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1、平稳随机过程的功率谱密度一、平稳过程的功率谱密度一、平稳过程的功率谱密度 二、谱密度的性质二、谱密度的性质 三、互谱密度及其性质三、互谱密度及其性质 假如假如 x( t ) 满足狄利克雷满足狄利克雷 (Dirichlet) 条件条件, ,且且绝对可积绝对可积, , 即即 那么那么 x(t) 的傅里叶的傅里叶变换存在或者说具有频谱变换存在或者说具有频谱且同时有傅里叶逆变换且同时有傅里叶逆变换一、平稳过程的功率谱密度设有时间函数设有时间函数一般是复数量一般是复数量, , 其共轭函数其共轭函数1. 平均功率和能量谱密度平均功率和能量谱密度等式等式: :称为称为x(t)的能量谱密度的能量谱密度帕塞瓦尔
2、等式又可理解为总能量的谱表示式帕塞瓦尔等式又可理解为总能量的谱表示式. .平均功率平均功率上的平均功率上的平均功率. .平均功率的谱表示式平均功率的谱表示式 由给定的由给定的 x( t ) 构造一个截尾函数构造一个截尾函数绝对可积绝对可积它的帕塞瓦尔等式它的帕塞瓦尔等式变形得变形得称为称为 x( t ) 的平均功率谱密度的平均功率谱密度2. 平稳过程的平均功率和能量谱密度平稳过程的平均功率和能量谱密度交换定义式中积分与均值的运算顺序交换定义式中积分与均值的运算顺序, , 并注意并注意到平稳过程的均方值是常数到平稳过程的均方值是常数, , 于是于是 平稳过程的平均功率平稳过程的平均功率该过程的该
3、过程的均方值均方值平稳过程平稳过程 X(t) 的的功率谱密度功率谱密度, ,即即称为平稳过程称为平稳过程 X( t ) 的的平均功率的谱表示式平均功率的谱表示式. .也简称为也简称为自谱密度自谱密度或或谱密度谱密度, , 它是从频率这个角度它是从频率这个角度描述描述 X( t ) 的统计规律的最主要的数字特征的统计规律的最主要的数字特征. . 物理意义物理意义: : 表示表示 X( t ) 的平均功率关于频率的分布的平均功率关于频率的分布. . 二、谱密度的性质 性质性质1性质性质2它们统称为它们统称为维纳维纳- -辛钦辛钦(Wiener-Khintchine)公式公式. .说明说明1. 平稳
4、过程在自相关函数绝对可积的条件下平稳过程在自相关函数绝对可积的条件下, ,维纳维纳- -辛钦公式成立辛钦公式成立. . 都是偶函数都是偶函数, , 所以维纳所以维纳- -辛钦辛钦公式还可以写成如下的形式公式还可以写成如下的形式: : 的谱表示式的谱表示式. .它揭示了从时间角度描述平稳过程它揭示了从时间角度描述平稳过程X(t)的统计规律和从频率角度描述的统计规律和从频率角度描述X(t)的统计规律之间的统计规律之间的联系的联系. . 在应用上我们可以根据实际情形选择时间域方在应用上我们可以根据实际情形选择时间域方法或等价的频率域方法去解决实际问题法或等价的频率域方法去解决实际问题. .3. 维纳
5、维纳- -辛钦公式又称为平稳过程自相关函数辛钦公式又称为平稳过程自相关函数例例1已知谱密度已知谱密度求平稳过程求平稳过程 X( t ) 的自相关函数和均方值的自相关函数和均方值. . 解解由公式知自相关函数由公式知自相关函数 利用留数定理利用留数定理, , 可算得可算得 均方值为均方值为说明说明有理谱密度有理谱密度 在实际问题中常常碰到这样一些平稳过程在实际问题中常常碰到这样一些平稳过程, , 它它们的自相关函数或谱密度在常义情形下的傅立叶变们的自相关函数或谱密度在常义情形下的傅立叶变换或逆变换不存在换或逆变换不存在, , 此时如果允许谱密度和自相关此时如果允许谱密度和自相关函数含有函数含有函
6、数函数, , 有关实际问题仍能得到圆满解决有关实际问题仍能得到圆满解决. . 在这种情况下在这种情况下, , 自相关函数为常数或正弦型函自相关函数为常数或正弦型函数的平稳过程数的平稳过程, , 其谱密度都是离散的其谱密度都是离散的. . 求自相关函数求自相关函数 所对应谱密度所对应谱密度 解解 所要求的谱密度为所要求的谱密度为相应的谱密度如图所示相应的谱密度如图所示: : 此图说明了谱密度此图说明了谱密度是如何表明噪声以是如何表明噪声以外的周期信号的外的周期信号的. . 例例2白噪声白噪声均值为零而谱密度为正常数均值为零而谱密度为正常数, , 即即 的平稳过程的平稳过程X(t) 称为白噪声过程
7、称为白噪声过程, , 简称白噪声简称白噪声. . 其名出于白光具有均匀光谱的缘故其名出于白光具有均匀光谱的缘故. . 2. 白噪声的自相关函数白噪声的自相关函数1. 定义定义是不相关的是不相关的. .(1) 白噪声也可定义为均值为零、自相关函数为白噪声也可定义为均值为零、自相关函数为 说明说明(2)白噪声是一种理想化的数学模型白噪声是一种理想化的数学模型. . 它的平均功它的平均功率是无限的率是无限的. . 白噪声在数学处理上具有简单白噪声在数学处理上具有简单、方便方便优点优点. . 如果某种噪声如果某种噪声( (或干扰或干扰) )在比实际考虑的有用在比实际考虑的有用频带宽得多的范围内频带宽得
8、多的范围内, , 具有比较具有比较 “ “平坦平坦” ” 的谱密的谱密度度, , 那就可把它近似地当作白噪声来处理那就可把它近似地当作白噪声来处理. . 三、互谱密度及其性质互谱密度的定义互谱密度的定义设设 X( t ) 和和Y( t ) 是两个平稳相关的随机过程是两个平稳相关的随机过程. .称称为平稳过程为平稳过程 X( t ) 和和 Y( t ) 的的互谱密度互谱密度. .说明说明互谱密度的性质互谱密度的性质2. 2. 在互相关函数在互相关函数绝对可积的条件下绝对可积的条件下, , 有如有如下维纳下维纳- -辛钦公式辛钦公式 4. 互谱密度与自谱密度之间成立有不等式互谱密度与自谱密度之间成
9、立有不等式 注意注意(1) 在应用上当考虑多个平稳过程之和的频率结构在应用上当考虑多个平稳过程之和的频率结构时时, , 要运用互谱密度要运用互谱密度. . 例如例如: : 其中其中 X( t ) 和和 Y( t ) 是平稳相关的是平稳相关的. . Z( t ) 的自相关函数是的自相关函数是根据维纳根据维纳- -辛钦公式辛钦公式, , Z( t ) 的自谱密度为的自谱密度为(2) 互谱密度并不象自谱密度那样具有物理意义互谱密度并不象自谱密度那样具有物理意义, ,引引入这个概念主要是为了能在频率域上描述两个平稳入这个概念主要是为了能在频率域上描述两个平稳过程的相关性过程的相关性. .例如例如: : 对具有零均值的平稳过程对具有零均值的平稳过程 X( t ) 和和 Y( t ) , , 根据性质根据性质(2),解解功率谱密度为常数的平稳过程是白噪声功率谱密度为常数的平稳过程是白噪声. .例例3解解例例4解解方法方法1例例5平均功率为平均功率为方法方法2
