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1、点 集 拓 扑 学 授课教师 王彦英河北师范大学数学与信息科学学院河北师范大学数学与信息科学学院2021 年年 3 月月 wyanying2003yahoo拓拓 扑扑 学学 导 论 拓扑学是几何学的分支，且是与欧氏几何拓扑学是几何学的分支，且是与欧氏几何 不同的几何学分支不同的几何学分支 研研讨对象：普通的几何象：普通的几何图形拓扑空形拓扑空间 中心中心义务：研：研讨几何几何图形的一形的一类性性质即即所所谓的拓扑性的拓扑性质，但，但这类性性质与我与我们在欧氏在欧氏几何中研几何中研讨的的长度、角度、面度、角度、面积等不同。等不同。一笔画一笔画问题 平面上由曲平面上由曲线段构成的一个段构成的一个图
2、形能不能一笔画成，使得在每条形能不能一笔画成，使得在每条线段上不反复？段上不反复？ 例如：日例如：日 ，中，中 可以一笔画出可以一笔画出 田田 ，目，目 不能一笔画出不能一笔画出 欧拉的结论欧拉的结论 欧拉调查了一笔画图形的构造特征。发现，欧拉调查了一笔画图形的构造特征。发现，凡是能用一笔画成的图形，都有这样一个凡是能用一笔画成的图形，都有这样一个特点：每当他用笔画一条线进入中间的一特点：每当他用笔画一条线进入中间的一个点时，他还必需画一条线分开这个点。个点时，他还必需画一条线分开这个点。否那么，整个图形就不能够用一笔画出。否那么，整个图形就不能够用一笔画出。也就是说，单独调查图中的任何一个点
3、也就是说，单独调查图中的任何一个点除起点和终点外，它都应该与偶数条线除起点和终点外，它都应该与偶数条线相连；假设起点与终点重合，那么，连这相连；假设起点与终点重合，那么，连这个点也应该与偶数条线相连。个点也应该与偶数条线相连。 一笔画问题的特点一笔画问题的特点 该问题与线段的长短曲直、交点的准确该问题与线段的长短曲直、交点的准确方位、面积、体积无关。重要的是图方位、面积、体积无关。重要的是图形中点线之间的相关位置，或相互连形中点线之间的相关位置，或相互连结的情况不能变。结的情况不能变。哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡是位于波罗的海东岸一座古老而美丽的城市，布哥尼斯堡是位于波罗的海东岸
4、一座古老而美丽的城市，布勒格尔河的两条支流在这里集合，然后横贯全城，流入大勒格尔河的两条支流在这里集合，然后横贯全城，流入大海。河心有一个小岛。河水把城市分成了块，于是，人海。河心有一个小岛。河水把城市分成了块，于是，人们建造了座各具特征的桥，把哥尼斯堡连成一体。们建造了座各具特征的桥，把哥尼斯堡连成一体。 一天又一天，座桥上走过了无数的行人。不知从什一天又一天，座桥上走过了无数的行人。不知从什么时候起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个有趣的问么时候起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个有趣的问题在居民中传开了：谁可以一次走遍一切的座桥，而且题在居民中传开了：谁可以一次走遍一切的座桥，而且每座桥
5、都只经过一次？每座桥都只经过一次？ 这个问题似乎不难，谁都乐意用它来测试一下本人的这个问题似乎不难，谁都乐意用它来测试一下本人的智力。可是，谁也没有找到一条这样的道路。以博学著称智力。可是，谁也没有找到一条这样的道路。以博学著称的大学教授们，也感到一筹莫展。的大学教授们，也感到一筹莫展。七桥问题七桥问题难住了哥尼难住了哥尼斯堡的一切居民。哥尼斯堡也因斯堡的一切居民。哥尼斯堡也因七桥问题七桥问题而出了名。而出了名。 七七 桥桥 问问 题题欧拉的解法欧拉的解法 哥尼斯堡七桥问题引起了大数学家欧哥尼斯堡七桥问题引起了大数学家欧拉的兴趣。他知道，假设沿着一切能拉的兴趣。他知道，假设沿着一切能够的道路都
6、走一次的话，一共要走够的道路都走一次的话，一共要走5040次。就算是一天走一次，也需求次。就算是一天走一次，也需求13年多的时间。实践上，欧拉只用了年多的时间。实践上，欧拉只用了几天的时间就处理了七桥问题。几天的时间就处理了七桥问题。 欧拉的想法是：两岸的欧拉的想法是：两岸的陆地与河中的小地与河中的小岛，都是，都是桥梁的梁的衔接点，它接点，它们的大小、的大小、外形均与外形均与问题本身无关。因此，无妨把本身无关。因此，无妨把它它们看作是看作是4个点。个点。7座座桥是是7条必需条必需经过的道路，它的道路，它们的的长短、曲直，也与短、曲直，也与问题本身无关。因此，无妨恣意画本身无关。因此，无妨恣意画
7、7条条线来表来表示它示它们。就。就这样，欧拉将七，欧拉将七桥问题笼统成了一个成了一个“一笔画一笔画问题，从而否，从而否认了了问题的答案。的答案。对七桥问题的反思对七桥问题的反思七桥问题是一个几何问题，然而，它却是一个以七桥问题是一个几何问题，然而，它却是一个以前欧氏几何学里没有研讨过的几何问题。在以前前欧氏几何学里没有研讨过的几何问题。在以前的几何学里，不论怎样挪动图形，它的大小和外的几何学里，不论怎样挪动图形，它的大小和外形都是不变的；而欧拉在处理七桥问题时，把陆形都是不变的；而欧拉在处理七桥问题时，把陆地变成了点，桥梁变成了线，而且线段的长短曲地变成了点，桥梁变成了线，而且线段的长短曲直，
8、交点的准确方位、面积、体积等概念，都变直，交点的准确方位、面积、体积等概念，都变得没有意义了。无妨把七桥画成别的什么类似的得没有意义了。无妨把七桥画成别的什么类似的外形，照样可以得出与欧拉一样的结论。外形，照样可以得出与欧拉一样的结论。 很清楚，图中什么都可以变，唯独点线之间很清楚，图中什么都可以变，唯独点线之间的相关位置，或相互连结的情况不能变。的相关位置，或相互连结的情况不能变。四四 色色 问问 题题 以上几个以上几个问题显示出几何示出几何图形形的一的一类新的几何性新的几何性质。这类性性质与几何与几何图形的大小、外形以及所形的大小、外形以及所含含线段的曲直等等都无关，他段的曲直等等都无关，
9、他们不能用欧氏几何的方法来不能用欧氏几何的方法来处置，置，它它们的特点是：在的特点是：在“弹性性变形形 下下坚持不持不变，研，研讨这类新新问题的几的几何学，欧拉称之何学，欧拉称之为“位置几何学，位置几何学，人人们通俗地把它叫做通俗地把它叫做“橡皮几何学橡皮几何学。后来，。后来，这门数学分支被正式数学分支被正式命名命名为“拓扑学拓扑学拓扑学的中心义务拓扑学的中心义务欧氏几何研讨图形在正交变换下的不变性和不变量。拓扑学研讨更普通的图形在“弹性变形 下的不变性和不变量例子。“弹性变形的特点：可复原，把相近的点变成相近的点延续根本概念的严厉数学描画根本概念的严厉数学描画普通图形：集合普通图形：集合变形
10、：映射变形：映射弹性变形：可逆映射或一一映射弹性变形：可逆映射或一一映射相近：邻域，开集相近：邻域，开集相近变相近：延续相近变相近：延续图形全等：同胚图形全等：同胚不变性：连通性，可数性，分别性等不变性：连通性，可数性，分别性等拓扑学的近代开展拓扑学的近代开展点集拓扑学点集拓扑学代数拓扑学代数拓扑学微分拓扑学微分拓扑学几何拓扑学几何拓扑学思索思索题：设C代表平面上的代表平面上的圆周，周，“点点A位于位于圆周的内部周的内部这一性一性质能否在能否在“弹性性变形下形下坚持不持不变？朴朴 素素 集集 合合 论论 集集 合合 的的 基基 本本 概概 念念集合的根本运算集合的根本运算幂 等等 律律分分 配
11、配 律律交交 换律换律集合的根本运算集合的根本运算De Morgan 律集合的根本运算集合的根本运算笛 卡 儿 积关系与等价关系关关 系系相相 关关 恒同关系恒同关系 设X是一个集合，从是一个集合，从X到到X的关系的关系简 称称为X中的一个关系，集合中的一个关系，集合X中的中的 关系关系(x,x)|xX称称为恒同关系或恒同关系或 对角角线，记作作(X)或或.自自 反反 的的 对 称称 的的 假假设 xRy 那么有那么有 yRx传 递 的的 假假设xRy , yRz , 那么有那么有xRz .等价关系等价关系 集合集合X中的一个关系假好像中的一个关系假好像时是自反的，对称的和传送的，那时是自反的
12、，对称的和传送的，那么称为集合么称为集合X中的一个等价关系中的一个等价关系.映映 射射 的的 性性 质质常常 用用 映映 射射单射、射、满射、一一映射射、一一映射常常值映射映射恒同映射恒同映射单位映射位映射投射投射自然投射自然投射集族及其运算集族及其运算有有标集族集族 设是一个集合是一个集合.假假设对每一个每一个，指定一个集合，指定一个集合A，我，我们就就说给定一定一个有个有标集族集族A ,在不至于引起混在不至于引起混淆的前提下就直接淆的前提下就直接说给定一个集族定一个集族A ，同，同时称称为集族的指集族的指标集集.注：在集族的并中，假注：在集族的并中，假设是空集，那是空集，那么其并么其并为空集，在集族的交中，空集，在集族的交中， 不能不能是空集是空集.集族的运算性集族的运算性质定理：定理：设A 是一个非空的有是一个非空的有标集集 族，族，A是一个集合，那么是一个集合，那么集族的运算性质集族的运算性质集族的运算性质集族的运算性质映射与集族的性映射与集族的性质
