《2022年两角和与差的三角函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年两角和与差的三角函数（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载两角和与差的三角函数，解斜三角形两角和与差的宗弦教案作者：教学目标1使学生掌握两角和与差的余弦公式，并会应用这一公式解决一些有关三角函数的求值问题与证明问题2通过两角差的余弦公式的推导与证明，学生进一步理解与运用函数的思想，进一步渗透基本量的数学思想方法（基本量思想就是一种函数的思想）3在公式的推导过程中，使学生注意并学习严密而准确的数学思维方法及其数学表达方式教学重点与难点本节课的重点是使学生掌握两角和与差的余弦公式难点是两角差的余弦公式的推导与证明教学过程设计师：今天我们开始学习新的一章两角和与差的三角函数，这一章中一共有四十多个公式，抓住这些公式中的第一个公式，后面的公式
2、则势如破竹迎刃而解这第一个公式是什么呢？可以像我们课本上那样，以两角和的余弦公式作为这些公式中的第一个公式， 也可以如同我们下面要学习的这样，以两角差的余弦公式作为这些公式中的第一个公式（由此，使学生认识到这些公式的龙头是第一个公式，也可以说牵牛要牵牛鼻子，只要抓住这第一个公式，后面的公式则可顺利得出同时，也使同学认识到同样的数学知识可以有不同的数学结构，这样学生自然会认识到掌握数学知识固然重要，同样重要的是掌握它们的数学结构这样， 在同学们头脑中形成的就不是一些孤立的数学知识点，而是由数学知识编织而成的知识网络）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - -
3、- -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载师：我们要学习的第一个公式是两角差的余弦公式，也就是用与各自的三角函数值表示cos（-）怎样用 与各自的三角函数值来表示cos （-）呢？同学们可以猜想，猜错了没有关系牛： cos（-）=cos -cos 师：对这一猜想，我们应当做些什么？生：这一猜想可能是对的，也可能是错的我们不妨先把与 换成具体的已知角度来检验一下师：很好那么我们把与分别换成什么角呢？生：把 与分别换成60与 30师：好请每个同学都算一下，看看下面等式是
4、否成立：cos （60-30 ） =cos60 -cos30 师：数学发展史上有很多重要的猜想，有些猜想后来被人们证明了是正确的，有些猜想后来被人们证明了是错误的有些猜想至今还没有人能证明它是对还是错，如“哥德巴赫”猜想，即“任意一个大偶数（大于2 的偶数）一定可以表示成两个质数的和”至今世界上没有人能解决这一猜想，但我国的著名数学家陈景润在这一问题上的研究成果在世界上是处于领先地位的对于我们的猜想，通常是先用具体数据进行检验通过检验如果发现猜想错了，则问题得到了解决，如果检验了很多次都没发现猜想是错的，这时可以考虑这一猜想可能是正确的，但它的正确性仍要等待证明通过验证， 我们很快知道了cos
5、（-）=cos -cos是错误的 如果再猜cos（-）=？，又不知如何猜了请同学们回顾一下我们提出的问题：如何用与各自的三角函数值表示cos（ -）？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载这就是说，我们可以把sin，cos ，sin ，cos 当成已知数去求cos（-）在学习数学时，大家已体会到数形结合的数学思想是很重要的我们现在怎么办呢？生：建立平面直角坐标系，把 与角画出来（此时
6、教师把图画在黑板上，如图1）师：这个图画的行吗？（学生一般会认为这个图画得可以，这时教师要进行引导，培养学生严密而准确的数学思维方法和数学表达方式）师：这个图体现了与的任意性吗？我们把图画成什么样才能体现与这两个角的任意性呢？（通过引导，使学生认识到应画成图2 状）师：图中射线OM，ON 分别是 和 的终边，那么 -在图中怎样体现呢？生： -=MON 或 -=MON 师：应当是 -MON 与终边相同或 +MON 与终边相同，即名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - -
7、- 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载MON= +2k（kZ，0 MON ），所以-= MON 2k（kZ，0 MON ）这时，我们再考虑怎样把sin ，cos ，sin，cos作为已知量去求cos（-），也就是去求cos MON 生：画一个单位圆，设单位圆分别交OM ，ON 于 A 和 B，连 AB（如图 3）师：我们向大家介绍过基本量法，请一个同学简述基本量法生：在一个数学问题中往往涉及到许多量，其中有些量是可以独立取值的，而其余的量可以看做是这些量的函数我们任取一组可以独立取值的量，把它们叫做基本量，然后把其余的量 （导出量） 用基本量表示出来
8、，这样往往可以使问题得到解决师：回答得很好在我们研究的问题中把什么作为基本量呢？生：把 sin，cos ，sin，cos 做为基本量，用它们去表示cos（ -），也就是求cos AOB 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载师：我们知道一个角的终边与单位圆交点的纵坐标就是这个角的正弦值，一个角的终边与单位圆交点的横坐标就是这个角的余弦值因此，图3 中 A，B 两点的坐标是生： A（c
9、os，sin）， B（cos ，sin）师：这样， 我们可以用 的三角函数与 的三角函数表示|AB| 下面解决什么问题？能否用 -的三角函数表示|AB| 呢？师： 我们把图 3 中的 AOB 顺时针旋转一些， 使 OB 落在 x 轴正半轴上得图4 这时射线 OA 就是 -的终边位置图3 中的 |AB| 与图 4 中的 |AB| 相等，图4 中 A 点坐标为（ cos（-）， sin（-）师：接下来，我们可以建立sin，cos，sin，cos 与 cos（ -）的关系（在教师的引导下，学生不难进行下面的推导）（cos（ -）-）2 sin2（ -）=（cos-cos ）2（ sin-sin）2，
10、2-2cos （-） 2-2cos cos -2sin sin，从而cos（-） =coscos +sin sin师：到此，我们得到公式cos（ -）=cos cos+sin sin，其中 ，R我们把这一公式简记为C - 既然这一公式对任意的， R 都成立，那么哪位同学能利用这一公式得出公式 C+，即利用 ， 的三角函数表示cos （+）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载生：把公
11、式C -中的 换成 -，则有cos -（ -） =cos cos（- ） sin sin（-）cos cos-sin sin，即cos（+）=cos cos -sin sin（，R）（这时学生会进一步认识到我们在推导公式C -时强调其中 ，的任意性的重要作用）师：这两个公式很重要， 我们要熟记 请同学们抓住公式特点，要把公式记住 主要是公式右端中间的“、-”号与公式左端与 间的“ -、”号正好相反师：下面通过几个例题来看一下这两个公式的应用例 1 不查表，求cos15 及 cos75 的值（这两个小题比较简单，由学生自己演算，同时由一位同学板演，学生做完后教师进行小结）例 2（这个题目也比较简
12、单，由学生自己演算，同时由一位同学板演，然后教师进行小结）例 3 不查表，求cos21 cos24 sin159 sin204 的值解原式 cos21 cos24 sin（180-21 ） sin（180 24）=cos21 cos24 -sin21 sin24 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载师：通过此题，我们学会了公式C可以从右往左倒着应用对于我们学过的公式要熟练地掌握它们
13、，这包括灵活地运用公式要做一定数量的习题，并随时加以总结，才能达到这一目标例 4 证明 R 时，有证R 时，有名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 5 证明 R 时，有（此例请同学们自己证明，然后教师小结）师：例 4 与例 5 共包含 8 个公式，这8 个公式也要求大家记住，今天先不讲其特点与记忆方法，请同学们课下想一下怎样记忆这8 个诱导公式师：我们把这节课作一个小结（略）师：
14、布置作业先复习今天学的公式，注意公式的推导过程笔答作业：课本练习P207 第 1，2，3，4，5， 6 题课堂教学设计说明本节内容课本上是一开始就给出了结论，即公式的右端，然后给予证明这样做简单明了，节省篇幅，课本可以这样写，但我们最好换一个方式讲，因为这样不符合人们认识事物的过程人们对任一事物所下结论应在对这一事物认真研究之后，而名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载不是在之前认真
15、研究之前可以猜想结论是什么样，可以大胆地猜，但是猜完了要证明猜完了往往是先验证，经过验证发现猜错了可以再猜再验证经过多次验证没发现错，这时可以设想：猜想有可能是对的，但是要经过证明如果猜想经验证发现是错的，可再猜如果不好猜了，这时会估计结论可能不是一个非常简单的形式，难以猜测其结论这时要换一个方式去考虑，对公式C -就是把 sin，cos ，sin，cos当做已知量去求cos（-）这样就较自然地形成了本节对公式C -的证法在整个教学过程中，不是简单地把数学知识与教学思想方法抛给学生，而是使学生时刻处于积极思维的状态结论是什么样？这是一个谜，我们只有认真研究才有可能得到谜底然后，进一步启发学生考
16、虑研究的方法学生经过思考，想到数形结合、基本量法，通过解三角形最终揭开谜底这样，问题的提出，猜想，否定，进一步研究，解决，这一系列的所作所为都是顺理成章的，没有一点儿矫揉造作，显得和谐而自然，本节课的难点公式C -的推导与证明就顺利解决了本节若先证公式cos （+） coscos-sinsin（， R）也可以再提供一个证C -的方法供参考图 5 中终边与单位圆交于A（cos，sin）， 终边与单位圆文于B（cos，sin）， +终边与单位圆交于C（cos（ +）， sin（+）设单位圆与 x 轴正半轴交于P 点，显然有 AP CB ，所以（cos -1）2sin2 cos（+ ）-cos2+s
17、in （+）-sin2，2-2cos =2-2cos （+） cos-2sin （+）sin，cos =cos（+）cos +sin （+）sin注意到 与的任意性，把公式中的换成 -，则有名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载cos（-）=cos cos sinsin 在布置作业时，练习与习题中的证明题没作为作业，是打算把证明题集中在习题课中处理DvNews名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -
