圆锥曲线专题( 定点、定值问题)圆锥曲线专题一定点、定值问题定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量直线过定点问题通法， 是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k和m的一次函数关系式，代入直线方程即可技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？ 圆锥曲线是一种很有趣的载体， 自身存在很多性质， 这些性质往往成为出题老师的参考如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一： “ 手电筒" 模型【 例 题 】已知椭圆C：二 +二=1若直线/ ： y = + 与 椭 圆C相交于A,B两点(A, B不是左右顶点) ，T ~3且 以AB为直径的圆过椭圆C的右手点. 求证：直线/ 过定点， 并求出该定点的坐标 J y = kx +m , ,解 ：设 A(JI ), 8(x ),由< 得(3 + 422)x2 + 86奴 + 4(m2-3) = 0 ,1 1 22 |^ 3 x 2 + 4 y 2 = 12A = 64m2 2 2-16(3+ 4Z 2)(加2 - 3) > 0 , 3+ 4k2- m2 > 08mk 4(m2-3)x +x =-, x x =1 2 3+44 2 1 2 3+4左23(7722 — 4左 2)y -y = (kx + m) • (kx + m) = k2xx + mk (x + x ) + m2 =1 2 1 2 1 2 1 2 3 + 4 % 2•: 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点0(2,0),且 左・ k =-1 ,VAD BD/ . M • 2 = -1 , y y +x x - 2(x +x ) + 4 = 0,x -2 x -2 1212 1 21 23(m2-4女2) 4(加2-3) 16m^ 4. 4 = 0 ,3+4% 2 3+4左 2 3 +4女 22k整理得：7m2+16m2 + 4% 2= 0,解得：m = -2k,m = -_ _,且满足3+4人一加2 > 012 7当 机 = 一 说 时 ，/ ： y = k(x-2 ^f直线过定点( 多0 ) ,与已知矛盾；当机= 一_ 时，/：y = 直线过定点(_,0)T 7 72综上可知，直线/ 过定点，定点坐标为( 一,0).7♦ 方法总结： 本 题 为 “ 弦对定点张直角”的一个例子： 圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB,则AB必过定点( 》0(。
22)必( 碎一枚) )a2 +b2 ' a2 + b2♦ 模型拓展：本题还可以拓展为“ 手电筒”模 型 ：只要任意一个限定AP与BP条 件 ( 如 左 ” , ・储户= 定值，k +k = 定 值 ) ，直 线AB依然会过定点( 因为三条直线形似手电筒， 固名曰手电筒模型) AP BP此模型解题步骤：Stepl:设AB直线 > = 区 +， 〃， 联立曲线方程得根与系数关系，△求出参数范围；Step2:由AP与BP关 系( 如k ・ k = -1 ) ,得一次函数k = f(m )或者tn = f( k )；Step3:将Z = /(m )或者m= /(A )代 入 〉= 丘 + 机 ，得y = Z (x-x ) + y定 定♦ 迁移训练练 习1 :过抛物线M：产 =2〃冗上一点P (1, 2 )作倾斜角互补的直线PA与PB,交M于A、B两点，求证：直 线AB过 定 点 . ( 注 ： 本题结论也适用于抛物线与双曲线)- 1 - 圆锥曲线专题( 定点、定值问题)练 习2 :过 抛 物 线M ： > 2 = 4 x的顶点任意作两条互相垂直的弦O A、0 B ,求证：直 线A B过定点。
( 经典例题 ， 多种解法)练 习3 :过2 x 2 - y2 =1上的点作动弦A B、A C且4・ k = 3 ,证明B C恒过定点 ( 本题参考答案：( L , -1 ) )AB AC5 5练习：4 ：设A、B是轨迹C：产= 2 px( P > 0 )上异于原点0的两个不同点，直线0 A和0 8的倾斜角分别7 1为a和B ,当a , P变化且a + p =彳时， 证 明 直 线AB恒过定点，并求出该定点的坐标 参考答案( _ 2 〃, 2 p) )【 答案】设) , 8( x , y ),由题意得x, x # 0 ,又 直 线O A , 0 B的倾斜角a , 0满足a + ( 3 =：,故1 1 2 2 1 2 4710< a , P <_ ,所以直线A8的斜率存在， 否则，O A , 0 B直线的倾斜角之和为兀.从而设A B方程为y =履 + 〃，4.y2 y2显然 x = —i , x = ，1 2 〃 2 2 〃y - k x + b 与.2 = 2px^ P > 0)联 专 肖 / x，得@2 - 2 py + 2 p。
0由韦达定理知y + y =一,y-y =①兀 1 2 4 1 2 ka p R t a n a + t a n P 2 p( y + y )由 + =—用 1 = t a n = t a n f + P) = - ---------- - = i 24 4 1 -t a n a t a n p y v2 - 4 /? 2将①式代入上式整理化简可得：, 之 ：=1 , 所以b = 2 p + 2 pk,b - 2 pk此时，直 线A B的方程可表示为y = kx+ 2 p + 2 p k即k( x + 2 p) - ( ^ y - 2p)= 0所以直线AB恒过定点( —2 p, 2 p)练 习5:已知动圆过定点A ( 4 , 0) ,且 在y轴上截得的弦M N的 长 为8 I ) 求动圆圆心的轨迹C的方程；( I I )已 知 点B ( -1 , 0 ),设 不 垂 直 于x轴的直线/与轨迹C交于不同的两点P, Q,若x轴 是NPBQ的角平分线， 证明直线/过定点 答案】 解 ：(I ) A ( 4 , 0), 设 圆 心C( x, y) , 线 段 的 中 点为E , 由几何图像知ME =",CA2 = C M 2 = M E 2 + E C 2-2=>& - 4 ) 2 +y2 =4 2 +A2 n>2 = 法( I D 点B ( -1 , 0) ,设23九) ,Q ( ,人) ， 由题知3+>2 力 > 乂― < °， y/ = 8 % y , =8 %。
n 2 n )1 = )2 n 8( y + y) + y y ( y + y) = 0 = > 8 + y y = 0 直线 PQ 方程为:X + 1 + 1 X 2+8 ,,+8 1 2 1 2 2 1 1 2y - y 1y - y = 2 1 (% - % ) = > y - y =( 8 x- y2)1 x - x 1 1 y + v 12 1 2 1=>y( >2 + ” 一 中 2 + y ) = 8x-yj nN% + y〔) + 8 = 8 x n y = 0, x= 1所以，直 线P Q过 定 点? 1 , 0)练 习6：已 知 点8( — 1 , 0 ) , C ( 1 , 0 ) , P是平面上一动点，且;阮| | • 国'前2( 1 )求 点P的轨迹C对应的方程；( 2 )已知点 4见2 )在曲线C上，过点A作曲线的 两 条 弦A 和AE,且A O _ L A E ,判 断 ：直线OE是否过定点？试证明你的结论 解】( 1 )设P( x, y)代入I记| .| 丽= 丽・ 丽得J( x-1 ) 2 + y2 = 1 + 1化简得) , 2 = 4 x. ( 5分)-2 - 圆锥曲线专题( 定点、定值问题)(2)将A(m,2)代入产=4x得机=1•.点A的坐标为(1,2).设 直线DE的方程为x = my + t代入产=4x,得y2- 4mt - 4/ = 0,设O(x , y ) , y ) 则y+ y = 4/n, y -y =-4r, A = (-4m)2 +16/ > 0(*)1__1 2 2 12 1 2:,~AC> = -1)(X -1) + (y - 2)(y - 2 )= xx - (x+x)+1 + y -y -2 (y + y) + 41 2 * 1 2 1 2 12 1 " 2 1 - 2V2 V2 V2 V2=」 . 上 一 ( 二 + = )+y-2 (y + y) + 54 4 4 4 1 2 1 2( ”y)2 (y + y)2 -2 y - y~ 1 2 - 12 12 +y - y -2 (y + y) + 516- 4 1 2 -1 2( 一4 /)2 (4m)2-2(-4r)=-+ (-4r) - 2(4/n) + 5 = 0化简 得 /- 6f + 5 = 4机2 + 8m16 4即f2 -6 / + 9 = 4加2 + 8/n + 4即(Z-3)2 =4(m + 1)2 z. r-3 = ±2(m + 1).•J=2〃? + 5或1 = -2〃?+1,代 入 ( * ) 式检验均满足A >0直线£)E的方程为x = m( y + 2) + 5或x = y - 2) +1.•.直线£> 七过定点(5 , - 2 ) .( 定 点(1,2)不满足题意)练 习7 :已知点A( — 1, 0), B (1, - 1 )和抛物线。
C：y2 = 4x, 0为坐标原点， 过 点A的 动 直 线I交抛物 线C于M、P ,直 线MB交抛物线C于另一点Q,如图I) 证 明 ： 河 •而 为 定 值 ；5 ___(I I)若△P0M的 面 积 为 一 求 向 量R F与亦■的夹角；2( III)证 明 直 线PQ恒过一个定点.解 ：⑴ 设 点M( 一:， 乂) ，P(『y 尸、M、A三点共线,4 1 4 2y y - y■ .k =k , 即 e— = —J ——J，A M D M 产 + J > 2 y2~ t 4 - 4y 1即. ] =_ _ _ _ _ _ _y y =4>2+4 y +y 1 21 1 2一 . __ y2 y2OM - 7yp = __L • _2_+ y y = 5.4 4 1 2( I I )设NP0M=a,贝U I 丽•COSa = 5.5 __... S I O^I I Tt)P I -sina= 5 .由此可得 tan a=1 o△R O M 2又a G(0,K),.-.a = 45°,故向量OM与 尸的夹角为45°.(III)设点Q ( =，y ),・ ・ ・M、B、Q三点共线， .•・& =k ,4 3 BQ QM即,3 =< ％， 即工=1 ,~y2 ~y2 y2 )_ _ 4 y + y3 +1 1 — 3 3 1 34 4 4・ ・•()3+1)。
、+ % )= % -4 ,即y匕 + ^ + >>3 + 4=0...............11分y ) = 4,即y =一 .一-y +-4- + y +4 = 0,1 2 1y 2 y2 3y2 §即 4(y + y )+ y y +4 = 0.(*)2 3 2 3-3- 『43圆锥曲线专题( 定点、定值问题)kPQ 21-21 力 + 匕T T直线PQ的 方程是y_y =24yJ +y2即(y - > 2 ) ( % + > 3 ) = 4 % - *即y( ) ，2 + ' ) 一 吟3 = 4工由 (*)式，-yy = 4 ( y + y ) + 4 ,代入上式， 得( y + 4 ) ( y2 3 2 3 2由此可知直线PQ过 定 点E ( 1 , -4 ) .+ y) = 4 ( x - 1 ) .模型二：切点弦恒过定点34 1又M到A B的 距 离d■ M l tM1 * t« «9S-4-例 题 ： 有如下结论： " 圆x2 + y2 = /2上 一 点P( x , y )处的切线方程为xy■\ -yy=r2 ,,,类比也有结o o o o论 ：" 椭 圆 三 + 匕=1(。
〉＞0 )上一点P ( x , y ) 处 的 切 线 方 程 为 二 + 22 = 1 " ，过 椭 圆C ：上 + 产 =1的a 2 b2 o 0 口2 万2 4右 准 线I上任意一点M引椭圆C的两条切线，切 点 为A、B o( 1)求证：直 线A B恒过一定点;( 2 )当 点M在 的 纵 坐 标 为1时， 求4 A B M的面积4 / 3x x【 解 】( 1)设 M( _y _, / ) ( r eR) , A ( x y ) , B ( x , y ) ， 则AM的方程为」+ y y = 11, 1 2 2• . •点M在M A上 .•./x + " =1 ① 同 理 可 得 卫 光 + ) = 1 ②3 1 1 3 2 3 42由 ① ② 知AB的方程为《x + b =1,即工=点(1_9 )易知右焦点F( J 5, O)满足③式， 故A B恒 过 椭 圆C的右焦点F ( 晶, 0 )X2( 2 )把 A B 的方程x = J 3 ( 1 — y )代 入 一 + y 2 = 1,化简得7y — 6 ) ，一1 =04/. | AB |=" 3 6 +2 8 =16V ―7 — ~7...△A B M 的面积 S =1• | A fi | .d JM2 2 1♦ 方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接引用，可以用本题的书写步骤替换之， 大家注意过程。
♦ 方法总结：什么是切点弦？ 解题步骤有哪些？ 圆锥曲线专题（ 定点、定值问题）练 习1:已知抛物线C的顶点为原点，其焦点/（ o .c X c〉 ） 到直线/ ： x - y - 2 = 0的距离为.设P为直线/ 上的点， 过 点P作抛物线C的两条切线P A , P 8 ,其 中A , 8为切点I ） 求抛物线C的方程；（ I I ）当 点P（ x, y ） 为直线/ 上的定点时， 求 直 线A3的方程；0 0（ I I I ）当点P在直线/ 上移动时，求|4目化日的最小值.【 答案】（I） 依题意， 设抛物线的方程为X2 = 4 c ） ， ，由 | 0 - 2 | = W 结合, > 042 2解得c = 1.所以抛物 线C的方程为m =4 y .( I I )抛物线C的方程为m = 4>，即y = ] x2 ,求导得, 、 , 、 4 2()() X 2 X 2设 A x , y , B x,y ( 其中 > = - p, y =工)，1 1 2 2 1 4 2 41 1则切线P A , P B的斜率分别为_ x , _ x ,2 1 2 2X / \ X X2所以切线 P A ： y - y =T'九 一 x 即 y = — x— 1- + y , x x-2 y-2 y = 01 2 1 2 2 1 1 1同理可得切线PB的方程为x x - 2 y - 2 y =0因为物线P A.7P B均 超 点P( 四y 0 ) ,所以冗x -2 y -2 y = 0 , xx- 2 y - 2 y(八) 1 0 0 1 2 0 0 2所 以x , y , x , y 为方程x x - 2 y - 2 y = 0的两组解.1 1 2 2 0 0所 以直线A B的方程为x x- 2 y -2 y = Q .0 0( i l l )由抛物线定义可知p/ 卜 乙+1, fF\ =y +1,所 那 H牛 B |F= ( y +1) G+I ) =y y +( v +y ) +1I I J I 1 2 1 2 1 2 Z \\ x x-2 y-2 y =0 ( )联立方程〈。
. ，消 去x整理得yz+ Yy—xz / y + y 2 =0= 0[ x2 = 4 yo o o由一元二次方程根与系数的关系可得y + y = X 2 —2 y , y y = y 2/ \ 1 2 0 0 1 2 0所 vX AF\ B ff = yy +( y + y z +1 = y 2 + ^ 2 - 2 y +11 2 0 0 0又点PG ,y ) 在直线/ 上， 所 以x = y + 2 ,0 0 0 0 /、(1 ¥ 9所以 y2 + x 2 - 2 y +1 = 2 y 2 + 2 y + 5 = 2 | y + — | + -'o o o o o 1 0 2 J 21 Q所 以 当 花 =一 , 时 ，|4勺 [8勺取得最小值，且最小值为练 习2如图， 抛物线C ：x 2 = 4 y , C ：X2 = — 2 py （ p〉0 ） ,点M （ x , y ） 在抛物线C上 ，过M作C的切线,1 2 0 0 [ 2 1切 点 为A , B （ M为原点O时，重合于O ） X o=1- &,切线MA .的斜率为-2。
I ）求p的值；（ I I ）当M在C上运动时, 求线段A B中点N的轨迹程 A , 8重合于时,中点为0 ） .2-5- 圆锥曲线专题（ 定点、定值问题）【 答案】X< I ） 凶为Iti物线Q：x2 = 4 y 卜 小力一点（x,y） 的切" 科 中为》 ' = 三 . IL切线MA的斜率为. WH'JU点坐标为（ -1 . v ） . 故切线M4的方程为2 4V ° 、 1y = ■ 《 上十】 ） + 7・Z 4因为点M（ 1 _ 0 . 打 ｝" 切 线 " 人 及出物线G卜 . .「足，o = _ 彳 ( 2 - & ) + 彳3 -2 ^ 24!二二广ya2Pill i，2 得 p = z.x2 x 2: 1 1 ) 设17(*.丫 ). ff(xz. -1-). xt * xz.......6 分ill N为线段AB中点却I切我M4. MR的力程力y = * (x f ) + +Xj . , x2iy = ~ 2 ^ -xl)+ — .lh $，G福MA. MB的交点M(x0.y0) 的坐标为小 + 小 r.x2% =― ― ・ % = 丁 .6? 上仆声1々 > ・打 ） " ： 仁 l . . 即x / = -4y0. 斫以III 3- b W7 4K = q-y・丈，0.J4芍X ]=x、 时 . A. H * 自 ■ 于 班 2。
AP 'l'Z\ N )■ ) O .空标满足/n亍y.因此4 8 中点人的轨逶方仃为4x2 = y y . .......12 分-6- 圆锥曲线专题( 定点、定值问题)模型三：相交弦过定点相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用但是具体解题而言， 相交弦过定点涉及坐标较多，计算量相对较大，解题过程一定要注意思路，同时注意总结这类题的通法例题：如 图 ， 已知直线L：x = my + 1过椭圆C：2 + 晨 , = i(a 〉/ ,〉o)的右焦点F , 且交椭圆C 于 A、B 两«2点 ，点A、B 在直线G：x = "2 上的射影依次为点D、E o 连接AE、B D ,试探索当m 变化时， 直 线 AE、BD是否相交于一定点N?若交于定点N , 请 求 出 N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由法一： 解 ： 尸(1,0)次 = ( 4 2 ,0 )先探索， 当 m=0时，直 线 L_Lox轴 ，则 ABED为矩形，由对称性知,AE与 2+1BD相 交 于 FK中 点 N , 且限,0) 猜想：当 m 变化时，AE与 BD相交于定点N(,0)2 2证明：设 A (x ,y ), B ( x , y ) , E( a 2 , y ), D ( a 2 , y )当m变化时首先A E 过 定 点 N1 1 2 2 2 1 ，I x — - /% y +1* / \即( 〃2+〃2帆2)?2+2"仍2〉 + /?2(1 —。
2)= 0 .・ 8分［ 加 "+〃 2 y2 -〃2入 2 = 0△ 二 4 2》 2( 2+ 加2/72-1)〉0 (v a >1)又 K = —?一,K 二二AN 〃2—1 EN 1一 〃2------ my ------2 2而K - KAN EN9(必 + ” 一吗_____12^01 - 2( - my )~ 2- ；( 这是• . •竺Z l( y y ) - m y y2 1 + 2 1 22 mb 2、 /? 2 (1-672)----- \ ---------- ) - m --- - -----2 2 + m2 b 2 a 2 4-7222/72(“ 2 -1 ).( 〃 仍 2 - m b 2 )-4 2 +〃出=S，K =K :.A、N、E 三点共线A N B i 4a 2 + 1.•.AE与 BD相交于定点N(,0)同理可得B、N、D三点共线法 2 :本题也可以直接得出A E 和 B D 方程， 令 y = 0 ,得 与 x 轴 交 点 M、N,然后两个坐标相减=0. 计算量也不大♦ 方法总结：方 法 1 采用归纳猜想证明， 简化解题过程，是证明定点问题一类的通法。
这一类题在答题过程中要注意步骤7- 圆锥曲线专题（ 定点、定值问题）X2例 题 、已知椭圆C: 一 +产 =1 ,若直线/ ： % = / （ / > 2 ）与x轴 交 于 点T ,点P为直线/ 上异于点丁的任一4点，直 线PA , PA 分别与椭圆交于M、N点， 试问直线M N是否通过椭圆的焦点？ 并证明你的结论1 2方 法1 :点A、A的坐标都知道，可以设直线PA、P A的方程，直 线PA和椭圆交点是A （—2 ,0 ）和M ,1 2 1 2 1 1通过韦达定理，可以求出点M的坐标，同理可以求出点N的坐标动 点P在直线/ ： x = f（ f〉2 ）上， 相当于知道了 点P的横坐标了，由 直 线P A、P A的方程可以求出P点的纵坐标， 得到两条直线的斜率的关系，通过所求12的M、N点的坐标，求出直线M N的方程， 将交点的坐标代入，如果解出的t〉2 ,就可以了，否则就不存在.j y =女（ x + 2）解 ：设M （ x , y ） , N （ x , y ） ,直线A M的斜率为左， 则直线A M的方程为y = Z:（ x + 2） ,由 / 「 ,2 2［ 兀2 + 4产 =4消 y 整理得(1+4A2)X2+16ZX + 16Z2-4 = 012 1 1 6A： 2- 4•. •- 2和x是方程的两个根，2r= ― ,—— 则11 1 +44 22 -Qk2 4k 1即 点M的坐标为_ 丘 ) ，' 1 + 4% 2 1 + 4k22 -8k2X =----4 —1 1 + 4% 214Z---------1 —1 +4^218k2 -2 -4k同理， 设 直 线A N的斜率为k ,则 得 点N的坐标为（ 」 _, 2）21 + 4 女 2 1 +4攵 2y =k ( t+2 ), y = k(Z- 2)22k' -k 11 2 :k + k1 2令 y = 0 ,2 p 2 y — y y — y•. 直线MN的方程为： - 二2 . 1 ,t ' x-x x-X12 1褥X = x/f 2 .将 点M、N的坐标代入，化简后得：x =4y - y41 24又z "〉？，. . 0 < _ < 2丫椭圆的焦点为（ J 2, 0 ） ; . _ = J 3 ，即『 =t t故当仁 竺时，M N过椭圆的焦点。
33方法总结： 本 题 由 点A （ —2, 0 ）的横坐标一 2是方程（ 1 +4k2） x 2+1 6Z x + 1 6% 2—4 = 0的一个根，结合韦达 定 理 ，得 到 点M的 横 纵 坐 标 ：x =2-叱,3 =匕： 其 实 由! > = " 2（ % - 2）消y整理得1 1 +4& 2 1 1 + 4左2 ［ 推 +4尸 =41 6A: 2- 4 8 ^2- 2 -4 k（ 1 + 4女2） x 2- 1 62x +1 642- 4 = 0,得 到2x - 2 即 ％ = 2 , y -* 很快不过如果看到：2 2 22 1 +4女2 1 +4 攵 2 2 1 + 4&21 6k2— 4 2 2 g 42— 2 - 4f e^ -2 x = 1 中的♦ 用中换下来.X前 的 系 数2用一2换下来， 就 得 点N的坐标（,） ,如果在1 1 +4公 1 2 1 1 +4% 2 1 +44 212 2解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样真容易出错，但这样减少计算量本题的关键是看到点P的双-8- 2 圆锥曲线专题(定点、定值问题)重 身 份 :点P即在直线A M上 也 在 直 线AN上，进而得到女 ［ k之= _ ,由 直 线M N的方程「一》= 匕一片得12 k + k t x -x x -x直 线 与X轴的交点， 即 横 截 距 工 =H1 2 . . 1 2 . 1o4 4 4 jS1， 将 点M、N的坐标代入， 化简易得x = _， 由_=户 解 出f=④,7 7 v 丁到此不要忘了考察/ 二V 是否满足r> 2。
3♦ 方 法2:先猜想过定点， 设谢N的方程，得出AM、A N方 程 ,进而得出与T交点Q、S ,两坐标相减R如下:1 2设/ ：x = ,2 + W，联立椭圆方程，整理：M N(4 + 〃 解 )y2 + 275， 〃y-1 =0；A求出范围；设M (x,y),N (x ,y ),得直线方程:। 5 2 2y：y = — %(%— 2) ；x -22若分别于相较于Q、5：易得Q " ) ； ”2)),S"，,I " 2 ) )x -2 x - 21 , 2y - y = ' ' 1 (t - 2) - \ (r - 2)0 s %— 2 x — 212整理=- 4 叫 % + 2〃 - W) (X + 4)+(W，- 4)(% - 4)(.：2)(%+2)韦达定理代入= 1 「4 ?(前— 4) + (加-4 )(〉—y )](x-2)(x +2) 4+7?7 V 7 121 2显然，当时，猜想成立 3 -♦ 方法总结:法2计算量相对较小，细心的同学会发现，这其实是上文“ 切点弦恒过定点”的一个特例而已因此法2采用这类题的通法求解, 就不至于思路混乱了. 才弹交法1 ,未知数更少，思路更明确。
练习1：在平面直角坐标系如y中，如图，已知椭圆错误! + 错误!= 1的左右顶点为A .B ,右 焦 点 为F ,设过点T (t, m )的 直 线T A , T B与椭圆分别交于点M (x , y ), N (x , y ) ,其中m〉0, y > 0, y〈01 1 2 2 1 2⑴ 设 动 点P满 足P F 2—P B 2= 4,求 点P的轨迹(2股x= 2, x嘴误! ，求 点T的坐标1 2⑶ 设t= 9 ,求证：直线M N必 过x轴上的一定点( 其坐标与m无关)解析： 问3与上题同1 8 .本小题主要考查求简单曲线的方程， 考查直线与椭圜的方程等基础知识.考查运算求解能 力 彳 噫 和 可 眩 郴 物 .满 分 16分.解 : 由 腮 伽 山 *3) , 8(3, 0 ) , 尸 (2 ,0 ).(1 )设点尸( 3 y ) , 则 用 —)、 ) , * =(工 -3尸 +六由 " ' - " 2 = 4 . 得(* - 2 ) ' + / - ( 丁-3 / - 旷 2 = 4 .化武得 了 = %.故所求点P的轨迹为直线k =小 心2 3- 9 - 圆锥曲线专题( 定点、定值问题)( 2 )由 z, = 2, y + y = 1 及 匕 渺 •畚 ； =M&： 举 瘠漱而交线A.W的方程为y =浦* 2 = 3、9- y ) .从而直线BN的方程为y由所以点T的坐标为(7,-X = 71107=Ty . 则点$ +1 ；=- 翌 则 点尸 铲 + 1,声 ,告 解 得1及y： < 0 ,得乃⑶ 由 题 设 知 . 苴 线 心 的 方 程 为 厂 泉 工 +3 ) ,直线8 T的方程为y = , ( * - 3 ) .IXO点 帆 巧 ,> 1 )满足>i + 3 ).lT+T=,'得3g +3) m1 5 +3)2,因为 存 *—3 ,则 苻 尸m2 > + 3 240 - 3 m"方 -=-!?.二-‘解 得 “ "诟k从 而 得 为 = 之 上80 + m炭 -洞常F . 则 由 希程为％ = 1 ,过 点P (L O ).点 做 一 ， 力) 满足3m1-60, 巧关320 + m1 ,力=20+m及m > 0 ,得m若斯# 与, 则m7^2/I O .直线M D的斜率%“ 二-2 0mC ,心= 2/区 此 能 线M N的方40/7180 + m；10m蜃维则) 嘛睇j - W W VUXXKXOM-20mk、 »= 泮嘤— = $彳， 得k 尸 人 所 以 直 线 过D点 .3m -CO 40 - m20 + m1 -因此. 直线M N必过x轴上的点(1,0).(3、练 习2：已知椭圆E中心在坐标原点， 焦点在坐标轴上，且经过A (-2,0)、B (2,0)、C 1,_2三点.过椭圆的 右 焦 点F任做一与坐标轴不平行的直线/ 与椭圆E交于M、N两点，AM与BN所在的直线交于点Q。
1)求椭圆E的方程：(2)是否存在这样直线加， 使 得 点Q恒在直线机上移动？ 若存在，求出直线加方程， 若不存在，请说明理 圆锥曲线专题( 定点、定值问题)解析：( 1 )设椭圆方程为/ n x 2 +加 ¥=1 (川> 0 7 > 0 ) ,将A ( — 2 , 0 )、f i ( 2 , 0 ) , C( l [ )代入椭圆E的方程，得24 m = 1 ，解得〃 ? =L 〃= I . •. 椭圆 E的方程" 2 +) 2 = 1< 9 - ——| 机 + — 〃 = 1 4 3 4 3I 4( 也可设标准方程，知2类似计分)( 2 )可知： 将直线/ ： y = Z ( x — 1 )X2 y2代入椭圆E的 方 程 彳 + 力 _ =1并 整 理 . 得( 3 + 4 % 2 ) x 2 - 8左2》+ 4 (々2 _ 3 ) = 0设 直 线 / 与 椭 圆E的 交 点M ( x , y), N ( x , y ) ,1 11 2 2 4 ( 0 — 3 )由根系数的关系，得x + x =, x x =1直 线AM的方程为：y二由直线AM的方程为：y =x - 22由直线AM与直线8N的方程消去y ,得2 3 + 4左2 1 2 3 + 4火2上_ ( x + 2 )， 即 "竺 亡2 1 ( x + 2 )x+ 2 x + 2:)2( X - 2 ) ,即＞ =竺 二2 (X- 2 )x - 222 ( x x - 3 x + x ) 2 [ 2 xx - 3 ( x + x ) + 4 x ]X =揖i―4( 戈+ 二3 -411 2TX )4』8伙2 -3 ) 2妹 2 + 4 xq 一| 3 + 4上 3 + 4左2 2 I-8k2 一4 + 2X—3 + 4版 22以2 + 6- 4~ X3 + 4左 2 24 ) ^ 6 - - - -________+ X23 + 4攵2144直 线AM与直线BN的交点在直线x = 4上 . 故 这 样 的 直 线 存 在模型四：动圆过定点问题动圆过定点问题本质上是垂直向量的问题， 也 可 以 理 解 为 “ 弦对定点张直角”的新应用。
例 题1. 已知椭圆C ：% +二=1 ( °> 6> 0 )的 离 心 率 为 直 ， 并且直线y = x + /2是 抛 物 线”=4戈的一条切线a2 b2 2( I )求椭圆的方华( II )过 点S ( 0 , - _ )的 动 直 线L交 椭 圆C于A、B两点， 试 问 ： 在坐标平面上是否存在一个定点T ,使 得 以A B3为直径的圆怛过点T ?若存在，求出点T的坐标；若不存在， 请说明理由解 ：( I )由 悌 = x + b〈 消去)，得：X2 + ( 2 0 -4 )X + /?2=0[y2 = 4x因直线 y = x + b与抛物线y 2 = 4 x 相 切A = ( 2 b — 4 )2 — 4b 2 = 0 b — A-11 - 万 - 1 12 1. . e = £ = * , 2 =匕2 + C2 ,a 2 < 2 2 ^2以AB为直径的圆的方程：x 2 + ( y + _)2 =3圆锥曲线专题( 定点、定值问题)X2故所求椭圆方程为 _ + y2 = 1. ( | | )当L与x轴平行时,2当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程： 尤2 + ”即 两 圆 相 切 于 点(0, 1)因此，所 求 的 点T如果存在， 只 能 是(0, 1 ). 事实上，当 直 线L垂 直 于x轴时，以AB为直径的圆过产T (0,若 直 线L不垂直于x轴 ，可设直线L：y = Ax- _f13y = kx-_由I X2 § 消去y得 ：(1 8 *2 + 9 "-12依-16 = 0［ 万 + ” = 1= 1 ,由 卜 +(吗2呜2解 得 [ 号[x2 + y 2= 1点T(0, 1)就是所求的点，证明如下.1)x +x = 12%记点 B(x , y ), , 2 18k2 + 92 2 = -16又因为 7X= (%,匕-1),用 =(x〃 -1),[1 2 18攵2 + 94 4所以7X TB = xx + (y -1)(y -1) =xx + (kx \(kx 一一)1 2 1 2 1 2 1 3 2 34 16 、 -T6 4 ⑵ 16=(1 + k2)元 入 一_ k (x + 无)+ _=(1 +攵2)・一_ k・+ _ = 01 2 3 1 2 918^2+9 3 18 攵 2+9 9ATA±TB,即 以AB为直径的圆恒过点T (0, 1 ) ,故在坐标平面上存在一个定点T (0 ,1 )满足条件。
♦ 方法总结：圆过定点问题，可以先取特殊值或者极值，找出这个定点，再证明用直径所对圆周角为直角例 题2：如图，已知椭圆C: _ + ==1(〉〃 >0)的 离 心 率 是 差 ，A ,A分别是椭圆C的左、右两个顶点,a2 b2 2 1 2119点尸是椭圆的右焦点 是入轴上位于A右侧的一点，且 满 足 - - - -+ = -S -= 2 o2IADI \AP \ \F D\(1)求椭圆C的 方 程 以 及 点 的坐标；(2 )过点 作x轴的垂线〃，再作直线/» =履+ 〃?与椭圆C有且仅有一个公共点尸，直线/交直线〃于点Q求证： 以 线 段PQ为直径的圆恒过定点，并求出定点的坐标解 ：(1) A A (a,Q), F(c,0),设 x,0),1 11 2 1 1由- - - -+- - - - -= 2有 - - - - - +- - - - -= 2,"£>| |^D| x + a x -a又卜日 , r. x -c = 1,r.x = c+1,于 是 - - - - - - - +- - - - - - - -= 21 1 c+1+a c+ 1-ac J2=> c+1 =(c+1 + a)(c+1-a),文•； — = X— n a =扉c ,a 2c +1 = (c +1 + y/2c)(c +1 - -J2c)=> c2 — c = 0又c > 0 ,/. C = 1 , .\6Z = JZ z?= 1, 椭圆 c ：X2一 + >2 = 1 ,且 0(2,0)2-12- 圆锥曲线专题( 定点、定值问题)[ y = kx+m 腔( 2 ) 方法 1： 2Z + M , 设 P(x ,y ) , 由〈心 => 一 + ( 京 + /")2 = 1o o I , c — 1 9=> X2+ 2(京 + 加)2 = 2 => (2%2+1)JT+ 4kmx + 2m2- 2 = 0,由于4 = 16攵2〃22 - 4(2^2 + 1)(2m2 -2 ) = 0 n 2k2 一m2 + 1 = 0 = 根2 = 2k2 + 1 ( * ),2k而由韦达定理： 2x _ Y km - 丫 _ -2 k m，M»)-2km ,o 2A2+1 0 2依 + 1 m2 tn, 2k 2 1 2k 1y -k x + m = - ___ + m = _ , /. r ( - _____),0 ° m m m m设以线段PQ为直径的圆上任意一点由 瓯 平 匹 = 0 有(x + 空 )(x- 2) + (y - J_)(y -(2攵 + m)) = 0 n X2 + 尸 + ( 兰一2)x + (2k + 机 + _L)y + (1 -2 ) = 0 由对称性知定点m m m m m在 X轴上，令 y = 0 , 取 x = l 时满足上式，故 过 定 点 K (l,0 ).法 2 : 本题又解： 取极值，PQ与 AD平 行 ， 易得与X 轴相交( F (1 ,0 )。
接下来用相似证明PFJ_FQ设P (x ,y ),易得PQ切线方程为x x + 2 y y = 2 ;易得0(O,—t)0 0 0 0 y设 PH 1 FD1 -xPH = y -,HF= \- x ； DQ =o; £>F = 1;° ° y0丝 1 = 丝， 固 尸 相 似 于 AF 易得NPFQ = 90PH FD问题得证.练习：(10广 州 二 模 文 )已 知 椭 圆 C ： 上 +匕 = 1(>6 > 0 )的右焦点尸与抛物线C : y2 = 4 x 的焦点重合，। 2 枚 5 2 2椭圆C 与抛物线C在第一象限的交点为P , \P F \= _ o 圆C 的圆心T 是抛物线C 上的动点，圆C与 y 轴I 2 2 3 3 2 3交 于 M ,N 两点，且|M N |= 4 .( 1 ) 求椭圆C 的方程；(2)证明： 无论‘点T 运动到何处， 圆C恒经过椭圆C 上一定点.31(1)解 法 1: • . •抛物线C, : >2 = 4 x 的焦点坐标为(1,()) , . . . 点匕的坐标为(1,0)二椭圆C 的左焦点尸质坐标为F (-1 ,O ),抛物线C 的 准 线 方 涯 为 x = - 1。
设 点 P 的坐标为( x , y ) , 由抛物। । । 5 5 2 8 1 1线的定义可知 lP F ^ x + 1 , "：\PF\ = x + 1 = _ ,解得 x = _ o 由 y 2 = 4x = _ ， 且 y > 0 , 得 y = 2 j 8 1 21 । 1 21 3 i 3 i 3 i । 3 i i 3V. . . 点P 的坐标为2 在椭圆C： 'l(a > 6 > 0 )中，\3 3 J i a2 bic = \ o 2a =\ PF \ + \ PF |= / 产+ (29- )2 + 书-1)2+("一0)2 = 4j _ X2 y i・・・ 2,〃 = 五= 7 1 = / ・・・椭 圆 的 方 程 为 4+ ( 1 解 法 2：'・ , 抛物线 ： ¥ = 4 工的焦点坐标为(1,()),・ , •点厂 的坐标为(1,0). J 抛物线C 的 准 线 方 程 为 x = - l2 2 2设 点 尸的坐标为( x , y ) , 由抛物线的定义可知|PFj = %+1,-13- u匚co圆锥曲线专题( 定点、定值问题)3 3/ o Q\PF | , / . 尢 +1 = _ ,解得 x = _ _ o 由 y2=4x = 且> > 0得 丁 = _1 21 3 1 3 1 3 1 1 3 1 1 3V2 2. . . 点尸的坐标为( _ , 一 的 . 在椭圆C ：上 +巴= 1 (a > 6 > 0 )中，c = 1。
3 3 1 a2 b2 '由 2 =4%上的动点， ，2把x =_y2代入(* )o 4 o1=4 x ( x > 0 )o ,尤 =—尸.o 0 040消去工 整理得：(1- %)y2 -2yy +(X2+ 产 - 4) = 0 (* * )方程(* * )对任意实数2I1 ~2 =0,y恒成立，-2y = 0,fx = 2,解得X 2 + y2 - 4 = 0 .y = 0.• . •点(2,0)在椭圆C：之 +匕=1上 ，...无论点T运动到何处， 圆C 恒经过椭圆C上一定点(2, 0)o1 4 3证 法2：设点T的坐标为(x ,y ) , 圆。
的半径为r ,0 0 3• 点T是抛物线> 2 = 4 x上的动点， ,y 2 = 4 x (x > 0 )o・・・圆C与y轴交于M ,N两点，且|M N |=4,3.二圆C的方程为(x — x3 0)2+ ( y- y ) 2 =4 + % 2 ,令1 = 0 ,则 尸= 4x = 0 ,得y = 0 .此时圆由 ‘ro ox2 + y a = 4,X2 V 2[ 4 令=1,0解得《0 0； ・ | MN |= = 4 o ・1(* * * )的方程为X 2 + 产 =4 .* =±2，.・ .圆尤2+ 产 =4与椭圆C的两个交点为(2, 0)、(-2, 0)o" 0 .30002o00003o0033分别把点(2, 0)、(-2, 0)代入方程(* * * )进行检验，可知点(2, 0)恒符合方程(* * * ), 点(-2, 0)不恒符合方程(* * * )..•.无论点T运动到何处，圆c 恒经过椭圆C上一定点(2, 0).3 1-14- 。