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1、1.3 克莱姆法克莱姆法则 我们已经知道,在一定条件下,二元(或三元) 线性方程组的解可以用二阶(或三阶)行列式表示出来.那么,对于n元线性方程组能否用n阶行列式来表示? 1.克莱姆法则2.齐次线性方程组有非零解的充要条件定理二(克莱姆法则) 设线性方程组的系数行列式一、克莱姆法克莱姆法则则该线性方程组有且仅有唯一解:其中Dj (j=1,2,.,n)是把系数行列式D中第j列的元素用常数项b1,b2,bn代替后得到的n阶行列式. 即定理中包含三个结论:(1)方程组有解(2)解是唯一的(3)解由公式 ( j=1,2,.,n)给出注: 用克莱姆法则解线性方程组必须有两个前提条件:(1)未知数个数等于
2、方程个数(2)系数行列式D0例1 解线性方程组解:方程组的系数行列式=270由克莱姆法则知,方程组有唯一解=81= 108=3= 4= 27=27= 1=1 因为x1=0, x2=0, xn=0就是一个解,它称为零解. 二、二、齐次次线性方程性方程组有非零解的充要条件有非零解的充要条件齐次线性方程组: 显然,齐次线性方程组总是有解的. 齐次线性方程组除了零解以外还有没有其它解,即非零解?定理三 如果齐次线性方程组有非零解,则齐次线性方程组的系数行列式D=0.证 由克莱姆法则知齐次线性方程组只有唯一的零解.与已知矛盾若D0D=0 由定理三可知,齐次线性方程组的系数行列式D=0是齐次线性方程组有非零解的必要条件. 综合上述,得到: 齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式D=0.注: 在第四章将会看到,D=0也是齐次线性方程组有非零解的充分条件.例2 取何值时,下述齐次线性方程组有非零解?解:=(+3)2齐次线性方程组有非零解D=0= 3或0
