人教版数学一年级上册疑难问题问答人民教育出版社小学数学室张华一、 “ 数一数”单元教学目标过于单一，内容单调，能否将其与“ 比一比”单元合并为一个单元？1 .为什么将两部分内容分开编排？“ 数一数”“ 比一比”以及“ 分类” 三部分内容在原通用教材中均编排在''准备课” 一个单元中实验教材将它们分开编排，主要基于如下考虑：(1 )在入学前，儿童对数学知识的掌握存在较大的个体差异为了全方位的了解学生数数、认数的情况， “ 数一数”单元编排时在原通用教材的基础上拓宽了场景，丰富了情境中的资源，将人物数量增加到2 0个，给学生提供充分展示其已具备知识的机会， 以便老师在今后数的认识和加减法的教学中能够做到有的放矢，因材施教另一方面也有助于老师结合本单元的内容帮助学生熟悉自己的校园环境从这个意义上讲， “ 数一数”单元的内容虽然简单，但作用是很重要的，它对后面有针对性地教学非常有帮助2 )比较和分类是儿童学习数学知识的基础内容，也是解决数学问题时常用的方法为了充实学生的相关知识，编排时，在 “ 同样多、多些、少些”的基础上，增加了比长短、比高矮等具体量的比较构成“ 比一比”单元；在按单一标准分类的基础上，增加了按不同标准分类的内容，构 成 “ 分类”单元。
综上所述，各部分内容分开编排可以为学生提供更丰富的数学知识2 .教学中面临的问题1 )这一单元反复让学生数图中事物的个数，学生会觉得比较枯燥，如何培养学生数数的兴趣？吸引学生兴趣的方法有很多 有的老师把主题图制成课件， 使人物和情境动态化，学生对这样的画面很感兴趣，也愿意数画中的事物；有的老师将学校的背景画在黑板上，边画边请学生说一说画了什么，有几个；很多老师还在主题图的基础上让学生们数一数身边的事物，例如教室、校园里的事物，将数数活动和学生的学习、生活紧密结合起来学生对这样的活动会很感兴趣2 )如何把握教学要求？ 本单元是准备课，虽然出现了 I〜10各数，但并不是正式教学，不要求学生掌 握 1 0 以内的数数，也不要求学生认识1〜10各数只是让老师全面、充分地了解学生数数和认数的情况，不仅要了解学生是否会口头数数、会认数，还要了解每一个学生是否能按要求正确地数出物体的个数来二、在本册教材中出现了 “ 从左数……”， " 从右数……”的要求，但是学生尚未正式学习左、右的概念，这样的要求对学生是否会太难？把 左 边 的4只 小 鸟 圈 起 来 ,给 从 左 数 第4只 小 鸟 涂 上 颜 色 。
左右的正式教学安排在一年级下册进行 但是在一年级上册的某些习题中出现 了 “ 从左数……”" 把右数的……” 等要求，很多老师担心学生不能正确理解其实,这里说的左右不涉及左右的相对性， 仅仅是指学生以自我为中心确定左右学生根据自己的身体线索——左手、右手，左眼、右眼以及写字、读书的顺序等日常生活经验完全可以进行判断 如果个别学生判断困难，老师可以进行适当的提示，例如， “ 给从左数第4 只小鸟涂上颜色，也就是从你的左手边数第……”以帮助学生明确题目中左、 右的含义三、 在分类教学中， 有的学生分类的结果与答案不符，老师应如何评价？鼠 建 父 嬴学生已有的知识经验不同，对问题的认识和理解也存在差异例如，题目的要求是“ 找出上图中不同的是什么？ ”个别学生的答案是护士，因为只有护士戴帽子 对学生的这类看似有一定道理的答案该如何评价呢？我们认为，当学生出现这种答案时， 老师首先要肯定他积极回答问题， 但是老师不要鼓励学生这样的思考方式， 而是引导学生抓住事物间的本质特征进行分类，否则学生会认为这种“ 标新立异”的分类结果是值得提倡的，从而导致头绪众多，结果繁杂，失去了分类教学的意义，也达不到教学目标。
四、在看图列式时，已知总体求部分，学生列加法算式是否可以？ 9K0 6叵 ］ =四由于图中两部分的数目都可以数出来，所以学生这样列式是有一定道理的，老师不应该断然否定但这不等于可以放任学生的想法，老师还是要正确引导学生理解题意，明确图中的条件和问题，否则一旦形成了这种解决问题的模式，学生今后解决类似问题时会遇到一定的困难例如，当数目增大，不能通过数数知道两部分的确切数目，学生的这种解题思路就会受挫如果在教学中遇到这类情况，建议老师不要急于对学生的答案作对错的评价， 可以先请学生依次说一说这张图提供了什么信息，问题是什么，然后逐步帮助学生理清图中的条件和问题，明确这类问题应用什么方法解决，从而达到学生正确列式计算的目的五、 在数的认识和加减法单元教学数的分解、组成是否有必要？数的分解、组成作为数概念的一部分，是一种非常直观的表达方式，在数的认识和加减运算中起着很重要的作用首先，它可以加深学生对数概念的理解，巩固对数的大小和数序的认识；其次，数的分解组成对学生建立一图四式的表象、理解加减运算的关系是很有帮助的；再次，数的分解、组成也是进行加减计算的基础，尤 其 是10的分解和组成,在计算进位加法与退位减法时要经常用到。
基于以上考虑， 仍然应将“ 数的分解、组成”作为重要的内容进行教学六、“ 认识物体和图形”单元教学中的两个争论1 .能否先教学平面图形，再过渡到立体图形我们提倡老师根据学生的具体情况灵活使用教材. 如果在教学中， 老师认为先教学平面图形的效果更好，是可以进行调整的教材先编排立体图形，之后再是平面图形，主要是基于以下考虑：(1 )在现实生活中学生直接接触的基本是立体图形， 而对平面图形的感知比较少， 将立体图形的认识编排在平面图形之前， 可以借助学生日常已有的图形经验以及对物体的操作活动帮助学生感知儿何形体的特征，建立清晰的表象 2 )教材通过立体图形和平面图形的关系引入对平面图形的认识， 在向学生渗透面构成体的关系的同时，也帮助学生感受知识转化和形成的过程2 .用球是否可以画出圆？ 在完成练习五第5题时，老师们在“ 用球是否能画出圆”这一问题上存在争论从理论上讲，如果通过一些工具把球固定住，让铅笔始终垂直纸面，沿着球画大圆，就能够画出圆来虽然在理论上可行，但在实际操作中存在着很大的难度不过在实际教学中确实有过学生解决了这一难题学生用硬纸板把球紧紧地包裹起来，形成一个圆柱竖在桌子上，然后沿着这个圆柱的底的边缘画出圆。
这种方法成功地运用了 “ 转化”的思想，巧妙地将“ 用球画圆”转 化 为 “ 用圆柱画圆”，对变换思路、解决问题颇具启发七、教 学 “ 认识钟表”单元时的几点困惑1 .学生对半时的认识比较困难 认识钟表”这--单元在认识整时的基础上，增加了认识半时有老师提出由于学生没有学过1时= 60分，在用电子表显示半时的时候，学生对双点右边的“30”表示半时不易理解 其实， 在这部分内容的教学中， 学 生 只 要 知 道“30”表示半时，知道半时怎么写就达到要求了，不要求学生根据时、分的关系进行推理所以，教学时注意不拔高要求，并在日常生活中培养、巩固学生对时间的认识，学生基本能够达到教学目标2 . 一段时 间是否也用“ 时”表示？有关时间叙述和书写的问题，我们依据的是国家计量局颁布的《 常用法定计量单位名称与符号简表》简表中有关“ 时间”的具体规定如下：量的名称单位的中文名称（ 亦读法）错误的单位名称正确的单位符号时间国际符号中文符号年a年小时点钟h时分分钟min分秒秒钟s秒根据此规定，在书写单位名称时，只 使 用 “ 年 ” “ 时” “ 分”和 “ 秒”，在叙述时可以使用“ 小时" 和' ' 分钟”。
八、关于实践活动的几点疑问1 .实践活动中的个别内容在课堂上操作有困难在本套教材中， 低年级的实践活动主要是采用一些具有现实性和趣味性的活动材料，以游戏的形式帮助学生巩固所学数学知识， 在活动中经历数学知识的应用过程有的老师认为，个别实践活动的内容在课堂上不好操作其实，教材中实践活动的内容仅仅是提供学生活动的资源或线索， 在实际教学中，老师可根据学生的情况进行增减或修改，从而使活动的可操作性更强，切实提高学生从实际生活中提出数学问题的能力和' ' 用数学”的意识2 .实践活动内容较多， 节课很难完成所有活动教学中，可以灵活安排实践活动的时间，老师不必在一堂课内完成所有的游戏，可以将活动分散进行例如，在学习加减法后进行送信的活动，在学习序数后进行起立的游戏……此外，活动的形式也可以多样例如，将学生分为儿个小组，由老师安排或小组选择要做的活动，这样做既提高教学效率，也可以让学生在共同活动中体会同伴合作和游戏的乐趣 一年级下册疑难问题解答人民教育出版社小学数学室陶雪鹤一、为 什 么 “ 上下、前后、左右”的认识安排在一年级下册？有的老师认为上下、 前后、 左右的概念比较简单， 一年级上册教学序数时( 如下 图 ) ，就要辨别左右，所以这部分内容安排在一年级上册比较合适，安排在一年级下册晚了些。
从左数，小女孩排第几？妈妈排第儿?教材现在这样的编排有如下考虑 1 )在认识左右的教学内容中，包含着对左右的相对性的认识而左右的相对性对儿童来说理解起来比较困难 心理学研究表明，儿童一般要在7〜9岁，才能逐渐形成以他人为标准辨别左右的能力如果按此规律，学生在8岁时，也就是在二〜三年级时，学习左右相对性比较适宜但考虑到学前教育，以及后续知识的学习等因素，教材把左右的相对性内容安排在一年级下册当然如果不涉及左右的相对性， 这部分内容完全可以安排在一年级上册 考虑到左右的相对性在日常生活不可避免，因此有必要让学生初步感知体会， 所以教材中安排了左右的相对性内容2) 一年级上册教学中，学生在没有认识左右时，就要回答类似“ 从左数起 ( 或 从 右 数 起 ) ，谁在第儿？ ”的问题，这时就要先辨别左右再数数由于我们读书、写字等都是按从左往右的顺序进行， 所以在教学序数时可以利用学生这些已有的生活经验二、左右的相对性教学尺度问题1 .如何把握左右的相对性的教学要求？考虑到左右的相对性认识的难度， 教材只是通过游戏和活动让学生初步感知体会，没有安排脱离操作判断左右相对性的习题教学时，也应该根据一年级学生的年龄特点，组织适宜的活动。
如两个同学面对面，老师发口令：拍拍自己的 左 （ 右）肩，拍拍对面同学的左（ 右 ）肩……学生按口令活动，让学生在活动中体会左右的相对性所以这部分内容不宜作书面考试2 .在练习中如何判断左右的相对性？有老师反映，在左右的练习中，有时左右的相对性回避不了如上图“ 女孩的左边是谁？ ”就有不同的答案，引起了不必要的麻烦其实上述问题就是判断左右时以谁为标准的问题以谁为标准， 一般要根据具体情况来确定为了便于说明我们把观察的对象按属性进行分类 1 ）观察的对象是无生命的物体（ 如下图），一般确定左右的标准是观察者圆的左边有（ 3 ）个三角形，右 边 有（ 4 ）个三角形 2 ）观察的对象是人或动物，有两种情况①当问及的问题涉及到人或动物身体的左右时（ 如下图），一般以人或动物为标准他 （ 右）手拿着计算器 小 猫抬的是（ 左 ）爪②当问及的问题不涉及到人或动物身体的左右时（ 如下图），以谁为标准皆可女孩的左边是谁？ 小狗的右边是谁？如上左图， 如果以观察者为标准， 女孩的左边就是奶奶； 如果以女孩为标准,女孩的左边就是爷爷 像这样判断照片中某人的左边或右边是谁时，以照片中的 人或看照片的人为标准都是可以的。
但为了避免不必要的麻烦， 最好是标明参照的标准，如给下图中的某人或某动物加上标明参照标准的说话框， 这样就没有异议了三、有关计算教学的问题1 .有关算法多样化的问题计算教学提倡算法多样化，是这次课程改革中计算教学方面的一个显著特点其内涵主要是尊重学生的个体差异，鼓励学生独立思考，积极主动地解决问题这一点也得到了老师们的认可，并很快在课堂中得到明显体现但随着改革的逐步深入，一些问题浮现出来，老师们也由最初的激情实践，转为理性思考 1 )是不是算法越多越能体现多样化？答案是否定的，因为算法多样化追求是尊重差异、尊重本色、尊重真实，学生自发想出的算法是最真实、最本色的因此教学应实事求是，应主要呈现学生自发想出的算法，然后进行分析比较，在此基础上再选择或推荐i般性的算法不能为多样而多样，让学生绞尽脑汁，想出与众不同的，费解的算法 2 )如何处理学生的多种算法？对于学生出现的算法，不能散乱的摆放在黑板上，应该进行分类梳理，逐一分析算理我们 结 合“20以内的退位减法”来说明如12—9 ,学生可能会出现下面一些算法①破十法：10-9=1, 2+1 = 3②连续减：12-2=10, 10 — 7 = 3。
③想加算减：9 + 3 = 12, 12-9 = 3o④其他，如数数，联想：11-9=2, 2 + 1 = 3等对于这些方法，不能只停留在罗列的层面上， 应在分类梳理的基础上选择…般性的算法，如第①〜③种，让学生理解其算理可采用先让汇报学生讲算理， 再让其他学生复述算理的方式，使学生了解他人算法，修正自己的算法，在原有的基础上得到进步和提高 3 )在多种算法中教师能否有一定的倾向性？在诸多算法中， 有特殊算法和一般性算法 特殊算法往往受到数据和个体思维习惯等因素的影响， 某种特殊算法对某人或某一题比较适合， 但对另一人或另- 题可能就不方便了，有的虽然可行，但操作烦琐，效率比较低而一般性算法具有通用性和简捷性，一般不受个体和题目的限制，是通法通则如上面呈现的“ 破十法”“ 连续减”以及“ 想加算减” 都是一般性算法， 其中最具优势的是“ 想加算减”其原因是：第一，简便快捷 因 为 “ 破十法”、 “ 连续减”都需要两步，而 “ 想加算减”只需一步它对后续学习非常重要，如在多位数减法中，当某一步需要退位时，如 果 用 “ 破十法”或 “ 连续减”计算，仅退位这一步就需要两步计算，如此下来整个计算步骤就会增加，出错率也会增加，如 果 用 “ 想加算减”整个计算就变得简捷明了。
第二，沟通了加减法的内在联系第三，能帮助学生进一步巩固2 0以内的进位加法，具有一举两得的功效既 然 “ 想加算减”有如此多好处，那么教师能否倾向于“ 想加算减”？回答是当然可以，但要注意处理好算法多样化与一般方法之间的关系 在开始学习时，几种一般性算法可以由学生根据自己的特点灵活选择， 在以后的学习中再采取一•定策略，让学生逐步体 会 “ 想力口算减”的优势，促使学生自发选择和掌握“ 想力口算减”的方法2 .本册的计算，在熟练程度上有无量化标准？本册的计算都是最基本的，按 照 《 数学课程标准》第5 6页评价建议中提出的相关目标，到学期末学生应能比较熟练地进行计算，“ 2 0以内的退位减法”绝大多数学生应达到每分钟做8〜1 0题，“ 1 0 0以内的加减法” 绝大多数学生应达到每分钟做2〜3题教学时，教师可以根据学生的实际情况按此标准适当调整3 .如何处理练习量不够的问题？本册计算非常重要但练习量不够， 学生要达到计算熟悉仅靠课本上的习题远远不够借助一些常规性的口算训练方式，可能对熟练掌握本册计算有所帮助，现简要介绍几种，供参考 1 )制作口算卡片，经常练习 可以用硬纸自制，每张纸大约长2 5厘米，宽1 0厘米，上面写一道算式，供课堂练习用。
练习时，可以根据一年级儿童的特点，以 “ 开火车" ' ‘ 找朋友" ' ' 给小动物找家” “ 对号入座”等游戏、比赛方式进行最好每天坚持课前5分钟的“ 开火车” 口算训练 2 ）印制口算题单在3 2开大小（ 即课本大小） 的纸上印制口算题， 每页印3栏 ， 每 栏2 0题 （ 带等号），共6 0题教学时，可以根据进度和需要选择合适的条目进行练习练习时，学生可以拿一张纸放在一栏试题的右边，对准每道题直接写出得数可以分别记出所用时间，全部算完以后，大家一起对得数，看谁算得乂对又快；也可以全班同学同时进行练习，规定一个时间，在同一时间内看谁算得又对又快这种练习，不费多少时间，全班每人都能得到练习经常做这样的练习，还可记录每个学生的进步情况这种题单，可以反复使用除此之外， 还应经常了解学生的情况， 不断采取针对性的措施帮助有困难的学生逐步达到要求四、 ” 图形的拼组”教学应注意的问题“ 图形的拼组” 是在一年级上册初步认识了常见的立体图形和平面图形的基础上编排的， 其目的是让学生用所学的平面图形和立体图形拼摆出新的图形， 体会平面图形间和立体图形间的关系 但这部分内容容易上成手工课或拼摆各种有趣图案的活动课， 使教学重点偏离教材编排的初衷。
因此教学中应注意以下一些问题1 .在动手操作中，突出图形的变换本单元所设计的活动，不论是做风车、折飞机，还是图形的拼组，都是为了让学生在活动中体会图形间的关系， 因此在操作时要注重让学生描述图形的变换过程 1 ）在折纸活动中描述图形的变化如做风车，不能只是让学生学习如何做风车， 而且还应该让他们边折边按下图中的文字说明图形的每一步变换过程 T正才冷.再把正方形纸剪成四个三角彩.风车转起来后,变成一个圆.（ 2 ）在拼组活动中描述图形的变换在拼组活动中， 应让学生说明是用什么形状的图形拼成了什么新的图形，由此体会图形间的变换关系（ 如下图）14正方体可以If或f箕才休.3以正方体.S个正方体T以群戌f大正才以（ 3 ）在剪、卷活动中描述平面图形和立体图形的变换关系（ 如下图）f 长方形纸可以［ 卷成一个翻主.2 .注意通过多种层次的拼组活动体会图形间的变换关系拼组活动，教材只呈现了一些简单的范例教学中，教师可以组织丰富的有层次的活动，让学生体会图形间的变换关系如平面图形之间的变换关系可以分这样儿个层次:（ 1 ）用相同形状的图形拼出同样形状的图形f f i4个正方再群用一个正才型.A9个三角再群用一个大的三角1个今明畀或一个堂的长才影.（ 2 ）用相同形状的图形拼出不同样形状的图形。
™ B s4个正方再群或一 1个 "第 咐t -个为病型. 个正方期.t十 三 # 彩 " 戊 一个工宫电 （ 3 ）用不同形状的图形拼出新的图形H S立体图形之间的变换关系的活动层次可以参照平面图形五、有 关 “ 人民币的认识”的教学问题1 . 小数表示的人民币的计算要求到什么程度？有老师反映在“ 人民币的认识”中，用小数表示的人民币计算，思维步骤较多，学生学习起来比较困难如下图，思 维步骤有（ 1 ）将1 . 2 0元转化成1元2角，0 . 8元转化成8角，列出加法算式 2 ）将1元2角变换成1 2角 3 ）计 算1 2角+8角，等 于2 0角 4 ）将2 0角变换成2元像这样涉及复名数和进或退位的计算要不要学生掌握？人民币的认识离不开商品价钱，而在实际生活中，商品的标价大多是用小数表示的，因此教材出示了用小数表示的人民币但考虑到学生还未学习小数，所以这里出现的商品标价只出到角，并且只要求学生知道儿点儿元（ 如1 . 3 0元 ）表示几元几角就可以了 而相应的小数表示的人民币的计算也主要是为认识人民币服务的像上面那样的计算，如果学生接受起来困难，可以在练习和考试时降低难度，如限定计算范围，只出单名数的计算（ 如0 . 4元+ 0 . 7元 ）；如果要出复名数的题目，也不要涉及进位或退位， （ 如1 . 2元+ 0 . 5元 ）。
这样调整后，学生接受起来可能会容易些2 .有些计算题超出所学范围怎么处理？人民币的计算，有个别题目的计算超出了所学范围如 第5 5页 第1 1题 （ 下图），一袋大米2 0元，一桶油3 9元，问买这两样东西共要多少钱？解决这一问题，要 算2 0 + 3 9,这样的计算要到下一单元“ 1 0 0以内的加减法”才学，计算超 出了范围，这样的练习如何处理?( 1 )买 一 袋 大 米 和 一 桶 油 共 宴 ( ) 投.这样的习题在“ 100以内的加减法”之前出现确实不妥，在教材修改前，可选用下面两个办法一是，改变数据使计算限定在所学范围二 是 将 “ 人民币的认识”整个单元移到“ 100以内的加法和减法( 一 ) ”之后教学六、关 于100以内的退位减法中的问题教材第6 8页，通 过3 6 - 8教学两位数减一位数的退位减法，呈现了学生摆小棒 的 计 算 过 程 ( 如 下 图 ) 左边学生提出疑问：“ 36—8, 6减8不够减怎么办？ ”右边学生用“ 想加算减”的方法算：先 从3捆中拿出一捆打开和原来的6根合起来，变 成16根，算16—8 = 8 ,再算2 0 + 8 = 2 8。
但实际教学中， 如果摆小棒计算，学生不一定用这种方法他们通常用“ 连续减”和 “ 破十法” “ 连续减”这样想：3 6 - 8 ,先 从36根中拿走6根，再打开一捆，拿 出2根，最后剩下2 8根，所 以36—8 = 28 “ 破十法”这样想：3 6 -8 , 6减8不够减，从3捆中打开一捆拿出8根剩下2根，和原来的2捆 零6根合起来，就 是28根，所 以36—8 = 28那么现在如何处理学生的实际算法和教材算法的关系？这一问题实质上是如何处理“ 连续减” “ 破十法”和 “ 想加算减”三种方法的问题前面我们已经谈到过， “ 想加算减”在多位数的退位减法中较其他两种算法有明显优势， 在脱离操作， 计算多位数的退位减法时， 用的都是“ 想加算减”的方法， 所以教材主要呈现的是这种方法， 提示教师在学生多样化的算法基础上， 引导学生学习和掌握这种方法 但要注意我们主张这种方法，并不是否定学生的算法，学生的真实算法，可以反应出他们对已有知识掌握的程度，有助于对“ 想加算减”方法的理解和掌握因此一定要给予充分的肯定和鼓励，以保护学生积极主动解决问题的积极性和独立思考的良好习惯七、如何克服认识时间的难点？一年级下册，教材安排了认识儿时儿分的内容，由于儿时儿分时，时针不是正好指着几时，学生分不清到底是几时，所以认识比较困难，那么怎样才能克服这一难点？在这方面，不少教师探索出了一些好的经验，这里介绍给大家。
一是，在整时的基础上，经常做一些认儿时多（ 差 ）一些的练习，以帮助学生分清在儿时多（ 或少）时，时针的位置二是，在教室里放一钟表，把认识时间和学习生活联系起来，经常进行认读 人教版实验教材数学二年级上册疑难问题解答一、关于加减法估算的问题1 .估算的意义是什么？笔算、口算、心算和估算是小学生计算的儿种主要方式，从计算结果的角度来看， 笔算、口算、 心算可归入精确计算， 而估算则可看作是一种近似计算方法估算是对事物的数量或计算的结果做出粗略的推断或预测的过程， 也是学生计算能力的重要组成部分在以往的小学数学教学中，比较注重学生笔算、口算能力的培养，对估算的要求较低但在日常生活中，人们往往又离不开估算，比如：从家到学校估计有2千米，步行上学估计要用1 5分钟；带了 1 0元钱去买菜，估计只能买一斤猪肉和2斤西红柿，1 8 + 2 3经估算知结果应是4 0左右……所 以 《 数学课程标准》明确 提 出 “ 应重视口算，加强估算” “ 在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法， 养成估算的习惯” “ 能结合具体情况进行估算， 并能解释估算的过程”止 匕 外 ，估算与精确计算也并不是完全对立的，二者也是互有联系。
如笔算除法中的试商、粗略估计计算器得到的结果是否正确等都要用到估算；同样，估算时也常常离不开基本口算，并且为了提高估算的精度，调整估算的策略，往往也需要以精确计算的结果作为支撑可见，从加减法运算开始逐步培养孩子的估算意识是非常必要的2 .加减法估算的方法与策略有哪些？与笔算和口算相比， 估算的方法更加多样化， 可采用的策略也是极为丰富的就加减法估算而言，主要就有：四舍五入法：4 8 + 3 4 = 5 0 + 3 0 = 8 0 ；取 ' 整 ' * 法：7 2 - 2 6 * 7 0 - 2 0 = 5 0 ；前后协调法：5 4 + 2 4 * 5 0 + 3 0 = 8 0例如：教科书第3 1页的例4 ,要 计 算1 0 0元钱买3种商品够不够，除已经呈现的2种算法外， 还可以先估计买茶杯和水壶大约要5 0元， 剩 下5 0元买茶壶够了等等 学生采用的估算方法不同，得到的结果也会不•致，即使估算的结果相同，所采取的估算策略也可能是不同的学生的估算方法，只要合理可行，体现了估算的思想，都应给予鼓励不要对学生的估算方法进行过多的评判，尤其不能以是否接近精确结果为依据来判断估算方法的优劣。
另外，教学中还应让学生意识到是否采用估算，以及估算方法与策略的选用也是跟具体的问题密切相关如一套水杯2 4元，一个热水壶2 8元，问带5 0元钱够吗？则就不应把2 4估得太低二、有关长度单位的问题1. 如何体现统一长度单位的意义？学生在一年级上册通过“ 比长短”的学习，已对长度概念有了一些直观认识，并 会 用 “ 长、短、一样长、短一些、长得多”等词语来形象描述物体的长度特征但要精确描述一个物体究竟有多长，则只有采用量化的结果才能完成而量化的基础便是长度单位的确定，这即是第一单元教学内容的现实来源在如何确定长度单位的问题上， 教材引导学生自己选择感兴趣的物体作为长度单位来进行测量， 进 而 得 出 “ 为什么同一边量出的结果不一样呢？ "和' ' 不同边两个人量出的数据都相等”这样的疑问（ 见下图），为 探 讨 “ 统一长度单位”作了孕伏教材仅是提供•个探究的线索， 教学中还可结合古今中外有关量与计量制度演变的资料， 让学生在更广阔的视角下来审视统一长度单位的必要性如可介绍中国古代秦始皇采取的“ 车同轨， 书同文, 统一度量衡”等举措在促进国家统一方面的巨大意义，当今大多数国家采用的国际单位制* * 在科技、文化、商贸交流等方面所具备的重要作用等等。
实际教学时可把这些资料做成课件等形式向学生 展示，如有位老师为强调统一长度单位的意义，就做了一个动画，讲两个国家的商人在做生意时，因使用的长度单位不一致发生了争执，生意做不成了，等等2 .教学长度单位时应注意哪些问题？（ 1 ）加强探究活动，经历统一长度单位的过程在 提 出 “ 统一长度单位”这一命题前， 应放手让学生采用各种物品作为单位来测量长度，让学生在活动过程中发现问题，引起认知冲突，从而感受到统一长度单位的必要性，同时又为后面教学活动的开展作好了铺垫 2 ）通过多种方式，帮助学生形成厘米和米的正确表象厘米和米是最常用的两个长度单位， 也是学生进一步学习其他长度单位的基础，故对厘米和米的正确表象的建立尤为重要为此，教材编排了不少生活中的实物，如图钉、指甲、米尺等，籍此可给学生以直观的表象三、认识线段和角的教学尺度应如何把握？为遵循儿童的认知规律和认知心理， 实验教材对线段和角的定义采用的是直观 描 述 （ 见下图）这与以往利用“ 线段是直线上两点间的一段”来定义不同，由于这一定义本身就涉及到两个抽象的数学名词“ 点”和 “ 直线”， 学生理解起来较为困难因此，关于线段比较严格的定义安排在学生认识了射线、直线之后给 出 （ 本套教材编排在四年级上册）。
下面这些都是媒段.——------------------- .—线 段 是 可 以 量 出 长 度 的 . 量 一 量 上 面 的线段长几厘米.教学线段时，注意不要拔高要求，只要学生直观认识什么是线段，其主要特征 是 “ 直”和 “ 长度可测”就行了，不要把线段与直线、射线的联系与区别在这里教学和线段的认识相似，教材关于角的初步认识的编排，也是从对实物的观察的角度来直观地、形象地描述什么是角、什么是直角，让学生在观察、操作中逐步 建立起角的初步表象：有一个顶点、两条边等上 面 的 困 形 都 是 角 一 个 角 有 几 个 顶 点 ？有几条边？对角的更严格定义， 将在四年级上册学习了 “ 射线”后给出：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角故教学时不要拔高要求， 只要学生通过各种实际活动 （ 如折一折、画一画、做一做等）对角和直角有感性认识即可一四、乘法计算中还要 强 调 “ 几个几”吗？两个因数的地位有何区别吗？在实验教材里，乘法算式中两个相乘的数都称为“ 因数”，不 作 “ 被乘数”和 “ 乘数”的区分， 这样编排主要是为了更好地体现乘法在数学上的含义 在数学研究中，对 “ 加、减、乘、除”四种运算而言，真正有意义的研究是“ 加 ”和“ 乘”这两类运算， 因 为 “ 减”和 “ 除”在本质上仅仅是“ 加”和 “ 乘”的诱导变 形 , 即 ：在学生学了负数和倒数后, “ 减 ”和 “ 除”就已经被吸纳进“ 加”和0 — b = a + ( - ▼ b = a x 1“ 乘”的运算中了。
如： b在数学上，当一种运算 具 备 “ 可交换性” （ 即交换律）时，则各个元素在运算中的地位就是完全平等的， 孰前孰后无关紧要，故乘法运算中区分“ 被乘数”和 “ 乘数”是没有意义的，因为二者在运算过程中的作用和地位是完全对等的，正如加法运算中两个加数彼此地位相等•样结合我国小学数学教学的历史与现状，不少老师对下面的问题还有疑惑： 在实际教学中， 还 要 强 调 “ 几个几”吗？我们认为这与两个因数地位是否相等是两个不相关的问题，理由如下：在描述或说明特定的情景时，是可以而且应该使用“ 几个几”这样的词语的， 但 根 据 “ 几个几”来列乘法算式时. ，则两种列法都是正确的如:5 x 3 = 153 x 5 = 15 该图用文字描述可为“ 3个5 ”，但据此写出乘法算式时，3 X 5和5 X 3都可以又如：3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 1 8 ,表 示6个3相 加 得1 8 ,改写成乘法算式时,3 X6和6 X 3也都对五、观察物体的教学应注意哪些问题？观察物体的教学对发展学生的空间观念很有帮助 本册教材编排的例题和习题都是从三个不同的位置来观察物体，故有的老师就疑惑： 这是否是要教学几何中 的 “ 三视图”内容？回答是否定的，原因有二：（ 1 ） “ 三视图”构图的基本原理是从正、侧、上三面来观察物体，而我们教材里则主要是从前（ 正 ）、后、侧三个位置作为视角切入观察的，不 满 足 “ 三视图”的观察维度；（ 2 ） “ 三视图”的教学功能主要是通过三个角度的观察，真实地反映物体的长、宽、高等立体要素，准确描述物体的空间儿何轮廓，这也与教材的编写思想不同。
二年级上册主要教学从不同位置观察同一物体，目的是让学生初步理解：即使同一物体，因观察的位置不同，所看到的形状也是不一样的，从而初步培养学生的空间观念，同时让学生体会局部与整体的关系， 渗透一点辨证唯物主义的思想更复杂的观察物体问题，我们在高年级还有安排六、如何 把 握 “ 对称”的教学尺度？对称作为一种基本的图形变换， 在自然界和社会生活中处处都有体现，与学生的日常实际联系较多， 故在二年级上册引入“ 对称”这一常见变换应该说是必要的对称的表现方式很多，如中心对称、平移对称、旋转对称、轴对称、镜面对称等， 陶于学生的年龄特征和认知水平， 教材只对轴对称和镜面对称作了介绍,其中镜面对称是原通用教材没有的，是本次教材编排新增加的内容教学中有老师反映这部分内容较难， 学生不易掌握 这个问题我们认为与对“ 对称”这一内容的教学尺度的把握有关 在原通用教材中， “ 对称”是安排在高年级的， 这次在二年级上册安排主要是让学生初步认识和判断哪些物体是对称的，会找出对称轴，体会和欣赏对称美就行了；对于轴对称、镜面对称的定义及性质不作探讨故教学时重点应放在观察图形上，由直观来判断是否对称，会找出给定图形中的对称图形；可让学生画一画最简单的轴对称图形， 但应注意所画图形的线条要简洁明了，并且应在方格纸上进行（ 如教材第7 0页 第3题 ）。
七、关 于 “ 统计”的教学问题 在一年级下册简单的条形统计图（ 1格 表 示1个单位）的基础上，本册教材编排了 1格表示2个单位的条形统计图 对于该内容的教学， 我们认为应从培养学生的统计观念这个角度来认识和分析小学生的统计观念主要有三层含义：一是数据的收集、记录和整理能力；二是对数据的分析、处理并由此做出解释、推断与决策的能力；三是对数据和统计信息有良好的判断能力 对于第一学段的小学生来说， 他们的统计观念则主要包含前两个层次，故教学中应加强学生经历统计的过程， 探索统计的方法和体会统计的作用首先，让学生经历收集数据、整理数据、记录数据的过程，感受统计的现实意义在根据数据绘制统计图的时候，学生会发现当统计的数据较大时，用1格 表 示1个单位就不方便了，从而引起他们的认知冲突，寻求解决问题的方法实际教学时， 可放手让学生自主探索或小组交流画图的方法， 然后再总结归纳出1格表示2个单位的条形图的画法在此基础上，学生可能会进一步提出“ 1格表 示2个单位，则半格就表示1个单位” “ 数据很大时，还可以用1格表示3个单位、4个单位……”这样一些闪烁思维火花的推断教学时有的老师考虑到“ 以1当5 ,以1当10”等内容后面的教材还有安排，故不愿意让学生对本册结论作进一步的拓广， 我们认为可以放手让学生去探索，教师可结合学生的具体情况对这些推断进行适当分析，但不要求学生掌握。
“ 以1当2”与 “ 以1当5,以1当1 0 ,以1当n”在思维的链条上是前环扣后环的关系，处理问题的方法在本质上是相同的其次， 应加强学生对统计作用的认识， 让其逐步学会根据统计结果做出相应的决策和预测如统计显示本班喜欢跳绳的同学比喜欢踢健的多，则我们在采购体育用品时，跳绳就应多买些；某停车场停放了 21辆小汽车，4辆面包车，则说明该地区小汽车的拥有量比面包车高；等等 二年级下册疑难问题解答人民教育出版社小学数学室熊华一、 有 关 “ 解决问题”教学中的问题1. “ 解决问题”教学目标如何把握？实验教材中没有了以往教材中“ 应用题”的编排， 而安排了若干“ 解决问题”的单元，很多老师对如何把握这部分的教学要求，以及它和以前的“ 应用题”教学有何区别等存在疑惑，所以在这里首先说明一下从实质上说， “ 解决问题”教学的目标与“ 应用题”教学是相同的，都是让学生学会应用所学的数学知识解决简单的实际问题 但是， 在编排上“ 解决问题”教学与原“ 应用题”有着很大的不同以前的“ 应用题”是独立于其他知识单独编排的，与其他知识的结合不够紧密，另外，教师们通过长期的实践，在 “ 应用题”教学中积累了丰富的经验，对应用题的解题方法形成了固定的格式，这对于学生掌握解题技巧确实很有帮助。
但是当学生掌握了这种解题模式， 就不去分析数量关系了，使得解应用题变成了机械的训练，也就失去了“ 应用题”教学培养学生思维能力、应用意识等的作用实验教材中， “ 解决问题”的编排是融于其他知识中的，在学生掌握了相关的数学知识后， 给学生创设现实的具体情境，让学生运用这些知识来解决一些相应的实际问题比如第一单元和第四单元， 就是结合计算知识教学应用这些知识解决相应的实际问题；又如在空间与图形的有关单元，教学利用这些知识解决相应的实际问题；等等 这样就使解决问题教学和各部分数学知识的教学有机的结合在一起， 同时从现实情境中提出问题还可以让学生体会数学在实际生活中的应用 “ 解决问题” 的教学目标是培养学生提出问题、 分析问题、 解决问题的能力，体会数学知识在解决实际问题中的作用 这里让学生学会分析数量关系，明确解题方法是不变的初衷2 .如何引导学生学习解决问题的方法和思路？有些老师提出在教学用两步计算的方法解决问题时， 很多学生往往只解决一步就结束了要解决这个问题，首先要让学生学会看图，明确题意因为现在的实际问题大都用图示来呈现，要让学生能从图中找出有用的信息，为解决问题做好准备接下来， 引导学生学会分析数量关系。
因为本单元解决的是两步运算的实际问题,在引入时，老师可以从一步过渡到两步比如教学例1时，老师可以先从一步计算的实际问题引入，创设这样的情境：原来看木偶戏的有2 2人，现在走了 6人让学生根据这些信息自己提出问题： 现在看戏的还有多少人？然后自己解决 接下来，老师再出示又有1 3人来看戏，再让学生提出问题：现在一共有多少人看戏？学生有了前面的铺垫，知道用剩下的人加上新来的人数就可以了，也就是1 6 + 1 3 =2 9人在此基础上，老师再把中间的过渡问题去掉，让学生直接解决：原来看木偶戏的有2 2人，现在走了 6人，又 有1 3人来看戏现在一共有多少人看戏？在学生交流分析思路时，老师要强调为什么用两步， 在学生汇报用两步计算解决问题的时候，老师要问一问每一步解决的是什么，帮助学生理清思路，培养学生学会分析问题，找到解决问题的方法3 .书写格式的要求教材在用两步计算解决问题的时候， 出现了分步计算和列综合算式的两种形式，而且在连减中的不同方法中认识了小括号，在第四单元“ 表 内 除 法 （ 二）“的解决问题中出现了用递等式的书写形式计算综合算式老师也就自然想知道：学生在解决实际问题的时候是不是要求必须列综合算式和使用小括号呢？综合算式是否一定要用脱式计算？还有要不要写答语等。
解决问题教学的重点是培养学生分析数量关系，找出解决实际问题的方法至于是用分步列式还是列综合算式，只是书写形式的不同， 对解决问题的要求没有影响教材在这里介绍了综合算式和小括号，是让学生知道两步计算也可以用 综合算式表示，同时也是初步渗透四则运算的计算顺序在实际教学中，如果学生没有出现列综合算式解决的，老师可以加以引导和介绍， 但对列综合算式或有小括号的综合算式解决问题不作统一要求另外，教材中缺少四则运算的练习，为了后续的学习，老师可以适当增加一些这部分的单项练习， 让学生通过练习掌握四则运算的计算顺序并初步体会小括号的作用关于写答语，在本册教材不作要求，学生可以口答完成到了四年级，会作具体的要求至于用递等式的脱式计算，教材在这里也只是介绍了这种写法，对学生也不做统一要求，在后面的学习中还会正式教学二、是否要求学生看除法算式说意义有老师问：要不要求学生看除法算式说意义，比如：18 + 6 = 3表 示18里面有3个6还 是6个3?对于这个问题，我们认为对于单独的除法算式，一般不要讨论它的意义，除法的意义最好结合具体的情景来理解 对于除法的意义， 要建立在平均分的基础上，让学生通过操作体会除法的意义。
三、 “ 平移和旋转”教学中的问题1 .如何准确的数出平移的格数关于平移的教学， 老师们反映， 学生通过现实生活中的实例能够认识到什么样的现象是平移， 但比较困难的是当图形在方格纸上平移时，如何准确地数出图形平移了几格如下图中，学生很容易认为房子向上平移了 2格 教学中教师要让学生体验到， 判断房子平移了儿格， 可以在房子上选择一个点，看这个点移动了儿格，房子也就移动了儿格有的老师是这样处理的：先创设一个有趣的情境，比如蚂蚁搬家两只蚂蚁分别位于房子的两个点上（ 当然最好是方格纸的格点上，这样方便学生数格子数），比如房子左上角和右下角的点上，它们把房子向左平移到虚线处后，两只小蚂蚁争吵起来一只蚂蚁说： “ 我搬得远！我搬得远！ ”另一只也不示弱： “ 我搬得比你远！ ”老师根据小蚂蚁的争吵提出问题： “ 同学们，你们快帮小蚂蚁数一数，哪只蚂蚁平移的格数多？ ”接下来引导学生在方格纸上分别数出两只小蚂蚁平移的格数， 让学生发现虽然是房子上两个不同的点，但是它们平移的格数相等进一步还可以继续创设情境：假如房顶上有一只小蝴蝶， 小蝴蝶平移的格数又是多少呢？它和小蚂蚁平移的格数相等吗？通过数格数，让学生明确在数物体平移的格数时，只要确定一个点，数出这个点平移的格数，就是物体平移的格数了。
当然，还可以看一条线段，比如上下平移时，可以观察最下面的这条线段，左右平移时，看左右两边的线段都可以实际上这里也渗透了物体平移的特性：物体上每个点的平移方向和距离都一样 所以在数格数时， 选择一个点或一条线的平移格数就是这个物体平移的格数当然， 在这里还不要求学生掌握平移的特性，学生在五年级还会进一步来学习有关平移和旋转的知识2 .在方格纸上画图形平移后的图形教材中平移练习中安排了判断图形平移后的位置和在方格纸上画出平移后的图形 对于后一种练习， 我们只要求学生能画出顶点在方格纸的格点上的图形平移后的图形 让学生理解只需把每个顶点按要求平移后， 连接起来就可以得到平移后的图形，比如教材第4 3页练习十的第2题 但是第4 4页 第5题中平移图 形的一个顶点不在格点上，而是在两个格点中间，如果学生有困难的话，可以把这个图形稍作改动，让每个顶点都落到格点上，如上图旋转的教学主要是让学生结合生活实例初步感知旋转现象， 能找出生活中的旋转现象，至于有关旋转的特性等更多的知识我们安排在五年级继续学习 在这里，很多老师对如何把握旋转的概念有疑惑，比如学生列举的秋千、钟摆、跷跷板等的运动是不是旋转呢？在教师教学用书中提到物体以一个点或一个轴为中心进行圆周运动， 就可以近似的看作是旋转现象， 以此来判断秋千、 跷跷板不是旋转现象， 属于摆动现象。
事实上，旋转的定义是：如右图这样，把一个图形绕着某一点0转动一个角度的图形变换叫做旋转 也就是说旋转是物体在以一个点或一个轴为中心的圆周上运动的现象，不一定要作圆周运动因此摆动也是旋转，所以秋千、钟摆、跷跷板的运动是摆动，同时也是旋转 但这里我们主要还是要让学生认识作圆周运动的旋转，比如风车、飞机的螺旋桨、转椅等的运动学生如果说出秋千，老师也应该给予肯定， 但还是尽量让他们从生活中寻找像电风扇扇叶的转动这样的旋转现四、 ” 以内数的认识和加减法”教学中的问题I. “ 1000以内数的认识”教学中的问题 有些老师觉得这部分内容比较简单， 认为学生已经有了 1 0 0 以内数的认识,1 0 0 0 以内数的认识中数的组成、计数关系等就不是教学的重点，教学中更重视培养学生的数感，注重联系学生的生活实际，给学生提供更加丰富的素材，而忽略了基础知识、基本技能的培养比如有的老师整堂课都在让学生估数，认为这样能培养学生的数感，而把计数单位、数的组成等作为练习让学生自己完成当然， 重视培养学生的数感也是应该的， 但是应该建立在学生掌握了基础知识的基础上，否则就会出现舍本逐末的现象另外也要注意估数只是培养学生数感的一方面，而且估数也要有一定的方法，例如要有一个参照物，因此学生首先要结合现实情境感受大数的意义。
教学中要从以下几个方面培养学生的数感：1 ）数的现实含义；2 ）与自己熟悉的数建立联系；3 ）建立数的表象首先，老师要给学生提供现实的素材，教 材 第6 9 页做一做第2 题中有868人跑马拉松，让学生结合现实的情境来理解为了了解8 6 8 到底有多大，学生要 将 8 6 8 和自己熟悉的数建立起联系，比如学生对1 0 0 都很熟悉，这里就可以将 8 6 8 和 1 0 0 建立起联系， 学生知道8 6 8 大约有8 个 100 在这个基础上建立8 6 8 的表象，比如学生可以想象有一个10x10 （ 1 0 0 人 ）的方阵，那 么 8 6 8 有几个这样的方阵呢？从而建立起8 6 8 人的表象那么如何把''1 0 0 0 以内数的认识” 的教学落到实处呢？教学中还是要从计数单位、数的组成等各个方面全面认识1 0 0 0 以内的数首先让学生通过数数，从一个一个的数，1 0 个一是十，到十个十个的数，1 0 个十是一百，再一百一百的数，1 0 个百是一千，认识记数单位个、十、百、千，同时渗透相邻记数单位之间十进的关系接下来借助计数器来数数，由于学生对接近整十整百的数，往往弄不清楚下一个数到底是儿十、儿百， 借助计数器能很好的帮助学生解决这个 数数的难点。
然后再让学生口头数数再接下来通过计数器拨数结合数位表教学写数和数的组成，最后通过丰富多彩的练习形式巩固对1 0 0 0 以内数的认识，同时结合估算，培养学生的数感2 . 两位数减两位数的口算要求教材第9 3 页教学两位数减两位数的口算时，既呈现了 一般的口算方法，还出现了在脑中想竖式的方法，很多老师就问是不是要让学生掌握这种方法关于口算，不同的学生会有不同的方法，因此教材呈现了不同的口算方法，我们觉得有的学生可能会有通过想竖式来口算， 所以就呈现了这种方法， 主要也是体现了算法多样化教学时，要鼓励学生用他喜欢的方法正确的口算，对于这种想竖式口算的方法不作统一要求 人教版数学三年级上册疑难问题问答人民教育出版社小学数学室丁国忠一、对于千米和吨这样比较大的长度单位和质量单位，怎样帮助学生建立相应的长度观念和质量观念？解答：对于长度单位、面积单位、体积单位、质量单位、时间单位的教学，除了要求学生掌握单位之间的换算关系和相关的计算以外， 更重要的是建立起相应的长度、面积和体积的表象以及质量观念、时间观念对于一些比较小的长度单位（ 如毫米、厘米、分米和米）和质量单位（ 如克和千克），我们经常借助学生身边的物品帮助他们建立相应的长度观念和质量观念。
例如，一个硬币的厚度大约是1 毫米，一枝铅笔的长度大约是18厘米，一袋盐大约重500克，一分钟大约能跳绳8 0 下，大拇指的指甲盖面积大约是1 平方厘米，等等但是，对于一些比较大的长度单位和质量单位，如本册教材中的千米和吨，虽然学生在生活中能经常见到这样的单位， 但无法直接通过用手比一比、 用尺量一量、掂一掂等方式来建立相应的表象因此，要建立这样的长度观念和质量观念，需要运用间接的方式，让学生通过想像来加以培养具体来说，可以有以下两种方式第一种方式是让学生通过对千米和吨的间接感受来建立相应的观念例如，让学生实际步行1 千米，数一数走了多少步，看看用了多少时间，体会一下 走 1000米的疲劳程度也可以先走100米，再去想像如果走10个 100米，会是怎样的一种感觉教学吨的时候，可以让几个学生尝试着抬一袋50千克的大米， 再想像如果有20袋这样的大米会有多重，也可以让学生通过观察1 吨大米、1 吨棉花大约占多大的体积来建立吨的质量观念第二种方式是借助生活中的实际素材帮助学生建立相关观念 例如，告诉学生从学校到附近某一地点的距离是 多少千米，从A城市到B城市大约是多少千米，告诉学生一辆卡车的载重量大约是多少吨，告诉学生像鲸鱼、大象这些大型动物的体重大约是多少吨。
需要说明的是，长度观念、质量观念的建立不是一节课所能完成的任务，也不必仅仅局限于数学课堂，更需要学生在日常生活中经常观察、体验、感受，逐步地培养二、 教材第15页主题图表格中的相关概念离学生生活太远， 学生不易理解,如何更好地利用此表格？解答：让学生在实际问题情境中学习计算内容是《 数学课程标准》所倡导的一个重要理念， 在数学教学中渗透思想品德教育也一直是教材编写所坚持的一个重要原则教 材第15页的主题图以中国部分动物种数的题材引入，为后面儿个例题的计算问题提供现实素材，主要也是基于以上两方面的考虑 一方面为学生介绍动物种数方面的知识，帮助学生从小树立保护野生动物的思想意识，另一方面可以鼓励学生根据现实素材提出各种各样的数学问题，培养学生的问题意识，提高提问题和根据问题列式的能力但是，在教学中也发现，小学生确实不能很好地理解“ 已知种数” “ 中国特有种数”“ 濒危和受威胁种数”等概念，对于这三个概念之间的关系不能清楚地辨析，以至提出的问题五花八门，不符合逻辑，没有实际意义，如 “ 已知的哺乳类种数比中国特有的鸟类种数多多少种？ ” 针对这种情况，一方面，教师可以用通俗的语言对这些概念加以解释，引导学生提出合适的问题。
另一方面，可以根据教学的进度将表格的三列数据分别呈现，而不是放在同一个统计表中加以呈现例如，教学例1时，只 呈 现 “ 中国特有种数” 一列，引导学生提问题，列算式教学例2时，只 呈 现 “ 已知种数” 一列这样就可避免学生的思维混乱，学生也不至于提出前文所述的无实际意义的问题三、为什么教材中要编入不规则图形周长的内容？解答：过去对于周长、面积、体积的教学，往往把教学重点放在特殊图形的周长、面积和体积的公式推导以及利用公式计算这两方面因此, 学生没有形成对这些概念的一般性理解，以至于在教学中出现了这样的问题：学生虽然会计算长方形、 正方形的周长， 却不会计算平行四边形、 三角形以及一般多边形的周长,理由是老师没有教过这些图形的周长计算公式 出现这种情况的原因就是学生对 “ 周长即封闭图形一周的长度”这个概念没有形成一般意义上的理解因此，实验教材在编排上使学生先充分理解周长的一般含义， 知道平面上任一封闭图形都有周长，并可以用绳子、直尺等工具来测量一个一般封闭图形的周长，知道任一多边形的周长即是各边长度之和 在此基础上再学习长方形、 正方形的周长计算,就只是一个从一般到特殊（ 对边相等或四边相等）的过程，具体的方法可以让学生自主探索。
同样的道理，在后面学习而积、体积时，也应加强学生对这两个概念的一般性理解四、如 何 把 握 “ 有余数的除法”这一单元的教学层次？解答：本单元的内容从大的方面来说可以分为三个层次： 第一层次是借助分实物的过程，学习除法竖式的写法，掌握余数比除数小的原理第二层次是脱离实物，计算一个抽象的有余数除法式题第三层次是利用有余数除法解决实际问题下面作一具体说明第一层次， 利用平均分的概念，让学生在分实物的过程中理解什么是有余数除法重点教学除法竖式的写法，余数是怎样产生的，余数和除数的关系1 .如果平均分后正好分完，利用已学知识“ 表内除法”写出横式，再把横式改写成竖式，由于是第一次接触除法竖式，教师需要介绍竖式中各部分的来源与写法2 .如果平均分后还有多余的， 根据分的过程写出有余数除法的横式和竖式,重点掌握余数的含义，即分到不能再分时剩下的数量需要明确的一点是，此处横式中的商和余数都是通过“ 分”得到的，而不是计算出来的，而竖式也只是横式的一种改写，还不涉及到计算的层面3 . 保持总数不变，改变每份数（ 或保持每份数不变，改变总数），使学生发现分到不能再分时，剩下的数量总是比每份数少，即余数比除数小。
第二层次，不再借助分实物，而是给出一个抽象的除法算式进行计算在此过程中，需要学生学会如何定商，而定商的原则就是除数和商的积必须小于（ 或等于） 被除数， 但同时又必须满足“ 余数小于除数” 这一条件与第一层次不同，这儿的商和余数不是分实物的结果，而是利用定商原则通过抽象的计算得到的这一层次的内容在教材编写中体现得不是很充分，在教学时应作适当补充 第三层次， 利用所学的有余数除法的计算方法解决实际问题 这一层次的教学重点是引导学生结合商和余数在实际情境中的含义正确写出相应的单位名称五、 ” 时间的计算”中要求换算，但还没有学习整十数乘一位数，怎么处理？解答：在进行类似于“ 3 时等于多少分” “ 5 分等于多少秒”的换算时，由于还没有学习整十数乘一位数，学生还不会计算60X3、60X 5o教学时，可以让学生用连加的方法进行计算，并注意出题时数据不要太大此外，还可以创造性地使用教材，先教学第六单元，再教学第五单元，这样，学生可以灵活地运用连加和乘法这两种方法进行换算六、教材第69页 例 1第 （ 1）小题在具体情境中把2X10看 成 2 个 10进行计算是否会造成学生对乘法意义的理解错误？解答：自九年义务教育教学大纲修订后，不 再 把 “ 几个几相加”和一个乘法算式唯一地对应。
“ 2 个 3 相加”和 “ 3 个 2 相加”都既可以列成“ 3X2” ，也可以列成“ 2X 3” ，因此，本 例 中 “ 每 人 2 元，10人要多少钱”表 示 “ 10个 2相加”，这一具体含义是固定不变的，但列式可以是“ 2X10” ，也 可 以 是 “ 10X 2” 在计算列出的抽象算式“ 2X10” 时，我们可以脱离例题中的具体情境，既可以把它看成“ 10个 2 相加” （ 与情境中的一致），也可以看成“ 2 个 10相加”，这样可以达到计算简便的目的因此，此题中的“ 也可以把2X10看 成 2个 10” 并非指具体情境中的乘法含义变成了 “ 2 个 10相加”，而仅仅是为了使计算更便捷七、教材第70页 的 29X8估 算 成 3 0 X 8 ,正好可以解决问题，如果改成32X 8 , 仍然估算成3 0 X 8 ,如果仍用估算值来判断，就会发生错误，怎么处理？解答：与原通用教材相比，实验教材在估算内容的编排上作了一些改变首先，估算的内容大大增加，估算的地位大大提高从许多角度来讲，估算都是非常重要的一种计算策略，我们可以将它作为解决实际问题的必要工具，也可以作为精确计算的重要基础，还可用于检验计算结果是否大致合理。
例如，我们在购物时，经常只需用估算就可以解决问题在精确计算325 ・ 51时，一般都是先估算成300 + 50进行试商再如，对 于 34X6=2004的运算结果，运用估算就可以判断是否正确 其次，估算的教学重点由单纯的技巧性训练转变到估算意识的培养过去，我们教给学生的是相对固定的估算方法，即先用“ 四舍五入”法求出算式中各项的近似值， 再对近似值进行运算实际上， 在解决实际问题时， 根据不同的需要，我们可以采取不同的估算策略， 只要能达到解决问题的目的即可 用 “ 四舍五入”法先求近似值再进行计算，固然是一种重要的估算方法，但不是唯一的方法在估算的教学中，更重要的是使学生形成估算的意识， 根据不同的问题情境选择适当的估算策略，并能加以解释 在平时的计算过程中也要引导学生自觉地运用估算方法对计算结果的合理性加以判断 应该说， 培养估算意识不仅仅是某一节课的目标，而应该将估算教学融于日常的计算教学中具体到第7 0页的例2 ,要使学生理解，在解决实际问题时，有时不需要精确计算，用估算就可以了但也并不意味着只用估算就一定能解决问题，还要看所采用的估算策略对于具体的问题情境是否合适 估算仅仅是解决实际问题的步骤之一。
如本例中，把29估 成3 0 ,是估大了，说明即使有30个同学参加，才需 要240元，因此带250元肯定是够了如果把2 9改 成3 2 ,把32估 成3 0 ,估算方法相同，但却还没解决问题，还需要进一步考虑“ 少估了 2个8 ,即16元，而240元与250元 相 差10元，因此钱不够”，这样才算是真正解决了问题如果 把2 9改成2 3 ,照样可以把23估 成3 0 ,这里所用的方法就不是“ 四舍五入”法，但对于解决这个问题却是非常有效的因此，脱离问题情境，孤立地说某种估算方法好或不好，是没有意义的对于不同的问题情境，甚至同一问题情境，可以灵活采用多样的估算策略八、教材第8 3页 例5 “ 0的乘法”与前后内容的教学难度不太一致，感觉深一脚浅一脚，是否可以放到二年级上册“ 表内乘法” 一单元？在教学这一内容时是否必须按教材所提供的思路进行？解答：“ 0的乘法” 一直以来都是编排在“ 多位数乘一位数”这一单元，这样做的主要目的是为后面学习” 一个因数的中间或末尾有0的乘法” 打下必要的知识基础，使前后知识的联系更紧密当然，“ 0的乘法”的计算难度并不大，如果放到二年级上册学习，学生应该也是能够接受的。
但是因为“ 表内乘法”主要 学 习1到9的乘法口诀，而0是没有乘法口诀的，如果生硬地编排在一起，也是不太妥当的 在编排上，教材采用的是顺向的思路，即通过情境列出7个0连加的算式，再根据乘法的意义改写成乘法算式7X 0 = 0和0 X 7 = 0 ,再类推出其他的算式教学时，也可以创造性地使用教材. ，先复习0的加法和减法，知 道0和任何数相加仍得该数，任何数减去0仍得该数，然后直接从0的乘法算式7义0和0X 7入手， 让学生猜想这两个算式的得数，引导学生利用乘法的意义把这两个算式转化为相应的连加算式，求出得数九、因为以后还要正式学习“ 分数的意义和性质 ”，应该如何把握好本册教 材 中 ” 分数的初步认识”的教学要求？解答：本册教材主要是利用直观的方式，使学生通过折一折、涂一涂等动手操作的方式， 初步理解分数的意义，掌握分数的大小比较方法和分数的简单加减法由于是初步认识，本册教材涉及到的分数，分母都不超过10而以后要学的 “ 分数的意义和性质”，逐渐脱离了直观方式的支持，更多的是从数系发展的角度，认识分数产生的必要性，抽象地学习分数的一般意义和各种性质，并且，所有形式的分数都在研究范围之内。
十、如何让学生理解“ 世界上每天都有人出生”等必然事件、不可能事件、可能事件？解答：在这里需要注意两个问题第一，本单元所涉及到的“ 一定” “ 不可能" ''可能”是概率论中的术语，与生活用语完全不同，是指当我们多次观察自然现象和社会现象后，会发现在一定的条件下，许多事情必然会发生，许多事情必然不会发生，还有许多事情是可能发生的因此，我们讨论的事件一般指的是客观事件，同时，又是在我们经验范围内发生的事件所以，在教学时应避免举出 “ 我 一定会好好学习的”的例子，这 里 的 “ 一定”是一种生活用语，带有强烈的主观色彩，与概率论中“ 概率等于1”的含义截然不同对于学生提出的超出人类认识经验的说法，如 “ 如果太阳系爆炸了， ' 地球每天都在转动‘这句话就不是一定的了教师也应正确地加以引导第二，如果有些事件超出了学生的认识范围，教师应提供一些证据帮助学生理解例如，学生无法理解“ 世界上每天都有人出生”，教师可以通过本地区或全国、全世界每天有多少婴儿出生的数据使学生认识到世界上每天一定有人出生，如' ' 中国平均每4. 15秒就出生一个孩子，中国每天出生的人口大约是2. 0 8万 十一、教 材 第1 0 8页 例3中的实验结果如果与理论的发生矛盾怎么处理？解答：我们都知道，如果一个盒子里有4个红棋子和1个蓝棋子，随机地从盒子里摸出一个棋子， 摸出红棋子和蓝棋子的可能性都是存在的，如果把以上过程重复若干次， 会发现在一般情况下， 摸出红棋子的次数比摸出蓝棋子的次数多，因此， 我们说摸出红棋子的可能性更大。
这种可能性的大小都是一种理论上的值,与实验的结果有时会不一致，因为在实验中过程，有时小概率事件也有可能会发生，虽然发生的可能性比较小例如，在抽奖活动中，中奖的可能性比较小，不中奖的可能性比较大， 但人们并不会因为不中奖的可能性很大就不去抽奖了， 而是满心期待小概率事件（ 中奖）的发生但是在小学阶段， 学生对于抽象的、 理论的可能性概念理解起来有一定的困难， 只能借助实验的结果来加以论证 虽然在一般情况下， 不会出现小概率事件,但如果真的出现了，我们可以用以下的方式来加以修正例如，在实验之前，先不限定重复的次数，如果个别小组出现了这样的小概率事件，第一种方法是继续增加实验的次数，因为从理论上说，实验的次数增加到无穷大，摸出某种颜色棋子的次数所占的比就是摸出该种颜色棋子的概率 第二种方法是把全班所有小组的数据都整合起来, 实际上原理与第一种方法也是一样的， 都是增加实验的次数十二、数学广 角 的 “ 排列组合”问题与二年级上册的相关内容如何区分教学层次？解答：这两册教材中都编入了 “ 排列组合”的内容，但教学要求是有所不同的二年级只是让学生通过动手操作的方式让学生排一排， 初步感受排列组合的思想和方法，所用的材料数量也比较少，例如，用3张数字卡片能摆出多少个两位数，2件衣服和2条裤子有多少种搭配。
而本册的教学重点则是让学生用不同的 方 式 （ 如学具操作，画简图、文字形式、字母形式）把排列组合的结果罗列出来，使学生学会用更简洁、更抽象的方式来表达排列组合的方法更为重要的是通过以上过程，引导学生思考如何搭配才能不重复、不遗漏地把所有结果都呈现出来，发展学生有序思考的意识和能力所用的材料数量也有所增加，如，3件衣服和2条裤子有多少种搭配，用3张数字卡片能摆出多少个三位数当然， 如果教学实践证明分为这样两个层次进行教学没有太大必要， 在下…轮教材修订时我们也可以考虑将这两个层次进行整合 教版实验教材数学三年级下册疑难问题解答一、有关第一单元“ 位置与方向”的教学问题1.教材中为什么要安排这一内容？《 数学课程标准》在第一学段的“ 空间与图形”内容标准中规定， ” 在东、南、西、北和东北、西北、东南、西南中，给定一个念是比较抽象的，学生需要大量的感性支柱和丰富的表象积累因此，教材在这部分内容编排上有以下几点考虑⑴充分利用学生已有的上、下、前、后、左、右的方位知识设计教学情境,帮助学生掌握本单元内容因为有研究证明儿童只有在牢固掌握了上、下、前、后、 左、右这几个基本空间方位之后，才能够掌握按水平方向分出的东、南、西、北等方位概念。
⑵依据学生的年龄特点和生活经验，创设了许多既符合这一阶段儿童认知特点又便于操作的活动情境， 使学生一方面亲身体验方位的知识，另一面又体会到方位知识与日常生活的密切联系 例如， 教科书中设计了让学生到操场上学习辨认东、南、西、北等八个方向的活动情境，让学生在熟悉的环境中，在观察、描述和交流的过程中体验方位的知识 2. ” 位置与方向”比较脱离学生的生活经验，不好上，如何更好地进行教学？这些方位概念对三年级的学生来说，确实比较抽象而且由于地域的因素，有些学生在生活中也没有相应的经验支撑因此， 在教学时要以学生已有的知识和生活经验为基础，创设大量的活动情境，充分调动学生的积极性，让所有的学生都参与到活动中来使学生在观察、操作、想像、描述、表示和交流等数学活动中，丰富对方位知识的体验，使学生获得大量的感性支柱和丰富的表象积累例如，在认识东、南、西、北四个方向时，就可以把学生带到操场上，让他们面向太阳升起的方向，确定东方，再与前、后、左、右这儿个基本空间方位相联系：明确后面是西，左手指向北，右手指向南，认识四个方向通过这样一个简单的操作活动， 就让所有的学生在参与活动的过程中， 利用已有的基本空间方位 知 识 （ 前、后、左、右）为基础，与 新 知 识 （ 东、南、西 、北四个方向）建立了联系，获得了对新知识的理解。
二、第二 单 元 “ 除数是一位数的除法”，例题、习题的编排上学生接受起来吃力如，例3和 例2跨度太大，学生较难适应1 .教材为什么改变了原来的编排，减少了例题？《 数学课程标准》在第一学段“ 数与代数”内容标准中规定， “ 能计算三位数除以一位数的除法”在 《 九年义务教育全日制小学数学教学大纲（ 试用修订版 ）》 （ 以下简称《 教学大纲》）中要求学生“ 掌握一位数乘、除多位数的笔算法则，能够比较熟练地计算”可 见 《 数学课程标准》与 《 教学大纲》相比，降低了笔算的复杂性与熟练程度我们在整套教材“ 计算教学内容”的编排上注意体现《 数学课程标准》的基本理念，注重培养学生灵活的计算能力，发展学生的数感在本册教材中“ 除数是一位数的除法”这个单元里，精心设计教学顺序，加大教学的步子，从原通用教 材 的17课时减少为13课时，例题也从16个减少为9个，留给学生更大的探索和思考空间；让学生在自主探索中获得对笔算过程与算理的理解；加强估算2 . 例3和 例2跨度较大，如何进行教学？例3从整理照片为素材引出除法算式238 + 6 ,然后呈现了两个学生估算和笔算的过程，一方面注意培养学生的估算意识、另一方面体现估算、笔算各自不同的特点。
这个例题里面难点比较集中，估算与笔算同时出现，要进行比较；被 除数的最高位不够商1 ；除不尽，有余数在教学例3时，可先放手让学生自主探索，如果大多数学生都有困难，教师可增加“ 一位数除三位数（ 商是两位数能整除） ”的题目， 在学生突破了 “ 被除数的最高位不够商1 ”这个笔算难点之后，再呈现例3 o三、有关第三单元“ 统计”的问题1 .为什么从一年级下册开始，几乎每一册书中都安排统计的内容？《 数学课程标准》在第一学段“ 统计与概率”内容标准中规定“ 在本学段中，学生将对数据统计过程有所体验，学习一些简单的收集、整理和描述数据的方法，能根据统计结果回答一些简单的问题”而要使学生形成统计观念，最有效的方法是让他们真正投入到统计的全过程 * 因此，我们根据《 数学课程标准》的精神， 从一年级开始安排统计知识的教学，以后的各年级都联系学生的生活实际安排了统计的教学内容为学生提供了大量日常生活中各种各样的例子，让学生在经历收集、整理、描述、分析数据的过程中加深对有关概念、以及统计的意义和作用的理解，逐步形成统计观念2 .本 册 “ 统计”中认识横式统计图，与认识竖式统计图在其他要求上没有太大的区别，因此感到这样的内容安排过长，可以在二年级统计知识的教学中，使学生对竖式统计图与横式统计图比较观察，更容易理解。
在 本 册 的 “ 统计”这一单元里，我们安排的“ 简单的数据分析”这一小节，除了要利用学生已有的知识学习新的统计知识（ 了解不同形式的条形统计图） 之外，还有一个十分重要的目的，就是结合实际问题，进一步教学根据统计图表进行简单的数据分析，作出合理的推断 《 数学课程标准》强调统计过程性目标的达成及对统计表特征和统计量实际意义的理解 * * 本单元主要是通过这样一个素材作载体， 把数据分析与解决问题结合在一起， 使学生再一次经历统计的全过程,更好的理解统计在解决问题中的作用，逐步形成统计观念四、第 六 单 元 “ 面积”题中，出现平方千米、公顷学生理解起来比较费劲,希望后移 涮量土地的面枳时, 翕常要用到更大的金机单位；公顷. 平方千米.边长是100米的正方射面积是1公项.边长是1千米的正方初面枳是】 千方千米1 . 教材为什么在六册安排“ 平方千米、公顷”这一内容？教材是如何处理的？《 数学课程标准》在第一学段的“ 空间与图形”内容标准中规定” 体会并认识面积单位（ 厘米2、 米2、 千米2、 公顷） ”在原通用教材中，这一内容是安排在六年制第七册我 们 根 据 《 数学课程标准》的规定将此内容提前到第一学段的最后一个学期， 也就是本册教材中进行安排。
教材在编排中，以学生对体育场的广阔面积的感性认识为基础，帮助学生认识和理解这两个较大的土地面积单位， 并且考虑到学生尚未学习100X100、1000X 1000等计算，所以平方千米、公顷与平方米之间的进率不要求学生推算，只是介绍1公顷、1平方千米的具体规定2 .如何帮助学生理解这两个土地面积单位？“ 公顷”和 “ 千 米2”这两个土地面积单位比较大，对三年级的学生来说，形成表象确实有些因难在教学中，可以先带领学生到操场进行实地测量，量出边 长 是100米的正方形土地， 让学生看一看1公顷的土地有多大，以便使学生对1公顷有多大形成明确的表象再结合学生熟悉的场地，如教室的面积一般是50米2, 200个教室的面积大约是1公顷，通过学生的想像，加深学生对“ 公顷”这个土地面积单位的认识在使学生明确了边长是1000米的正方形面积是1平方千米之后，教师可以在学生对1公顷形成了表象之后，让学生想象一下100块1公顷的土地， 就 是1平方千米大 还可以通过其他的素材帮助学生认识和想象，如，一个足球场的面积约7000平方米，140个足球场的面积约1平方千米五、有关第七单元” 小数的初步认识”的问题1 .与四年级下册“ 小数的意义与性质”太重复，教材为什么安排“ 小数的初步认识”这一单元？《 数学课程标准》在第一学段“ 数与代数”内容标准中规定， “ 能认、读、写小数”及 “ 一位小数的加减运算" ， 所以我们本册安排了 “ 小数的初步认识”这一单元。
教材在编排这一部分内容时， 充分利用了小数与日常生活的密切联系， 创设了较为丰富的，贴近儿童生活实际的情境，让学生在熟悉的情境中感悟小数的含 义，并以元、角、分等常用计量单位的知识为学习小数认识和计算的形象支撑，到以后系统学习小数时，再作抽象2 .在教学中如何把握要求？教师在教学本单元时， 在把握教学要求注意以下三点 一是本单元不要求离开现实背景和具体的量，抽象地讨论小数二是小数的认、读、写，限于小数部分不超过两位的小数 三是简单的小数加减法原则上限于一位小数，并且是结合元、角进行计算3 . 例1学生掌握起来有困难，如何进行教学？例1是教学一位小数、两位小数的含义及写法虽然教材设计了米、分米、厘米这一学生熟悉的素材、 但由于学生只是通过比较直观的方式初步认识了分数，如果仅从长度单位间的进率让学生来思考小数的含义， 对学生来说还是比较抽象的 所以， 教师在教学时， 可以借助一些直观的方式帮助学生来理解 例如,有的教师创设卡通动物（ 身 高1分米）和 积 木 块 （ 厚1厘米）比高矮的场景，并用米尺进行测量这样就为学生提供了一个直观、形象的支撑，避免了仅从抽象的关系去思考除了教材上所涉及的“ 分米和米” “ 厘米和米”这两种关系之外，教师还可以增加“3厘米=0.3分米”这种类型；而且，教师还可以让学生反过来思考"0. 1米等于多少分米” “0. 01米等于多少厘米”， 进一步加深学生对小数含义的理解。
六、第 八 单 元 “ 解决问题 ”，练习形式过于活，学生对于两步计算不是很熟悉，形式过多更难以把握1. 为什么安排这一单元？教材是如何处理的？答： 《 数学课程标准》在第一学 段 对 “ 解决问题”的教学目标是： “ 能在教师引导下，从日常生活中发现并提出简单的数学问题了解同一问题可以有不同的解决办法 有与同伴合作解决问题的体验 初步学会表达解决问题的大致过程和结果对第一学段的学生而言，首先是能够从日常生活中“ 看到” 一些数学现象，其次是能够运用基本的数学知识去解决一些简单的问题我们根据《 数学课程标准》的精神，将解决问题的教学融合于各部分内容的教学中 本册书中“ 解决问题”的单元专门教学用所学的计算知识解决简单的生活中的问题教材安排了需要应用乘除法知识解决的实际问题，并呈现了不同的算法在相应的练习中，教材设计了丰富多彩的现实素材，如体育锻炼、货物装 车、公园购票、集体租船等等通过练习，不仅可以使学生获得充分的解决问题的经验，了解数学的广泛应用，逐步形成从数学的角度提出问题、理解问题的思维习惯，并且为使学生掌握解决问题的基本策略， 体验解决问题策略的多样提供了有效而丰富的资源2.教学应注意哪些问题？学生在二年级学习时，已经会用表内乘、除法以及加、减法解决简单两步计算的实际问题。
本单元提供的需要用两步计算解决的实际问题， 选材范围扩大了，提供的信息数据范围扩大了 在教学中，教师应充分利用教材创设的丰富的解决问题的资源空间， 注意调动学生的学习经验和生活经验，并放手让学生主动探索解决问题的方法 立足于让学生自主收集、 理解数学信息， 寻找解决问题的方法,逐步提高解决问题的能力 人教版数学四年级上册疑难问题问答小学数学课程教材研究开发中心丁国忠一、教材第20页 提 到“0也是自然数，最小的自然数是0”，这与九年义务教育小学数学教科书中的说法不一致这什么要做出这样的改动？从历史上看，国内外数学界对于自然数的定义一直存在着两种观点 一种观点认为0不是自然数例如，意大利数学家皮亚诺于1889年提出了一组刻画自然数特征的公理，包括以下五条：（1） 1是自然数2）任一自然数都有唯一自然数为其后继数3）没有两个相异的自然数有同一后继数4） 1不是任何自然数的后继数5）如 果1具有性质P ,且任何具有性质P的自然数其后继数也具有性质P ,则一切自然数都具有性质P从这组公理可以清楚地看到，皮亚诺把0划归在自然数之外的再如，上海辞书出版社出版的《 辞海》（1999年版）把自然数解释为：在人类历史发展的最初阶段，由于计量的需要，用以表示个数的数目。
首先有数目一，以后逐次加一，即得二、 三 、四等等， 统称为“自然数” 建国以来，我国的中小学教材一直采用自然数的这种定义，用N=｛ 1, 2, 3, 4,5 ,…｝ 来表示自然数集，而用N*=｛ 0, 1, 2, 3, 4, 5 ,…｝ 表示扩展的自然数集还有一种观点把0划归为自然数的范畴 例如， 对现代数学基础有很大影响的法国布尔巴基学派的《 数学原本》中， 从集合论的角度， 把0作为空集的基数,这样，所有有限集合的基数就都可以用自然数来刻画了目前，国际上大多数国家也把0纳入自然数集中为了国际交流的方便，国家技术监督局于1993年12月2 7日发布的《 中华人民共和国国家标准》（GB3100〜3102-93）《 量和单位》第311页，就已经规定自然数集N=[0, 1, 2, 3 ,…｝ 在 《 现代汉语词典》2005年6月第5版中也把自然数定义成： 零和大于零的整数， 即0, 1, 2, 3, 4, 5 ,…根据上述原因， 教材研究编写人员在对原九年义务教育教材进行修订和编写 课程标准实验教材时，依据有关国家标准对自然数的定义进行了修改，规 定0属于自然数二、对于亿这样比较大的计数单位，怎样帮助学生建立相应的数感？新课标非常强调对学生数感的培养， 教材中也在相关的单元编入了大量帮助学生建立数感的素材。
例如，在认识2 0以内的数、1 0 0以内的数时，教材就注意通过估一估、数一数等活动帮助学生形成对十、百等数量大小的感觉但是，对于一些比较大的计数单位（ 如万、亿 ） ，如何建立相应的数感？确实成为教师们教学中的困惑首先要说明一点，为了叙述方便，这儿所讲的数感仅仅指对一个数量相对大小的感觉（ 事实上，数感有着更丰富的内涵，指的是关于数与数量表示、数量大小比较、数量和运算结果的估计、数量关系等方面的感悟） 数感的培养不是一两堂课就能达到目标的因此，在日常教学中，需要时时处处进行这方面的渗透，不断积累这方面的经验例如，为了帮助学生形成对1 0 0这个数的感觉，教师可以通过让学生看百羊图、数1 0 0粒花生、数1 0 0根小棒、估计一堆水果的数量等活动，来建立相应的数感由上面的例子也可以看出，数感的培养不可能是一个抽象的过程空泛地让学生说一说“ 1万有多大？ 1亿有多大？ ”并没有太大的意义，应该借助大量的生活经验，帮助学生感受某种具体事物某个数量的相对大小即便是借助直观的物体，学生也未必能建立起很好的数感 例如， 我们可以让学生观察一个由1 0 0 0（ 1 0 X 1 0 X 1 0 ）个小正方体组成的大正方体，感 受1千有多大，也可以让他们看十个这样的正方体， 感 受1万有多大， 但如果想通过同样的方式来建立1亿的数感，恐怕在操作层面上是难以实行的。
要 建 立1亿的数感，需要发挥学生的想像力，凭借生活经验，形成一种大致的感觉就可以了，教学时要求不宜过高教材中提供了一些帮助学生建立数感的范例，教学时可以参考借鉴例如，第1 2页 的 第1 5题， 让学生通过一些数学策略和生活经验判断某个数据信息的合理性，就是一种很好的建立数感的方式再如，第4页 的 “ 你知道吗”以及第3 3页 的“ 1亿有多大” ，都是借助一些具体活动，通过计算，帮助学生感受1亿的相对大小但要感受1亿，并不像较小的计数单位那样，仅仅凭用眼看、用手摸等直观活动就能达到目的，还需要学生能更好地利用数学工具，同时，要具备 很好的长度观念、质量观念、时间观念，更需要学生有较强的想像能力，所有这些，都可以辅助学生较好地建立1亿的数感例如，1亿名小学生手拉手可以绕地球赤道3 圈半， 学生虽然不可能对地球赤道的长度有亲身体验， 但可以利用想像和简单的科学知识，进行粗略的感受除了教材上提供的这些素材以外，教师还可以充分发挥学生的创造性， 让学生自行选择素材; 设计各种活动，感受丰富多样的“ 1亿 ” ，如：一亿名小学生站在一起，占地面积大约是多少；1亿粒大米有多少；1亿粒黄豆有多少；1亿滴水有多少；等等三、教材中介绍了计算器的使用，但实际教学中一般不允许使用计算器，应如何处理这一矛盾？随着经济、科技的快速发展，计算器、计算机在生活中的使用越来越广泛。
对于社会生活中一些大数目、多步骤的复杂计算，纸笔运算、珠算等显然已经不能完全满足新的要求，需要有更先进的计算工具来代替因此，计算器乃至计算机的使用已经成为现代社会公民的一项基本技能要求， 在小学阶段要求学生学会使用计算器， 是符合社会发展的要求的 新课标在第二学段中明确要求学生： “ 能借助计算器进行较复杂的运算，解决简单的实际问题，探索简单的数学规律 ”根据社会的发展状况和课标的精神， 教科书中除了介绍计算器的基本使用方法以外，还编入了一些利用计算器探索数学规律的习题与此同时:我们也应看到， 在小学阶段， 学生的主要任务是较好地掌握口算、笔算、估算技能在此次小学数学课程和教材改革中，虽然删去了大量的数目较大、步骤较多的计算内容，计算要求也相应降低，但是值得注意的是，基本的计算能力仍然要求学生熟练掌握，这点不会因为教材中引入计算器而有所改变学生对四则运算的意义、 算理、 算法的理解和掌握， 仍然是小学数学教学的重点因此，要求学生熟练掌握口算、笔算、估算技能与学习使用计算器不是对立的，而应该和谐统一、互为促进在计算教学中，首先要使学生学会判断何时使用口算，何时使用笔算，何时使用估算就足够了，何时又最好使用计算器。
根据不同的情境、不同的要求，选择合适的算法，是对学生计算能力的基本要求试想一下，学生学会计算器以后，如果面对6 X 7 这样的简单计算也用计算器去计算，我们该如何评价其计算 能力呢？但如果碰到的是像3284X2367.7这样的计算，又何必为难学生，非得要求他们用笔算呢？我们认为除了学习基本的按键方法以外， 学生可以在以下情况使用计算器：计算涉及到的数目较大，计算涉及的步数较多，验 算 （ 要求笔算验算的除外） ，利用计算器探索和验证数学规律当然，计算器不是万能的有时，对于一些特殊的题目，如1998+1999+2000+2001 + 2 0 0 2 ,运用巧妙的简算方法，速度更快，准确率更高再如，有时由于按键失误，反而引起错误，此时利用口算、估算的技能，也可以帮助验证计算器计算的准确性，如计算325 X 1 2 5 ,如果积的个位不是5 ,就可以判断一定是按错键了因此，在学习这部分内容时，要避免两种极端的做法 - 是因为教材中编入了计算器的内容， 一遇计算就使用计算器， 使得学生的口算、 笔算能力大幅滑坡二是怕学生养成对计算器过分依赖的坏习惯， 索性就不教学生使用计算器， 这种讳疾忌医的做法也是没有必要的。
关键是在教学中根据具体情况灵活把握尺度，既要保证学生的基本计算能力得以牢固掌握，乂要使学生掌握先进的计算工具，在一个信息化的时代，这种技能的培养也是不可或缺的四、教材第6 0页的问题解决中，运用了乘法估算，并把两种估算方法加以比较估算方法有好坏之分吗？应怎样展开估算教学？估算能力是学生计算能力中很重要的一个方面， 新课改中加大了估算内容的比重，这也是符合各国数学课改的潮流的估算的功能分为两方面，一是数学上的功能，例如培养数感（ 如判断24X12=2408计算结果的合理性） ，为精确计算作准备（ 如要计算492・ 12时，往往先用48 0 9 1 0或490 + 1 0或500+ 10来试商） 二是估算在生活中的应用，当无法精确计算或没有必要精确计算时， 有时用估算也能解决问题下面谈的主要是第二种情况在进行估算教学时，可以从以下儿方面去思考，以供参考一、 估算意识与估算技能的培养同样重要， 前者的重要性有时甚至超过后者过去的教学中，教师往往把更多的注意力放在“ 如何估算”上，例如，先 用 “ 四舍五入法”求出算式中的近似数，再对近似数进行精确计算，这样，估算就变成了一种僵化的固定的方法对 于 “ 为什么要估算” ，过去关注得比较少。
实际上, 学生能否根据不同的情境灵活选择合适的算法， 是考查其解决问题能力的重要方面对面对一个数据模糊不清甚至残缺的问题情境时，有的学生束手无策，因为数据不完整， 无法精确计算， 但有的学生却能利用已有信一息， 灵活运用估算策略，把问题解决，这就反映出两类学生不同层次的解决问题水平二、估算策略的灵活性问题上面已经谈到，过去教学估算，策略往往是唯一的、固定的，但实际生活中解决一个现实问题时，常常是“ 条条大路通罗马” ,选择何种估算策略，并没有一定之规例如，要解决这样一个问题：“ 燕鸥每天飞735千米，从北极到南极行程17000米，20天能飞到吗？ ”可以把735看成7 5 0 ,也可以把735看 成8 0 0 ,都能达到解决问题的目的三、估算策略的有效性问题抽象地讨论估算方法的优劣似乎意义不大，因为判断优劣的标准本身就不好定 但对于一个具体的问题情境而言， 这种讨论还是有必要的要判断某种估算策略是否合理， 其标准就是利用该策略能否解决该问题就拿教材第60页 例5来说，第一种解法是典型的“ 四舍五入”的估算方法，但在这儿却对解决问题无效，因为把一个因数估小了，另一个因数估大了，不能把最后的估算结果5000作为解决问题的依据。
第二种解法是把两个因数都估大了，估算出要准备5500元钱，一定能解决问题四、要明确一点，估算不是万能的有时候，某种估算策略能在某一问题情境中加以应用，是因为无需利用精确计算就可解决该问题但有的时候，用若干估算策略仍然不能解决问题， 说明该问题仅用估算是不够的， 必须进行精确计算例如， 要解决这样一个问题:“89个同学去公园， 门票9元一张， 带800元够吗？ ”如果把89估 成90, 90X9=810,如果把9估 成10, 89X 10=890,如果把89估成80, 80X9=720,这三种策略都不能很好地解决这个问题在这种时候，说明用估算不足以解决问题，要精确计算总之，在解决某一具体问题时，可能存在多种可用的估算策略，也可能用任何一种估算策略都不能解决问题估算策略是否可用，完全是视问题情境（ 包括其中的数据）灵活而定，在某一情境中适用的策略，在另一情境中不一定适用五、如何理解教材第114页 “ 做一做”第 1 题中的优化问题？关于饭馆做菜问题， 我们可以从两方面来谈优化的问题 一是让顾客等待的时间问题， 二是饭馆的客流问题我们可以用一个最简单的模型来描述教材上所 描述的问题共有两个厨师，三位顾客，每位顾客点两个菜。
假设做每个菜的时间是3分钟，吃每个菜的时间是5分钟 当然这只是假设，实际情形要复杂得多 ）方案一：先做顾客1 的两个菜，再做顾客2的两个菜，最后做顾客3的两个菜方案二：先做顾客1 和 2的第一个菜， 再做顾客1 的第二个菜和顾客3的第一个菜，最后做顾客2和 3的第二个菜那么可以算出两种方案中每位顾客的等候时间和离开时间方 案 1 ：顾 客 1顾客2顾 客 3吃上第一个菜的时间第 4分钟第 7分钟第 1 0 分钟吃上第二个菜的时间第 4分钟第 7分钟第 1 0 分钟离开饭馆的时间第 1 4 分钟第 1 7 分钟第 2 0 分钟方 案 2 ：顾 客 1顾 客 2顾 客 3吃上第一个菜的时间第 4分钟第 4分钟第 7分钟吃上第二个菜的时间第 7分钟第 1 0 分钟第 1 0 分钟离开饭馆的时间第 1 4 分钟第 1 5 分钟第 1 7 分钟由此可以看出， 在这个最简单的模型里，如果把方案一的炒菜和上菜的顺序改为方案二， 第一是客人等候第一个菜上来的时间都减少了， 就不会有那么多怨言第二是大部分人离开的时间都会提前，这样，作为饭馆而言，客流就会比较快，就可以接待新的顾客进来当然，以上只是在假设炒菜为3分钟和吃菜为5分钟的情况，作为一个一般模型， 还可以假设炒一个菜为x分钟和吃一个菜为y分钟， 那情况就很复杂了。
如果把整个饭馆的客流问题做成一个数学模型，就更复杂了当然，我们不要求小学生解释以上这些道理， 但学生可以根据生活经验加以解释，如：如果一个人一个人地上菜，那最后一个人等候的时间太长了，就会有意见了，时间都浪费在等待上了六、如何理解第115页 例3码头问题的实际意义？关于码头上货问题， 主要是从码头调度的角度来考虑排队问题的意义， 而不是从船老板的“ 感受”角度来考虑，因为任何一条船都希望自己是第一个卸货排队论在公共汽车、机场等交通调度方面有很重要的意义为了叙述方便，我们把8小时卸完的那条船叫船1, 4小时卸完的叫船2, 1小时卸完的叫船3 ,我们假设三条船同时到岸，等候时间指的是从到岸那一刻开始，到该条船卸完货这段时间方案一：先 卸 船1 ,再卸船2 ,再卸船3船1等候：8小时船2等候：8+ 4= 12小时船3等候：8+4+1 = 13小 口 寸3条船等候时间总和：8+12+13 = 33小时方案二：先卸船3 ,再卸船2 ,再 卸 船1船3等候：1小时船2等候：1+ 4= 5小时船1等候：1+ 4+ 8= 13小时3条船等候时间总和：1+5 + 13=19小时假设这个码头只有三个泊位， 那按方案一，在 第9小时才能空出一个泊位来接纳新的船只，而按方案二，在 第2小时就可以空出一个泊位来接纳新的船只，这样，码头就会减少拥堵的可能性。
人教版四年级下册疑难问题解答小学数学课程教材研究开发中心丁国忠一、课标教材为什么改变了 “ 混合运算”的编排方式？九年义务教育数学教材对“ 混合运算”的编排采用的是与应用题结合成独立单元并进行多次循环的编排方式即在低年级逐步引入混合运算、直观描述运算顺序，中年级再系统出现整数四则三步混合运算的各种情况（ 包括小括号和中括号的使用），之后在高年级“ 整数、小数四则混合运算和应用题”单元对四则混合运算顺序加以整理和概括——出现第一级运算和第二级运算的概念， 为学生初中时学习第三级运算做准备这样的编排有利于学生加深对混合运算顺序的理解，逐步形成列综合算式的能力本套实验教材根据《 数学课程标准》的理念与要求——“ 能结合现实素材理解运算顺序，并进行简单的整数四则混合运算”，改进了混合运算和运算顺序的编排方式首先，在低年级没有单独安排“ 混合运算”单元，而是结合现实的素材逐步引入混合运算，如一年级上册和二年级上册出现的“ 加减混合”，二年级上册出现的乘加、乘减，二年级下册出现的含有小括号的加减混合运算，等等使学生在解决现实问题的过程中，初步理解混合运算的作用，体会运算顺序在中年级时，再结合解决现实问题，较为系统的介绍四则混合运算及运算顺序。
这样的编排通过较丰富的现实素材，使学生逐步体会、理解混合运算及运算顺序，同时，在丰富的感性经验的基础上，四年级出现比较抽象的运算顺序，符合学生数学学习的认知规律，并可促进学生思维水平的提高二、在后面的教材中还会安排“ 混合运算”的单元吗？在本套课标教材中，我们只在本册安排了 “ 四则运算”这个单元，来教学和梳理整数四则混合运算的顺序，在后面的教材中不会再安排“ 混合运算”的单元了小数四则混合运算和分数四则混合运算的顺序也都是在此单元总结的基础上，让学生进行迁移类推因此，教师在教学这一单元时，根 据 《 课程标准》的 精神，应该让学生在经历解决问题的过程中，感受混合运算规定的必要性，从而系统地掌握混合运算的顺序，并为后续学习做好准备三、在九年义务教育数学教材第八册“ 整数四则运算”单元对四则运算的意义进行系统的概括和总结，在课标教材这一相应的单元“ 四则运算”中，为什么没有？九年义务教育数学教材是根据九年义务教育数学大纲中“ 理解四则运算的意义，掌握加法与减法、乘法与除法之间的关系，使学生受到辩证唯物主义观点的启蒙教育”这一教学要求编排了相应的内容在课标教材的编写过程中，我们 根 据 《 数学课程标准》中 “ 结合具体情境，体会四则运算的意义”的要求，没有对四则的意义进行概括。
本册这一单元主要是教学并梳理混合运算的顺序四、有关第二单元“ 位置与方向”的教学问题1 .教材中为什么要安排这一内容？《 数学课程标准》在第二学段的“ 空间与图形”内容标准中规定， “ 能根据方向和距离确定物体的位置；能描述简单的线路图并给出了解释说明这一目标的例题“ 例5：假设大门在教室的正南方向50米处，图书馆在教室北偏东60?方 向 的100米处试画出示意图” “ 例6：画出从学校到家的路线示意图，并注明方向及主要参照物我们 根 据 《 数学课程标准》的规定在本册教材中安排了 “ 位置与方向”这个单元2 .例2中要求“ 在平面图上标出校园内各建筑物的位置”，学生还没有学习比例尺的知识，如何进行教学？首先， 这•题目的重点是要让学生在探索的过程中，明确如何根据方向和距离，在图上标出物体的位置教师应放手让学生探索、交流，使学生明确要在图上标出建筑物的位置，需要先确定什么（ 方向），再 确 定 什 么 （ 距离）其次，考虑到学生没有学习比例尺的知识，在确定图上距离时有一定难度，教材在例1的“ 做一做” 和相应练习的设计上都做了一些准备例如，在 例1的“ 做一做” 中，将小明家到学校的图上距离平均分成了四段，并标注了实际距离为400米。
其他几个地点到小明家的图上距离也都分成了同样长度的若干段， 并让学生填出实际距离练习三的第2题中，还进一步给出了“ 用一条注有数量的线段表示地面上相对应的实际距离” 的形式最后，待学生完成后，教师可以先让学生在班内集 体展示和交流各自的绘制方法，比较各种方法并说一说怎样画更简便、更清楚再向学生介绍平面示意图的•般画法根据教科书第19页下半部给出的示范性的示意图，教师可以告诉学生在绘制平面示意图的时候， 可以用一条注有数量的线段表示地面上相对应的距离，并引导学生按通常所用的方式绘制示意图五、有关第三单元“ 小数的意义和性质”的问题1 .为什么改变' ' 小数点位置移动引起小数大小的变化的规律" 中' ' 扩大……倍” “ 缩小……倍”的说法？在小学数学中“ 小数点位置移动引起小数大小的变化的规律”中 “ 扩大……倍 ”与 “ 缩小……倍”的表述，是我国老一辈教材研究编写专家在总结广大教师教学经验的基础上经过研究采用的表述方法 “ 扩大……倍 ”与 " 缩 小 ……倍 ”在小学数学阶段约定俗成的理解是：扩大几倍就是乘几缩小几倍就是除以几但是一些人对此有不同的看法，有人认为：数a扩 大n倍，应 是a+na倍，而不是na。
也有人认为： “ 倍 ”只适用于数的扩大，不适用于数的缩小考虑到上述问题以及与中学的衔接，我们在本套教材中进行了尝试性的改变在 “ 小数点位置移动引起小数大小变化规律”中，将 “ 扩大……倍” " 缩小……倍 ”修改为“ 扩大到……倍,"缩小到……分之一”2 . “ 扩大到……倍” " 缩小到……分之一”的这种表述涉及到了分数，学生还没有学习分数运算的知识，如何进行教学？现在的这种表述涉及到了分数，而在课标教材的知识结构中，学生还没有接触到系统的分数知识，而且这些知识也比较抽象，对于这一阶段的小学生来说，理解是有一定困难的 所以以教材的编排注重通过借助直观和形象图来帮助学生理解 例如， 精心设计了孙悟空变长金箍棒打小妖的动画情境帮助学生探究小数点位置移动引起小数大小变化规律；在探讨把一个小数扩大到它的10倍、100倍、1000倍和缩小到它的1/10、1/100、1/1000怎样移动小数点时，借助了面积图直观的帮助学生理解在教学例5时•，由于学生还没有系统地学习分数的知识，学生在理解“ 小数点向左移动一位、二位、三位，小数分别缩小到它的1/10、1/100、1/1000这个规律”时，可能会出现困难。
在教学时，很多教师不但充分的利用教材提供的素材，而且还创造性地使用教材例如，有的老师续编了孙悟空变长金箍棒打小妖 的动画情境在孙悟空打完小妖后，增加了将金箍棒依次缩小，再放回到耳朵里的情节利用金箍棒长度的变化直观帮助学生理解这个规律 还有的教师在教学时发现学生理解这个规律有困难， 于是并不急于让学生一下子就掌握， 只是让学生先记住这个规律再教学完例6、例 7 后，再反过来利用直观的面积图加深学生 对 “ 小数点位置移动引起小数大小变化规律”的理解 人教版数学五年级上册疑难问题问答一、“ 小数乘法”教学中的问题1 .新课标教材，是否还需要讲解小数乘法的意义？小数实质上是十进分数，小数乘法的意义与分数乘法相同小数乘法的意义实际上包括两种情况： 小数乘整数， 同整数乘法的意义相同； 一个数乘小数,则是求这个数的十分之儿、百分之儿、千分之儿……要让学生理解小数乘法的意义， 应从分数乘法的意义入手考虑到小学生的认知特点以及小数与整数的密切联系，教材先教学小数乘法，再教学分数乘法因此，这里淡化了小数乘法意义的教学，重点放在计算的算理和方法的总结上，小数乘法的意义可以让学生学完分数乘法后再来体会2 . “ 小数乘法”单元中例3和 例4的教学要求。
有老师对例3和 例4的教学要求不太清楚，这里再说明一下例3教学小数乘小数的算理算法， 例4结合例3及 “ 做一做”概括小数乘法的计算方法由于例3最后让学生观察因数和积的小数位数之间的关系，有的老师在这里就开始引导学生总结小数乘法的一般方法， 这样处理似乎显得仓促了一些 因为由一个例题就来归纳概括小数乘法中因数和积的小数位数之间的关系说服力不够，这里应该通过下面的“ 做一做”进一步巩固对小数乘法算理的理解，再让学生观察因数与积的小数位数的关系，在此基础上来教学例4 ,归纳总结出小数乘法的一 ， 般方法3 .有关积的小数位数的判断老师们经常问到判断小数乘法的积的小数位数的问题比如，7.5X0.2的结果是儿位小数？这里该填一位小数还是两位小数？这类问题实际上就是判断小数乘法中积的小数位数到底应该以计算法则为准， 还是要看具体的计算结果的问题 我们认为小数乘法中判断积的小数位数，应以计算法则为主，至于积的末尾有0的情况是下一步的问题 因此， 在出练习题时, 最好不要出末尾有0 来判断积的小数位数的题目，因为这样的考察没有多大的意义 学生在具体计算时， 只要按计算法则先确定积的小数位数，点上小数点，再根据计算的要求去掉小数部分末尾的0 即可。
二、 “ 简易方程”教学中的问题1 . 代入公式求值计算的结果要不要求写上单位名称？代入公式求值计算的结果原义务教材不要求写单位名称， 现课标教材要求写单位名称 这种改变的原因一是为了与中学统一，二是考虑到代入公式求值的结果应与以前学习的直接列式计算的结果统一另外代入求值， 课标教材先写出公式是为了便于学生更好的记忆和应用（ 事实上，如果没有明确要求，可以不写出公式，用已知数据直接写出算式）2 . ” 等式的性质”的教学问题以往的教材是利用四则运算各部分间的关系来解方程， 现在课程标准要求 ” 会用等式的性质解简单的方程”为了减轻学生的记忆负担， 课标教材没有给 出 ” 等式基本性质”的名称，也没有用文字概括出等式的性质只是通过天平平衡的实验帮助学生理解天平保持平衡的道理，以此渗透等式的性质而由于“ 天平平衡的道理”只停留在直观层面，没有与等式直接联系起来，也就是没有概括出等式的性质而解方程，又必须利用等式的性质，即 “ 方 程 （ 或等式）两边加上或减去同一个数，左右仍然相等”，所以现在教学解方程，仍要借助天平演示去求解 有的老师认为不如直接给出“ 等式的性质”，并概括两条性质的内容， 这样教学解方程时， 就不用再借助天平演示的图示而直接利用等式的性质去求解。
我们认为这样处理也是可以的在 教 学 “ 天平保持平衡的道理”时，可以结合天平和等式来概括“ 等式的性质”如，当学生观察出“ 天平两边同时加上（ 或减去） 相同的数量的物品依然保持平衡”时，教师可以对照天平，结合直观的等式说明“ 等式就像平衡的天平，在平衡的天平两边加（ 或减）同样的数量的物体，就相当于在等式两边加（ 或减）同一个数，等式仍然相等比 如 用 “ 当左边= 右边时，左边+a=右边+a” 这样的式子帮助学生理解在此基础上，教学解方程就可以直接利用“ 等式的性质”求解三、 “ 统计与可能性”教学中的问题1 . 教学例1 时必须要让学生做试验吗？ 例1是 通 过 “ 抛硬币决定谁先开球”的情景让学生理解随机抛掷一枚硬币出现正面和出现反面的可能性相同，都 是1 /2 ,并初步感知游戏规则的公平性在教师用书中， 我们建议老师可以组织学生分小组合作做抛硬币的实验帮助学生直观感受 在实际教学中，有老师反映学生已经有了抛掷硬币出现正反面的可能性相同的经验， 而实验中往往正反面出现的次数不同， 这就与学生的生活经验发生冲突， 不利于学生的理解 那么， 例1的教学有必要让学生做实验吗？事实上，可能性的大小是不能通过实验来得出的。
如果学生已经有了这样的经验，那就不用再去做实验感受了如果想要通过实验来感受，一定要建立在实验次数足够多的基础上， 所以要让学生先分组实验记录数据， 然后再在全班汇总， 进一步可以介绍科学家曾经做过的一些著名实验， 让学生体会到当实验的次数足够多时，正面朝上和反面朝上的次数各占一半， 也就是说出现正面朝上和反面朝上的可能性相同，都 是1/2因此，老师们可以根据学生的实际经验和认知特点合理安排教学2 .中位数要不要带单位？有老师提问，求中位数时，要不要带单位？求中位数时不带单位平均数、中位数、众数都是计算的一组数据的一般水平，这里考虑的是数据但在解释时，要具体问题具体说明比如一组学生的体重数据的中位数是4 5 ,我们就说这组学生体重的一般水平为45kg0 新课标人教版五年级下册疑难问题解答一、教学旋转时应把握哪些要素？1 .关于旋转的知识背景旋转的描述性定义是：像 这 样 （ 如 图4 ）,把一个图形绕着某一点0转动一个角度的图形变换叫做旋转 根据描述性定义可知， 要完成旋转就必须确定两个要素，即旋转中心和旋转角（ 包括旋转方向）改变其中的任何一个要素，旋转都会发生改变：如 图5中的两个旋转变换，旋转中心一样，旋转角不同，最后得到的图案就不同；同样，图6中的两个旋转变换， 旋转中心不同， 旋转角度一样,得到的图案也不同。
因此，当要进行旋转变换时，就有必要让学生说清楚他是绕哪一个点旋转的，向哪个方向旋转的角度是多少图4 图5 图6旋转变换具有三个特征：（ 1 ）图形的形状、大 小 不 变 （ 如上图4中三角形A ' B ' C '与三角形A B C的形状、大小相同）；（ 2 ）对应点到旋转中心的距离相等 （ 如上图4中线段0 C的长度和0 C '的长度相等）；（ 3 ）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角（ 即上图4中角A O A ，的大小与旋转的角度相等，角C O C '的大小也与旋转的角度相等，这里的旋转角度是9 0 ° ） o图7B' O 图8按照旋转的定义，摆动在数学上也是一种旋转现象（ 如图7 、图8 ）2 . 对于这部分内容的教学，请注意以下几点 1 ）把握好教学要求通过这一单元的教学，学生描述旋转现象时，只要说明绕着哪个点旋转（ 旋转中心）、向哪个方向旋转了多少度（ 旋转方向和旋转角度）就可以了 2 ）旋转特征的教学是后面教学画图的基础，教学时可让学生体会教材在安排所体现的化归思想（ 即将图形的旋转化归为线段的旋转） 为后面例4 教学画法作准备 3 ）对于学生来说，画出旋转后的图形是比较困难的，因此，教材只要求在方格纸上画出一个简单图形旋转9 0 °后的图形。
具体来说，画简单图形旋转9 0 °后的图形的关键是： 如果没有指定旋转中心， 先在图形中找到一点确定为旋转中心，再找到一条通过旋转中心的边，便于画出该条边旋转9 0 ° （ 注意是按顺时针还是逆时针旋转） 后的对应边，再根据图形的特征画出其它的边，从而画出该图形旋转9 0 °后的整个图形二、 “ 因数与倍数”单元中，在第1 2 页中指出“ 注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数（ 一般不包括0 ）”，而在1 7 页又指出“ 0 也是偶数”，质数与合数中，对 0的问题又没有加以说明这是为什么？究竟在这一单元的研究中，到底包括0 还是不包括0 ?（ 1 ）本单元是有关数论的内容，主要研究整数的性质就数论这门学科而言，研究的数的范围是整数（ 0 是整数），而且其主要概念都是在整除（ 见与本册教材相配套的教师教学用书的说明） 的基础上定义的， 具体的某个概念又会限定在特定的数的范围内（ 如 0 X 5 = 0 , 可以说5 是 0的因数，0 是 5的倍数；但不能说0 是 0的因数， 在数论里讨论的因数与一般乘法算式中的因数的概念是不同的，数论里的因数不能为0 ） ( 2 )虽然本单元的内容应该在整数范围内研究，但是，由于0是任何非0自然数的倍数， 任何非0自然数是0的因数； 这种由于0的特殊性导致在研究具体问题时经常要注意说明0是否包含在内，给研究问题带来很多麻烦。
( 如虽然0是任何非0自然数的倍数， 但最小公倍数指的是一切公倍数中的最小正数”)因此，限于小学生的认知水平，在小学阶段进行特殊约定，一般只在非0的自然数范围内加以研究，教材对此在第12页进行了说明 3 )奇数、偶数的概念是在整除的基础上定义的，研究的范围是整数，因为0能被2整除( 或者说是2的倍数) ， 因此,0也是偶数为此，教 材 对“0也是偶数” 进行了补充说明，概念是科学的定义，这与前面对本单元数的范围的特殊约定并不矛盾 4 )与因数和倍数不同，质数和合数在正整数范围内研究，因此讨论质数与合数时不包括0相应地，如果把正整数分类，应分为：1、质数和合数综上所述，由于质数与合数、因数与倍数、奇数与偶数等概念的研究范围不同，为此教材对于0依据不同情况进行特殊处理三、不教学分解质因数了，应该怎么办？根据课程标准对因数和倍数内容的调整，本册教材不再正式教学“ 质因数”“ 分解质因数”，只作为阅读性材料进行介绍这种改变在教学中给教师带来了一些困扰，这些困扰集中在“ 短除法——教，还是不教？ ”这一问题上，由此带来的直接问题就是不教短除法，怎样求几个数的最小公倍数和最大公因数问题以前用短除法求最大公因数、最小公倍数，教师更多的精力集中在计算的方法上，学生并不是十分清楚为什么要用短除法，短除法背后的道理是什么。
针对这种情况，教材根据课标“ 能找出两个数的公因数和最大公因数”这 •理 念 ，对最大公因数、 最小公倍数的求法进行了调整， 以理解概念为基础呈现了两种直观、明了、易懂的“ 找” 最大公因数、最小公倍数的方法，加深了学生对概念的理解,降低了学习的难度，体现了算法多样化的思想，同时可以培养学生根据具体情况调整自己策略的能力正是因为这种改变，质因数、分解质因数等内容也就失去了存在的基础 教师不必担心不教学分解质因数而影响求最大公因数和最小公倍数的熟练程度如果学生能够很好地掌握2、5、3的倍数的特征，通过一定程度的训练,同样可以达到熟能生巧的程度当然，在实际教学中，如果学生很好地理解了概念，教师结合学生的实际情况，通过' ' 你知道吗”中的阅读材料，让学生了解短除法也是一种很有效的求最大公因数、最小公倍数的方法，也是可以的，但不必作为统一要求四、数学广角的教学需不需要用真的天平？本 册 的 “ 数学广角”以 “ 找次品”这一活动为载体，让学生感受用归纳、推理的方法运用优化策略解决问题的有效性，感受数学的魅力通过教学目标和教材的编排可以看出， 借助天平称的方法找次品，目的在于帮助学生理解解决问题的方法，并找出优化的解决策略。
如果有天平，借助天平进行实际操作能够帮助学生直观地理解解决问题的方法；如果没有天平， 也可以借助其它学具进行操作，同样可以帮助学生理解解决问题的方法当学生通过实际操作理解了解决这类问题的方法后， 就不应再停留在操作这个水平上， 而应该借助这种方法学会进行逻辑推理，如当学生通过例2发现把待测物品平均分成3份称的方法最好后，可以此为基础让学生进行猜测： 这种方法在待测物品的数量更大时是否也成立呢？引发学生进行进一步的归纳、 推理等数学思考活动， 逐步脱离具体的实物操作，采用列表、画图等方式进行较为抽象的分析，实现从特殊到一般、从具体到抽象的过渡 人教版实验教材数学六年级上册疑难问题解答一、分数乘法意义的有关问题1. 分数乘法的意义要加强掌握好分数乘法的意义， 可为理解分数乘法的算理以及解决求一个数的儿分之几的问题做好铺垫，故应加强对分数乘法意义的教学教科书是把分数乘法的意义与算理结合在一起编排的，主要体现在例1和 例3里因为分数乘法的意义很重要，所以实际教学时可把意义和算理分开来讲，先把意义讲清楚，再结合意义来理解分数乘法的算理，就显得很自然，学生理解和掌握算理也更容易（ 可参见九义教材的做法）。
二个数乘务数2； , 个水杯装水; 千克「那 围 禹 算 太匕二। 匕二J k二 ^ * ' • L 〜u ； h >3. 启千克 二 少⑶ 笥茂.“ x 3心小 舁 人5 4方等杯也? 『 兜，’ 一 ： T 一J-, - .4 t * * k ,1 I ,4 J , -■/t- - r '- - 个数与分数相乘. 可以看作是求这个数的几分之凡是多少；九义教材2.根据算式说意义与根据意义列算式的问题这是现在讨论得比较多的一个问题因为不再区分因数的位置， 所以根据算2式说意义就应分情况讨论对分数与整数相乘来说，如5 X 5 ,就有两层含义： 2 2( 1 ) 5个5相加；( 2 ) 5的5对两个分数相乘来说，则是表示求一个数的几分之2 2 2 2 2几，如5 x5 ,既可表示5的，也可表示5的5另一方面， 根据意义列算式时,2则可列出两个算式，但它们表示的意义都是特定的、唯一的如根据5个号相加2 2列出乘法算式既可以是5 x5 ,也可以是5 x1,这两个算式在此处的意义是完2 2全相同的，都表示5个5相加，不能说是5的5二、 “ 位置”单元的教学应注意什么问题？本套实验教材关于“ 位置与方向” 的编排共有4次： 一年级下册是认识上下、前后、左右，会在具体情境中按行、列确定物体的位置；三年级下册是认识东、南、西、北、东南、东北、西南、西 北8个方向，会看简单的路线图；四年级下册是根据方向和距离两个条件确定物体的位置，根据方向和距离描述简单的路线。
本册教材则主要教学用数对表示具体情境中物体的位置，并能在方格纸上用数对确定点的位置考虑到本册是小学阶段最后一次编排“ 位置与方向”内容，教学时应注意知识的综合整理，让学生对该内容形成较为完整和系统的认识纵向来看，用数对确定物体的位置是一年级下册按行、列确定位置的一个深化， 把第儿行第儿列的具体描述抽象成数对的形式，更为简洁明了；横向来看，则与四年级下册用方向和距离两个要素来确定位置是互为补充的两种方法， 分别从不同角度出发来刻画物体的位置关系教学时可引导学生在综合、对比的基础上进行学习，从而全面掌握确定物体位置的方法如练习一的第6题和第7题， 就综合了以前学过的平移、方位、路线图等知识，可使学生在练习过程中加强对前后知识内在联系的认识和把握，同时进一步巩固了用数对确定位置的方法三、 “ 扇形统计图”的编排方式和教学要求有何变化？1 .注重体现扇形统计图的特点在小学阶段，学生先后学习了象形统计图、条形统计图、折线统计图和扇形统计图， 这4种统计图都可用来呈现相应的统计数据， 具有直观、 形象的特点,便于人们进行统计判断和决策 教学时应注意引导学生联系以前学过的3种统计 图，在对比中突出扇形统计图的特点，即能够很好地反映部分与整体的关系。
把握好这一点后，教师可安排一些综合性的统计活动， 让学生体会不同类型统计图的特点和作用， 学会根据给定的数据合理选择统计图 比如， 以同学的身高为例,不同年级同学的平均身高宜选用条形统计图， 同一个学生在不同年级时的身高宜选用折线统计图，同一年级的同学不同身高所占的比例则宜选用扇形统计图2 .不要拔高要求九义教材是把扇形统计图作为选学内容编排的， 课标教材则是作为必学内容编排的，即该内容是要求学生掌握的但在教学过程中应注意不要拔高要求课程标准对该内容的要求是：通过实例，认识扇形统计图故教学时仅要求学生能认识扇形统计图的特征，能从给出的扇形统计图中提取相应的统计信息，作出简单的统计分析和判断即可，不要求学生绘制扇形统计图四、圆的教学应注意哪些问题？1 . 注意强调转化的方法圆是一种曲线图形，与以前学过的直线图形有较大的不同，故学生在认识和研究圆的特征的过程中有一定的难度 教学时应注意引导学生合理运用转化的方法，如在探究怎样测量圆的周长时，即可采用滚一滚、绕一绕等方式，引导学生将曲线的长度转化为直线的长度来测量，从而体现“ 化曲为直”的方法；教学圆的面积时，则可引导学生回顾以前探究图形面积时常用的方法，从而通过分割、拼组的方法将圆的面积转化为学过的直线图形的面积， 体现“ 化圆为方” 的方法。
2 . 适当体现极限的思想圆的面积计算方法的探究中， 蕴涵了数学中的极限和逼近思想教学时应注意引导学生认识到圆的面积与无穷正多边形面积的关系： 随着圆的细分程度的加大， 可让学生发现把圆分割得愈小， 其构成的长方形的长就愈趋近于圆周长的一半 （ 开7 ） ，当无限分割下去时，其极限值就等于“r 了3 .渗透数学文化和爱国主义教育教科书采用“ 你知道吗”这一专栏介绍了圆周率的史料，说明了我国古代人民在科学探索方面的杰出智慧教学时可以此为契机， 展开介绍有关圆的数学文化，如祖率、刘 徽 的 “ 割圆术”、圆周率精度的历史演变等等，同时还可对学生进行爱国主义教育五、如何处理利率的时间性问题? 百分数在日常生活中有广泛的应用，为了体现这一点，教科书在百分数单元中安排了 “ 利率”的内容，并选取了 2004年10月中国人民银行公布的存款利率值作为计算利率的依据由于利率是调节经济运行的重要杠杆之一，国家会随时根据社会经济发展的状况而调整， 有时一年中就会调整儿次，比如最近的一次调整是在2007年3月18 S o而教科书受客观条件的限制，不可能随时随国家利率的调整而修订 这样，就会出现教科书中的利率与现实生活中的利率不相符的情况。
对于这个问题， 我们是这样认为的： 这部分内容的主要目的是让学生体会百分数在日常生活中有广泛的应用， 只要学生能够理解利率的相关概念，并学会计算与利率有关的简单问题就可以了至于利率的选取，老师既可用书上的，也可选用中国人民银行最新公布的 人教版实验教材数学六年级下册疑难问题解答一、有 关 “ 负数”教学的问题1 .为什么将“ 负数”编排在六年级下册？“ 负数”以往均安排在中学进行教学 现在考虑到负数在生活中具有广泛的应用，学生在日常生活中已经接触到一些负数，例如，收入与支出、气温的零上和零下、海平面以上与海平面以下、相反方向的距离等，具备了初步认识负数的基础因此，《 标准》将其提前到第二学段开始教学人教版小学数学课程标准实验教材将负数的认识编排在六年级下册， 主要基于以下两点考虑：第一，《 标准》对第二学段负数的要求是“ 学生能够在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示一些日常生活中的问题” ，不要求负数参与运算将该内容编排在六年级下册，避免了引入负数后，在学习运算过程中可能会产生负数的情况第二，有利于中小学数学的衔接，为学生进入初中后即将要学习的有理数的意义和运算奠定一定的基础， 加强中小学数学教学内容的联系。
2 .认识负数的教学中应注意的问题 1)结合具体生活情境，加深对正负数的认识 负数” 概念对小学生来讲比较抽象，为了让学生能够更好地认识负数的意义教学时，可以先结合具体生活情境，让学生充分体会到：负数的出现，是生活中表示两种相反意义的量的需要然后，运用大量实例，例如存入与支出、高于海平面与低于海平面等让学生直观形象地理解“ 正负数是表示相反意义的量” ,加深学生对正负数的认识 2)注意正确地理解正号和负号的含义数学符号是一种高度抽象化、 概括化和形式化的数学语言， 而小学生由于仍处于具体形象的思维水平， 在首次接触新的数学符号时往往不能很好地理解其实质，从而产生一些不正确的认识例如，“ 正数前面的正号”“ 负数前面的负号”等不科学的表述这就要求在本单元的教学中，老师应重视引导学生对“ + ” 、“ 一 ”的分析，帮助学生透过形式，切实理解正号、负号的本质意义3 .数的大小比较中，是否需要紧密联系具体情境进行比较？教学数的大小比较时，教材安排了两道例题这两道例题均创设了一定的情境： 例3是学生向相反方向运动的情境， 例4是在数轴上表示出未来一周每 天的最低气温的情境那么，进行数的大小比较时是否仍然需要联系具体情境呢？以例4为例，如果将温度的“ 高” “ 低 ”直接对应于数的“ 大” “ 小”看似颇为牵强，也缺乏推论的依据。
其次，即使学生借助温度从低到高的排列顺序能够进行数的大小比较了，可是如果情境变换为“ 盈亏”或 “ 上车与下车人数”的问题，学生可能很难将已有的经验和结论直接迁移过来进行数的大小比较可见，借助情境不利于学生从更为一般化的方法和角度比较数的大小因此，教材中情境设置的主要目的是为了引出数轴以及在数轴上表示出各个数 进行数的大小比较时，则应该脱离具体的情境，把数轴上的点和抽象的正负数对应起来，通过观察数轴上正负数的排列顺序，总结数的大小比较规律二、“ 正比例和反比例的意义”在教学中应注意的问题1 . 注意在“ 比例的意义”的教学中渗透情感、态度、价值观的培养情感、态度、价值观的培养是本次课程改革中极力提倡的教学目标之」但是，在数学教学中如何渗透情感、态度、价值观的培养一直是老师们很关注的问题我们认为，在数学教学中培养学生的情感、态度、价值观不仅仅要从宏观的角度培养学生学习数学的兴趣和信心，更应当结合所学的具体数学知识进行 在比例的意义教学中，教材选择从国旗长与宽的比值引出所学知识的同时，也提供了培养学生情感、态度、价值观的教育契机教师在教学中可通过学生算出各面国旗长、宽之比均为3 ： 2 ,借机向学生说明：为维护国旗的尊严，我国制定了《 国旗法》 ，其 中 规 定 “ 国旗长、宽之比为3 ： 2 ” ，所以尽管在不同的场合根据需要国旗的大小可能不同， 但是它们的形状是一样的。
让学生认识到国旗的庄严与神圣，从而对学生进行热爱国旗的教育同时，也使得情感、态度、价值观的培养体现出数学学科的特色，内涵更为丰富、充实2 .正比例教学中相关的数据是否需要在课堂上通过实验得出教学正比例的意义时，教材呈现了用相同的圆柱形杯子装水的实验， 通过研究水的体积与高度的关系教学正比例的意义鉴于课堂教学具有时效性的特点，我们认为，水的体积和高度变化的相应数据，不必通过实验得出但如果能用多媒体或其他形式呈现数据的获取过程， 让学生直观地观察到水的体积和高度是两个相关联的量以及二者之间的变化规律， 对于学生理解正比例关系也是很有帮助的三、“ 抽屉原理”教学中应注意的问题 1 .例1教学中适当渗透“ 平均分”的思想例1介绍了一类较简单的抽屉原理教材编排了两种解释方法，即枚举法和假设法在引导学生理解假设法时，教师应帮助学生明确“ 将4枝铅笔放在3个文具盒中， 为什么可以先考虑每个文具盒放1枝铅笔的情况？ ” 弄清楚该问题,也就帮助学生体会到假设法的基本思想——尽可能地平均分 这样，不仅可以帮助学生体会两种方法中假设法是更为一般、更为快捷的方法， 而且也为学生运用假 设 法 “ 证明”更复杂的抽屉问题奠定了基础。
2 .例2教学中要让学生正确理解“ 余数”的问题教材在例2的编排中是运用有余数除法的形式表达出假设法的核心思路， 即54-2=2……l o学生借助算式能够很快理解该“ 证明”过程：5本书放进2个抽屉，每个抽屉放进2本，还 剩1本把剩下的这1本放进任何一个抽屉，该抽屉里就有3本书了但由于该除法算式的余数正好是1 ,很容易让学生将“ 某个抽屉至少有书的本数”是 商 加1错误地等同于商加余数教学中，教师可结合余数不 是1的情况，如 例2后 面 的 “ 做一做” ，在对比、辨析中帮助学生更好地理解“ 抽屉原理”的实质3 .例3教学中引导学生尽可能地理解一般性的方法在解决实际问题时，将 “ 具体问题”和 “ 抽屉问题”建立起联系对小学生而言具有一定的难度学生在思考这些问题的时候，一开始可能很难找到切入点因此， 例3的编排中通过学生的对话， 提示我们在教学中可以通过先猜测再验证的方法来解决问题 但这样编排的主要目的是让学生在猜测、 验证的过程中逐步让学生认识到该问题属于“ 抽屉原理' ' 可以解决的范畴，并 在 “ 摸球问题”与 “ 抽屉问题”之间建立联系教学中随着对该问题认识地逐步深入，应引导学生理解猜测、 验证并不具有普适性， 解决相关问题时应当尽可能地运用更为一般的方法,找出问题中什么是“ 待分的东西” ，什么是“ 抽屉” ， “ 抽屉”有几个，再应用“ 抽屉原理”的一般化模型推理解决。
四、习题中的一些问题1. 线段比例尺是否应固定的理解为图上1厘米表示实际距离多少千米呢？线段比例尺一般是指图上1厘米的线段表示的实际距离 通常， 绘图时会画一 条1厘米的线段来表示， 这么表示给测量和计算带来了方便， 所以教材中涉及到的线段比例尺的单位长度基本上是1厘米 但有时受客观条件的限制， 一些简 单示意图所画线段的单位长度不一定是1 厘米例如，教材练习二十一（ 第 1 0 7页） 第 2 题的示意图，如果按1 ： 5 0 0 0 的比例尺来绘图，教材的版面很难达到要求所以根据具体情况，教材用图上0 . 4 厘米表示实际5 0 米的距离也是可以的,不存在科学性的错误2 . 练习十二第5 题，应如何理解2 对同色的小棒教材练习十二（ 第 7 2 页）第 5 题的2 对同色小棒指的就是2 对不同颜色的小棒一般情况下，如果这2 对均为同一颜色，用 “ 4 根同色小棒”的表述更为直接教学中老师可以适时帮助学生正确理解题意。