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1、离散数学离散数学( (第第3333讲习题课6)6)第十四、十五、十六章第十四、十五、十六章一、基本概念一、基本概念 代代数数系系统统、单单位位元元或或幺幺元元、零零元元、幂幂等等元元、逆逆元元、半半群群、含含幺幺半半群群、群群、子子半半群群、群群的的阶阶、子子群群、交交换换群群、循循环环群群、生生成成元元、元元素素的的周周期期、右右陪陪集集、左左陪陪集集、子子群群的的指指数数、不不变变子子群群( (或或正正规规子子群群) ) 、群群的的单单一一同同态态、满满同同态态、同同构构、同同态态核核、环环、含含零零因因子子环环、交交换换环环、含含幺幺环环、整环、子环、环的同构与同态、域整环、子环、环的同
2、构与同态、域2021/5/222021/5/222 2计算机学院计算机学院二、基本要求二、基本要求1 1、会求二元运算的特异元素；、会求二元运算的特异元素；2 2、判判断断或或者者证证明明给给定定集集合合和和运运算算是是否否构构成成半半群、含幺半群和群；群、含幺半群和群；3 3、会运用群的基本性质证明相关的命题；、会运用群的基本性质证明相关的命题；4 4、熟悉陪集的定义和性质；、熟悉陪集的定义和性质；5 5、熟熟练练掌掌握握不不变变子子群群、循循环环群群的的基基本本性性质质和和证明方法（按定义证明和反证法）证明方法（按定义证明和反证法）2021/5/222021/5/223 3计算机学院计算机
3、学院6 6、会求循环群的生成元及其子群；、会求循环群的生成元及其子群；7 7、掌掌握握Lagrange Lagrange 定定理理及及推推论论，学学习习使使用用该该定定理解决简单的问题；理解决简单的问题；8 8、熟悉、熟悉n n元置换群元置换群9 9、熟熟练练掌掌握握环环、域域的的基基本本性性质质和和证证明明方方法法（按定义证明和反证法）（按定义证明和反证法）2021/5/222021/5/224 4计算机学院计算机学院 例例1 证明下述代数结构是整环证明下述代数结构是整环 Ix,+, Ix,+, 其中其中IxIx是所有的是所有的x x的整系数多项式的集合，的整系数多项式的集合，“+ +”、“
4、”表示多项式的加法和乘法。表示多项式的加法和乘法。证明：（证明：（1 1） 证明证明Ix,+Ix,+是交换群是交换群（按定义证明）（按定义证明）+ +在在IxIx上上结合律和封闭性成立结合律和封闭性成立显然显然0 0 IxIx ，且对任意的，且对任意的f(x)f(x) IxIx ，显然，显然- f(x)- f(x) IxIx ，且，且 f(x)+f(x)+（- f(x)- f(x)）=0=0=（- f(x)- f(x)）+ f(x)f(x)所以单位元和逆元存在，且所以单位元和逆元存在，且+ +满足交换律，满足交换律， 所以所以Ix,+Ix,+是交换群。是交换群。2021/5/222021/5/
5、225 5计算机学院计算机学院（2 2）证明证明Ix, Ix, 是含幺交换半群是含幺交换半群普通乘法满足结合律，且对任意的普通乘法满足结合律，且对任意的f(x)f(x)，g(x)g(x) IxIx , ,显然有显然有f(x)f(x)g(x)g(x)IxIx封闭性成立，整数封闭性成立，整数1 1是单位元，且满足交换律，所以是单位元，且满足交换律，所以Ix, Ix, 是含幺交换半群是含幺交换半群（3 3）普通乘法对加法的分配律显然成立，所以）普通乘法对加法的分配律显然成立，所以Ix,+, Ix,+, 是环。是环。（4 4）对任意的对任意的f(x)f(x)，g(x)g(x)IxIx, , 如果如果f
6、(x)0f(x)0和和g(x)0g(x)0， 则必有则必有f(x)f(x)g(x)0g(x)0 ， 所以所以Ix,+, Ix,+, 无零因子无零因子 故故Ix,+, Ix,+, 是整环。是整环。2021/5/222021/5/226 6计算机学院计算机学院例例2给定代数系统给定代数系统 ，且，且 和和 定义为：定义为： 。 其中，其中，I I是整数集合，是整数集合， 分别是通常分别是通常数的加法、减法和法，证明数的加法、减法和法，证明 是具是具有幺元的可交换环。有幺元的可交换环。即即I I是是封闭的封闭的 证：证：1 1）证）证 是交换群是交换群 2021/5/222021/5/227 7计算
7、机学院计算机学院(a*b)*c=a+b-1+c-1=a+b+c-2(a*b)*c=a+b-1+c-1=a+b+c-2a*(b*c)=a+b+c-1-1=a+b+c-2a*(b*c)=a+b+c-1-1=a+b+c-2*是是可结合可结合的的a*1=a+1-1=a 1a*1=a+1-1=a 1是是的的幺元幺元 令令aa的的逆元存在逆元存在 a*b=a+b-1=b*a a*b=a+b-1=b*a 是是交换群交换群 2021/5/222021/5/228 8计算机学院计算机学院2) 2) 证证 是含幺交换半群是含幺交换半群II关于关于 是是封闭封闭的的II关于关于 是是可结合可结合的的2021/5/2
8、22021/5/229 9计算机学院计算机学院令令 ， 0是是 的的幺元幺元 是含幺交换半群是含幺交换半群 3 3）证明对）证明对 可可 分配分配2021/5/222021/5/221010计算机学院计算机学院故故 是具有幺元的可交换环。是具有幺元的可交换环。同理同理2021/5/222021/5/221111计算机学院计算机学院习题十五习题十五 4 4、设设半半群群 A A， 中中任任何何两两个个不不同同元元素素关关于于运运算算“ ”不可交换。证明：对任何不可交换。证明：对任何a a A A，a a a=aa=a。证：（反证法）证：（反证法） 设设 构造构造 ， 则则 即即 可交换，与已知条
9、件相矛盾可交换，与已知条件相矛盾 2021/5/222021/5/221212计算机学院计算机学院矛盾矛盾6 6、证明：群中只有幺元是幂等元。、证明：群中只有幺元是幂等元。证：（反证法）证：（反证法）设设1010、写出、写出S 中的全部子群。中的全部子群。解：解： （1 1），（），（1 21 2） ， （1 1），（），（1 31 3） ， （1 1），（），（2 32 3） ， （1 1），（），（1 2 31 2 3），（），（1 3 21 3 2） 和和 二个平凡子群。二个平凡子群。2021/5/222021/5/221313计算机学院计算机学院1111、 设设和和都是都是的子群的子群
10、, ,令令ST= x|xSxT,ST= sST= x|xSxT,ST= s t|sStTt|sStT。证明。证明:和和也都是也都是的子群的子群。证明：证明：1 1） S S、T T是是G G的子群的子群 e e S , eS , e T T 即即 e e S ST T 设设 a a，b b S S T T，即，即a a，b b S S 和和a a，b b T T b b-1 -1 S S 和和b b-1-1 T aT a b b-1 -1 S S 和和a a b b-1-1 T T 即即 a a b b-1 -1 ST ST STST， 是是G G的子群的子群2021/5/222021/5/2
11、21414计算机学院计算机学院2 2） e e STST，设，设c c、d d STST 则则 a a1 1 S S，b b1 1 T T ， c=ac=a1 1 b b1 1， a a2 2 S S，b b2 2 T T ， d=ad=a2 2 b b2 2， d d-1-1=b=b2 2-1-1 a a2 2-1-1 又又 S S和和T T中的元素关于中的元素关于“ ” 可交换可交换 c c d d-1-1= = a a1 1 b b1 1 b b2 2-1-1 a a2 2-1-1= a= a1 1 a a2 2-1-1 b b1 1 b b2 2-1 -1 STST 即即 STST是子
12、群是子群2021/5/222021/5/221515计算机学院计算机学院1616、 证证明明: :每每个个阶阶数数大大于于1 1的的群群必必含含有有阶阶数数大大于于1 1的交换子群的交换子群。证明：证明： 设设G G是阶数大于是阶数大于1 1的群，的群， 则则 aeae G G 构造构造G=G=（a a） G G， 则则 G G是是G G的交换群。的交换群。2021/5/222021/5/221616计算机学院计算机学院1717、 证明证明: :循环群的子群必是循环群循环群的子群必是循环群。证明：证明： 设设 G=(a),GG=(a),G是是G G的的子子群群，则则G G中中的的每每个个元元素
13、素具具有有a am m的的形形式式，设设k k是是所所有有m m中中最最小小的的正正整数，则整数，则 G G= =（a ak k） 否则对否则对 a am m G G，m=nk+l，0lk， 2021/5/222021/5/221717计算机学院计算机学院1919、 设设n n阶阶群群中中每每个个元元素素的的周周期期要要么么是是1,1,要么是要么是3 3。证明。证明:n:n必是奇数。必是奇数。证明：证明：2021/5/222021/5/221818计算机学院计算机学院27.27.设设f f是群是群到群到群H, 的同态映射的同态映射,S,S是是G G的子群的子群. .证明证明: f(S): f(
14、S)是是H H的子群的子群。证：证： f f是群是群到群到群的同态映射的同态映射，而，而S S是是G G的子群的子群 f(S) f(S) H H1 1）e e S S， 对对 aSaS，ea=a=aeea=a=ae，f(ea)=f(a)=f(ae)f(ea)=f(a)=f(ae)。于是。于是f(e)f(e)。f(a)=f(a)=f(a)f(a)=f(a)=f(a) 。f(e)f(e)，说明，说明f(e)f(e)是运算是运算“。”在在f(S)f(S)中的幺元中的幺元2 2） “。”在在f(S)f(S)中可结合；中可结合；2021/5/222021/5/221919计算机学院计算机学院3） 对对
15、a a、bSbS， f(a)f(a) 。 f(b)=f(ab)f(b)=f(ab) f(S)f(S)，于是于是 f(S) f(S) 是封闭的。是封闭的。4 4） 设设aSaS在在S S中关于运算中关于运算“”有逆元有逆元a a-1-1，那，那么，么，aaaa-1-1=e=e，于是，于是f(aaf(aa-1-1)=f(e)=f(e)，即，即f(a)f(a) 。 f(af(a-1-1)=f(e)=f(e)。这说明。这说明f(a)f(S)f(a)f(S)有逆元有逆元f f(a(a-1-1) () (或或f f -1-1(a)=f(a(a)=f(a-1-1)。 f(S) f(S) 是是H H的子群的子
16、群2021/5/222021/5/222020计算机学院计算机学院31.31.证明证明: :循环群的同态像也是循环群循环群的同态像也是循环群。证证：设设G G是是循循环环群群， f f是是群群到到f(G), 的的同态映射同态映射, , a a G,G, G=(a),G=(a), 即对即对 B B f(G), f(G), b b G,G, B=f(b)B=f(b) b=a b=an n ,f(b)=f(a ,f(b)=f(an n)=f(a)=f(a)。f(a)f(a)。 f(a)f(a) =(f(a)=(f(a)n n 故故f(G), 是循环群是循环群2021/5/222021/5/22212
17、1计算机学院计算机学院习题十六习题十六6 6、设设S 是环是环的一个子环。证明的一个子环。证明： S S中的零元中的零元( (加法么元加法么元) )必是必是R R的零元的零元；如果如果S S有有 乘法么元乘法么元e,e,则则e e也是也是R R的乘法么元。的乘法么元。证证:1):1)设设 1 1、 2 2分别是分别是S S和和R R中的零元中的零元( (加法么元加法么元) ) ， S 是环是环的一个子环的一个子环对对 a a S,S,有有a a R, R, 又又 a+a+ 1 1 =a+=a+ 2 2 =a=a由由定理定理16.116.1，有，有 1 1= = 2 22021/5/222021/5/222222计算机学院计算机学院汇报结束谢谢大家!请各位批评指正
