，这 里 庐 - 4oc # 0.( b ) 试用( a ) 的结果求方程?
23、 + 2z + ( 1 - i) = 0 的根.证 ： ( a ) , . 1 cw2 + + c = 0,4 a1 z2 + 4 a b z + 4 a c = 0,(2a z +6 ) 2= b2 - 4a c ,- b + J b ? - 4a c2a( i2 -4oc# 0) ,( b ) 方程 z 2+2z + ( 1 -i) =0 的根为z = - 2 + ，4 1g12= - 1 + 6 = -i + e ( T ) g ( 4 = 0,1) .1 . 2 . 4 设 z为非零复数， m = -建 为 负 整 数 ) ， 利 用 z= r/ 证明:(/ L =证 ：( z m)
24、T = ( r e ) m T = ( * ) - -= (/ =,六1.2.5 建立恒等式1 + z + z ?+ + Z * = 95 - ( 2/1) ,并导出1 - Z提示：关于第一个等式可记 = 1 + Z + 2 + + / ， 并 考 虑 s - z S.关于第二个等式可在第一个等式中令/ = /.证 ： 设 S = 1 + Z + Z ? 4 + z ,则S - z S = 1 - Zn+ , 12 n 4 -1若 记z = e匕贝J1 1( n 4- I + / + e29+ + e.=1二 ,e 一 寸1 - e 1 一 cos(几 + 1)8 - isiR( n + l)
25、 6 ( l - cos。+ isinB)( 1 - cos-A + sin-1 + cos0 + cos2d + + cos 7 11 - cusj - C O 3( R + 1 ) 0 + COsM2 - 2cos 62C0R8 cos n/? cog 8 + sinn sinB人.2 e4sn 42co ssin2 + 2in曲sin - cos -y+4 . 2 e -4sm 万121 . 3 . 2画出以下各种情形相应的闭区域的草图.(a) - ?r argz K (Z# 0 ) ; (b) IRe(z) I 0.解 ：(a )带 截 痕z = x (x w O )的 复 平 面 (
26、 图1.1.1)； ( f c) 整个复平面( 图1.1.2);图 1.1.1图 1.1.2 ) ( # - 1 ) 2 + 必1(图1.1.3)； (d) 1% 1 ( 图 1.1 .4)；1 . 3 . 3设S为由Izl 1和lz - 21 0, I y I 0,1y I 0 且 I 夕 I I 时， f ( z ) = g( z ) .1.4.3 写出函数/( 2) =炉 + 2 + 1 的 f ( z ) = ( 与， y) + ,y)形式.解 ： /( z ) = ( % + i y )3 + x + i y + 1二一一 3x y2 + 4 + l + i ( y + 3 % 2y
27、-,3 )1 . 4 . 4 设 /( z ) = ， - / - 2y + i ( 2% + 2即)， 写出/( z )关 于z的表达式.解 ： /( z ) = x2 - y2 4 - 2% yi + 2x i - 2y = ( x + i y)2 + 2i (x + i y)1.5 .2 求 z 的值 ( a)e ， = - 2 ； ( b ) ez = l + 73 i ; ( c) e2,l = l .解： / ” + 口汽x = l n 21 /=( 24 + 1)71,z = l n 2 + ( 2f c + 1)7i i ( i =O, 1, 2,);( b ) : 1 2 =
28、20 二 x = l n 2, y = 24 + y j TV,z = l n 2 + ( 2左 + ；)由 ( i = O, 1, 2,*);( c) * . * 2z - 1 = L n l = I n i + 2A7ri , 14 . 二 z 二5 + A： 7 t i 土L5. 3证明：2 2 2 . 2 2 . . 2 2 1证：；16 I = % ，.2可 ： | = / -， el z l =ex + r ,、 2/. I e2 l e121 .1.5 .4 证明：I e -? 0 .证：I e-2r I = e-2a ,J, 当 R e ( z )= * 0 时， l e ：
29、| ,反之， 要想I e -1 0 .I e -2M 0 .1.5 .5 证明：( a) e1 = ;( b ) e = e 当且仅当z = f e x ( 4 =0 , 1, 土2,).证：( a) e * = e1 ， r = e *( co s y - i s i n y) =： e *( co s y + i s i n y) = e *.( b ) / e “= / , el f = 7 ,/. - Z- ! +2kir,z = kn (k -0 , 1, 2,反之， 当z = A n时.e = 6痴 =( -1)3=即 = (-1)*,el z = ?7,e = e 当且仅当 z
30、= LT T ( A = 0 , 1, 2, ,).1.5 .6 ( a)若e ，为纯虚数，z有什么限制？( b )证明： 若 为 实 数 ， 则I m ( z ) =辰 ( = 0 , 1,2,).证 ：( a)当 =e ( co s y + i s i )为纯虚数时，co s y = 0 ,冗* * . I m ( z ) = A兀 + 5 ( A = 0 , 土 1, 2,).( b )设 z = % + i y,则当妇，= ex( co s y + i s i n y)为实数时,s i n y = 0 ,I m ( z ) AK ( 忠二0 , 1, 2,).1 57 证明：( a)
31、l n ( l - i ) = 4 t n 2 ；2 4( b ) L n ( - 1 + V3 i ) = l n 2 + 2(人 + ) 4 ( 及=0 ,士1,2,).W : ( a) l n ( 1 i ) = I n V2 - i = =l n 2 J i ;4 2 4 15 (b) Ln( 1 + 打i) - Jn2 + -yiti + 2k石= ln2 + 2( A + ；)7d ( A = 0, 1. 2 , 0, Re( z2) 那么l n ( 2逐2)= I % + l n z 2.证:由 1.1.22 知 Re( G ) 0,Re(Z2)0 时，包g ( ? l Z 2)
32、=包居，+ 名 工2 I n I z i Z ? I = I n I 肛 I + 1口 I Z 21 ,l n Z Z 2 = I n i Z Z 2 I + i arg ( Z Z 2)= I n i Z i I + I n I Z 2 I + i ( arg z i + arz2)= InZ + lnz2 .= In I Z I - In I z2 + iArgZ - iArgz2二 Ln z 一 IUDN2 ,结论成立.1.5.14 证明：当肛= 0, 1, 2 ,时，(a) (1 + i) = e+2* 加； (b) ( - 1)： =e修*l.证 ：( a) (1 + i) = c,
33、L n(14,) = J横+ 5 + 2F) = e( - ； +2n*)停9(b) ( - 1 ) n = e i, n (- =刖H = e片 f ( 0 , =0, 1, 2 ,).1.5.15 求值：( a ) ( l - i 尸； ( b) 仔 )解 ：(a) (1 _ j)4 = e4l-)- . n f2 - l 2 k = e(n-Hkn)e,2n2i( b ) 辛 -1 -V 5i)r =e37M若( - ,)=e3M(1-冬,+ 2.)= _ e ( 2_6D*：由 = e =证明：( - i+ 百 房 =272.( -1 + 百i)W = e如 岛)= e0成 + 争+
34、2 . ) _ e= + 3， e刎= 2/2.等式成立.证 明 :若 0 , a为实数， 那么1/1 = eo ln lj, = (2| _a _ ofLni _ a (In 121 -t+ 2km)Z c -C 1.5.16证：；1.5.17证 ：； 16 I I = e“nlzl = |z i。 .1 .5 .1 8 令c ,d和z(z#O )为复数， 若所有的寡均取主值,证明:(a) = x c ; (b) gezd z， * ”.证：(a) V z z-c = c = e = l, I tz(b) zCzd = e M edm = e( c+d)5z = z id .1.5.19 证
35、明：eu = cosz + isinz,证 ：右边二 巴 产 + i式 + 二 = = 左边，/ . 等式成立.1.5,20 ( f )证明： 2sin(zj + 宝谪武0- 司)=cos2z2 - cos2zi,证： 2sin(zi + zz)sin(zi -以 )-2=COS2Z2 - cos2zi/ . 等式成立.1.5.20 中的( a ) (e ),(g )可类似证之.1.5.21 证明：I sin 2 I2 = sin2 x + sh% ,并进而推出 Isinzl 毁【sin# ( .证： : sinz = sinxcosiy + uossiniy = sinxchy + icos
36、xshy,I sinz I2 = (sinjcchy )2 + (cos A; shy )2 = sin2x + sh2y ,/. I sinz II sinx I .1.5.22 证明；I shy I w si】 ？ W chy; I shy I iuosz I w chy.证： 由上题sin2x + sh2y = Isinzl2 = ch2y - co32x ,I shy I w I sinz I w chy .同理 I shy I w I coszl wchy.1 .5 .2 3 证明：cosz = 0当且仅当”( 4 + /卜,其中A为整数.证：T cosz = cosxchy - i
37、sinxshy -cosx = 0 且 shy = 0,z = x + iy= f t + j 7 ： (A =0, lt 2 ,-ag).以匕过程可逆， 故结论成立.171 .5 .2 4 根据复数相等的概念解方程.(a) sinz = ch4; (b) sinz =V2; (c) cosz = 2.解 ：( a) ,/ sinz = sinchy + icosxiihy = ch4 ,/. x - 2kit + y - 4 ,或bin欠= ch4 , y= 0(无解)舍去)./. z = ( 2 + ) 京 士 4i ( A 二 0. 1. 2 , . ) .(b) : sinz = si
38、nxchy + icosxshy =72f/. x = 2A?r 2 7 - -ln (& + l ) , 或&inx = A/ , y = 0 (无 解 ， 舍去).? = ( 24 + j TT - iln(V2 + 1) (A = 0t l , 2 ,r*,),(v) ； utn = cDsxch - isinxshy = 2,x = 2 ATT y = ln ( 2 + 6 ) ,或cosx = 2, y = 0 (无 解 ， 舍去)., 2 = 2t7r-iln(2+A/3) (L = 0 , 生1 , 土2尸 ,).1.5 27 证 明 ：sh shxcosy + ichsiny
39、iff : 右边二。 ： 与0 + icosixsinyi(cosijrsiny - sinixcosy)= isin(y - ix) = isin( - i)(x + iy )2 1. e - - 一e - ea - e- 1 .二】 一 = -y = shz,等式成立.1.5.25,1.5.26,1.5.28 可类似证之.1 5 2 9 推导公式:. ， Aiiliw = Ln ； -2 1 如即Arthz = Ln ； -.2 1 N1.5.30 计 算 ：( a) Arc tan(2i) ; (b) Arc tan( 1 + i) ； IS -y j 7 T + 4 -l n 3 (
40、人 =0 ,土1,土2, )；( c) Arch ( - 1); ( d) Art h ( O).解：( a) Arc t an ( 2i ) = - y L n( b ) Arc t an ( l + i )= 一 彳 L n ； ：= (上 + 1 )式 - -yarct an 2 + l n 5( f c = 0 , 土 1, 2,)；( c) Arch ( - 1)= L n 一 1 + - I )2 - 1=(2k + 1 ) m ( 4二0 , 1, 2, )；( d) Art h ( 0 ) = -L n ? = k m ( A = 0 , 1, 2, ).2 1 - U 19
41、第 一 早第2章 导 数2 . 1 内容要点1 . 复变函数的极限和连续的概念2 . 复变函数导数的概念和运算法则定义1 设/ (z)在包含z0 的某区域D内有定义， 如果. . / (z)- f (zo )lim - - - - - - - - - -Q z - Z。D 存在， 那么我们说函数f (z)在沏可导( 或可微)， 并称这个极限为函数w=/ (z)在 z0 处的导数， 记为/ (zo ). 即x . . / (2 )- / (Zo )j ( 匕 0 J = hm - - - - - - - - - -.l 、 Z ( (x,y) = - y均可微， 但不能由此推断/( z )的解析
42、性, 事实上，(Az + z) - zh m - -.lim - ,L O AZ此极限在A z沿 % = ()趋于0时值为- 1 ,在A z沿A r = 0趋于0时值为1,故此极限不存在. 即函数/ ( z ) = %在整个复平面上不可导， 不解析.从定理方面来看， 由于票=1，勺 =一 1， 即柯西- 黎曼方程是不成立的.d x d y3 3 3 3例如： 证明函数八Z)= 号二七 + i皇y(z六0)j(o)= o在原点满足柯西x + y x + y- 黎曼方程， 但在原点不解析(提示： 对! 叫号沿不同方向求极限).证 .4 =上3 1，+ 4x + y 4 + y故由二元函数偏导数的定
43、义得：d U .34a u万. . x - 0 , d v . x - 0 ,hlm。 x - 0n = 1, (ix = lim-o -x- - 0= 1,一 ,一0空 =lim 工-、=1.y - 6o y y-o y - 0. , 柯西- 黎曼方程在原点成立.而当2沿y = 0趋于原点时的极限为1 + i,沿丁 = / 趋于原点时j-*0 Z U 的 极 限 为 中 ， 故/( z )在原点不可导， 不解析.此题说明在使用函数解析的判定定理2时， 仅有柯西- 黎曼方程成立是不够的， 一 定 还 要 有 可 微 ,(5 )应用定理1判定函数不可导时, 应注意下面所叙述的情况.避免出现类似于
44、如下解题过程的错误.例如： 讨论函数/(z ) = / y+ 方夕的可导性.解：:含=2孙H言=2,函数f(z ) = / y + 2 iy在复平面上处处不可导.答： 此题的结论是对的， 但结论成立的原因是错的, 因为： 22 首先， 当xy = 1 时， 丁 = 文是成立的.dx oy其次， 由 20= 斐 = 票 = 2与 * 2 = 普 = -黑 = 0知柯西- 黎曼方程的两部O x oy dy dx分不能同时成立， 从而推出结论.下面的解题推导过程是正确的.例如：讨论函数/ ( z ) = i 2 y 的可导性.解 ：器得=2 ,函数/ ( z ) = i 2 y 在复平面上处处不可导
45、.答 ： 此结论的推导过程是正确的， 因为含六言在复平面上任何一点都成立 ， 不论柯西-黎曼方程的另一部分成立与否， 还是可微与否，定 理 1 关于函数可导的必要与充分条件都不成立， 故函数/ ( z ) = i 2 y 在复平面上处处不可导.( 6) 下面的题目用两种解法得到的结果为什么不一样呢？( 3 y ( y + / /X 的导数一( 0 ) .0 z = 1 3 y ( y - i 4 ) _ 0解 法 一 :；l i m W U )-(O)= l i m Y 一L O2 - v l。 x + i y一 一i / y u m - - - l。x + yx = r c o s S， =
46、 = n J、 . . r 2 co s% s i n 6- I) r c o s 3 j + 8加2 8= o ,w ( 0 ) = 0 .解法二：因 为 u / ( 0 ) =奈 I + ， 而X I ( 0 , 0 ) dX ( 0 , 0 )du _ 3 . 2 . 4( x3 + y2)2在( 0 , 0 ) 处无意义， 所 以 ( 0 ) 不存在.答 ： 第一种解法是正确的， 第二种解法因函数在z = 0处可导， 故 柯 西 - 黎曼方程成立， “ ( 工， , ) ， 工, y ) 可微. 鼠( * , y ) 与可微则u ( * , y ) 与 ( ” , ? ) 偏导存在，
47、但偏导未必连续， 只有偏导连续时， 才可先求偏导言再代入点( 0 , 0 ) .( 7 ) 下面的证明过程哪个地方出问题了？23题目： 证 明 函 数 雇 *为 调 和 函 数 .证 ：+ hy r = 2 - 2 = 0,爪工， y )为调和函数.答 ： 此证明的问题出在推导结论的条件不够充分， 依据调和函数的定义， 还需说明力( % , ) 具有连续的二阶偏导， 这一点在做题时常常被遗忘.2 . 3释疑解难1 .设 = % +， 证明：+ i y2) 04 i .L2I证： 因为 1 2靠 + i y2 - 4 i l 2 1 x I + I y2 - 41 = 2 I % I + l y
48、 - 2 1 l y + 2 1 ,所以若能找到正数7使得0 l z - 2 i l 3时， 有 2 1 x1 I y - 2 1 I y + 2 1 彳，则可推出结论.我们观察， 当l y - 2 1 i时， 有I y + 2 1 I y - 2 1 + 4 5 ,从而在 I y - 2 1 m i n , , 1 时,I y - 2 1 I y + 2 1 1 V * 4再 观 察 图1 . 2 . 1中， 在I x I 号，I 7-2 I 0 ,存在正数 6 - mi n 点, 1 ,当 0 lz - 2i l 8 时，1 2% + i y2 - 4i I e成立, 即Ii m( 2%
49、+ i y2) = 4i .L2,2 . 证 明 当z o不取到负平实轴和原点时有：li m a rg z = a rz0 证 ： 设z = 4 + i y , z o= X 0 - i y 0 , w = c os a rg z ”则欠 /a rg z = a rc c osw = a rc c os - - - - - - - - ( 0 w 盘么矣n ) ,5 A 2 + y2a rg z。 = a rc c os，舄+我 24 卜R和hm a rc c os , - - - - . = a rc c os / .卡 必 ， 说 + /即li m a rg z = a rg z。 .当
50、-n 0 ,三 8,当lz z l 3 时 ，f( z ) - 1 / ( 0 ) I I 0时 ，船1 ,当l zT。1功 时 ,成 立 ， 即0 1 / ( z ) l 0 , m 8 0 ,当 0 d71 0 ) 解析,3 v d x 3y 3 ( - y )3 u _ d_v _ a ( - v )S y d X dX( y 0 )( 0 ) ,( r 0 ) ,( r o) ,M ( 4, y ) , v ( , y ) 在 y 0和 y 0时均可微./ ( i ) = u ( % , y ) - i o( x , y ) 在 y 0 ( 下半平面内) 时解析.8 . 证 明 若 ”
51、是 U 在 。内的共甄调和函数， 那 么D在 ) 内 的 共 振 调 和 函 数Z. U .证 ：；”为 U 的共桅调和函数， 0 ,- 猿V 夕 0 ,y 0 内解析( 提示： g(z) = z力.证 ： g ( z ) = 4 e 号在定义域内解析， z? + l 在整个复平面上解析.由复合函数的求导运算法则知： 当 d+ 11 0,7targ(z2 + l)- n 时， 函数gQ2 + i) 解析， 即 在 / - J + lw 。且7 = 0 也就是* = 0 且 I y I 1 时 ， g(z2 + D 不解析 故 当 % 0 ,y 0 时 ， g(z2 + l) 是解析的.例4判断
52、下列命题的真假.若真， 试证之; 若假, 请举出反例.( a ) 若 广 ( zo)存在， 则 /( z ) 在 zo处解析;( b ) 若 Z 。 是 /( z ) 的奇点， 则 /( z ) 在即处不可导；( 0)若 u( * , y )和, y )的偏导数存在， 则 /(z ) = u + iv 可导.答 ： ( a ) 假命题. 28 例如；函数f(z)= lz |2在z = 0处可导， 但不解析.( b )假命题.例如：。为函数/ 0 ， m3 = , 当 力一/ o lw lz - z o ， 8 时 ，I Re( z) - Re( z0) 0 ， m3 = e ， 当 lz -0
53、 1 3 时 ，z2/z -Of o 当且仅当 li m/ ( + Az) = = w0.L 4 AL。证 ：/ Iim /(i) = wo,对 V 0, m 8 ,当 lz - Zol 3 时 ，1/( z) - w(f I O ,m),当 IA z -O I 8 时 ，1/( Zo + d z )一训ol E，lirr /( zo + ?) = w0.以上过程可逆， 故结论成立.2 . 1 . 5 若lim f(z )= 0且存在一个正整数M ,对Z。 某邻域内所有的数z都L，有 lg ( z ) lw M ,证 明：lim f(z)g (z)= O .证 ：o i /(2)g(2)- o
54、 i = ty(2)- o i ig(2)iM i/ ( z ) - o i,lim l/(z )g (z ) I = 0,flim /(z )g (z ) = 0.L%2 . 1 . 6 设zo为扩充复平面上的点， 证明：8当且仅当1加方、 =0. 进 而 计 算17和的值证 ：: = 8 ,:. 对v M ,m a ,当iz - zoi M ,i二 对 VE = 卷 ， 三3当lzz0( 8时,7 G)- Ilim 77x = 0.31以上过程可逆， 故结论成立.2 . 2 . 1 讨论/ ( z ) = 3 z = 2f： ： 2 z 的连续性对, 不连续的点修改或补充定义使之连续.解
55、：当 z 关土 2 i 时, 八2 ) 连续.当 z = 土 2 i 时, f ( z ) 不连续.3/ - 2 z2 + 12 - 8 3z & 2 + 4) - 2 ( 7 + 4), / h m - - - - - -5 - -； - - - - -= i i m - - - - - - - -j -l 土力 z + 4 l * 2 1 z + 4=( 3z 2 ) = - 2 6i ,N M = 21补 充 定 义 火 土 方 ) = - 2 6i , 使函数在z = 2 i 处成为连续函数.2 .2 .2 设/ + 一0 ,z 六0,z = 0 ,试证f ( z ) 在原点不连续.证
56、：当 y = 时，r W v f e e ? k11R1 , 11111 zj n fy n ,L O x + y l。x + k x k + 1A / ( N ) 在 Z 沿不同直线方向趋于。时 J ( Z ) 的极限值不相等,/ ( z ) 在 z = 0 处不连续，2 . 3 . 1 应用导数定义讨论下面函数的导数存在否？(a ) / (z ) = R e ( z ); (b ) / (z ) = I m (z ).解 ：(a ) ； f(z ) = R e (z ) =l i m = l i m 掾 至SLO A z LO A*-O Z 1 ( , * - 1 八= h m - I 1
57、 + T - 7 Tx ,3， s)t)2 4 Jx + i y /当沿* =0趋于0时 ， 上面的极限值为0 ； 当 A z 沿 = 0趋于。时 ， 上面的极限值为1 ,故 / (z )在任一点导数不存在.(b )用类似于(a )的方法可得:/ (2 ) = I m ( z )=在任一点的导数不存在.2 . 3 . 2 证明： 函数 32 -2f丁 ， Z 六。 ，0, z = 0 在 2 = 0 处不可导.rr r /(z ) - /(0 ) 5/ME : / hmd 久-。hm = = hm - I ,L O z j U L O N l。 z /当 Z沿 尸 以 趋 丁 。时 啊 仔 )
58、2 = (： 是)2,. 极限1 加 刈 二 不 存 在 ， 函数在Z = 0 处不可导.LU Z - U2 . 3 . 4 应用求导法则证明： 多项式函数P (z )= a o + Q iZ + a 2 z 2 i- + a (an # 0, n 1)处处可导， 且 P ( z) = aj + 2a2z + 3a3z2 + - + nazn 1， 并计算， (z) = ( l - “)3 的导数.证 ：当 n 为有限数时， 重复应用函数和的导数等于导数的和的运算法则可得 ：P ( z) = i + 22Z + 3a3z2 + + 硼 /1 -1，广 (z) = (1 -4z2)3， =3(1
59、 - 4 /)2 ( 一 8z) H -2 4 z(l -4 z2)2.2 . 3 . 5 设 / ， (z)存在， 试推导， ) .证 ： 设 w = J ),则%z)Lnc= W r (z)Lnc,2 . 3 . 6 推 导 Archz的求导公式.证 ： 设 切 =Archz,则= (shw),1 = ( ch2 w - 1) - 2 . 3 . 8 验证函数 w = xe*cosy _ yexsiny + i( ye*cosy + *esiny)满足柯西-黎曼方程.解 ：* / w = xecosy - yesiny + i(ye*cosy + xe,siny) = ze* 为解析函数，
60、- 3 3柯西-黎曼方程成立.2 . 3 . 9 讨论下面函数的可导性， 如果可导， 求出f (z ).(a ) / (z ) = / + i / ； (b ) / (z ) = z l m (z ).解 ：(a )(b ) V.红 2 、 - - 0 迎 - 0 = 2v- d % 2 X t d x V, d y d y S且这四个偏导连续， 当 y=x时柯西-黎曼方程成立./ (z )仅 在 y =霁时可导， 且 / (z ) = 2 %./ ( z ) = (% + i y ) y = x y + i y2 ,3u d yo六x =, ，d六x = 0 ,d u =X且这四个偏导连续，
61、 当y y - 西 = 2 y ，% =0时柯西-黎曼方程成立.2 . 3 . 1 0/ (z )仅 在 z = 0时可导， 且 广 (0 ) = 0 .证明以下各函数在任一点处不可导.(a ) y (z ) = 2x + x x y1;(b ) / (z ) = 2(c ) / (z ) = eze证 ：(a ) / ( z) = 2x + i x y2,d u _) 3P 2石石,柯 西 -黎 曼 方 程3 U d vd x 一 3y奈 =0, = 2 号,o y d y3 u d vd y d x不成立./ (z )在任一点处不可导.(b ) f(z) = 2 y i , 要 = 0 ,
62、 票 = 2 ,o x o y/.柯 西 - 黎曼方程在任一点不成立，/ (Z )在任一点处不可导.(c ) / ( z ) = e * (c o sy - i si n y ),k d v ,五 : e c o s y , 技 =-e si n y ,3 u 幺 . 3 1 ；西 =-e s my, 西= 一色 c sy .又 / si ” 与 c o sy 不可能同时为0 ,即柯西-黎曼方程不成立,/ . / Q ) 在任一点处不可导.2 . 3 . 1 1 证明以下各函数的/， (z ) J(z )存在， 并求之.(a ) / (z ) -iz + 2; (b ) f(z) = e *
63、* e (c ) f(z) = c o sx c h y - i si n Jtsh y . 34 证：(a ),(b ),(c )中/ (z )分别为解析函数:i z + 2、e-、c o sz ,故它们均具有二阶导数， 且(a ) f r(z ) = i ,(b )/ (z )= - e (c ) / r ( z ) = - si n z ,/ (Z )= 0 ；广(z ) = e/ ( Z )= - co s z.2 . 4 . 1证明/ (? ) = (2 2 -4 )(2 2 + 4 )在定义域内解析， 并求当了 = 1 ,2 ,- 1 + 2 i 时 f (z )的值,证：v /)
64、 = l i m =A z/ (z )在其定义域(整个复平面上)解析. 且f ( D = 4 ,广 = 3 2 ,广 =-4 i ,广 (-i ) = 4 i ,广(1 + 2 i ) = - 4 4 - 8 L2 . 4 . 4 证明：(a ) l n (z -i )在除去直线y = l (%w 0 )的复平面上处处解析；(b )函数与土2在除去点z = 和实轴上，W - 4的点后的复平面上处处解析.证：(a ) V l n (z - i ) = I n % + (y - 1 ) ,而 I n z = l n (x + y i )在除去负实轴和原点的复平面上解析，I n (z -i )在除去
65、y = 1 (* W。 )的复平面上处处解析.l n ( z + 4 ) _ l n ( 4 + 4 + y i )z ? + i x2 - y2 + (2x y + 1 )i 当冗W - 4 , y = 0和z 2 =- i时函数不解析， 即函数在除去点z =与 和 实 轴 上X W - 4的点后的复平面上解析.2 . 4 . 5由 函数解析的必要与充分条件证明： 若2 = / ( z )为D内的解析函数， 那么 si n . / ( z ) , c o s/ ( z )在 D 内解析， 且 , 詈 =c o s w si n w .证 ： 设 t = / (z )= u + i u,si
66、n / ( z ) = si n ( u + iv) = si n w c h v + i c o sush i ; = t/ + i F ,d x d xc o s i t - 81 n M sh v + c h v c o s u 1 3 y J y3 yd y d yiid u= 8LQU 8ht 丁 + CnU CO8U* ,o x d xa u a v二五书，同理， 患 =- 差 ， 且这四个偏导数连续. 35 s in f(z )解析， 且s in /(2)=乩 + i匕即d&in w 1 a it . 3 u- - cosu*ch? 丁 + shv *sinu +dz d兀 ax
67、s i w s 3 孕 +dxd w= cos w -r ,dzr=ixm dcos缈 . dwH S i - 7 - = 一 丁- az dz2.4 .6 证明：e s iM ,c o s)在复平面上任一点都不解析.证 ；e ,由习题2 .3 .1 0 (c)可得结论.丁 sinf = sin( * - i y ) = sin A; ch y - whycosx ,d五u :cosjrcLh y, g = sLh y s.in % ,、 L a期sinxshy t 西 = -chycosx.且这四个偏导数连续. 要想柯西-黎曼方程成立， 需cosjr = 0 且 shy = 0，即力之左 ”
68、 +左 , , =0.sinz仅在离散点z = 十 / 处 可 导 ， 在整个复平面上不解析. 同理可 得cosz在整个复平面上不解析.2 . 4 . 7 讨论下面各函数的解析性.(a) f ( z) = X3 + 3x2yi - 3%y2 - y3i； (b ) / ( z ) = ,彳二,4(y 0 )；x + y( c ) W S3l ； ( d ) ( e )功=g,解 ：(a) =3 - 3町, v 3x2y - y3 9且这四个偏导数均连续./(2) 解 析 且 / (2)= 3 ( / ，) + 6xyi = 3 J .(b ) ,: f ( z = : - =cos 一 is
69、in ),1 A 1 0u = cost/, 一 一,r r且这四个偏导数均连续.36(c) (d)( e) v ( z ) 解析且 f (z) = e- 冶( 需 + 券 )= -p .x -b iy切= 3 ( ， + / ) d u y2 - x2 3 v x2 - y2蒜 = 3 ( / + , 2 ) 2 , 万 =3 ( 炉 + 乃 2 ,d u 2 x y 2 町豆 = ( 炉 + /)2,五 = (+ 产 2 ，, 此函数在整个复平面上不解析.(x2 + Y2) ( X + iy ) zW= 3 ( ，+ /=丁 ， 此函数在除去z = 0的复平面上解析.1 -( z + A
70、z _ 1 一 4 w = 1 + ( z + A z ) 4 - 1 + z ，= - 2 ( 2 z + g z 2 +( Z L AZ)2 z 一 A z - l + ( z + z )4( l + z4). . - 一 82 3蚂方= ( 1 + zf此函数在除去z 4 = - 1的点外的复平面上处处解析.2 . 4 . 9 若函数/ ( z ) 在区域D内解析， 且满足下列条件之一， 试证/ ( z ) 在D内必为常数.( a ) 穴 ) 在 力 内 解 析 ； ( b l/ ( z ) l在 。内为常数;( c) R e/ ( z ) 或 In江( 了) 在D内为常数.lit :
71、( a ) * . * / ( 3 ) = M - z ) = + it ?在 Z ) 内均解析，. d u 3D ( 9 v 3 u 3 v 3 v我 =一 五 = 而 ， 用 =祓 二 一 五 ，u = C i , V = C 2 ( J， 。 2 为任意实数) ，/ ( z ) = c( c 为任意复数， z D ) .( b)F/ ( z ) I = u2 + v2= /月 8 = 篙+位在/ ) 内解析,f ) vd yu _ 红Xd y a 尤 ,U = = C 2上任一点处切线斜率4 2 =票 = -d u V d u 3祓 =可 ？ 药 = - 五 ，dv 3力, k k2-
72、- -4 - - . 票 = 一 1 , Vy J _ dy dyOx Sy( # , ?) = ci， ” ( * , y ) = C 2 两曲线族正交.2.5.1 证明下面各函数满足拉普拉斯方程.( a ) u = e* y s in2 x y ; ( b) i t = R eL n(证：( a ) uxx + ury = 占 - ，( 4 / _ 4 y 2 + 2 ) s in2 % y + 8x y co s 2 % y 2 2-e，- ，( 4 / - 4 y + 2 ) s in2 * y + 8町co s 2 # y =0 ,满足拉普拉斯方程.( b) , J u = R eL
73、 n( z - l) =lnlz - l| =ln( x - l)2 + y2,& _y 2 - ( 尸 ( - . 2% + % 一 ( * - 1 ) 2 + / 2 + ( 1 _ 1 ) 2 + 内2 =0 A电( * , 7 )满足拉普拉斯方程.2 . 5 . 2证明下面各函数为任意区域的调和函数.( a ) u = s inx s hy ; ( b) v = co s 2 % s h2 y .证 ：( a ) , / 忆 + “ = - s inx s hy + s inx s hy = 0且 “具有连续的二阶偏导数，/ . u ( 4 , y )为调和函数.( b) , 1 k
74、+ = - 4 co s 2 x s h2 y + 4 co s 2 x s h2 y =0 且 “ 具有连续的二阶偏导数，八,y )为调和函数. 38 2 . 5 . 3 用 X 和 y 表 示 Re( 2 ) , 并说明这个函数为什么在不包含原点的任何区域内为调和函数.1解 ：f Re(e”) = R e ( e * = R e ( J )- e t cos 7 -;x + y上在zKO时为解析函数，Re(e5)在除去原点的任何邻域内为调和函数.2 . 5 . 4 用两种方法证明函数ln(x2+ /) 在复平面上不含原点的任何区域内均为调和函数.2 _ 2 2 _ 2证 ： 方法一 uXK
75、 + u) y = 2( . ； - 彳 ) ,+ 2( X2 = 0 且 乂 在 z 壬。时具有连续的二阶偏导数，, y) = ln( / + / ) 为调和函数.方法 二 设 /(z ) = + = ln( x2 + y2) + i2arctan 上, 则x3 2x ()v 3比 2y菽二/ 7 7 = 打 药 = / + / 二 一五，而且当Z#O 时 ， 这四个一阶偏导数连续. 故/ ( Z) 为解析函数， 其实部为调和函数.2 . 5 . 5 证明： 若 ，为u 的共扼调和函数， 并 且 “亦为u 的共扼调和函数， 那么 u 和 ” 必为常数.证 ： ”为 的共拆调和函数，. c ?
76、 u V 0 U dv 5 x y5 y d x *“为 ”的共辄调和函数，d v 3 u 3。 ? udx 五 二 一 祓 ，, 3 山 3 u f I 八， av ， a *. 1 1,， 厂股，Oy dx - U ,/. u ,“ 必为常函数.2 . 5 . 6 证明： 如 果 v 和 P 都是“在 D 内的共匏调和函数， 那 么 u 和 1/仅相差一个任意常数.证 ：Y 八 V 均为u 在 D 内的共躯调和函数，/(z ) = + i” ， g(z) = u + iY 在 D 内解析， 则 y 和 y 均为如下形式 39 r(“ )一 uyd x + uxd y + c ,J ( o
77、)故v和y仅相差一个任意实常数c.2 . 5 . 7设/ ( 2) = ” ( * 3 ) +五 ( * ” 为D内的解析函数， 阐述函数U(x ,y )= eU( 3) c o sv (x ,y ),P ( 4 4 ) = e 2 ) sin v G， 夕) 亦为 D 内的调和函数， 且 V 为 U的共扼调和函数.解 ： 设 F (z) = / + i V = eW ， ) oosv(x, y ) + ie， *% in” ( %, y) = e* ,/ w + i”为 。内的解析函数，复合函数尸(z) = e 7为 。内的解析函数，V为U的共轲调和函数.2.5- 8 设/( z ) = u
78、(% ,y) + i (* , y )满足条件： f ( x + iO) = e* ,/( z )为解析函数且对任一点z有# ( z ) = / ( z ) ,根据下面的叙述证明： f ( z ) = ex(cosy +isiny).( a )在得到uz = urvx = v后证明存在关于y的实值函数中和心使u = 卬( , ) ,v = e， S ( y ) ,( b )应 用u为调和函数获得方程p(y) + a( 父 = 0 ,因此得 p y ) = A co s y +R siny,这 里A和8均为实数.( c )随后有相应的 3 ( y) = 4siny - Bcosy， 应用 u (
79、x t0) - iv(x ,0) = ex 求出力和 8 得结论： u(x , y) = e,cosy 和 , y) = exsiny.证：丫 广( z ) = /( z ) ,Ux = U , Vx = V .由此的” 微 分 方 程 解 得 ：u = 6t p( y ) , v = ex0 (y ) 1, / ( z )解析， 故u为调和函数， 即% , + 口 仃 =e 0 ( y ) + e W ( 7 ) = 0,解微分方程g(y) + 3 ( /= 。得(p (y ) = A cosy + Bsiny,u( x t y ) - e*( 月cosy + Bsiny).同理可得。 (
80、力， , ) = e( Ccosy + Dsiny) .3 u d vA x d y 9J, ea (A co y + Asin/) = ex ( - Csiny + Dcosy).3 u d v,a , - d % 40 ex ( - Asiny + Bcosy) = e ( Ccosy - Dsiny),/ . 。 = 4 9 C = 8 .x , y ) = ex( 4siny - Bcosy) . /( + iO) - a(x,0) = = /4etv(x,0) = 0= 8e”,. 二 A 1,5 = 0,u (% , y ) = cosy, v( x , y ) 二 exsiny.
81、, f(z ) = ex(cosy + isiny ).2 . 5 . 9 证明以叫, ) 为某区域内的调和函数， 并求出它的共扼调和函数.(a) u(x , y) = 2x(1 - y) ; (b) iz(x , y) = 2x - x3 + 3y2；(c) , y) = shxsiny; (d) u( %, = j.% + y证 ：( a) : 小 + “ 抄=0 + 0 = 0, u 具有均连续的二阶偏导数， . u( 4 ,7 ) 为调和函数， 与之相应的共轮调和函数为：v(ac,y) = J( ) - urdx + uady + c= 2%d/ + 2( 1 - y)dy + cJ
82、( % ， )= x2 + 2y - y2 + c (c G R).(b) %, + U yy = - 6x + 6% = 0, u 具有连续的二阶偏导数，M (% y ) 为调和函数， 与之相应的共匏调和函数为：f ( a y) = - urdx + %dy + cJ (。 ) 小, , )=- 6xydx + (2 - 3 y + 3夕)dy 4 - c ( 、， 与 )= 2y - 3x1y + y3 + e (c E R).(c) / k + - = shxsiny - shxsiny = 0, u 具有连续的二阶偏导数,w (x ,y )为调和函数， 与之相应的共扼调和函数为：v(
83、x , y) = I urdx + uxdy + c二 I - shxcosydx + chxsinydy + c (o)= - chycosy + c ( c R )(d) -/_ 6 / y _ 2y3 2.3 _ 62y _ n忆 + U- = ( x2 + /) 3 + ( x2 +/) 3 = 0现在Z a 0 时具有连续的二阶偏导数，41u ( x ,y ) 为调和函数， 与之相应的共施调和函数为:k ， r )( % % )I % , )v (x7y)- uydx + u,dy + cy2 x1 j 2xy_,2 2、 2d力 一 / 2 22y + Cx + y) (x + y
84、 )xX 2 + y2 + C(c R).2 . 5. 1 0(a ) u =证明下面u 或少为调和函数， 并求解析函数八z) = u - 2 ,x3 - 3%y2;(b) u = x2 - y2 + 2x ；( C) U = 2 ；x + y(e) u = 2esiny;(f ) = 2 %7 + 3 r ;(g) v = ： 7-j ； (h) v - arctan 2(% 0);(x + 1) + y x(i) v = ex(ycosy + xsiny) + 欠 + y; (j) v = - r = 0常 + y证 ：( a W e ) 证明及求解“明夕) 的方法如2 .5 ,9 题.(
85、f ) . % +夕疗=0 + 0 = 0 ,力 和 u 具有连续的二阶偏导数，.二 v ( x .y ) 为调和函数， 且u( x 9 y) = vvdx - rrdy + crr ( * , y )= I 2Kd4 - (2y + 3)dy + c=/ _ y 2 - 37. + ,/( 2) = u(x + iv(x , y )= x2 y2 + 2xyi - 3y + 3ix + c= z2 + 3iz + c ( c G R) .(g) V2/ - I” 0 + )2 1 4,(# + 1 )2 - 2 y3& * % = (* + 1尸 + 丹 +黄 + i ) 2 + 3 =在分
86、母不为0 时具有连续的二阶偏导数， ， ( x y ) 为调和函数， 且r(* *) ( 欠 ,y) = 产 d% 一 %dy + c) y2 _ (% 4- I)2 , 2(x + l)y . hVrw) (x + l)2 + / 产 一 ( # + 1)2 + 力 2d八 c4 + 1n / TVJ 2 + C,(x + 1) + yf (z) = u (x ,y ) + iv( x ,y ), 42 - y在分母不为o时具有连续的二阶偏导数,/ . v(*/为蠲和函数， 且 ( 2 )u ( x , y ) = vyd x - vxd y + c ( % ， % x 1 y ,= -5
87、- jd x + 5 ( l y + eJ ( W )力 + 尸 * + y= l n( x2 + y2) + c,: . / ( z); u ( x , y ) + = I n V x2 + y2 + i a r c t a n 上 + cX=I nz + c ( c G R ) .( i ) D划 + vy y = ex( y c os y + x s i ny + 2 s i ny )一e * ( y c os y + x s i ny + 2 s i ny ) = 0,具有连续的二阶偏导数， v(x . y )为调和函数.且r(,y)u ( x , y ) = I uvd % - %
88、d y + cJ ( ，飞 ) = ex( c os y0 - yos i nyo + 常c os y。 )+ 1 d z%- e ( y c os y + x s i ny + s i ny ) + 1 d y + cJ %= x( x c os y _ y s i ny ) + 4一y + c ,f ( N )二 u ( x , y ) + i v( % , y )：=e i ( x c os y - y s i ny ) + 夕 一 y + i ex( y c os y + ns i ny )+ x + y 4 - c = z e + ( 1 + i ) N + c ( c W R) .
89、G )一. % 6炉7 _ 2 y 3 2 3 3 - 6 .2 y A+ % = (/ + ,2 ) 3 + + ,2 ) 3 = ，。 在分母不为0时具有连续的二阶偏导数，/. v(xf 7)为调和函数， 且u ( x , y ) = Vy d x 一 也d y + c( ， ， 为 )43 44 _ x _2 2 +x + y12，f ( z ) = yN r第 二 早第3 章 积 分3 . 1 内容要点1.复变函数积分的定义和计算方法定义1设/ ( z ) 为定义在以殉为起点， Z为终点的简单曲线C上的连续函数, 把曲线用分点20,Z1,Z2f 2n-ln = 2分成“个弧段， 这 里
90、2k(k = 0, I , , ) 是曲线C上按照从Z 。 到 Z 的次序排列的， & 是 到 的 弧 上 的 任 一 点 , 如果不论对C的分法和对& 的取法， 当分点无限增多， 而这些弧段长度的最大值A趋于零时， 和式 / ( 盘) ( 现- 劣 )& = 1的极限惟一存在， 则称此极限为函数/(z ) 沿 曲 线C A z o到 Z的积分， 记作f /(z ) d z , 即J cJ j(z ) d z = -祢- /积分| c， (z ) d z 的计算方法：若曲线Cz ( t ) = x( t ) + i y ( t ) (a wt 这分段光滑J (z ) =晨明夕) + i v(#
91、, y ) 在 C上分段连续， 那么J J (z ) d z = J u d x - vd y + i j t ; d * + u d y ,以上两式我们常用来计算积分.2.枸西积分定理及其推广定理1 (柯西积分定理) 设C是一条简单正向闭曲线J (z ) 在 以 C为边界的有界闭区域0 上解析， 那么I /(z ) d z = 0.J c定理2 (柯西积分定理的推广) 设D为由外线路C 。 及内线路C,C2, -t 45 C 围成的有界多连通域J (z ) 在多连通域D内及边界线G ， G ， C 2, ， C n 上解析 ， 那么/(2) d = 0.J c这 里 C为多连通域。的所有边界
92、， 其方向是C 。 按逆时针方向取， C * (4 = 1, 2,， 冗) 按顺时针方向取.3 . 柯西公式定理3设 八 z ) 在简单正向闭曲线C及其所围区域。内处处解析， Z 。 为D内任一点， 那么小 。 )=乱.窗d z ,此式称为柯西公式.4 . 解析函数的高阶导数定理4设 /(z ) 在简单正向闭曲线C及其所围区域0 内处处解析，ZQ为D内任一点， 那么尸 )5 )=用, 之+ ,2TUJ c (z - z 0) + i这 里 u = 0, 1, 2, .3 . 2教学要求和学习注意点1 . 教学要求正确理解复变函数积分的定义， 了解其性质， 会求复变函数的积分. 正确理解柯西积分
93、定理, 掌握柯西积分公式和高阶导数公式， 了解解析函数无限次可导的性质.重点： 河西积分定理及其推广， 柯西公式， 解析函数高阶导数公式.难点； 柯西公式， 解析函数高阶导数公式的证明.2 .学习注意点(1) 下面求解积分的过程错在何处？答 ： 错在第二个等号后. 正确的是: 46 *fd z _ J _ f z - 2 , 1 ) . 1J| T I = I (2 4 l ) (z - 2) = =爹口 T2 + 2 22 .= - K i .这样的错误是时常发生的， 应当引起注意！(2) 计 算 N d ?. 这里曲线。为2 = * + 1 万 二7 rJ Ci( - 1 W * 经1)
94、, 方向分别取逆时针和顺时针方向(图1. 3. 1) .(rC -1 。 1 X解 ： zd z = i e - % % 8J C J c卜 M (汨，逆时针； 图1. 3. 1= Q d d = 力 顺 时 针 .此题在求解的过程中应特别注意上、 下限的正确性.(3) 等式 R e jc/(z ) d z = I _ R e /(z ) d z 成立吗？答： 不成立. 如/(z ) = z , C ： z = i t (0w t W 1) 时， 等式的左边=， 右边=(4) 设/(z ) 在单连通域D内处处解析， C为。内任一条简单闭曲线， 问c ， R e /(z ) d z - J I
95、m /(z ) d z = 0成立否？如成立， 请证明之； 如不成立， 请举例说明.答： 不成立. 如/(z ) = Z , C ： I z I = 1时，R e /(z ) d z = i r i , / I m /(z ) d z = - ? r i .J cJ c3 . 3 释疑解难1. 设 /(Z ) 在原点的邻域内解析， 那么I i / (r e % d 8 = 2K/(0 ).证： 设 z = r e , 则= l i m f， * o J o LQJ I s r 1Z=竿, /(o ) = 2T T/(O ). 47 2. 计算下列各积分， 积分路径为任意曲线.r、d z 1 3
96、+ 2 (a ； - y ; (b ) a z.J a ZJ o Z - E并说明积分路径为什么不能过z = 0及 z = L解 ： ( a ) f = _ 1 _ ;九 Z ? Z a a b心( b )俨.3.z. .+-2d,z =b(a 3 +-5- - - , d z = a3 (5 - a )、 + 5rL n6- - -1r.Ja z - i J z-lf a - 1因为计算题目所采用的方法要求被积函数在单连通域内解析， ( a ) 、 ( b ) 中积分路径不过z = 0 , z = l时， 便能满足上述要求， 即可采用积分值与路径无关， 仅与起点和终点有关的定理来求解.3 ,
97、 设 / ( z ) 在 0 i z - a R内解析， 且 f ( z ) 在 z = a处连续， 证明: / ( z ) 在圆 l z - a l 0 , 三合， 当 I r - a l 8 时， 1 / ( 工 ) - 小 ) 1 .又 ： i2 K i/ ( a ) - = | - / ( a ) .IJ | f - a l = r 5 a I J I f - 1 = r 。一。( r / ? ) ,取其中人为1 E 整数， 则K -2 7 ti/ ( a ) - f 0 - d ? - 2 n T- = 2TTE k由于上式左边为一常数， 而 E为任意取定的正数， / ( a ) =
98、用2n i J|S - a 、由解析函数高阶导数公式的证明过程可知：广 ( 。 )=总、2d L. ， 函数/ X z ) 在 z = a处可导， 在圆l z - a l R内解析.4 . 通过函数/ ( z ) = / , a = 0 , 6 = l + i对下述结论进行验证： 若 f ( z ) 在区域D内解析， C为。 内以明 6为端点的直线段， 则存在数乂| 川wl ) 与 点 E G C使得 ：f(b ) f(a ) = l l l ( b - a ) 尸 .验证： 对函数/ ( z ) =/， 端 点 a=0 = l + i要使/ ( 6 ) - / ( a ) = 1 ( 6 -
99、 a ) 广 ( f )成立， 即, 48 成立， 其 中I W1， O a I.利用复数相等的定义知， 若取：a = 0 . 5 8 3 2 9 , A = 0 . 5 8 6 6 9 ,上述结论成立.5 .如果八z )在iz l 1内解析， 并且w 厂 ，, 证明：I - I 2 II . ( 4 + 1 ) ! ( 1 + ；) e( n + 1 ) ! ( n = 1 , 2 , ) .( 提示: 考虑/ ( z )在I z l =%上的积分. )证： 因为八Z )在 【z l ( 7 - )J I r I = 3/2 ( Z - l ) ( ? + 2 ) J ” | = 3 / 2
100、 ( Z 1 ) z + 2 ， j = 14 .= ejn.这 里 曲 线 I z l = 3 / 2 只 围 住 了 被 积 函 数 的 一 个 不 解 析 点 l , z - 1的 次 方 为 2大 于 1 , 故用高阶导数公式求解.例4计 算 ?一 : ; 八d z .J ui = 3 （ % l ） （ z +2）解 ； L x （ z 品 + 2 产= ） / 2 （ z-lX2 + 2 ）d 2 r +j| 2 l = 1 / 2 （ Z - 1 ） （ Z + 2 ） z + 2 1- - - -rd z1 / 2 Z - 1ez j+2 i = i/ 2 z + 2 a z=
101、 / exi - y e 27 r i 二 - 1 - ( e - e2)ni.这 里 曲 线 ！ 2 I =3围住 了 被 积 函 数 的 两 个 即 一 个 以 上 的 不 解 析 点 ， 应用柯西定理的推广定理计算原积分， 这 里 l z - I I = g , l z + 2 l 中的I 是随意取的,但 依 柯 西 定 理 的 推 广 定 理 应 遵 循 l z - I I = y J z + 2 1 = 两曲线不相交原则， 然后再用柯西公式求解.UI = 3 （ 2 - 1）2（Z + 2）例5计算J l r -l | =1/2 （ Z - 1）2（ Z + 2） ?+J l * +
102、 2 l =1/2 （ Z - 1） 2 （ 2 + 2）（ 柯 西 定 理 的 推 广 定 理 ） 50 2一H( 应用柯西公式， 高阶导数公式)In/-勺1 方 向 +方 产 汨S 5+ e- 2)xi.例6讨论并计算下列积分(UbT濡7F均 不 在 = 火 上 ， 及为正整数.)解；(a) J .F，其他，IN # r ( ? * i)H ,2ni,当 r 1,再= 1时 翠( b )当圆面I工I w R不包含a和6时，原 式 =0;当圆面I z I w R包 含 但 不 包 含 b 时，原 式 :1m 1%广 ( n - 1) 11 (z - b)= L (Q - b)n = (6 -
103、 a尸当圆面I 2 lw R包含6,但不包含a时，原 式工 = 不1 =”1萧 ;、 ( z - a) b a)当圆面I h lw R包含a和b时， 原 式 =0.3 . 5 习题选解3 J , 1求 积 分 /二2,积分路径为从z = 0到z =2淡修的搬线” 黑爆( 白 -疝8),y = a(l - cos&)解: dt雾滋注 (I 皿 身8) + io版n8d6 = 24a.3期 3魅3A.2 就下面善稗情况求积分( 八公匕，* ( O / ( )梦 y f 第 1 送,*C( 攥！ .3 .2 )是式心从 = 。剥方。1 + t的直线段;小 ) 从舅= 0矍h言i的直线段； 尊) 从M
104、 = i爨聿= 1 + *的直线段。解：(a) V - y?B L3.2 (守，C便13.3)是：( a )半圆周工= 2产W ) ；( i )半圆周 1 = 2收 “w & w 2 m( c )圆周 z = 2 * ( 0 w & W 2 8 ) . M : ( a ) f /( z )必 =% +，”2id0 = - 4 + 2用；J C 30( b ) /(2) d2 = 1* ( 1 + e-iS) 2id e = 4 + 2 r a ;r r 2低-r * ，( c ) I /( ) dz = ( 1 + e ) 2沁 d6 = 43d.j c J o( 3) /( z ) = e
105、%C( 图1.3.4)是： ( a )从z = 疝到宓=t的直线段；( b )沿坐标轴从z = E到z = 0再 到z = l的直线段.解： 因为八工) =/为解析函数， 故对脑) ， ( 动均有f( E ) d# = 廿 必 =e1 = 1 * e - A G = 2 ， : 普下 面 路 径 从 工： ： ：工靠起誉3 52 *解；因为爪工) =-1为 解 析 函 数 .故 豺 均 有J j f s | ( t - l)d 卜 * 田 龙 0,(5)/ 仁 ) = 外 ， 当u，当 ”0.仅 超 1*3.6)是 沿 广 / 从 7 到 z = , ： 的弧段.秦 Jj( 密 曲 = | (
106、1 + 3ix2)dx + 4xs( l + 3i2)dx 有 -I Jo3 . 1 .3 求值 z叱- Fz ,这 里m, 为正整数.J txt解e j 泗Tdz = f z*d z/、 , * I 1 J E w i2m, m 那= - 1 )0 , m -n # - 1.3.1.4 证明： 如 果C是以z = 0,z = l, z = i,z = I + i为顶点的正方形的辑画边界( 如图1.3.7所示) ， 那么*(3苫 + Ddz = 0.J cffi： , 3x + l在整个复平面上解析，A 由柯西定理知结论成立，3 . 1 .5设C为习题3,4中的闭曲线， 计 算 产 /北廿C，
107、解， / 品卜 * 出 + 卜 蛾 四* 卜心* 视超炉= 2 亢edx + (1 - r)| 低 讯 ” * 叼Jo. = 4 (e* - I).3 .1 .7设C为！ zl = 2上从z = 2到2 = 2 i在第1象限的嘱蹩( 图.3 .8 ),证明：53证: : ，i 11 * iK 33.1.8设C为从z = i到z = l的直线段（ 图L 3.9） ,通过观察线段上点到装点的距离证明：并且积分值当r趋于无穷时而逼近于零.lim 4=0.r3.L 10证明：（ a ）如果Co为正向圆周i一和i = A J 在Q上分段连续， 那么I f（z）dz = iR f（G + & 期 ）e”
108、d 8.q J Y 54 ( b ) 设 C为正向圆周汽| = 公,.) 在。上分段连续， 那么| /(s I /( e - “) c h.0证 ( a ) 设 * * ( K j f / O d /( j ( 蜴) j( , /( z 与) #, i - I J k z 孙) f e dz = 工c*，2 = (e - em) = I + i) ;Ji 7 T i 7t K, f xf 2 i N 盟於 42 ：(b) cos 焉 = 2sin A = 2cosi = 2chl;J 2 2 o(C) “-2)3必 = o.Ji4 i3 2 6 3 ) 借助岳z = h d J + /( IM
109、 0,09 2用为 - 的原函数这 W实. 证明R号 1 s积分路径为沿fzl = 2 的左半蹄隔从 = _2i 1.3.10).(b )如 果 C 56 豕2 % 设函数/e 在圆环0 一 虹 ，a不过*二土室的任意筒单正向期曲+9 如图1 . 3,1 1 所示， 当I， = 1 时， 原式= , 手片当I z - 2 4 = 1 时 限 式 = 攀 ；当 lz- il =1 / 2 时， 原式=0 ;当 = 3 时, 原式=力 .58当C不包含士 3 i 时 , 原 式 =0 ;当 。包含矢， 不 包 含 - 3 i 时 ， 原 式 =乌 曝 =当 C包 含 - 3 ! , 不包含3 i
110、时， 原 式 =令J = - f ；Z + 31 I 工工-3i 3当 C包 含 3 i 时 ， 原 式 = * 去 一 - T 王 d z =翁 (1 - D = 0 .J c oi L - 3i w + 3” Oi= ( 1 - 1 ) = 0 .3 . 3 . 2 设 C为单位圆周： l zl = l , 由 : 名之值证明: I + 2 c o s 外 AJ 0 5 + 4 c o s0 .证：； (一* 由8 + 3 0 *8 )1 2 + c o &G - i si n g _K (2 + co &9 + is in 0) (2 + co n O - i si n )f * , 1
111、 - + 2 c o s。 篇 J =*%犷、I + 2co s 0 JZi, 2 1 “ zi d ,5 + 4COB又j=。 ，|_ 皑 皿 =o .J o 5 + 4 c o s d 59 3.3.3计算积分4 i f 从而证明，松皿, g 缶由8)d8 w低解：一(一若酸+痴城OdSco& 4 i*in舅逐由出,18= | sin ain0 + i cos xin8)d。J二 2i eW%os(sin6)d6,Jo一dz = e*z 2KI - 2iri,J C = 0 .eccos(sin0)d0 = 北 .o3.3.4 设曲线 C： ，+ / = 3 ,函数/ ( z ) = 3
112、1 - 7 f + 1J cf - zd g,求 广 ( +解：* / f ( z ) =2xi(3z2-7 i + l),0,. 广(1+i) =2Tti(6z-7)=1 + iz 在 。内，Z不在C 内.：- 2n(6 + i) .3 .3 .5 设/(z )与 g (z )在 区 域 D 内处处解析， C 为 。 内任一条简单闭通线， 它的内部包含于0 ,如果/(z ) = g (z )在 C 上所有的点处处成立， 试 证 在 C内所有的点处/(z ) = g(z)也成立.证： 在 C 内任取一点， 则/ ( z ) =,，在 C 上处处有/(z ) = g(z),当 在C 内时,f(H
113、)= g(z).3 4 . 1 计算积分晨 + 计 *5(Z * 4户4八3 2 7(r77)2d i；c： X = 2 , y = / 2圉或的正方形正向曲线60(i)(b)(c)(d)( e)(f)2ft*,cazdx;t i亨M 5E = 2 ， G 3;，守 手 了 尸C ：不 过EH ai的筒单正向闭曲垢 J Jd- 一 （ * - 3产需=24iri.= ! ( 4x + 7ti)2dz = 2矶 京ae*4xnr22y ( 1 + Z2 )c喈d ，一 &r .co szd z1-0 3! 2TH 9 9 ! -27d ( _ ( n + 4i)( i)_ 32&i)2L i K
114、 ，= 2 + 7u8 .二一 丁 7tL2 99!,I S J( - 1)27d (2 n )!C0S2itio - (2n)lcos( z + nn)coszJ C(4 (h)当 士c; z3, 学a i均 不 被C包含时， 原 式 =0;当C包含a i,不 含 - Q i时,原式dz_ai)2(z + ai)当C含 -u i,不 含a i时,( z + ai)2t = ai 4a原 式 =_ 03 . 4 . 5 设 J在 1 z y 1 上解析， 且 i / I 礴 1 , 试 证 I / 1 1 -iE ； v 1 / 7 0 ) 1 =阖一号 必 看 圭 2算 =I,， 结论成立.
115、347设/ ) 在区域D内解析， C为O内任一条正向筒单闭曲线， 证明对在O内， 但不在C上的任一点加， 下面等式成立 62 .哥 酎 / /U ）在 ，内 务 所 , - A广 在D内解析.套 上 j 必 =23d/, （ 胤） .： , J 星 j 领M ,/ （ 尸 &-也 2鬲/* （ 劭） ,*vV:第四章第4章 级 数4 . 1 内容要点1 . 复数项级数定义1 如果级数.= Z + 与 + + Z . + -0 = I的部分和序列SA- = = Z 1 + Z 2 + + 即 (N = 1 , 2 ， )a s I*收敛于复数S ,则称该级数收敛，S称为级数的和， 记 作s =
116、zn. 否则称该级“ = 】数发散.定义2若 级 数 次1 % I收敛， 则 称 原 级 数 绝 对 收 敛 ; 非 绝 对 收 敛 的R B 1 A8 I收敛级数， 称为条件收敛.2 . 每级数， 阿贝尔定理， 收敛回和收敛半径， 和函数的性质定理1对骞级数As i如果下列条件之一成立：( 1 ) lim = I, ( 2 ) lim cn - /,Cn -* y1 , 0n Z, + ,那么该级数的收敛半径R = ,U , = + 8 ,. + 8 , 1 = 0 .3 . 解析函数的泰勒展式， 一些初等函数的泰勒展开式z? zn 、e = l + z + Y + + 1* + ( l z
117、 l + 8 ) .2 ! n ! * , 4 M 尹 ) ( . ) 2 n + ls = 1 ( 2 n + D ! ( i z l + 8 ) .64 ln(l + z) = I )* 2 3 jt=+ V - * + ( - l )n-1 + l 1).4 J n/. ” 1 o(a - 1) 2 (a - l)-(a - n + 1) ,.、(1 + z) = 1 + az + X； -z + , + -; - z + I z I Z! n !1).4 . 罗朗级数， 解析函数的罗朗展式定理2设函数/ ( z ) 在圆环。；治 w I z - % I w 町上解析， 则 在 D 内
118、8/ ( Z)= S C(z - Zo) ”,D = - 9其中J = i bU: 尸 dz ( = 0 土 1 2 ,) C 是正向圆周I z - zl = p ,p 是满足Ri ” % 的任意实数.4 . 2 教学要求和学习注意点1 . 教学要求正确理解复数项级数收敛、 发散及绝对收敛等概念. 了解密级数收敛圆的概念 ， 掌握简单的幕级数收敛半径的求法， 知道和函数的一些基本性质， 了解泰勒定理， 掌握esin 2 jn (l + z)、 ( l +力的麦克劳林展开式, 并能利用它们将一些简单的解析函数展开为察级数. 了解罗朗定理. 掌握将简单的函数在圆环内展为罗朗级数的间接方法.重点:
119、解析函数在圆及圆环内展为级数的方法.难点: 罗朗定理的证明.2 . 学习注意点( 1 ) 在应用和函数的积分性流求函数的募级数时， 积分下限的设置问题.题 目 :V ” n z ) = 5 = i + I - i = 1 ( - 1尸 ( 宁 )a o=- i) (I z - i I 1),e = 0( k u )& = 办 -七 _ i)dz, r 几 十1 iInz = Ini + -?(z - i)n+, ( I - i I 1). 65 式的下限为什么选i呢？ 首先， 这个下限不能选0 ,因为， 下限为。 代 人 式原函数中， 函数无意义, 其次， 由和函数的积分性质知， 积分下限可取
120、满足I Z - 1 I 1的任一点， 但 选i使式右边代入上、 下限后的运算最简单.( 2 )无穷远点的邻域是指点集| z I E v I z I + 8 1 .4.3 释疑解难1 .判别级数 W 的敛散性.7 T . 7 1* c o s n s s i n n:n UnNNl i m = 0 ,部分和序列X c o s名 明 s i n均有界，a - * n n = ,i Z n- =彳 i J L7T7T。c o s 牙 R g s i n - y n由狄利克雷判别法知，S ， s 一L收敛.n = i n ”1 U= f * f - a i 1 一 收敛. 而2 ； = Z 1发散,s
121、 -为条件收敛. 800狄利克雷判别法： 设 册2，| 。 、 | 公 是两个实数串， 鼠的部分和序r t = I 炽 =1列有界， 和组成单调数串， 且趋于0 ,则级数2； %鼠收敛.A K 12 ,关于函数/ ( z )展为幕级数时， 级数收敛范围的确定.答 ：若题目要求将 (Z )在2。 处展为森级数， 则42)一定满足在Z 0及其某邻域内解析的条件, 这个邻域即为所展幕级数的收敛域. 在使用间接展开法求其塞级数时， 要考虑所引用的已有的函数展开式的成立条件. 一般地， 所引用的函数展开式的条件即为级数收敛的范围.例如： 将函数 Z)= ( 1 1、在Z = 1处展为塞级数.此函数在Z
122、= 1及其邻域I Z - 1 | 1 (以Z = 1为心/ ( Z )的最大范围的解00析域 ) 内解析 ，因 此/ ( z )展 为 形 如 备G - 1尸 的 寨 级 数 的 收 敛 范 围 为n = 0I Z - 1 I I .例如： 将函数八Z)= -L万展成关于Z的赛级数.2 + Z 66分析： 从题目本身来看， 题目要求结果为， ( z ) = X 。 / 形 式 ， 函数f ( z ) =R = 0在 Z D = 0及其邻域I Z I 2 ( Z I 2 为 Z = 0为心的邻域中f ( z ) 的最大范围的解析域) 内是解析的. 从使用间接展开法求暮级数的过程小)=夫 = (
123、| f | 1 )1 + 2来看应有I Z | 2 , 这与从题目本身得到的收敛范围是一致的./ ( ) = - S(- J ) z ( I z I 2 ) .3 . 关于函数f ( z ) 展为罗朗级数时， 级数收敛范围的确定.答 ：当题目要求将/ X z ) 在初处展为罗朗级数时， 则 / ( z ) 必 在 某 圆 环 的 wI z - Z o l w & 上满足解析的条件, 这个圆环有的题目已经给出， 有的题目没有给出， 这时建议在Z 平面上画出/ ( Z ) 的定义域简图来找出这个圆环， 这个圆环一般不惟一 . 在使用间接展开法求其塞级数时， 考虑引用的已有的函数展开式的成立条件，
124、级数的收敛范围为所引用的函数展开式的条件.例如： 将函数/ ( z ) = , 1.、在 Z = i 处展为罗朗级数.Z ( 2 - 1 )分析： 题目没有给出了 ( z ) 的解析圆环R w l z - z o l w 从其定义域图形可以看出圆环 / ? i w l z - z o l w / ? 2 应为 0 1 及 1 + 8 .结合题目用间接法展为罗朗级数的求解过程：少(中)， 。 | 爻二 0C .7 - . x2S - . 0 -BEi” ( z - i ) 0 I z - i I 1 ,n = - 1y * ( - i )n 1 . .I-乙 匕 币 ， 1 1 z - i |
125、+ .r= 2级数的收敛范围为1 及 1 + 8 ,这里为 W I z - % I w 七也可取作0 I n - i I v r2( 2 1 ) 及 n I z - i I 1 ) , 但一般我们所选的圆环为+使函数展为级数成立的范围最大. 4 , 设在| Z I N内解析函数/ ( z ) 有泰勒展式 67 f(z) =劭 + a i Z + a2z2 + + anzn +试证：若令 A f ( r) = m a x I f ( re1 1 5) I , 则有0 842T TIMIW当 口 ( 柯西不等式) ,这里 n = 0 , 1 , 2 , ； 0 r 7 ? .证 ： 设 C : I
126、 z I = r ( r / ? ) , 则 d z ( 里 + 巴 + 包 + + % + ) d zJc Z “ +l JC zn + ，+ 2 + Z + + 1 + 尸)5 . 设 g cN1的收敛半径为E ( 0 R + 8 ) , 并且在收敛圆周上一点绝对Q v 0收敛, 证明这个级数对于所有的点z ( f z I w R ) 为绝对收敛.证明： 当 I z I R时， 由阿贝尔定理知S MA c 0绝对收敛.当 I z I = R 时 ， 设 Z o 为 I Z I = R 上一绝对收敛点， 则B 8 8X I C I = X I 匾 I I Z - = 2 I J I I Z
127、0 I n = 0 rs 0 。 =000= I C , z W IR = 0收敛， 故 S cd绝对收敛.n = 0 E所以，“ 在 I z I w R 上绝对收敛.” =06 . 设在 I z I R 内， 解析函数 f(z) = a0 + atz + a22 + + a z + . 试证 ： 当 0 W r 7 ? 时 ， 68 I / ( re , ,) l2d 0 = I a . 1 2 r2 nun = 0提示：f(z) I2 =人 才 ) 河 , 8B证：: | / ( 2 ) I2 = f(2) - 7 ( 7 ) = XQ/ J 2 万 丁 en 0 椅 n 0=严e -咒n
128、 = 0 m = 0. ,. I / (re19) 12 d d = % 人7% 9J oJ o n = 0 mcQ* 2 f f = V； 4届 产 + % -小 ) 。 m, “ SL 0=S a/ ”e ( ) ”e5 , “ H 0 0 D= S I an 12 r 2 . 2 ff,n s 0.1 , / I f(r el ff) l2d 0 = X 1 an 12 r 2 ，7 .求s in z关于(z + 2的嘉级数， 并证明： l im亶 些=， 1.* -* - Z + 7 T解：* . * s in z = s in (z + T C - T V) = 一 s in (z
129、+ it ),二s in z = - (z + x ) + 气产- 气产+ 岩产=- 1 +而级数K -气产+ 气或- 在复平面匕是收敛的,其和函数记为p (z),则火久)在复平面上解析， 有界. 所以. n z 1 Jz + n )2 (z + 7 T )4 ( z + 世)6z + n=_+ 3 ! _ f +F4.4 典型例题例1将函数小 ）：心展成Z的寨级数解：HH = （ -DD （ （ 1） , 69 1 /( 2)= (1 +1)211= - 如叼/ z n4n0=皿(_ 1 严 i 2廿一1= 2( -n ss 0= ( - 1尸 + 】 )产 (I Z I 1).n e 0此
130、题目是要求我们将函数f( z ) 展成形如X。 产 的级数， 也就是麦克劳林级数.n a 0例 2 将函数/(z ) = 7一忐一 齐 在 z = 2 处展成泰勒级数.(Z + 1 ) Z + 乙 )解：f( z ) = W2 - -T17z + 2 z + I2 = 4 + (z - 2) - 3 + (z - 2)X X 于=,z - 2 , z - 2I 丁 + 丁一(3(汩”- 式一尸( 泊“( I 宁| 1 且 I ? | 1 )= ( 一 】 尸( 占- 六) (2尸一2 (z - 2 产的级数， 有时题目也J I s 0叙述成将函数/(z ) = 7(冷 K 展成(Z - 2 )
131、 的拳级数.Z + 1 )(2 + 2)例 3将函数/ (? ) = 下 在圆环0 Izl 1 内展成罗朗级数.2(1 - 1)解 ：石一了 = ( 占) =( 力B= ( lz l l) ,n = 0y(z)= L / i、 2 = 勿 二 (o z i).z U - .=I此题目是要求我们将函数y(z)展成形如 X 的级数， 有时题目也叙述 70 成将函数f(z) = 0在z = 0处雇为罗朗级数.z(l - 2)例4将 函 数f(z) = T 在圆环0 Iz-M 1内展成罗朗级数，z(l -z)解 ：_ 7 = S ( U - II 2 = 7 - 4V X( - l) (z - 1)“
132、z(l -z) ( Z - 1 )自g= ( - 1 ) (Z D -2 (0 - II 1).+ 此题目是要求我们将函数/ (z)展 成 形 如A G (Z -1)”的级数， 有时题目R金 8也叙述成将函数/ (z)= 、a在z = l处展为罗朗级数.z(l - z)例5将函数6 2 ) =峭F分别在圆环0 与l l z-il + 8z(z-l )内展为罗朗级数.解 ：当 O l z i l 1 时，川 (-1)1 门 。 早| i)= 储 + (l z-ii I),B 1A / ( 2 ) = - / ” .=身 i*+1(Z -i)n -2 (0 l z-il 1).z (z-l ) r
133、 t = 当 l l z-il I 2 U l z-il ),n = 0Z- l )Z )= 2 (/ i 广 t 暇(1 l z -il + 8 ).z l z - n = Q 1 1z -此题目是要求我们利用巳有履式丁L = S (HI 1)及 1) 来求解罗朗展式的问题， 括号里的I zl 1是展式成立的条件， 这一点要引起足够重视. 另外此题目还可叙述成将函数 / (z) = = 7 _ 7 在 以 i为中心的圆环内展为罗朗级数. 这时就要我们自己去z(Z - 1)找解析圆环了， 函数/ (Z )有两个不解析点2=0 和 2=以 i为中心的八Z )的解析圆环从图1. 4 . 1和 图
134、1. 4 . 2 中可以看出只有： 0 lz - i ll及+ 8 .例 6 将函数/ (z) = 冷黑笠在z= 8处展成罗朗级数.解 : / 臭 )= 1- 一 之= 1+ 2 (6 x 4 0 - 2 x 3n)-r (4 Izl + 00 ) .“ =0Z、+ B此题目是要求我们将函数/ (z)在 Z = 8的一个解析邻域内展成形如 X c /昂 二 的罗朗级数， 这个邻域在此题目中应为4 l z l + 8 . 这个题目有时也叙述成将函数/ (z )=二 泉 ； 二 ； (在 4 l z l O T N = ， 当 n N 时，1 1I 4 - ( - 2)I = - 0, m N ,
135、当 R N 时，IZ-z1 成立，又 .1 I / I - I Z I I N ” - Z I vn = v. . . 复数序列l l的极限与其对应的实数序列 与I , % 1的极限构成一对应.4 .1 .4 设Iz J为收敛的复数序列， 证明存在一个正数M ,对所有的巴都有IZ. I这M成立.证： 设Iz 1收敛于Z.则取 = 1时，m N ,当汗时，匕 - Z I 1 f. 二 lzl = I / - z + z lw lz - z l + lz l z = S , A 4 = T，n s 1 同 、1lim Z z“ = S , lim X 叫= T,Fl “ 一 ” lim 自 (zn
136、 + wn) = S + T ,界 g .q 】O nX ( z + %) = s + r .n 1考虑余项PN(Z) =-智 1 2 1 - Z(N x H ,2 ,3 ,)， 证明当I1时，证： Yn 1Z(1 / )二- - - ： - - - - - - -，1 -,N+ 1，广-A十1 - z M 1 - z/ + 1设m (2) =匕， 则lim I p/v (z) I = lim F I z I *1 = 0 ( I z I 1),N- 8 i一 o I 1 Z IX z =产-(l l (d ) n s 02 n + 1(e ) S 中a = 1 Yn解： (a ) / l i
137、 m = l i m = 1 , 二五= 1 ;力 f g I Cn n-M 汴 + 1 7 1(b ) ； B m I I = l i m =y , J . R = 2 ；(c ) l i m I = l i m z - = 0 , . * . 7 ? = ；Ff B I Cn | n-* 8 Z n + 14 . 2 . 4 证明：(a ) e = e2 (I z l + );Z T o M1 z2 6 103 / 3 J +5J 7 f +si n ( P)(z *0 ).证 ：(a ) : e ， = e ， e- = e S ( I z I ),万= 0 几 ，结论成立.(b) v(
138、z #0 ) .4 . 3 . 1 证明：(a ) = + ( I z + 1 1 1 ) j2 n = 0OD(b ) -7 = T S ( - Dn(n + 1 ) ( 5 ) (f z-2 l 2 ) .证：(a ) ； S + l ) (z+l ” = (z + l)E=( 3) =： , = 0 .O - Z J z结论成立.8(b ) ； - S(-1 尸( + 1 ) (子)“ g o / 76 z -2 T7 1-r = 2 ( I z - 1 I 2),z -2 z， 结论成立.4 .3 .2 将下列函数展成z 的骞级数， 并指出展式成立的范围.(a) (a,b 为复数， 且
139、 6 户0); ( b ) J d z ;az + o(c) d z ; (d) sin2 z.J o z解：(a) = 尬5( ”目 ) ,j zr = *印也Jo J。 n=0 MS z2n + 1=(| 8) .( 肛等dz = ( 1 各番- 畀+ ) dz?_ ? z7 ， 一 23 x3! +5x5! -7 x 7 ! + ( k l7 J 2 1 - cos2z(d) sin z -2-2 21 2! 4! 6! J=N( T 尸 而抖( ) .4 .3 .3 写出下列函数的赛级数展式至前三个非零项,(a) /(z) =ArcUnz 展为(一十) 的骞； (b) /(z) = l
140、n(z - 3)展为(z - 2i)的幕;（ 。 ） 小 ） = 仪 展 为 Z的电 小 ） =为 展 为 （ ”3） 的赛解 : （ a） +5思= 施阁 4（ 士- 马 77 12i=2i(b) V1 . 1 1 z 7r4 4 41 + T T- i- f - 2 Ji尸I - e 0L j - 11 + i1 +1-4 + I Jiz- J416 128/ 1 1 7 2 8 9 r. i ,Arctan z = Ln24 -4i + 14 i- 1 +n1 27 )+ r 40 ( - 3 )了 = 占 = 七1z - 2i1 + -2i - 3=力 浣 黑 ( 人 如5),l n
141、( z - 3 ) = l n ( 2 i - 3 ) - f - - -(lz -2 il (eM)f fll = 0 = e， 3(cos2z -sinz)lI s 0 = 1,(d) vef l,nz = l + z + ( z 2 + ( I z I + 8 ) ./ + 6 - 8i ( z - 4i z + 4i )二 X f _ 1 _ _ 1 1=81 3 -4 i z - 3 - T+Ai一豆31 . 3 - 4i 1 , 3+71 )-L / _ | x n ( Z 3尸= i d 3 -4 i 1) (3 -4 j)n 3 + 4 i R T ) (3 + 4 i)= 奈
142、-热 z - 3 )+第 Z-3 )2 + .(iz -31 5), 78 4 . 3 . 4将下列函数在指定点展成褰级数， 并指明其收敛的范围.(a)cosz 在 2 = 微 ； (b) shz 在 z = ni； (c) thz 在 z = 0.(b) */ shz =( c )设 thz =一 g T im rrS= 0 M,则chz X cnza = sh.z( I I + 8).即g 2k 0 S ( W ! S dS ( 2L +U P比较等式两边同次赛的系数得% = 0 , C2 = 0 , C4 = 0 , ，. 1 2Cl = l，C3= 一手，C5=及thz = z- #
143、+敏( I Z J + 8 ).4 . 3 . 5通过以下三种方式推导ch z的麦克劳林展式.( a )泰勒展式定理； (b )恒等式chz = cosiz; ( c )恒等式chz = J 解 ：(a) v cH)z l1,0,8 2k二C b z =向Tn为偶数,江为奇数. 79 (b ) V C 0 8 i z= g( T )*H= S* 产ch z = co s i 2 = (2 i J T(c) ch z斗e 7)器0 + ( - l)言也向p4 . 3 . 8 假设f (z) 在劭 处解析J (z) = O ,用级数表达/(J ,并证明:l i m % = / (i o ) L、Z
144、 - Z o(注： 顺便指出这个结果从尸(z) 的定义也可获得) .解 ： /(z) = 2-J -. j，一(z - Z o )n s 1 .= f (z(j) + / (zo ) (z - Z 0 ) +( z _z o)2*2+ q( z - z o)+勺 山一无 )2 +因为/(z) -/(z。 )= f (.ZQ) ( Z - Z0) + (z - Z o ) 2 a (Z ) ,这 里 z ) = ； ： 。 )+R ( Z - Z o ) + 子R(Z -Z o ) 2 + 在 Z 。 的某邻域内解析， 有界， 所以Ll im Z - ZQ= l i m 一= l i m / /
145、 ( z0 ) + (z - z() ) 9 ? (z) = f r (z0) .L% z - ZQ L、 二 ，4n + 24 .3 .9 设/ ( z) = s i n /,通过麦克劳林公式： s i n /= 5 , ( - 1 ) * + 1 j j(I zl + 8 )证明：/2 n + ,)(0 ) = 0 ,/4 n )(0 ) = 0 (n = 0 ,1 ,2 ,-) .证： 因为s i n J = 。 苞等式的右边没有出现产+1 及 z4 “ 次暮， 故其系数为0 ,即产 + 】 ) (0 ) = 0 , - 0)=0 = 0 ,1 ,2 ,) .4 . 3 . 1 1 设
146、f (z) 为整个复平面上的解析函数， 它可由下式表达/( ) = z + a2z2 + a z3 + ( I 2 I + 8 ) .(a ) 通过对复合函数g (z) = / /(z) 求导， 将 g (z) 展成麦克劳林级数(写至前三项) ； 80 ( b )应用(a )的结果， 推 导sin(m u)的) 级数.解 :(a) : /(0 )= 0 ,广 (0) = 1 ,= (0 ) = 2。2，/ ” (0 )= 6。3,8Q D/ f(z )= 3 = w jn T ( z ) ,。 =1J i = 1 L f ( z ) = 2 M “ - l) a J ” -2(z),R = 2
147、8厂 ( z ) J = 2 n(n - 1 )(m -2 )a J -3 (z ),n a 3. g (0) = / ( /( 0 ) = 0, g (o )= LA z) 广(z) = I,* = 0 0 ) = / /(2)上 / (2)耳广0+广 % ) 广 (川 。 =4。2,g(0)=L/(z ) 广(z)H + YZ) /(Z)/WZ) +* Z = 02=0广 )J / ” z) =0 = 12(a； + a3),g (z) = z +2a2z2 + 2( 2 + a3)z3 + ( I z I + o o ).,.3 5 7(b) sinz = z -犯 + 灯一元 + 由(
148、。的结论可得 .sin(sinz) = z - - ( I zl + oo ).4.4.1 证明：(a) ln =之 - z - I)5 ( li r - ll 1) jn = 1 以 C T T R 3 )=2 ( f l) -3 2 ( o lz - ll 2); ) 尸丁 而EF ( 0 lz I + a o ) ;(d) C 8C N = 1 + 恭 + 西 ，_ 5 J ?3 + (0 Izl Ag-志八(0 兀 ).证 :(a) v Y = ” ； = ( - l)n(2 - I )n ( I z - II 1),8A Z 0Inz = SA a 0 ,J、/ _ ) ” + 1=
149、 2 / ( z - l) ( I 2 - 1 I 1 ).。 =I n(b) 7-汤一一 )(z l) ( z 3) z 11 n 1 2/ 81 1 f , 3 1= 7 7 1 - z -1I )1 1 A V (z T) ” l=-2 2 ，:(0lz-1,2)-。 )V- s b = S (2n + 1)! 7警 = + 七(2： +3)1 (。 I z I + 8 ).z z M ( 2 n +3)1r. 设 C3C2 = ( OQ + a .xz + a2z2 + a3z3 + a4z4 + )，z o + a -i Z + ( a 2 - z ? + ( 。 3 一 堂 )Z3
150、+ (%+ff-养)“ ,=】 ,1 A 1 n 【I: 。 0 : 1 ,叼 =。 ,。 2 二五 ， a 3 = 。 ， 。 4 = (3,户灯 ， ，/- c s c z = + + = z + | (3 i f _ 5 j / + (0l z l k ).(e ) ,/ ex - 1 = 之 和 ，“ =I ./ . 设 J , = - ( a0 + a iz + a22 + 03z3 + a 4z4 + ,* ) ,e - 1 z/. ( a0 + a j z + a2z2 + a3j3 + a4z4 + ,) - p= 1,- a0 = 1 , Qj =一委， 。2 = 立 ， 3
151、 = 0，04 =一 南 ， ,J 1 1 1 1 J / 八- c 一 7 =不 + 高2 - 不万Z + (0 121 27e - 1 z 2 12 7204 . 4 . 3 求(a )警 关 于 z的罗朗展式的前四个非零项；Z- 82 (b) J关于(z - i ) 在 0 lz - il 1 的罗朗展式的前四个非零项， 问它们1 + Z的负塞的最高次是多少？ 2 4解 ：(a) = 了 - 方 + 者 -又 + (0 Izl + ).I ) l + z2- ( z - i) ( z + i ) ，- 2 - - l 1 , y /z + i - 2i 2i J 2i1 + z 41 *
152、 = o K = G、4 /= y r(1 + 4-) + ( + ；) ( z - i) +(-二 + 4) (z - i)2+ (0 I z - il 1),函数/J关于(z - i ) 的罗朗展式的负帚的最高次为1.4 . 4 . 4 将下列函数在指定点的去心邻域内展成罗朗级数， 并指出其收敛范围.(a) / J b , z = i; (b) z2e； ,z = 。及 z = 8 ； (c) e E i, z = 1 及 z = 8 .( J + 1)解 ;(a )V昌严( 1，(一 户 = : (一 号 )* (0 l 11 2 )， * ( 一 专 )”= %(T)( + l )(.
153、 ： ； (0 I z - il uO M l)(b )? e 7 = ?S4- (7 7 2 ) ! * 7 (0 lz l + 8 ). 1 s u J) = -4 (c) e E = % I 7(0 1- II + ) ,n s0 (Z l ) 83 / 1 1 1 + - + -J + ,I Z z z1 + I + 1 +.2 Z Z f121=1 - - - - 5 - -73 + -77 - 5 + (1 I z l + 00 ).z 2! z2 3! ? 4 1? 5! ?4 . 4 . 5将下面函数在不同区域内展为级数.(a ) /( ) =-77? ( K 1 1 + ,
154、0 12-11 1);Z (1 - Z )(b ) / : 丁 丁 一 (O Iz l 1,1 l z -i l 2);z ( 1 + z )(c ) /(z ) =7F (Iz l 2,2 Iz l 3,3 Iz l + 8 ) ；(d ) /(z ) = / (0 HI 1,只要求含到 Z 2的项).z (z + 1)解：(a ) 2(T X = T一% = 1 X 773z 1- z) z _ zz= -*2 (1 I z l ).n = 3 Z - = 7 17= S( - Dn( -l )n (o z - U 1),z 1 + z-】M =( 一 十 )=-M - i )*(z -
155、1)，Z n = 0J. - V 7 T 之 “ ( - I 1 ) ( o | 2-1( 1).z (1 - z ) n = i(b ) - - - 7 ; = - DiZ (l + ? ) z =X( - 1)喙吁】(0 Iz l (- D 看;-与 产1( l lz - il 2).( c ) :当z - 1 _ 2 -1 / 1 _ 1 (z -2 )(z + 3) 5 lz - 2 z + 3 八Izl 2 时,1 _ 1 _ _ y* ( - a Yz + 3 - 3 i z 个 3ft + 13. z - 1 _ z - 1 f y i / ( - 1 )(z -2 )(z +
156、3) = 5 L a( F7 7 3n + , I- 4 乙1+ 1 rynl Z J 0 J /当 2 Izl 3 时，_J_ = _ = yz + 3 3 , z 4 3n*13Z - 1 Z - 2 _ 不 ( _Z ) (7 2 )0 7 3 ) = g k-J - F7 7 -1= 升+ 钟季+潺-睛(局。,当 3 lz fz + 3 - z 3 = J 下刀1 + n 1 = 0 0Zy y(- 3)”- 5J i= j- t + 4 ( -3 )力 击 .J n = 0 ? 8 5 (d)e2+ 1) 和 (- i)守“ N 0 i = Q= + 1 - - z - z2 + (
157、0 1 1 1 ) -z 2 o4* 6求 /（ 外 二 瓦 二 京7 T在 z = 0 处的泰勒展式， 在 z= 及z = 2处的罗朗展式， 并确定其收敛域.解 ： & ) = / ( 出- 言力当 I z I /时，_J_1 _ _ _ _ y 2z - 2 - -2 二一右21 2金 口 (-，S - 7 T - 2 S(- 2 ) V n = 0 / Q = 0= .(3一 扑 .4= I 乙当 Izl 2 时，2 z 5 2 - 1( - 1 T _ 1 y q2 V - 手 勺 泞z - 2 - z ”2-4”z_ J _ - _ 1 _ _ y i)”2 z+ 2z J_ - ,
158、 (2z)n+2z.8 6 / （ ） = j S 轰 _ 2 * JJ n = Q 2 n = Q / Z= y r _ y . L d Tn = o z Z z2n z . 87 第五章第5章 留 数5 . 1 内容要点1 .奇点的概念、 孤立奇点的分类2 .留数的概念、 留数定理、 孤立奇点处留数的计算方法定 义1设函数在0 1 z- z| R内解析， 为/ ( z)的孤立奇点.作圆 C:|z- z( ) l = r,其中 0 r 0 ) ,其中火(工) 是X的有理函数， 而分母的次数至少比分子的次数高一次， 并且?(% ) 在实轴上没有孤立奇点时积分是存在的， 为R (z ) 在上半平
159、面的孤立奇点.5 . 2 教学要求和学习注意点1 .教学要求了解孤立奇点的分类(不包括无穷远点) . 正确理解留数的概念， 掌握极点处求留数的方法. 理解留数定理， 掌握用留数求沿封闭曲线积分的方法， 会用留数求一些实积分.重点： 留数的概念和计算方法.难点： 应用留数计算定积分.2 . 学习注意点(1 ) 下面计算错在何处？X _ | zed z - - - I 台d u = - 2 i d R e s , oJ III = L J lul 1 U L U J 1 r / 3 叫 ”= - 2TU h m u 1 二 一 TU.2 ! u f u /答：错在第一步. 对变量替换Z = L ，
160、 若 设 Z = / ， 则 U = e - 叱 题目中UI Z I = 1 按一般约定为正向， 变量替换后得到的I U I = 1 事实上是负方向， 因此， 正确的做法应该是： 89 ( 2 ) 比较下面关于函数/(z ) = 在孤立奇点Z = 0 处求解留数的两种方法， 找出问题所在.方法一：因 为 Z 二0 为f(z) = 2 e的一阶极点， 所以Resf 一产= Lmz 卢 = lim = - 1.*- Z -* 2 *0 Z x , OZ方法二：因 为 Z = 0 为 /(z ) = L铲 的 一 阶 极 点 ， 所以ZP(z)Resf(z),Zo = ResQU),Z答 ： 上述解
161、答过程中的方法一是正确的， 方法二存在两个问题: 公式R es/(z),z( ) = Res券 g ,z(j =的适用条件是 P(即)0 0, Q(z( ) = 0,Q(zo)/ 0 ,显 然 f ( z ) = =W 在 z = 0 处不满足这些条件. 匚直 关ZNZ r=0l i m g = - 不等式的左边函数在z = 0时无定义J (z 。 )= E m /(z)的使用条件是 z ) 在 Zo处连续有定义) . U这个题目给我们一个提示： 使用公式PQo)=时注意公式的适用条件.( 3 ) 无穷远 点8 是任何函数的孤立奇点吗？答 ：未必. 因为任何一个函数在2 = 8 处均无定义，
162、所以无穷远点是任何函数的奇点, 但它未必是任何函数的孤立奇点， 如 Z = 8 就不是函数/(z ) = Z的孤立奇点， 却是/(z ) = e*的孤立奇点.5.3 释疑解难1 .孤立奇点相( 1 Z 。| w 2时,Z =。 为/ ( z )的可去奇点； 当 机 3时,Z = 0为/ ( z )的m - 2阶极点. 91 在这一步里要求对常用函数的罗朗展式较为熬悉.2 .无穷远点作为孤立奇点的分类方法与步骤第一步：判断lim /(z)是否等于常数， 若为常数， 贝 【Jz = 8为/ ( z )的可去奇jB点.例如：lim 芋4 =。 ， 则z = 8为/ ( z )的可去奇点.L B ZZ
163、 - 1 y第二步；令 切= -y, ?( w) = / (：)， 判 断w = 0作为函数a ( w )的孤立奇点的类型( 方法步骤同上面5 .3中1所述) ， 依据无穷远点作为孤立奇点的分类的定义下结论.例如： 判断函数/(z ) = z段的孤立奇点z = 8 的类型.解 ：设w =中( 第) =， 则中 ( 卯) = , W而e*w) = limw 一 = 1 ,3 0 w-0 w故0n 0为9?( w )的一阶极点， 即z = 8 为f(z) = ze：的一阶极点.例如：判断函数/(Z)= 警 的 孤 立 奇 点Z :8 的类型.解 ：设W = .中( 卬) =/(,)， 则 i 1
164、ew _ e-(p w)二 w sh- = to - - - w 23 、_ i . _ y_ i .= w . - 2=S (2k + 1 )!户 ，显然， 协= 0为卯( 比) 的本性奇点， 即z = 8为f ( z ) = - -的本性奇点.Z5.4 典型例题例 1计算 - 二号J =1 z(z + 2)解： (= 2xiRes j 1 ,o = Ki.J Irl =i z(z + 2) l z(z + 2 ) 92 此题目也可用柯西公式求解.例2 计算 可 卢 方 ，J E = I Z( Z + 2 )解 ： 3 / - 不-2 7 d R e s 一 公 J 1 x 1 , 1 z
165、( z + 2) I z ( z + 2 ) J= 2而 l i m z3 , 2 !工 * 。1 z z + 2) 1-7 t i l i m 7 2 八 、3L O ( N + 2尸7 C i= T *此题目也可利用高阶导数公式求解.例3计 算L 总解 g =2拓 占 用 =27d , 前悬不， 。 + 加, R e S忌”， 器 .= 2布 也z X 2 7 7 7 ) + 2石 二 %(z + 2 7 7 7 )= 0 .此题目也可用多连通域上的柯西公式的结论求解.例4计算 2 / 八 J | 2 | =3 z ( Z + 2)解: f 也勺、= 加 Re s1力 I、, o + 2m
166、 - Re st 2, 1 2JW= 3 /(Z+2) 1 + 2 ) , L + 2)= 2x i l im z2 * 丁- + 2兀i l im ( 2 + 2) -57- -LL Z Z + 2)J L-2 z ( z + 2)= - 2.7a. h卜m ;.1. .+ yT r iz + 2) 2=0 .此题目也可用多连通域上的高阶导数公式的结论求解.例5解 ：计算就=22 Re s , f + 24 , Re s f 27nd y2n+ 27n 7-v一名 (co sz)- 22iti0 . 1 4 -smz 2 二二 -sin z t_ n 93 ., ！ z| =3 Z ( Z
167、+ 1 ) ( Z + 2)H )=2小心( z + i ) Q + 2) 而M + R e 4 z ( ) ( z + 2 ) m - ”+ *七z + J ( z + 2) 22KiRe s( i + z ) U + 2z , o = 0 .这道题目的特点是： 被积函数有1 0 阶 极 点 z = - 4， 用类似于例4的方法求解 ， 将 面 临 9阶导数的繁琐计算， 本题的解法对这类题目很有代表性.例7 计算 f / Jd zJ UI =2 1 + Z解 ： = 2m V Res2J (zk = e 1, 4I r I = 2 1 + Z L I + Z 0 , 1 , 2,3 , 4
168、, 5)这道题目的特点是积分所沿曲线围住了 6 个( 较多个数) 孤立奇点， 这时借助相关结论通过函数在无穷远点的留数来求解题目.5.5 习 题 选 解5.1 - 1在扩充复平面上找出下列函数的孤立奇点并加以分类， 若是极点,指出其阶数.( a) + I 、 ； ( b ) Z + ； ( c) 5 ( d) z e ： ;2 ( 2 + 1 ) 2 - 32 + 2 z( e ) 1 二 加； ( f ) - e - ； ( g) r j； ( h) ico s ;zz ( 1 一 z) i 94 一 ； ; 如解：（ a）孤立奇点为： 0, 土 i,8 .limz , ,” 土 := 常数
169、，- G Z( Z + 1 )iim (z + i) . J 三= 常数，x r】 Z Z + 1；P2z + 1 nHm -7_2 7T = , a z(z + 1;Z = 0, 土 i,为一阶极点， z = 8 为可去奇点.(b )孤立奇点为： 1,2 ,8 .V= 常数，L l 2 - 3 2 + 23 lim(z - 2) = 常数，z， - 3z + 21 上 一3 - - 3 + 】1， 2 + 1 Ulim T- 7 = lim -： 1 _ z-l r z 3z+ 2 t*-o 1 3 cu-o u(2u - l)(u - 1) - Z = 1 ,2 ,8 均为一阶极点.( c
170、 ) 孤立奇点为： 0 ,8 ._ A. sinz 1 1 z2 / 、 二产 3 iz 1 1/ = z 3 - m + 受 F + -一五 十 一 加z = 0 为三阶极点， 3 = 8 为本性奇点.(d )孤立奇点为：0 , 8 .Z = 0 为本性奇点， Z = 8 为一阶极点.（ e） 孤立奇点为： 0, 8 .1. 1 _ chz v ， z21 11一 之时- J 区 ） ! . Z = 0 为可去奇点， Z = 8 为本性奇点.孤立奇点为： 0 ,8 .1 - e21 - 2n 方 2 1 95 ，z 二0 为三阶极点，(g )孤立奇点为： 1 ,8 . lim(l - z)2
171、 ,L1 1 1 一Z = 1 为二阶极点( h ) 孤立奇点为： 0 ,8 .”= 当 )z = O 为本性奇点， .(1 )孤立奇点为： 0 ,8 .*/ lim = 1 fx O Z/. z = 0 为可去奇点， .( j ) 孤立奇点为： 0 ,8 ,K. . / 1 1, hmf z 一 丁 J广 工1 1 k / sin. 一KZ11 z = lim -12 4 8 . 7t a8in -z/. z = 0 为本性奇点， ;( k ) 孤立奇点为： 0, - 1,00.+1 ,z2 + I)2 = 1一+ 1 L i m /L - zz + 1)2 = 0 为一阶极点， ;(1 )
172、孤立奇点为： ( 2左+ 1)1 (:(1 + z2)(l + e)当 k = - 1,0时上式为0 ,当 ,又 v 1(1 + ?)(1 + e)Whm 一8 ( 1 + z2)(l + 刃 z = 土 ： 为二阶极点Z = 8 为本性奇点.、 2 - 常数， litn 1 ; 、 2不存在，Z) 一8 ( 1 一 Z)Z = 8 为本性奇点.尸 -2n + l u ( - l)n 念(2n)! 5Z = 8 为一阶极点.lim 不存在，x * ZZ - 8 为本性奇点.= 1, 土 2 ,) .(_=力寸一丹4 - ? )COS7im = 8 , lim 不存在.0 B ID 1-0 7
173、Tsin 一zz = ) , 8为一阶极点.K, lim(z + I)2 、 2 = - 2,2 7 2( Z + 1 )J_ J_ +1 u6 1 + u6Em , = Lm 、”“ -。1 /1 ) LO U3( 1 + U )2u u /T = - 1 为二阶极点， Z = 8 为三阶极点.4 = 0, 1, 土 2 ,) ， 8 .；11=(24 + 01 = 44(4 + 1 ),t 1 ,0 时上式不为0.L = , = 2 + ( / + 4KZ + 2)e*=i = 土 4疝 # 0,不存在， z - (2k + 1 )i ( k 卉- 1 ,0 ) 为一阶极点， z = 96
174、 8 为本性奇点.5.1.2 证明：若z0是f ( z )的阶极点， 那 么z。 是 广 ( ？ ) 的m +1阶极点.证： ；Z。 是F(z )的m阶极点， 故有解析函数中(z )(*(z o), 0)使得：广 (Z)= 幻( 分子在, 。 处不为。 ) ,ZQ为f ( z )的m + 1阶极点.5 . 1 . 3 设zo是函数/ Q)的m阶零点， 又是g ( z )的小阶零点， 试问下列函数在Z0处具有何种性质.(a) /( z ) + g (z ) ; (b) /( z ) g ( z ) ; (c) .解：因zo是/ ( z )的m阶零点，g ( z )的 阶 零 点 ， 故可设/(
175、z ) = (z - zo)m n时，z 为的m -九阶零点,当m W 时， ，o为 端 的0阶零点.5 . 2 . 1 求下列函数在孤立奇点处的留数.(a) f( z ) = -y1- ; ; (b) /( x ) = 4 ; (c) f( z ) =Z + Z Z z( d ) /( z ) = R z； (e ) /( z ) = x2sin ; (f) f( z ) =(g ) f( z ) = (h) y (z ) = ze=； = 0，1 iR cs /(z ), 土 i = / 4 2/ = 3 .2 a 乙( b ) ,.z = 0为 z )的可去奇点，: Res/( z) ,
176、0 = 0.(c) V z = 0为/ ( z )的一阶极点，/. Res / ( z),0 = limz , 4 - - 2.(d) 1/ z = Air + y ( A : = 0, 1, 2) 为 / ( z )的一阶极点，R ee/(2), kn + -y = = ( - l) *+ l.L 2 J - sinz , = 7(e) z = 1为/ ( z )的本性奇点，, s in 7 = (z - 1 + 1尸z - 1r 1 _ 1 _ z - 1 - 3 !(z - 1尸 + 5 !(z - I )5 - .二 R es/(z) ,1 = J i =o(f) V z = - 1为
177、f ( z )的本性奇点，Z . / 1 1 ,1sin - = sinl 1 - - - I - sinlcos- r - cos la in - -z + 1 I z + 1/ z + 1 z + 11 -= cos- TSml 一z + 1 7 7 7 3 !(z + 1)3 + 5! J + 1)5 - cosl,K e s /(z ), - 1 = c_j - - cosl.(g) v z =。为/ ( z )的三阶极点，z = kn(k = 1, 2 ,) 为 / ( z )的一阶极点，R es/(z) ,0 = % lim( z3 )=z * L O Z 8mz/ oR e s
178、/ ( z L = -;- -5- =.2zsinz + z cosz ZsicK ( kn )1(h) T z = 1为/ ( z )的本性奇点， 98 zeF = ( z - 1 + 1 ) S J )“ n aOR es/ ( z) , 1 = c = y .2 it JV % = ( - 1 )7 = = 0,1,2,-1 )为 以 力的一阶极点, R es/ ( z), ( - 1 )， 】 =i i = - -n z = ( i )*( j) ； z = a * 分别为/ ( z)的 m阶， 阶极点, 1 (6-1)R esL / ( z), a = - - - -jp r; li
179、m - - - -TT;( m - 1 ) ! LJ ( z - R)=J l)m C L 2 ( a -旷 ,R esR z), =(-1) 1-2 ( a -.( k) v z = i为/ ( z)的一阶极点，JT2 R es/ ( 2 ), i - 2 7 = 土 石 ；0 ) v z = 0为/ ( z)的二阶极点， z = 1 为/ ( z)的一阶极点,R es/ ( z), 0 = li. ( z -0 ,2 R es/ ( ), 1 =篇* = 1 .3 z - 2z z5 . 2 . 2 设 z。 是函数/ ( z)的 m阶零点， 求 R es|嗅 # ,zo.解： 沏为/ (
180、 z)的 m阶零点， 故有Zo某邻域内的解析函数中( Z)( 以z )# 0 ), 使f(力 =( Z - Zo)W( z),f ( z) = m(z - % )M - ”( z) + P (N)(Z - z0)m,R esf ( z)_J _f(z) = ( z -/( zz) H1 =吧r (一 %) 令 ?=项5 . 2 . 3设 Zo是函数f( z)的n阶极点， 求 R es解：广 ( z)f( z) Z。 为 f( z)的 n阶极点，故 有 Zo的某邻域内的解析函数W( Z)( F( N o)# 0 ), 使/ ( z)= (e( z)- 99 ，p ( z ) ( z - Zo)一
181、 叩(z )( z - Z0)n + 15.2.4求下列各函数在其孤立奇点的留数.( a)/ ( z) = ( b)/ Q) = : +%; ( c)f( z)二 / 5z + 9 ( z - 1 ) z( e - 1 )( d)/ ( z) = cotz; ( e)f( z) = 4 z 4 ； ( f)/ ( z)= 心 , 口 ；z + 4 z( g)/ ( z)= 亍 ); ( h )/ ( z) = ;z z1G )f( z) = ZA . ( I 2 I 0 , 0 argz 2K).Z + 1解 :( a)： z = 3 i为/ ( z)的一阶极点，R es ( z), 3 i
182、= .2 z 工 = 31 6( b) v Z = i为/ (?)的三阶极点，R es/ ( z), i = lim ( z - i)3， + =3 i.( c) v z = 0 为/ ( z)的二阶点， z = 2k或(k = 1 , 2 , ) 为/ ( z)的一阶极点， * - R es/ ( z) , 0 = lim z1 =- ,L Oi z(e - 1 /J 2R es/ ( z ), 2 Airi = - - - - - - - - = 7 7 - .e + ze - 1 , = 2 痴 2km( d) z = M k = 0 , 1 , 2 , ) 为/ ( z)的一阶极点,R
183、 es/ ( z), Air=* = 1 .cosz l= kn( e) : “ = ( - 4 )1 =&e * (左= 0 , 1 2 3 ) 为 f( z)的一阶极点,， R es/ ( z), z* = * =( - ； ) i .( f) V z = 0为可去奇点， J . R e3 1 / ( z), 0 = 0 .x . * A-5 V( g) ； 5 = / . R es/ ( z) , 0 = c” =( h ) V z = 0 为可去奇点， r. R es/ ( z), 0 = 0 .( i) V z = - i为/ ( z)的一阶极点， 100 . R es/ ( z),
184、 - i = z*h = _, = ( - i) H ) = 0 .J I =2( b) v( c ) V( d);N = 0为 皿 的 可 去 奇 点 ， 故留数为0 ,ZJ 萼dz = 0 .I / 1 =Z = 2i为f(z)的一阶极点，R es ( z), 2 i = 2. - - -3z + 101Z + 4Z x 1 为被积函数的二阶极点，R es 7 1 = lim f ( z - l)2 4L ( z - 1 ) L l i 101 (e) / zj = e*,Z2 = e %为被积函数的一阶极点,ReJ 二 麻=S = - F(1 i)11 + z。 J 4 ? z =,t
185、472r i , K .乙 ；-4d z =一尸】 1 + / 72(0 V 4 = 0为被积函数的本性奇点,Res sin = % = 1,/. J sin，dz = 2冗i.(g) v Z = i为被积函数的一阶极点，丁 - - - - - - -5dz = K e .J 1 + zI Z ll = I( h )当m w 2时，z =。为可去奇点， 积分为0.当 m = 3时，z =。为一 阶极点，Res：z乙当 加 3时，2 = 0为m - 2阶极点， 1 COBZ 1 / 1Res / ,0 = j = ( - 1) 2( - 一I，,f n-3 2TT1 1 - cos2 , ( 一
186、 1) 2 7 TTT， m M 3,- -dz = 1 y,x, = 1 Z o , m 0),1 % 8 i nx j万2 J - x 2+1Im7riRes/77i =e_三=( h )原式, “ 、8 中si n(, - l)d ，1 80 - 1 . . ， -1 . . = | c o s i sm t - yj-sm Jc o s jd tJ - 8 + 8J - 8i ,f*00 c o sr .= i vc o sl + si nlj 2-d tsi n， . c o st . . .c o sl + -si nl A t而=K(COS! - si nl).f4 g si n
187、” Jo 工2 + 严=-(;严 + J T T d x ,2 J x x + 1 ) J 7 x (xl + 1 ) J6 _ _ _e1 3 f J rz e 1f e12I T 2 7 Td x + r2-7 T + -7 7 T d z +-7 x x + 1) Jc x x 4 - 1) J r z(z2 + 1)I ( 2 ；、d z 二 2 T ti Re s 7 2 7 T ，Jq z(z， + 1) L2(Z2 + 1 ) 107 如 图15.1所示,J r ? TT)dzRe s1(z；+ I)， = 3z：+ 1| = - 厂户亍1- 2 _党(同*0 X (X + 1) L Z / J 2 / ： :K(#)e 3d雷=2扪 S Re s (z)e,a i,zj(a 0), + 8 _ _ _ _ _ _ OB/_ _ _ _ _ _ ,Jo + 1)(/2 + 9严_ J_8 _ _ _ _ _ _。 。5 4 _ _ _ _ _ i= T J. ( ? + 1)(x2 + 9 )dX=Re 卜 i Re s v + L + 9 ) ，公 3 : J = 3i )=兹 -I). 108
