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1、课程简介课程简介线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题问题. 线性关系是指数学对象之间的关系是以一次形式线性关系是指数学对象之间的关系是以一次形式来表达的来表达的. 最简单的线性问题就是解线性方程组最简单的线性问题就是解线性方程组.行列式和矩阵为处理线性问题提供了有力的工具，行列式和矩阵为处理线性问题提供了有力的工具，也推动了线性代数的发展也推动了线性代数的发展. 向量概念的引入，形成了向向量概念的引入，形成了向量空间的概念，而线性问题都可以用向量空间的观点加量空间的概念，而线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论以讨论. 因此向量空间及其线
2、性变换，以及与此相联系因此向量空间及其线性变换，以及与此相联系的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容.它的特点是研究的变量数量较多，关系复杂，方法上它的特点是研究的变量数量较多，关系复杂，方法上既有严谨的逻辑推证、又有巧妙的归纳综合，也有繁既有严谨的逻辑推证、又有巧妙的归纳综合，也有繁琐和技巧性很强的数字计算，在学习中，需要特别加琐和技巧性很强的数字计算，在学习中，需要特别加强这些方面的训练。强这些方面的训练。 第一章第一章 行列式行列式第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算第三章第三章 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 及线性方程组及线性方程组第四章第四章 向量
3、组的线性相关性向量组的线性相关性基础基础基本内容基本内容用向量的观点讨论用向量的观点讨论基本问题并介绍向基本问题并介绍向量空间的有关内容量空间的有关内容第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型矩阵理论矩阵理论一、二元线性方程组与二阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式用消元法解二元用消元法解二元( (一次一次) )线性方程组线性方程组: :第一章第一章 行列式行列式(1)(2)(1) a22:a11a22x1 + a12a22x2 = b1a22,(2) a12:a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12,两式相减消去两式相减消去x2, 得得(a11a22 a12a21) x
4、1 = b1a22 b2a12;1.1 二二阶与三阶行列式阶与三阶行列式方程组的解为方程组的解为由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定. 由四个数排成二行二列（横为行、竖为列）由四个数排成二行二列（横为行、竖为列）的数表的数表定义定义定义定义即即主主对角线对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶二阶行列式的计算行列式的计算若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式则二元则二元线性方程组的解为线性方程组的解为例例例例1 1 1 1解解二、三阶行列式定义定义定义定义记记记记（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式三阶行列式
5、三阶行列式. .(1)(1)沙沙路法路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算. .列标列标行标行标(2)(2)(2)(2)对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 如果三元线性方程组如果三元线性方程组的的系数行列式系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 2 2. . 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行, ,不同列的
6、三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为正其中三项为正, ,三项为三项为负负. .若记若记或或记记即即得得得得则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为:例例例例 解解解解按按对角线法则，有对角线法则，有例例例例3 3 3 3解解解解方程左端方程左端例例4 4 解线性方程组解线性方程组解解解解由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式同理可得同理可得故方程组的解为故方程组的解为: 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的程组引入的.对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算三、小结思考题思考题思考题解答思考题解
7、答解解设所求的设所求的二次多项式为二次多项式为由由题意得题意得得得一个关于未知数一个关于未知数 的线性方程组的线性方程组,又又得得故所求多项式为故所求多项式为1.2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数 引例引例: 用用1, 2, 3三个数字三个数字, 可以组成多少个没有重可以组成多少个没有重复数字的三位数？复数字的三位数？这是一个大家熟知的问题这是一个大家熟知的问题, 答案是答案是: 3! = 6. 将将此此问题问题推广推广: 把把n个不同的元素按先后次序排个不同的元素按先后次序排成一列成一列, 共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法. 定义定义: 把把 n 个不同的元素排成一列个不同的元素排
8、成一列, 叫做这叫做这 n 个个元素的元素的全排列全排列(或或排列排列). n 个不同的元素的所有排列的种数个不同的元素的所有排列的种数, 通常用通常用 Pn 表表示示, 称为称为排列数排列数. Pn = n (n1) (n2) 2 1 = n! 一、全排列一、全排列二、排列的逆序数二、排列的逆序数 定义定义: 在一个排列在一个排列 i1 i2 is it in 中中, 若数若数 isit,则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序.例如例如: 排列排列32514 中中, 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序. 以以 n 个不个不同的自然数为例同的自然数为例,
9、 规定规定由小到大为标准次序由小到大为标准次序.3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序 定义定义: 一个排列中所有一个排列中所有逆序逆序的总数称为此的总数称为此排列的排列的逆序数逆序数.前面的数比前面的数比后面的数大后面的数大3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31故此排列的逆序数为故此排列的逆序数为: 3+1+0+1+0 = 0+1+0+3+1 = 5.例如例如: 排列排列32514 中中,计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列. 方法方法1: 分别计算出排在分别计算出排在1
10、,2, , n 前面比它前面比它大的数码的个数并求和大的数码的个数并求和, 即先分别算出即先分别算出 1,2, , n 这这 n 个元素的逆序数个元素的逆序数, 则所有元素的逆序数的总和即则所有元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数为所求排列的逆序数. 方法方法2: 依次计算出排列中每个元素依次计算出排列中每个元素前面比它大前面比它大的的数码的个数并求和数码的个数并求和, 即算出排列中每个元素的逆序数即算出排列中每个元素的逆序数, 则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数. 方法方法3: 依次计算出排列中每个元素依次计算出排列中每个元素后面比它小
11、后面比它小的的数码的个数并求和数码的个数并求和, 即算出排列中每个元素的逆序数即算出排列中每个元素的逆序数, 则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.例例1: 求排列求排列32514的逆序数的逆序数.解解: 在排列在排列32514中中, 3排在首位排在首位, 则则3的逆序为的逆序为0;2的前面比的前面比2大的数只有一个大的数只有一个3, 故故2的逆序为的逆序为1;3 2 5 1 4没有比没有比5大的数大的数, 故其逆序为故其逆序为0;个个, 故其逆序为故其逆序为3; 4的前面比的前面比4大的数有大的数有1个个, 故逆序为故逆序为1.5的前面的前
12、面1的前面比的前面比1大的数有大的数有3即即于是排列于是排列32514的逆序数为的逆序数为 t = 0+1+0+3+1 = 5.解解:此排列为此排列为偶排列偶排列.例例2: 计算下列排列的逆序数计算下列排列的逆序数, 并讨论其奇偶性并讨论其奇偶性.(1) 217986354.2 1 7 9 8 6 3 5 40 1 0 0 1 3 4 4 5于是排列于是排列217986354的逆序数为的逆序数为:t = 0+1+0+0+1+3+4+4+5 = 18.(2) n(n1)(n2) 21解解: n (n1) (n2) 2 1012(n1)(n2)t = 0+1+2+ +(n2)+(n1)于是排列于是
13、排列n(n1)(n2) 21的逆序数为的逆序数为: 此排列当此排列当 n=4k, 4k+1 时为偶排列时为偶排列; 当当 n=4k+2, 4k+3 时为奇排列时为奇排列.(3) (2k)1(2k1)2(2k2)3(2k3) (k1)(k +1)k.(2k) 1 (2k1) 2 (2k2) 3 (2k3) (k1) (k+1) k解解:0121233(k1) (k1) kt = 0+1+1+2+2+ +(k1)+(k1)+k于是排列于是排列(2k)1(2k1)2(2k2) (k1)(k +1)k的逆序数为的逆序数为: 此排列当此排列当 k 为偶数时为偶排列为偶数时为偶排列, 当当 k为奇数时为为
14、奇数时为奇排列奇排列.1. n个不同的元素的所有排列种数为个不同的元素的所有排列种数为n!个个;2. 排列具有奇偶性排列具有奇偶性;3. 计算排列逆序数常用的方法计算排列逆序数常用的方法.三、小结三、小结1.3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义一、概念的引入一、概念的引入三阶行列式三阶行列式说明说明(1) 三阶行列式共有三阶行列式共有6项项, 即即3!项项. 说明说明(2) 每项都是位于不同行不同列的三个元素每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积的乘积. 说明说明(3) 每项的正负号都取决于位于不同行不同每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列标排列的逆序数列的三个元素的列标排列的
15、逆序数(行标为标准排列行标为标准排列). 例如例如 a13a21a32, 将行下标标准排列将行下标标准排列, 列下标排列列下标排列312的逆序数为的逆序数为t (312)=1+1=2, 偶排列偶排列. a13a21a32 的前面取的前面取+号号. 例如例如 a11a23a32, 将行下标标准排列将行下标标准排列, 列下标排列列下标排列132的逆序数为的逆序数为t (132)=0+1=1, 奇排列奇排列. a11a23a32的前面取的前面取号号.其中其中是对列下标的所有排列求和是对列下标的所有排列求和(3!项项), t 是列下标是列下标排列排列 p1p2p3 的逆序数的逆序数.二、二、n 阶行列
16、式的定义阶行列式的定义定义定义: 设由设由 n2 个数排成一个个数排成一个 n 行行 n 列的数表列的数表作出表中位于不同行不同列的作出表中位于不同行不同列的 n 个数的乘积个数的乘积, 并冠以并冠以符号符号(1)t, 得到形如得到形如 其中其中 p1p2 pn 为自然数为自然数1, 2, , n 的的一个排列一个排列, t为排列为排列p1p2 pn的逆序数的逆序数. 的项的项,所有这所有这 n! 项的代数和项的代数和称为称为(由上述数表构成的由上述数表构成的) n 阶行列式阶行列式.记作记作简记作简记作 det(aij). 数数 aij 称为行列式称为行列式 det(aij) (第第 i 行
17、第行第 j 列列)的元素的元素.即即 说明说明1. 行列式是一种特定的算式行列式是一种特定的算式, 它是根据求解它是根据求解方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定义的义的; 说明说明2. n 阶行列式是阶行列式是 n! 项的代数和项的代数和; 说明说明3. n 阶行列式的每项都是位于不同行阶行列式的每项都是位于不同行, 不同不同列列 n 个元素的乘积个元素的乘积,的符号为的符号为(1)t; 说明说明4. 一阶行列式的符号一阶行列式的符号 | a | = a, 不要与绝对值不要与绝对值符号相混淆符号相混淆, 一般不使用此符号一般不使用此符号.
18、例例1: 计算对角行列式计算对角行列式解解: 分析分析.展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是从而这个项为零从而这个项为零,同理可得同理可得: p2=3, p3=2, p4=1.所以只能所以只能 p1=4;若若p1 4, 则则即行列式中非零的项为即行列式中非零的项为:(1) t (4321) a14 a23 a32 a41即即例例2: 计算计算上三角行列式上三角行列式解解: 分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是所以非零的项只可能是所以非零的项只可能是: a11 a22 ann .从最后一行开始讨论非零项从最后一行开始讨论非零项. 显然显然pn=n, pn1=n1, pn2
19、=n2, , p2=2, p1=1,即即显然显然= 1 4 5 8同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式对角行列式对角行列式例例5: 设设证明证明: D1=D2. 中中b的指数正好是的指数正好是a的行标与列标的差的行标与列标的差证证: 由行列式定义有由行列式定义有由于由于 p1+ p2+ + pn= 1 + 2 + + n,所以所以故故 行列式是一种根据特殊需要而定义的行列式是一种根据特殊需要而定义的特定算式特定算式. n 阶行列式共有阶行列式共有n!项项, 每项都是位于不同行每项都是位于不同行, 不同列的不同列的 n 个元素的乘积个元素的乘积, 正负号由下标排列的逆序数决定正负号由下标排列
20、的逆序数决定.三、小结三、小结思考题思考题已知多项式已知多项式求求 x3 的系数的系数.思考题解答思考题解答含含 x3 的项有仅两项的项有仅两项, 即即对应于对应于= x3+ (2x3)故故 x3 的系数为的系数为(1).(1)t(1234)a11a22a33a44+ (1)t(1243)a11a22a34a43一、对换的定义一、对换的定义1.4 对对 换换 定义定义: 在排列中在排列中, 将任意两个元素对调将任意两个元素对调, 其余元素其余元素不动不动, 这种作出新排列的手续叫做这种作出新排列的手续叫做对换对换 将相邻两个元素对调将相邻两个元素对调, 叫做叫做相邻对换相邻对换.a1 a2 a
21、l a b b1 bma1 a2 al b a b1 bma1 a2 al a b1 bm b c1 cna1 a2 al b b1 bm a c1 cn例如例如二、对换与排列奇偶性的关系二、对换与排列奇偶性的关系 定理定理1: 一个排列中的任意两个元素对换一个排列中的任意两个元素对换, 排列改排列改变奇偶性变奇偶性.对换对换 a与与b即除即除 a, b 外外, 其它元素的逆序数不改变其它元素的逆序数不改变.证明证明: 先考虑相邻对换的情形先考虑相邻对换的情形.a1 a2 al a b b1 bma1 a2 al b a b1 bm例如例如因此因此, 相邻对换排列改变奇偶性相邻对换排列改变奇偶
22、性.当当 ab 时时, 对换后对换后 a 的逆序数不变的逆序数不变, b 的逆序数增加的逆序数增加1;次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性奇偶性奇偶性.对一般对换的情形对一般对换的情形, 例如例如a1a2alab1bmbc1cna1a2albb1bmac1cn对换对换 a与与b 推论推论: 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列调成标准排列的对换次数为偶
23、数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.证明证明: 由定理由定理1知知, 对换的次数就是排列奇偶性的对换的次数就是排列奇偶性的变化次数变化次数, 而标准排列是偶排列而标准排列是偶排列(逆序数为逆序数为0), 论成立论成立.因此因此, 推推下面讨论下面讨论行列式的另一种定义行列式的另一种定义形式形式.对于行列式的任一项对于行列式的任一项其中其中12ijn为自然排列为自然排列, 其逆序数其逆序数0, t 为列标排列为列标排列p1p2pipjpn的逆序数的逆序数, 对换元素对换元素 此时此时, 行标排列行标排列12jin的逆序为奇数的逆序为奇数, 而列而列标排列标排列p1p2pjpipn的逆序也改变了
24、的逆序也改变了一次奇偶性一次奇偶性. 换后换后行标排列逆序与列标排列逆序之和行标排列逆序与列标排列逆序之和的的奇偶性不变奇偶性不变, 即即t(1jin)+t(p1pjpipn)与与t(p1pipjpn)具有相同的奇偶性具有相同的奇偶性.因此因此, 对对故故 一般地一般地, 经过若干次对换行列式的任一项乘积元经过若干次对换行列式的任一项乘积元素的位置后得到的符号仍为素的位置后得到的符号仍为(1)t.因此因此, 总可以经过总可以经过若干次对换行列式的任一项若干次对换行列式的任一项, 得得其中其中 s 为为行下标排列行下标排列 q1q2 qn 的逆序数的逆序数.定理定理2: n 阶行列式也可定义为阶
25、行列式也可定义为其中其中s为行标排列为行标排列q1q2qn的逆序数的逆序数, 并按行标排列求和并按行标排列求和.定理定理3: n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中 t 为行标排列为行标排列 p1p2pn与列标排列与列标排列 q1q2qn的逆序数之和的逆序数之和. 并按行标排列并按行标排列(或列标排或列标排列列)求和求和.因此因此, 我们可以得到行列式的另一种定义形式我们可以得到行列式的另一种定义形式:根据以上讨论根据以上讨论, 还可以如下定义还可以如下定义 例例1: 试判断试判断 a14a23a31a42a56a65 和和a32a43a14a51a25a66是否六阶行列式中的项是否
26、六阶行列式中的项. 解解: a14a23a31a42a56a65的行标为顺序排列的行标为顺序排列, 列标排列标排列的逆序数为列的逆序数为:t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶数偶数)所以所以 a14a23a31a42a56a65是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项. 将将a32a43a14a51a25a66的行标按标准次序排列的行标按标准次序排列, 则则其列标排列的逆序数为其列标排列的逆序数为:t (452316) = 0+0+2+2+4+0 = 8 (偶数偶数)所以所以 a32a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项. 解解: 将将a23a31a
27、42a56a14a65的行标按标准次序排列的行标按标准次序排列, 则其列标排列的逆序数为则其列标排列的逆序数为:t (431265) = 0+1+2+2+0+1 = 6 (偶数偶数)所以所以 a23a31a42a56a14a65 的前边应带正号的前边应带正号.例例2: 在六阶行列式中在六阶行列式中, 下列两项各应带什么符号下列两项各应带什么符号.(1) a23a31a42a56a14a65; (2) a32a43a14a51a66a25 . 项项a32a43a14a51a66a25的行下标与列下标的逆序数之的行下标与列下标的逆序数之和为和为 t (341562)+t (234165) =(0+
28、0+2+0+0+4)+(0+0+0+3+0+1)= 6+4 = 10 (偶数偶数)所以所以 a32a43a14a51a66a25的前边应带正号的前边应带正号.例例3: 用行列式的定义计算用行列式的定义计算解解: 由于行列式由于行列式Dn每行每列中仅有一个非零元素每行每列中仅有一个非零元素, 所所以以Dn =(1)t a1 n-1 a2 n-2 an-1 1 an nDn = (1)t 12(n1)n = (1)t n!即即而而t = t (n1)(n2)21 n = 0+1+2+ +(n3)+(n2)+0 = (n1)(n2)/2所以所以三、小结三、小结1. 对换排列中的任意两个元素对换排列中
29、的任意两个元素, 排列改变奇偶性排列改变奇偶性.2. 行列式的三种定义方法行列式的三种定义方法:其中其中 r 为行标排列为行标排列 p1p2pn与列标排列与列标排列 q1q2qn的逆序数之和的逆序数之和. 并按行标排列并按行标排列(或列标排或列标排列列)求和求和.思考题思考题证明在全部证明在全部 n 阶排列中阶排列中(n 2), 奇偶排列各占一半奇偶排列各占一半.思考题解答思考题解答 证证: 设在全部设在全部 n阶排列中有阶排列中有s个奇排列个奇排列, t 个偶排列个偶排列,则则 s + t = n！现来证现来证 s = t . 若若将所有将所有 s个奇排列的前两个数作对换个奇排列的前两个数作
30、对换, 则这则这 s 个个奇排列全变成偶排列奇排列全变成偶排列, 故必故必有有s = t = 若若将所有将所有 t 个偶排列的前两个数作对换个偶排列的前两个数作对换, 则这则这 t 个偶排列全变成奇排列个偶排列全变成奇排列, 如此产生的如此产生的 s 个偶排列不会超个偶排列不会超过所有的过所有的 s 个奇排列个奇排列, 所以所以 t s .过所有的过所有的 t 个偶排列个偶排列, 所以所以 s t .如此产生的如此产生的 t 个奇排列不会超个奇排列不会超1.5 行列式的性质行列式的性质 一、行列式的性质一、行列式的性质行列式行列式DT称为行列式称为行列式D的的转置行列式转置行列式. 记记将将D
31、的行列互换就得到的行列互换就得到证明证明: 记行列式记行列式 D=det(aij) 的转置行列式为的转置行列式为:性质性质性质性质1:1: 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等, 即即DT = D.按定义按定义即即 bij=aji ( i, j=1, 2, , n),又由行列式的另一种表示得又由行列式的另一种表示得,所以所以, DT = D, 结论成立结论成立 说明说明: 性质性质1行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位, 因因此行列式的性质凡是对行成立的结论此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成对列也同样成立立.性质性质性质性质2:2: 互换行列式
32、的两行互换行列式的两行(列列), 行列式变号行列式变号.证明证明证明证明: : 设行列式设行列式是由行列式是由行列式互换互换 i, j (i j)两列得到两列得到.即即, 当当 k i, j 时时, bpk= apk; 当当 k = i, j 时时, bpi= apj, bpj= api; 于是于是其中其中 t 为排列为排列 p1 pi pj pn的逆序数的逆序数, 设设 s 为排列为排列p1 pj pi pn的逆序数的逆序数. 显然显然 t 与与 s 的奇偶性不同的奇偶性不同, 即即(1)t = (1)s, 所以所以,例如例如 推论推论: 如果行列式有两行如果行列式有两行(列列)完全相同完全
33、相同, 则此行则此行列式为零列式为零.证明证明: 互换互换相同的两行相同的两行, 则有则有D = D,所以所以D = 0. 性质性质性质性质3:3: 行列式的某一行行列式的某一行(列列)中所有的元素都乘以中所有的元素都乘以同一数同一数k, 等于用数等于用数k乘此行列式乘此行列式.即即 推论推论推论推论: : 行列式的某一行行列式的某一行(列列)中所有元素的公因子中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面可以提到行列式符号的外面. 性质性质4: 行列式中如果有两行行列式中如果有两行(列列)元素成比例元素成比例, 则则此行列式为零此行列式为零证明证明: 性质性质5: 若行列式的某一列若行列式的某一
34、列(行行)的元素都是两数的元素都是两数之和之和, 例如例如则则D等于下列两个行列式之和等于下列两个行列式之和:证明证明:故结论成立故结论成立. 性质性质6: 把行列式的某一列把行列式的某一列(行行)的各元素乘以同一的各元素乘以同一数然后加到另一列数然后加到另一列(行行)对应的元素上去对应的元素上去, 行列式不变行列式不变.例如例如 引入记号引入记号: 用用 ri 表示第表示第 i 行行, ci 表示第表示第 i 列列. 在计算行列式时在计算行列式时, 我们经常利用我们经常利用性质性质2,3,6对行列对行列式进行变换式进行变换. 利用利用性质性质2交换行列式的第交换行列式的第 i, j 两行两行
35、(列列), 记作记作ri rj ( ci cj ); 利用利用性质性质6把行列式的第把行列式的第 j 行行(列列)的各元素乘以同的各元素乘以同一数一数 k 然后加到第然后加到第 i 行行(列列)对应的元素上去对应的元素上去, 记作记作ri + rj k ( ci + cj k ); 利用利用性质性质3行列式的第行列式的第 i 行行(列列)乘以数乘以数k, 记记作作ri k ( ci k );二、行列式计算二、行列式计算 计算行列式常用方法计算行列式常用方法: 利用性质利用性质2,3,6, 特别是性质特别是性质6把行列式化为把行列式化为上上(下下)三角形行列式三角形行列式, 从而从而, 得到行列
36、得到行列式的值式的值结论：上（下）三角行列式、主对角线行列式的值结论：上（下）三角行列式、主对角线行列式的值 等于其主对角元的乘积等于其主对角元的乘积.例例1: 计算计算5阶行列式阶行列式解解:Dr2 + 3r1r3 2r1r4 3r1r5 4r1r2 r3r4 + r2r4 + r3r5 + 2r3r5 + 2r4例例2 计算计算解：解：解解: 将第将第2, 3, , n 列都加到第一列得列都加到第一列得:例例3: 计算计算 n 阶行列式阶行列式第第2, 3, , n 行都减去第一行得行都减去第一行得:例例4: 设设证明证明: D = D1D2. 证明证明: 对对D1作行运算作行运算 ri
37、+ t rj , 把把D1化为下三角形化为下三角形行列式行列式:对对D2作列运算作列运算 ci+kcj , 把把D2化为下三角形行列式化为下三角形行列式: 先对先对D的前的前k行作行运算行作行运算 ri+trj , 然后对然后对D的后的后n列列作列运算作列运算 ci+kcj , 把把D化为下三角形行列式化为下三角形行列式:故故, D = p11 pkk q11 qnn= D1D2.例例5 计算计算2n阶行列式阶行列式其中未写出的元素为其中未写出的元素为0.解：解：将将D2n中的第中的第2n行依次与前面的行对换，行依次与前面的行对换，换至换至第二行；第二行；再将再将D2n中的第中的第2n列依次与
38、前面的列对换，列依次与前面的列对换，换至第二列，共做换至第二列，共做2(2n-2)次对换，得次对换，得例例6 在在n阶行列式阶行列式中，中，若若则称则称D为为对称行列式；对称行列式；若若则称则称D为为反对称行列式；反对称行列式；证明：证明：奇数阶反对称行列式的值为奇数阶反对称行列式的值为0.反对称行列式的主对角元全为反对称行列式的主对角元全为0 0证明：证明：设设 n 阶反对称行列式为：阶反对称行列式为：由行列式的性质由行列式的性质1可知：可知：每行提取（每行提取（1 1）n为奇数为奇数所以所以D0. 行列式的行列式的6个性质个性质. 行列式中行与列具有同等的地行列式中行与列具有同等的地位位,
39、 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 计算行列式常用方法计算行列式常用方法: (1) 利用定义利用定义; (2) 利用性质利用性质把行列式化为上把行列式化为上(下下)三角形行列式三角形行列式, 从而算得行列式的从而算得行列式的值值.三、小结三、小结思考题思考题其中已知其中已知 abcd=1.计算行列式计算行列式,思考题解答思考题解答1.6 行列式按行行列式按行(列列)展开展开 一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式引例引例, 考察三阶行列式考察三阶行列式 在在 n 阶行列式阶行列式D中中, 把元素把元素 aij 所在的第所在的第 i 行和第
40、行和第 j 列元素划去后列元素划去后, 留下来的留下来的 n1 阶行列式叫做阶行列式叫做(行列式行列式D的关于的关于)元素元素aij 的的余子式余子式, 记作记作 Mij . 即即记记 Aij = (1)i+j Mij, 称称 Aij 为元素为元素 aij 的的代数余子式代数余子式.例如例如 行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余子式和唯一的一个代数余子式子式和唯一的一个代数余子式. 引理引理: 如果一个如果一个 n 阶行列式阶行列式D的第的第 i 行元素除行元素除 aij 外都为零外都为零, 那么那么, 行列式行列式 D 等于等于 aij 与与它
41、的代数余子式它的代数余子式 Aij的乘积的乘积, 即即 D = aij Aij .= aij Aij .证证: 当当 aij 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,又又由于由于 A11=(1)1+1M11=M11, 由上节由上节例例4, 即教材中的例即教材中的例10得得: D = a11M11 .从而从而 D = a11A11, 即结论成立即结论成立.再证一般情形再证一般情形, 此时此时 把把D的第的第 i 行依次与第行依次与第 i 1行行,第第 i 2行行, , 第第1行交换行交换, 得得 再再 把把D的第的第 j 列依次与第列依次与第 j 1列列, 第第 j 2列列, , 第第1列交换列交
42、换, 得得=(1)i+j aij M 11,显然显然, M 11恰好是恰好是aij在在D中的余子式中的余子式Mij, 即即M 11=Mij,因此因此, D = (1)i+j aij Mij = aij Aij, 故引理结论成立故引理结论成立. 定理定理3: 行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行(列列)的各元素与的各元素与其对应的代数余子式乘积之和其对应的代数余子式乘积之和, 即即D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin ( i =1, 2, , n);D = a1iA1i + a2iA2i + + aniAni ( i =1, 2, , n).二、行列式按行二、行列式按
43、行(列列)展开法则展开法则证证:D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin ( i =1, 2, , n).由由引理得引理得:引理的结论常用如下表达式引理的结论常用如下表达式:( i =1, 2, , n) 推论推论: 行列式任一行行列式任一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的的对应元素的代数余子式乘积之和等于零对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即即ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0, i j ;a1iA1j + a2iA2j + + aniAnj = 0, i j .证证: 把行列式把行列式D = det(aij) 按第按第 j 行
44、展开行展开, 得得把把 ajk 换成换成 aik (k=1, 2, , n ), 当当 i j 时时, 可得可得第第 j 行行第第 i 行行相同相同同理同理 a1iA1j + a2iA2j + + aniAnj = 0, i j 所以所以, ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0, i j 关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质其中其中说明：说明：由证明过程可知由证明过程可知例例1: 计算行列式计算行列式解解:例例2: 计算行列式计算行列式解解: D例例3: 证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式说明：（说明：（1）范德蒙德）范德蒙德(V
45、andermonde)行列式的特点是：行列式的特点是：每列（行）元素都是分别是同一个数的不同每列（行）元素都是分别是同一个数的不同方幂，方幂的次数从上到下（自左至右）按方幂，方幂的次数从上到下（自左至右）按递升次序排列递升次序排列, 从从0到到 n1次次.（2）范德蒙德）范德蒙德(Vandermonde)行列式的结果是行列式的结果是满足条件满足条件的所有因子的所有因子的连乘积，共有的连乘积，共有个因子个因子.证证: 用数学归纳法用数学归纳法所以所以, 当当 n=2 时时, (1)式成立式成立.假设对假设对 n-1 阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式, (1)式成立式成立. 对对 n 阶范德蒙德行
46、列式阶范德蒙德行列式, 作如下变换作如下变换, ri x1ri-1 ( i = n, n1, , 2, 1 ). 得得按按第一列展开第一列展开, 并把每列的公因子并把每列的公因子( xi x1 )提出提出, 就就有有:n1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式则则根据归纳假设得证根据归纳假设得证:例例4: 计算计算 解解: Dn中各行元素分别是同一个数的不同方幂中各行元素分别是同一个数的不同方幂, 方幂的次数自左至右按递升次序排列方幂的次数自左至右按递升次序排列, 但不是从但不是从0到到 n1, 而是从而是从1递升至递升至 n. 若若提出各行的公因子提出各行的公因子, 则方幂则方幂的次数便是从的次数
47、便是从0升到升到 n1, 于是得于是得:上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为 n 阶范德蒙行列式的转置阶范德蒙行列式的转置, 由范德蒙行列式知由范德蒙行列式知评注评注: 本题所给行列式各行本题所给行列式各行(列列)都是某元素的不都是某元素的不同方幂同方幂, 而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同全相同, 需要利用行列式的性质需要利用行列式的性质(如提取公因子如提取公因子, 调换调换各行各行(列列)的次序等的次序等)将此行列式化成范德蒙行列式将此行列式化成范德蒙行列式.例例5: 计算计算解：考虑行列式解：考虑行列式是是中元素中元素的余子式的余子式.
48、一方面，一方面，这是一个关于这是一个关于 y 的的 n 次多项式，其中次多项式，其中的系数是的系数是另一方面，将另一方面，将按最后一列展开：按最后一列展开：其中其中是是的系数的系数.比较可得：比较可得：这种方法称为：加边法（升阶法）这种方法称为：加边法（升阶法）.例例6. 计算行列式计算行列式分析：元素的特点是除主对角元外，第分析：元素的特点是除主对角元外，第 i 列的元素列的元素为为解：解：例例4. 已知已知求求解解： 1. 行列式按行行列式按行(列列)展开法则是把高阶行列式的计展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具算化为低阶行列式计算的重要工具. 三、小结三、小结2.思考
49、题思考题求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和: A11+A12+ +A1n . 设设 n 阶行列式阶行列式思考题解答思考题解答解解: 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成A11+A12+ +A1n1.7 克拉默克拉默(Cramer)法则法则 设线性方程组设线性方程组 若常数项若常数项b1, b2, , bn不全为零不全为零, 则称此方则称此方程组为程组为非齐次线性方程组非齐次线性方程组; 若常数项若常数项b1, b2, , bn全为零全为零, 则称此方程组为则称此方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组;(1)齐次线性方程组齐次线性方
50、程组易知，易知，一定是一定是(2)的解，的解， 称为称为零解零解。若有一组不全为零的数是若有一组不全为零的数是(2)的解，称为的解，称为非零解非零解。 定理定理1: (克拉默克拉默(Cramer)法则法则)如果线性方程组如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零的系数行列式不等于零, 即即那么那么, 线性方程组线性方程组(1)有解有解, 且解是唯一的且解是唯一的, 解可以表解可以表为为其中其中Dj 是把系数行列式是把系数行列式D中第中第 j 列的元素用方程组右列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式阶行列式, 即即 证明证明: 用系数行列式用系数行列式D的
51、第的第 j 列元素的代数余子式列元素的代数余子式A1j, A2j, Anj依次乘方程组依次乘方程组(1)的的n个方程个方程, 得得 再把再把 n 个方程相加个方程相加, 得得D 由行列式代数余子式的性质可知由行列式代数余子式的性质可知, 上式中上式中xj 的系的系数等于数等于D, 而而 xi (i j) 的系数均等于的系数均等于0, 等式右端为等式右端为Dj .于是于是因此因此, 当当 D 0 时时, 方程组方程组(2)有唯一解有唯一解:Dxj=Dj ( j=1, 2, , n)(2)由于方程组由于方程组(2)与方程组与方程组(1)等价等价,故故也是方程组也是方程组(1)的唯一解的唯一解. 定
52、理定理2: 如果线性方程组如果线性方程组(1)无解或有解但不唯一无解或有解但不唯一, 则它的系数行列式必为零则它的系数行列式必为零.定理定理3: 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组(3)的系数行列式的系数行列式 D 0, 则齐次线性方程组则齐次线性方程组(3)没有非零解没有非零解.(3) 定理定理4: 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组(3)有非零解有非零解, 则它则它的系数行列式的系数行列式 D 必为零必为零. 在后面我们将证明在后面我们将证明: 齐次线性方程组齐次线性方程组(3)有非零解有非零解的充分必要条件为的充分必要条件为(3)的系数行列式的系数行列式 D 必为零必为零.例例1:
53、用克拉默法则解方程组用克拉默法则解方程组解解:所以所以例例2: 问问 取何值时取何值时, 齐次方程组齐次方程组有非零解有非零解?由于齐次方程组有非零解的充分必要条件为由于齐次方程组有非零解的充分必要条件为D=0, 解解:则则 =0, =2或或 =3时时, 齐次方程组有非零解齐次方程组有非零解.例例3. 求使得求使得 3 点点共线的充分必要条件共线的充分必要条件.解：解： 假设这假设这3点位于直线点位于直线上，其中上，其中a, b, c 不同时为不同时为 0, 即有即有3点共线等价于上述关于点共线等价于上述关于a, b, c 的齐次线性方程组有非零的齐次线性方程组有非零解，其充要条件是解，其充要
54、条件是例例4. 证明证明 n 次多项式至多有次多项式至多有 n 个互异的根个互异的根.证明：证明：用反证法用反证法, 假设假设 n 次多项式次多项式有有 n 个互异的根：个互异的根：即有即有上述关于上述关于的齐次线性方程组的系数的齐次线性方程组的系数行列式为：行列式为：因为因为互不相等，互不相等， 所以所以从而齐次方程组只有零解，从而齐次方程组只有零解，这与这与矛盾，矛盾，故结论成立！故结论成立！1.用克拉默法则解方程组的两个条件用克拉默法则解方程组的两个条件:2.(1)方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数;(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则建立了线性方程组
55、的解和已知的系克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系数与常数项之间的关系. 它主要适用于理论推导它主要适用于理论推导, 并并不适用于实际计算不适用于实际计算.小结思考题思考题 当线性方程组的系数行列式为零时当线性方程组的系数行列式为零时, 能否用克拉能否用克拉默法则解方程组默法则解方程组? 此时方程组的解为何此时方程组的解为何?思考题解答思考题解答不能不能. 此时方程组可能为无解此时方程组可能为无解, 或有无穷多解或有无穷多解2.1 矩矩 阵阵一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入1. 线性方程组线性方程组的解取决于的解取决于系数系数aij和和常数项常数项bj ( i =1
56、, 2, , n, j =1, 2, , m ).对线性方程组的对线性方程组的研究可转化为对研究可转化为对这张数表的研究这张数表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 2. 某航空公司在某航空公司在A, B, C, D四城市四城市之间开辟了若干航线之间开辟了若干航线, 如图所示表示如图所示表示了四城市间的航班图了四城市间的航班图, 如果从如果从A到到B有有航班航班, 则用带箭头的线连接则用带箭头的线连接A与与B.四城市间的航班图情况常用表格来表示四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站发站到站到站其中其中 表示有航班表示有航班. 为了便于计算为了便
57、于计算, 把表中的把表中的 改成改成1, 空白地方填空白地方填上上0, 就得到一个数表就得到一个数表:这个数表反映了四城市间交通联接情况这个数表反映了四城市间交通联接情况.二、矩阵的定义二、矩阵的定义 定义定义: 由由m n个数个数 aij ( i =1, 2, , m; j =1, 2, , n )排成的排成的 m 行行 n 列的数表列的数表:称为称为m行行n列的矩阵列的矩阵. 简称简称 m n 矩阵矩阵. 记作记作简记为简记为: A = Am n = ( aij )m n = ( aij ). 这这m n个数个数aij称为称为矩阵矩阵A的的(第第 i 行第行第 j 列列)元素元素.矩阵与行
58、列式有本质的区别矩阵与行列式有本质的区别, 行列式是一个行列式是一个算式算式,其行数和列数相同，一个数字行列式经过计算其行数和列数相同，一个数字行列式经过计算可求得其值可求得其值, 而矩阵仅仅是一个而矩阵仅仅是一个数表数表, 它的行数和它的行数和列数可以不同列数可以不同. 元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵, 元素是复数的矩元素是复数的矩阵称为阵称为复矩阵复矩阵.例如例如:是一个是一个2 4实矩阵实矩阵;是一个是一个3 3复矩阵复矩阵;是一个是一个1 4(实实)矩阵矩阵;是一个是一个3 1(实实)矩阵矩阵;是一个是一个1 1(实实)矩阵矩阵.例如例如:是一个是一个3 阶方阵阶
59、方阵.几种特殊矩阵几种特殊矩阵 (1) 行数与列数都等于行数与列数都等于n的矩阵的矩阵A, 称为称为n阶方阵阶方阵. 也可记作也可记作An, 对于方阵，可以计算其行列式，但要注意：对于方阵，可以计算其行列式，但要注意：方阵方阵和和方阵的行列式方阵的行列式是不同的含义是不同的含义.记作记作 称为称为对角对角对角对角矩阵矩阵矩阵矩阵( (或或对角阵对角阵对角阵对角阵）.（2）形如形如 的方阵的方阵, ,不全为不全为0 (3) 如果如果En= diag( 1, 2, , n) = diag(1, 1, , 1), 则称则称En为为(n阶阶)单位矩阵单位矩阵, 或简称或简称单位阵单位阵. 简记为简记为
60、E. (4) 只有一行只有一行(列列)的矩阵称为的矩阵称为行行(列列)矩阵矩阵(或或行行(列列)向量向量). (5) 元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵, m n 阶零矩阶零矩阵记作阵记作Om n或或O.AO|A| = 0|A| = 0AO若若 |A| = 0, 称称 A 为奇异矩阵；为奇异矩阵；若若 |A| = 0, 称称 A 为非奇异矩阵；为非奇异矩阵；对于对于 n 阶方阵阶方阵A (6) 设设A = ( aij )为为 n 阶方阵阶方阵, 对任意对任意 i, j, 如果如果aij = aji都成立都成立, 则称则称A为为对称矩阵对称矩阵; 如果如果aij = aji 都
61、都成立成立, 则称则称A为为反对称矩阵反对称矩阵; 例如例如:A为对称矩阵为对称矩阵, B为反对称矩阵为反对称矩阵.例例1: 设设解解: 由于矩阵由于矩阵A =B, 则由矩阵相等的定义则由矩阵相等的定义,已知已知A =B, 求求x, y, z.x=2, y=3, z=2.得得: 2. 两个矩阵两个矩阵A = ( aij )与与B = ( bij )为同型矩阵为同型矩阵, 并且并且对应元素相等对应元素相等, 即即 aij = bij ( i =1, 2, , m; j =1, 2, , n )则称则称矩阵矩阵A与与B相等相等, 记作记作A=B.同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念1.
62、 两个两个行列数对应相等行列数对应相等的矩阵称为的矩阵称为同型矩阵同型矩阵.例如例如:为为同型矩阵同型矩阵.三、矩阵的应用三、矩阵的应用例例1间的关系式间的关系式线性变换线性变换.系数矩阵系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系. .若线性变换为若线性变换为称之为称之为恒等变换恒等变换. .对应对应 单位阵单位阵. .线性变换线性变换对应对应这是一个以原点为中心这是一个以原点为中心旋转旋转 角的角的旋转变换旋转变换.(1) 矩阵的概念矩阵的概念: m行行n列的数表列的数表三、小结三、小结(2) 特殊矩阵特殊矩阵方阵方阵行矩阵与列矩阵行矩阵与列矩阵;单位矩
63、阵单位矩阵;对角矩阵对角矩阵对角矩阵对角矩阵;零矩阵零矩阵.一、矩阵的加法一、矩阵的加法 定义定义: 设两个同型的设两个同型的 m n 矩阵矩阵A = ( aij )与与B = ( bij ), 那末矩阵那末矩阵A与与B的和定义为的和定义为(aij+bij), 记作记作A+B, 即即对应元素相加对应元素相加对应元素相加对应元素相加2.2 矩阵的运算矩阵的运算例如例如: 说明说明: 只有当两个矩阵是只有当两个矩阵是同型矩阵同型矩阵同型矩阵同型矩阵时时, 才能进行才能进行加法运算加法运算.矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律(1)交换律交换律: A+B = B+A.(2) 结合律结合律: (A+B
64、)+C = A+(B+C).(4)称为称为矩阵矩阵矩阵矩阵A A的负矩阵的负矩阵的负矩阵的负矩阵.(5) A+(A) = O, AB = A+(B).(3) A+O=A二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘 定义定义: 数数 与矩阵与矩阵A=(aij)的乘积定义为的乘积定义为( aij), 记记作作 A 或或A , 简称为简称为数乘数乘数乘数乘. 即即注意：注意： 与与 不同！不同！设设A, B为同型的为同型的m n 矩阵矩阵, , 为数为数:(1)1 A=A. (2) ()A = ( A).(2)(3) ( + )A = A+ A. (4) (A+B) = A+ B.矩阵的矩阵的数乘的数乘的运算规
65、律运算规律矩阵的加法与数乘运算矩阵的加法与数乘运算, 统称为矩阵的统称为矩阵的线性运算线性运算线性运算线性运算.三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘引例引例：设有两个线性变换：设有两个线性变换要求从要求从到到的线性变换，的线性变换， 将（将（2）代入（）代入（1）：）：这个线性变换称为线性变换（这个线性变换称为线性变换（1）和（）和（2）的乘积）的乘积.线性变换（线性变换（1）对应的矩阵为：）对应的矩阵为：线性变换（线性变换（2）对应的矩阵为：）对应的矩阵为：（1）和（）和（2）的乘积对应的矩阵为）的乘积对应的矩阵为由此引出矩阵乘法的定义：由此引出矩阵乘法的定义： 定义定义: 设设A = (
66、aij )是一个是一个 m s 矩阵矩阵, B = ( bij )是是一个一个s n 矩阵矩阵, 定义矩阵定义矩阵A与矩阵与矩阵B的乘积的乘积 C = ( cij )是一个是一个m n 矩阵矩阵, 其中其中( i=1,2, m; j=1,2, n ). 并把此乘积记作并把此乘积记作C=AB. 是是 A 中的第中的第 i 行元素与行元素与 B 中第中第 j 列的对应元素列的对应元素相乘再相加相乘再相加.例例1:例例2:当运算可行或作为运算结果时，一阶矩阵可以与数当运算可行或作为运算结果时，一阶矩阵可以与数等同看待！等同看待！例例3: 求求AB, 其中其中 注意注意: 只有当第一个矩阵的列数等于第
67、二个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时的行数时, 两个矩阵才能相乘两个矩阵才能相乘.例如例如:不不存在存在.利用矩阵的乘法：若记利用矩阵的乘法：若记则线性变换可记作则线性变换可记作对于线性方程组对于线性方程组则方程组可以表示为：则方程组可以表示为：线性方程组的矩阵表线性方程组的矩阵表示形式示形式若记若记则上述方程组可以表示为则上述方程组可以表示为线性方程组的向量表示形式线性方程组的向量表示形式矩阵乘法的运算规律矩阵乘法的运算规律(1)结合律结合律: (AB)C = A(BC);(2)分配律分配律: A(B+C) = AB+AC, (B+C)A =BA+CA; (3) (AB) =
68、 ( A)B = A( B), 其中其中 为数为数;当当 AB 有意义时，有意义时，BA 可能无意义！可能无意义！例如例如:不不存在存在.有意义，但是有意义，但是注意注意: （1）矩阵乘法一般不满足交换律矩阵乘法一般不满足交换律, 即即: AB BA，因此要注意矩阵相乘的次序因此要注意矩阵相乘的次序.一般，一般，AB称为称为A左乘左乘B，或者，或者B右乘右乘A.AB 和和 BA都有意义时，它们可能不是同型矩阵都有意义时，它们可能不是同型矩阵.例如：例如：是一阶方阵，但是是一阶方阵，但是是三阶方阵是三阶方阵.即使即使 AB 和和 BA都有意义，也是同型矩阵，它们都有意义，也是同型矩阵，它们也可能
69、不相等也可能不相等.例如例如: 设设AB BA.当当 AB BA 时，称时，称 A 与与 B 不可交换；不可交换；当当 AB=BA 时，称时，称 A 与与 B 可交换，可交换，(2) 矩阵的乘法一般不满足消去律，即矩阵的乘法一般不满足消去律，即或或从上述例子还可以看到：从上述例子还可以看到：此时此时 A 与与 B 必为同阶必为同阶方阵。方阵。若若但但AB=O,则称则称 B 是是 A 的的右零因子，右零因子，A 是是 B 的的左零因子左零因子.后面会证明：若后面会证明：若，则，则类比：当类比：当 a= 0 时时特殊矩阵与矩阵相乘的有关结论：特殊矩阵与矩阵相乘的有关结论：单位矩阵在矩阵乘法中的作用
70、相当于数单位矩阵在矩阵乘法中的作用相当于数 1 在数的在数的乘法中的作用乘法中的作用.若若 A 为方阵，则有为方阵，则有左乘左乘 A 等于用等于用 乘以乘以A中第中第 i 行行的元素的元素.右乘右乘 A 等于用等于用 乘以乘以A中第中第 i 列列的元素的元素.若若则则方阵的幂和方阵的多项式方阵的幂和方阵的多项式方阵的幂和方阵的多项式方阵的幂和方阵的多项式定义定义设设 A 是是 n 阶方阵，阶方阵，k 个个 A 的连乘积称为的连乘积称为 A 的的k 次幂，记作次幂，记作即即当当 m，k 为正整数时，有为正整数时，有只有方阵能定义幂只有方阵能定义幂只有方阵能定义幂只有方阵能定义幂当当AB不可交换时
71、，一般不可交换时，一般当当AB可交换时，可交换时，定义定义 设设是是 x 的的 k 次多项式，次多项式，A 是是 n 阶方阵，则称阶方阵，则称为方阵为方阵 A 的的 n 次多项式次多项式.若若 f(x)，g(x) 为多项式，为多项式，A、B为为 n 阶方阵，则阶方阵，则f(A) g(A) = g(A) f(A)当当 AB 不可交换时，一般不可交换时，一般f(A) g(B) = g(B) f(A)特别当矩阵为对角阵特别当矩阵为对角阵 =diag( 1, 2, n ) 时时,则则f( )=a0E + a1 +ak k, 方阵方阵A的的多项式可以类似一般多项式一样相乘或分多项式可以类似一般多项式一样
72、相乘或分解因式解因式. 例如例如(E + A)(2 E A) = 2 E + A A2,(E A)3 = E 3A + 3A2 A3.因为单位矩阵因为单位矩阵 E 与任意同阶方阵可交换，所以有与任意同阶方阵可交换，所以有解解:例例4:由此归纳出由此归纳出用数学归纳法证明用数学归纳法证明. 当当k=2时时, 显然成立显然成立.假设假设, 当当k=n时结论成立时结论成立, 对对 k=n+1时时,所以对于任意的所以对于任意的 k 都有都有:也可利用二项式也可利用二项式定理展开计算定理展开计算.记记于是于是注意到：注意到：即当即当时，时，所以所以四、矩阵的转置四、矩阵的转置 定义定义: 把矩阵把矩阵A
73、 的行列互换的行列互换, 所得到的新矩阵所得到的新矩阵, 叫做叫做矩阵矩阵A 的转置矩阵的转置矩阵, 记作记作AT.例如例如:(1) (AT)T = A;(2) (A+B)T = AT + BT;(3) ( A)T = AT;(4) (AB)T = BTAT;转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质一般地一般地证明（证明（4）设设首先容易看到首先容易看到与与为同型矩阵为同型矩阵.因为因为所以所以的第的第 i 行第行第 j 列列的元素为的元素为又因为又因为中第中第 i 行的元素为行的元素为 B 中第中第 i 列的元素列的元素中第中第 j 列的元素为列的元素为 A 中第中第 j 行的元素行的元素于是于
74、是的第的第 i 行第行第 j 列元素为列元素为故故解法解法1: 因为因为例例5: 已知已知求求(AB)T.所以所以解法解法2:(AB)T=BTAT例例6：设设（1）的第的第 i 行第行第 j 列的元素为列的元素为（2）的第的第 i 行第行第 j 列的元素为列的元素为（3）的第的第 i 行第行第 j 列的元素为列的元素为 设设A = ( aij )为为 n 阶方阵阶方阵, 对任意对任意 i, j, 如果如果aij = aji都成立都成立, 则称则称A为为对称矩阵对称矩阵对称矩阵对称矩阵; 如果如果aij = aji 都都成立成立, 则则称称A为为反对称矩阵反对称矩阵反对称矩阵反对称矩阵; 显然，
75、若显然，若 A 是反对称矩阵，那么对任意是反对称矩阵，那么对任意 i，有有由由矩阵转置和对称矩阵、反对称矩阵的定义可得矩阵转置和对称矩阵、反对称矩阵的定义可得:方阵方阵方阵方阵A A 为对称矩阵的充分必要条件是为对称矩阵的充分必要条件是为对称矩阵的充分必要条件是为对称矩阵的充分必要条件是: : A A= =A AT T. .方阵方阵方阵方阵A A 为反对称矩阵的充分必要条件是为反对称矩阵的充分必要条件是为反对称矩阵的充分必要条件是为反对称矩阵的充分必要条件是: : A A= =A AT T.证明证明: 因为因为 例例7: 设列矩阵设列矩阵X = (x1 x2 xn)T, 满足满足XTX = 1
76、, E为为n 阶单位矩阵阶单位矩阵, H = E 2XXT, 证明证明: H为对称为对称矩阵矩阵, 且且HHT = E.HT = (E 2XXT)T = ET 2(XXT)T = E 2XXT = H.所以所以, H为对称矩阵为对称矩阵.= E2 E(2XXT) (2XXT)E + (2XXT)(2XXT)= E 4XXT + 4(XXT)(XXT)= E 4XXT + 4X(XTX)XT = E 4XXT + 4XXT = E HHT = H2 = (E 2XXT)2 例例8: 证明任一证明任一n 阶方阵阶方阵A 都可表示成对称阵与反都可表示成对称阵与反对称阵之和对称阵之和.证明证明: 设设
77、 C = A + AT,所以所以, C为对称矩阵为对称矩阵.从而从而, 命题得证命题得证.则则 CT = ( A + AT)T = AT + A = C,设设 B = A AT,则则 BT = ( A AT)T = AT A = B,所以所以, B为反对称矩阵为反对称矩阵.五、方阵的行列式五、方阵的行列式五、方阵的行列式五、方阵的行列式 定义定义: 由由n 阶方阵阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做的元素所构成的行列式叫做方阵方阵A 的行列式的行列式, 记作记作 | A | 或或 detA .例如例如:则则方阵行列式的运算性质方阵行列式的运算性质(1)| AT | = | A |;(2)| kA
78、 | = kn| A |;(3) | AB | = | A | | B | = | B | | A | = | BA |.定理：定理：定理：定理：设设A、B是两个是两个 n 阶方阵，则阶方阵，则思路：思路：思路：思路：利用分块行列式的结论，行列式的性质利用分块行列式的结论，行列式的性质6及及矩阵乘法的定义矩阵乘法的定义.对于同阶方阵对于同阶方阵A和和B，一般，一般AB BA ，但是，但是|AB|=|BA|继续做继续做重要例子重要例子重要例子重要例子例例9. 设设其中其中是行列式是行列式 |A| 中元素中元素的代数余子式的代数余子式.矩阵矩阵矩阵矩阵A A A A的伴随矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵的
79、伴随矩阵注意其元素的下标注意其元素的下标注意其元素的下标注意其元素的下标证明：证明：（2）当）当|A|不等于不等于0时，时，称称为矩阵为矩阵A的伴随矩阵。的伴随矩阵。证：设证：设其中其中于是于是两边取行列式得两边取行列式得:因为因为所以所以类似可证：类似可证：六、共轭矩阵六、共轭矩阵 定义定义: 当当 A = (aij) 为复矩阵时为复矩阵时, 用用 表示表示aij 的的共共轭复数轭复数, 记记 , 称称 为为A 的共轭矩阵的共轭矩阵.运算性质运算性质设设A, B为复矩阵为复矩阵, 为复数为复数, 且运算都是可行的且运算都是可行的, 则则:矩矩阵阵运运算算加法加法数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与
80、矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵对称阵与伴随矩阵对称阵与伴随矩阵方阵的行列式方阵的行列式共轭矩阵共轭矩阵五、小结五、小结 (1) 只有当两个矩阵是同型矩阵时只有当两个矩阵是同型矩阵时, 才能进行加才能进行加法运算法运算. (2) 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时行数时, 两矩阵才能相乘两矩阵才能相乘, 且矩阵相乘且矩阵相乘不满足交换律不满足交换律. (3) 矩阵的数乘运算与行列式的性质矩阵的数乘运算与行列式的性质3不同不同.注意注意思考题思考题思考题解答思考题解答 设设A与与B为为 n 阶方阵阶方阵, 等式等式A2B2 = (A+B)(A
81、B)成立的充要条件是什么成立的充要条件是什么?答答: 因为因为 (A + B) (A B) = A2 + BA AB B2,故等式故等式A2 B2 = (A + B)(A B)成立的充要条件是成立的充要条件是:AB = BA.作业：作业：P5354 3，4，7，9，10在数的运算中在数的运算中, 当数当数 a 0 时时, 有有 aa-1 = a-1a = 1. 在矩阵的运算中在矩阵的运算中, 单位阵单位阵 E 相当于数的乘法运算相当于数的乘法运算中中的的1, 那么那么, 对于矩阵对于矩阵A, 如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵A-1, 使得使得为为a 的倒数的倒数, 或称或称a的逆的逆(元元).
82、其中其中 AA-1 = A-1A = E,则矩阵则矩阵A称为可逆矩阵称为可逆矩阵, 称称A-1为为A逆阵逆阵.一、逆矩阵的概念和性质一、逆矩阵的概念和性质2.3 逆逆 矩矩 阵阵或者从线性变换的观点来看：或者从线性变换的观点来看： 给定线性变换给定线性变换若记其若记其系数矩阵系数矩阵则线性变换可记为：则线性变换可记为：若若记记则上式可以写作：则上式可以写作：这是一个从这是一个从 Y 到到 X 的线性变换，的线性变换，它是线性变换它是线性变换的逆变换的逆变换.为恒等变换为恒等变换则有：则有：定义定义: 对于对于n 阶阶方阵方阵A, 如果存在一个如果存在一个n 阶方阵阶方阵B, 使得使得 AB =
83、 BA = E则称矩阵则称矩阵A是可逆的是可逆的, 并称矩阵并称矩阵B为为A的逆矩阵的逆矩阵. A的逆的逆矩阵记作矩阵记作A-1, 即即（1）A与与为同阶方阵；为同阶方阵；（2）若）若 B 是是 A 的逆矩阵，那么的逆矩阵，那么 A 也是也是 B 的逆矩阵的逆矩阵;(3) 例如例如: 设设由于由于 AB = BA =E, 所以所以 B 为为 A 的逆矩阵的逆矩阵.说明说明: 若若A是可逆矩阵是可逆矩阵, 则则A的逆矩阵是的逆矩阵是唯一的唯一的.事实上事实上: 若设若设B和和C是是A的逆矩阵的逆矩阵, 则有则有所以所以, A的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的, 即即AB = BA = E, AC
84、= CA = E,可得可得: B = EB = (CA)B = C(AB) = CE =C.B = C = A-1.解解: 利用待定系数法利用待定系数法.例例1: 设设求求A的逆矩阵的逆矩阵.是是A的逆矩阵的逆矩阵,设设即即则则又又因为因为则则解得解得,所以所以即即AB = BA = E, 如上求逆矩阵的方法对于方阵的阶较高时显然是如上求逆矩阵的方法对于方阵的阶较高时显然是不可行的不可行的, 必须寻求可行而有效的方法必须寻求可行而有效的方法.证明证明: 若若A可逆可逆, 则有则有A-1, 使得使得AA-1 = E.定理定理1: 矩阵矩阵A可逆的充要条件是可逆的充要条件是| A | 0, 且且其
85、中其中A*为矩阵为矩阵A的伴随矩阵的伴随矩阵.故故 | A | A-1 | = | E | = 1, 所以所以, | A | 0.由由伴随矩阵的性质伴随矩阵的性质: AA*= A*A = | A | E, 知知当当| A | 0时时,按逆矩阵的定义得按逆矩阵的定义得,说明：说明： （1）该定理揭示了矩阵可逆的充要条件，）该定理揭示了矩阵可逆的充要条件，并给出了逆矩阵的一种求法并给出了逆矩阵的一种求法公式法公式法.(2) 上（下）三角矩阵可逆当且仅当上（下）三角矩阵可逆当且仅当主对角元全不为主对角元全不为0，且当，且当时时这里逆矩阵由定义得到！这里逆矩阵由定义得到！若若当当 1 2 n 0时，时
86、，A可逆，且可逆，且 当当| A | = 0 时时, 称称A为为奇异矩阵奇异矩阵, 否则称否则称A为为非奇异非奇异矩阵矩阵. 由此可得由此可得, A是可逆矩阵的充分必要条件是是可逆矩阵的充分必要条件是A为非为非奇异矩阵奇异矩阵.若若A可逆，那么由可逆，那么由 AB = OB = O由由AB = ACB = C证明证明: 由由 AB = E 得得, | A | | B | = | E | = 1,推论推论: 若若 AB=E (或或 BA=E), 则则 B=A-1.故故| A | 0.因而因而, A-1存在存在, 于是于是B = EB = (A-1A)B = A-1(AB) = A-1E = A-
87、1.故结论成立故结论成立.推论说明：若推论说明：若 ABE，则一定有，则一定有 BAE.当当| A | 0 时时, 定义定义 A0 = E, A-k = (A-1)k (k为正整数为正整数).且且此时对任意整数此时对任意整数 , , 有有 A A = A + , (A ) = A.逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质(1) 若矩阵若矩阵A可逆可逆, 则则A-1亦可逆亦可逆, 且且(A-1)-1 = A.(2) 若矩阵若矩阵A可逆可逆, 且且 0, 则则 A 亦可逆亦可逆, 且且(3)若若A, B为同阶可逆方阵为同阶可逆方阵, 则则AB亦可逆亦可逆, 且且(AB)-1 = B-1A-1.证明证明:(
88、AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E,所以所以(AB)-1=B-1A-1.一般地一般地证明证明:(4) 若矩阵若矩阵A可逆可逆, 则则AT 亦可逆亦可逆, 且且(AT)-1=(A-1)T.AT(A-1)T =(A-1A)T=ET =E,所以所以(AT)-1=(A-1)T.求转置和求逆可以换序求转置和求逆可以换序求转置和求逆可以换序求转置和求逆可以换序. .(5) 若矩阵若矩阵A可逆可逆, 则有则有| A-1 |=| A |-1.证明证明:因为因为 AA-1 = E,所以所以 | A | | A-1 | = | E | = 1,因此因此| A-1 |=| A |
89、-1.注意：注意：（1）当）当 A，B 可逆时，可逆时，A + B 不一定可逆；不一定可逆；即使即使 A + B 可逆，一般可逆，一般反例：反例： 设设 A 可逆，取可逆，取B = A，显然显然 B 可逆，但可逆，但A + B = O 不可逆不可逆.取取 Adiag（2，1），），B diag（1，2），），此时此时A + B = diag (3, 1)可逆，且可逆，且显然显然的逆矩阵的逆矩阵.例例3: 求方阵求方阵解解: 因为因为二、关于逆矩阵的求法二、关于逆矩阵的求法所以所以A-1存在存在.同理可得同理可得所以所以,故故例例4: 求求的逆矩阵的逆矩阵( ad bc 0 ).解解: 用伴随矩
90、阵的方法求用伴随矩阵的方法求A逆阵逆阵.| A | = ad bc 0.A11 = d, A21 = b, A12 = c, A22 = a .设设则则A可逆且可逆且则则 求求二阶矩阵二阶矩阵A的逆的逆可用可用“两换一除两换一除”的方法的方法, 其做法如其做法如下下: 先将矩阵先将矩阵 A 中的主对角元素调换其位置中的主对角元素调换其位置, 再将次再将次对对角元素调换其符号角元素调换其符号, 最后用最后用 A 的行列式的行列式 |A| 除矩阵除矩阵A的的每一个元素每一个元素, 即可得即可得 A 的逆矩阵的逆矩阵 A-1.利用公式求利用公式求A的逆矩阵，要注意：的逆矩阵，要注意：（1）不要忘记除
91、以）不要忘记除以 |A|;(2) 注意注意A的伴随矩阵的定义和其中元素的符号；的伴随矩阵的定义和其中元素的符号；（3）适用范围：特殊矩阵，低阶矩阵）适用范围：特殊矩阵，低阶矩阵.(4)求出求出A的逆矩阵后，可以检查其正确性：的逆矩阵后，可以检查其正确性：（做矩阵乘法）（做矩阵乘法）例例5: 设设问线性方程组问线性方程组AX = b是否有解？如有解，求其解是否有解？如有解，求其解.解解: 由于由于所以所以AX = b有唯一解，且由有唯一解，且由AX = b可得可得即即因为因为所以所以例例5: 设设求求矩阵矩阵X使其满足使其满足 AXB=C.解解: 由于由于所以所以, A-1, B-1都存在都存在
92、. 且且又又由由 AXB = C, 得得 A-1AXBB-1 = A-1CB-1,则则 X = A-1CB-1.于是于是X = A-1CB-1 例例7: 设设方阵方阵A满足矩阵方程满足矩阵方程 A2A2E = O, 证明证明: A, A+2E 都可逆都可逆, 并求它们的逆矩阵并求它们的逆矩阵.证明证明: 由由 A2A2E=O, 得得 A(AE)=2E, 则则故故A可逆可逆, 且且A-1 =又由又由可得可得因为因为 A 可逆，所以可逆，所以 A2E 可逆，且可逆，且又由又由 A2A2E=O, 得得 (A+2E)(A3E)+4E=O, 则则故故(A+2E)可逆可逆, 且且 (A+2E)-1 =或者
93、或者例例8: 设设三阶方阵三阶方阵A, B满足关系式满足关系式: A-1BA=6A+BA,且且求求B.解解: 由于由于|A|=1/56 0,由由 A-1BA=6A+BA, 得得 A-1BABA=6A,所以所以A可逆可逆, 且且A-1=则则 (A-1E)BA= 6A,由于由于(A-1E)=所以所以(A-1E)可逆可逆, 且且(A-1E)-1=由由A和和(A-1E)可逆可可逆可得得:B = 6(A-1E)-1例例9: 设设且且AP = P , 求求An.解解: 由于由于| P | =2, A = P P-1, A2 = P P-1 P P-1= PP-1 = P 2P-1, Am = P mP-1,则则 An= P nP-1 而而例例10. 设设为非零实矩阵，证明：若为非零实矩阵，证明：若则则 A 可逆可逆.证明：设证明：设那么那么于是由条件于是由条件可得可得又因为又因为A为非零实矩阵，所以为非零实矩阵，所以且至少有一个不等于且至少有一个不等于0，假设，假设将将 A 按照第按照第行展开得：行展开得：所以所以 A 可逆可逆.
