《【2021年中考复习】江苏省13市2020年数学中考解答题（最后两题）真题汇编解析版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【2021年中考复习】江苏省13市2020年数学中考解答题（最后两题）真题汇编解析版（99页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2021年中考复习】 江苏省13市 2020中考解答题（最后两题）真题汇编1 .（ 2020镇 江 ） 【 算一算】如图， 点 A 、B 、C在数轴上， B 为 AC的中点， 点 A表 示 - 3 , 点 B 表 示 1 , 则 点 。表示的数为, AC长等于；【 找一找】如图， 点N 、R 。中的一点是数轴的原点， 点 A 、 B 分 别 表 示 实 数 返 - 1、 返 +1 ,2 2Q是 A8 的中点， 则点 是这个数轴的原点；【 画一画】如图， 点 48 分别表示实数c - 、 c +， 在这个数轴上作出表示实数n的点（ 要 求 ：尺规作图， 不写作法， 保留作图痕迹） ；【 用一用】
2、学校设置了若干个测温通道， 学生进校都应测量体温， 已知每个测温通道每分钟可检测a个学生. 凌老师提出了这样的问题： 假设现在校门口有， 个学生， 每分钟又有个学生到达校门口 . 如果开放3 个通道， 那么用4 分钟可使校门口的学生全部进校； 如果开放4个通道， 那么用2 分钟可使校门口的学生全部进校. 在这些条件下， 。 、 ? 、h会有怎样的数量关系呢？爱思考的小华想到了数轴， 如图， 他将4 分钟内需要进校的人数m + A b记作+ （ ? + 4 ） ,用点A表 示 ； 将 2 分钟内由4 个开放通道检测后进校的人数， 即校门口减少的人数8a 记作 - 8a ,用点B表 示 .用圆规在
3、小华画的数轴上分别画出表示+（ ， +2%I - 12 的点F、 G， 并写出+ （ m + 2b ）的实际意义；写出a 、m的数量关系：4 ， 40 1图p Q图Bc-w 0图0图2 .( 2020镇 江 ) 如 图， 直线/ 经过点( 4 ,0 ) 且平行于y 轴 ， 二次函数y = 2 - 2av+c ( 以c 是常数， a 上 ，Z A E B = 90 ,求 证 ： - - = .EB CB【 探究】如图， 在四边形ABCQ中 ， Z C = ZAC = 90 , 点 E 在 边 CQ上 ， 点尸在边AD的延长线上. N F E G = Z A E B = 90 , 且 空 =细 ，
4、 连接 BG交 CD于点H .EG EB求 证 ：B H = G H .【 拓展】如图， 点 E 在四边形ABCD内 ， NAEB十 /EC= 180 , 且 坐 =迈 , 过 EEB EC作 EF交 A于点F ,若N EFA = N A E B ,延长FE交 BC于 点 G . 求 证 ：BG = C G .图 图 图 4 .( 2020宿 迁 ) 二次函数y = + 法+3的图象与x 轴交于A ( 2 ,0 ), B ( 6 ,0 ) 两 点 ， 与 y轴交于点C , 顶点为E .(1 ) 求这个二次函数的表达式， 并写出点E的坐标；( 2 ) 如图， 。是该二次函数图象的对称轴上一个动点
5、， 当B D的垂直平分线恰好经过点 C 时 ， 求点。的坐标；(3 ) 如图,P是该二次函数图象上的一个动点, 连 接 OP , 取 O P 中 点 Q , 连 接Q C ,Q E , CE ,当小C E Q的面积为12时 ， 求点P 的坐标.图 5 . ( 2020南 通 ) 已知抛物线 y = c v+ b x+ c 经过 A ( 2 ,0 ), B ( 3 - 4 , yi ), C ( 5 +6 , yi )三 点 ， 对称轴是直线X = 1 , 关于X的方程如2+云+ = 、 有两个相等的实数根.(1 ) 求抛物线的解析式；( 2 ) 若 )2 , 求n的取值范围.6 .( 2020
6、南 通 ) 【 了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形， 连接这两个角的顶点的线段称为对余线.(1 ) 如图, 对余四边形A B C D中 ，AB = 5 , BC = f , C D = 4 ,连 接AC .若A C = AB ,求 s i n N OW 的 值 ；(2 )如图, 凸四边形 41 , A D = BD , AD1.BD , 当 2CD2+CB2 = C A ?时 ， 判断四边形A BC 。是否为对余四边形. 证明你的结论；【 拓展提升】( 3 ) 在平面直角坐标系中， 点 A ( - l , 0 ) , B ( 3 , 0 ) , C ( l , 2 ) , 四边形
7、A BC 。是对余四边形， 点E在对余线B D上 , 且位于 A B C内 部 ，Z A E C = 90+Z ABC .设 岖 =u ,BE点D的纵坐标为/ , 请直接写出关于t的函数解析式.7 .( 2020盐 城 ) 木门常常需要雕刻美丽的图案.(1 ) 图为某矩形木门示意图， 其 中A B长 为 200厘 米 ，A D长 为 100厘 米 ， 阴影部分是边长为30厘米的正方形雕刻模具， 刻刀的位置在模具的中心点P处 ， 在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边， 所刻图案如虚线所示， 求图案的周长；(2 )如图， 对 于 ( 1 ) 中的木门， 当模具换成边长为3 0 厘米的等边三角形
8、时， 刻刀的位置仍在模具的中心点P 处 ， 雕刻时也始终保持模具的一边紧贴木门的一边， 使模具进行滑动雕刻. 但当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时， 需将模具绕着重合点进行旋转雕刻， 直到模具的另一边与木门的另一边重合. 再滑动模具进行雕刻， 如此雕刻一 周 ， 请在图中画出雕刻所得图案的草图， 并求其周长.8 . （ 2020盐 城 ） 以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录， 请阅读后完成虚线框下方的问题1 4 .（I ） 在 R S A8C中 ， NC = 90。， 4B = 2料， 在探究三边关系时, 通过画图, 度量和计算 ， 收集到一组数据如下表： （ 单 位
9、 ： 厘 米 ）AC2.82.72.62.321.50.4BC0.40.81.21.622.42.8AC+BC3.23.53.83.943.93.2（II ） 根据学习函数的经验, 选取上表中BC和 AC+8C的数据进行分析：BC = x , 4C+BC = y ， 以 （ x , y ） 为坐标， 在图所示的坐标系中描出对应的点：连 线 ：y,4I 1 2 3 x图观察思考（ III） 结合表中的数据以及所画的图象， 猜 想 . 当 x = 一 时 ， y 最 大 ；（ IV ） 进一步猜想: 若R t A A B C 中 , ZC = 90 , 斜边A B = 2a （ a为常数, a 0
10、 ） , 则 BC=时 , A C + B C 最 大 .推理证明（V ） 对 （ IV ） 中的猜想进行证明.问 题 1 , 在图中完善（II） 的描点过程， 并依次连线；问题2 , 补全观察思考中的两个猜想： （ i n ）； （ IV ）；问题3 ,证明上述（V ） 中的猜想；问题4 , 图中折线B- -E- -F- - G - - A是一个感光元件的截面设计草图， 其中点A , B间的距离是4 厘 米 ，A G = B E= 1 厘 米 .Z E = Z F = / G = 90。. 平行光线从AB区域射入，N B N E = 6 0。, 线段F M 、F N 为感光区域， 当尸的长度
11、为多少时， 感光区域长度之和最大， 并求出最大值.表示平行入射光线- - - - - - 表示不透光材料单位: 厘米9 .( 2020徐州) 我们知道： 如图， 点B把线段AC分成两部分， 如 果 幽 = 坐 , 那么称A B A C点 B 为线段4 c的黄金分割点. 它 们 的 比 值 为 近 二 .2(1 ) 在图中， 若 A C = 2(kr o ,则AB的长为 c m ；( 2 如图用边长为20c m的正方形纸片进行如下操作对折正方形A B C D得折痕EF ,连 接CE , 将C B折叠到C E上 ， 点B对应点H ,得折痕C G .试 说 明 ： G 是 A8 的黄金分割 点 ；(
12、3 )如图， 小明进一步探究： 在边长为a的正方形A B C D的边AD上任取点 ( A D E ) , 连接BE ,作C F L B E ,交A B于 点F ,延长EF、C B交于点P . 他发现当P B与BC满足某种关系时，E、F 恰好分别是A 。、A8 的黄金分割点. 请猜想小明的发现， 并说明10 .( 2020徐 州 ) 如 图 ， 在平面直角坐标系中， 函 数 y = - a x2+ 2a x+ 3a ( a 0 ) 的图象交x轴于点A 、8 , 交 y 轴于点C , 它的对称轴交x 轴于点E . 过 点 。作C D H x轴交抛物线于点D , 连接D E并延长交y 轴于点F ,
13、交抛物线于点G . 直线A 尸交CO于点H , 交抛物线于点K , 连接H E、G K .(1 ) 点 E 的坐标为：；(2 ) 当4 HE尸是直角三角形时， 求的值；(3 ) E 与 G K有怎样的位置关系？ 请说明理由.11 .( 2020常 州 ) 如 图 1 ,与直线a 相 离 ， 过圆心/ 作直线a的垂线， 垂足为H , 且交。/于尸、Q 两 点 ( 。在 P、H之 间 ) . 我们把点P称为。/ 关于直线a 的“ 远点“， 把P Q -P H的值称为。/ 关于直线a的“ 特征数”.(1 ) 如 图 2 , 在平面直角坐标系x O y中 ， 点 E 的坐标为( 0 , 4 ) . 半
14、径为1 的。与两坐标轴交于点A、B、C、D .过点E画垂直于y 轴的直线m，则。关于直线m的“ 远点” 是点( 填“A”、 “8”、“C 或 少 ) ， 。关于直线m的“ 特征数为；若直线n的函数表达式为y = 心+4 . 求。关于直线的“ 特征数， ；(2 ) 在平面直角坐标系xOy中 ， 直线/ 经过点M ( I , 4 ) , 点尸是坐标平面内一点， 以尸为圆心， 如为半径作。尸. 若。F 与直线/ 相离， 点 N( 7 ,0 )是。F 关于直线1的“ 远点”. 且。F 关于直线/ 的“ 特征数” 是 4泥， 求直线I的函数表达式.12 .( 2020常 州 ) 如 图 ， 二次函数y
15、= x2+ b x+ 3的图象与.y轴交于点A , 过点A作 x 轴的平行线交抛物线于另一点B , 抛物线过点C( 1 , 0 ) , 且顶点为D ,连接AC、BC、B D、C D .( 1 ) 填 空 ： 匕=；(2 )点 P 是抛物线上一点， 点P的横坐标大于1 , 直 线 PC交直线B D于 点 Q .若/C Q 。= Z A C B ,求 点P的坐标；(3 ) 点 E 在直线AC上 ， 点 E 关于直线B D对称的点为F ,点F关于直线B C对称的点(1 ) 如图， 在三角形纸片A B C中 ，Z A C B = 90 , 将 A B C折 叠 ， 使点B与 点C重 合 ，折痕为M N
16、， 则 AM与B M的 数 量 关 系 为 ；I思考说理(2 ) 如图， 在三角形纸片ABC中 ， AC = BC = 6 , AB = 10 , 将4 ABC折 叠 ， 使点B与点 C 重 合 ， 折痕为M N ,求 迎 的 值 ；B MI拓展延伸(3 ) 如图， 在三角形纸片A8C中 ， AB = 9 , BC = 6 , Z A C B = 2 Z A ,将 ABC沿过顶点C的直线折叠， 使 点B落在边AC上的点9 处 , 折痕为C M .求线段AC的 长 ；若点。是边AC的 中 点 点 P 为线段。 夕上的一个动点 将 4 APM沿 PM折叠得到a A P M ,点 A 的对应点为点A
17、， ，A M与C P交于点F ,求 里 的取值范围.MF14 .( 2020淮 安 ) 如图, 二次函数v= - x2+ b x+ 4的图象与直线/ 交于A() 两 点 . 点 。是 x 轴上的一个动点, 过 点 P 作 x 轴的垂线交直线1于点M ,交该二次函数的图象于点N , 设点P 的横坐标为m .(1 ) b =, n =；( 2 ) 若点N 在点M 的上方， 且 MN=3 , 求 ”的 值 ；(3 ) 将直线AB向上平移4 个单位长度， 分别与 由、y 轴交于点C、D ( 如图) .记 N B C的面积为Si , N A C的面积为S2，是否存在m，使得点N在直线AC的上方，且满足S
18、I-S2 = 6 ?若存在, 求出m及相应的Si , S2的 值 ； 若不存在， 请说明理由.当机 - 1时 ， 将线段M A绕点M顺时针旋转90。 得到线段M F , 连 接FB、 FC、 O A . 若Z F B A + Z A O D - Z B F C = 45 , 直接写出直线OF与该二次函数图象交点的横坐标.15 ( 2020扬州) 如图1 , 已知点O 在四边形A B C D的边A B , S. O A = O B = O C = O D = 2 ,OC平分/BOO , 与B D交于点G , AC分别与BD、OD交于点E、F .(1 ) 求 证 ：O C/A D ；(2 ) 如图
19、2 ,若 D E = D F ,求 处 的 值 ；A F(3 ) 当四边形A 3。 的周长取最大值时， 求更的值.DF16 .( 2020扬 州 ) 如 图 ， 已知点A ( 1 , 2 1 8 ( 5 , )(0),点 P为线段A B 上的 f 动点 ， 反比例函数v = K ( x 0 ) 的图象经过点尸. 小明说： “ 点P从点A运动至点B的过x程 中 ，k值逐渐增大， 当点P在点A位置时k值最小， 在点B位置时k值最大. ”(1 ) 当 =1 时.求线段A 8 所在直线的函数表达式.你完全同意小明的说法吗？ 若完全同意， 请说明理由； 若不完全同意， 也请说明理由，并求出正确的A 的最
20、小值和最大值.(2 ) 若小明的说法完全正确， 求n的取值范围.V A17 .( 2020连云港) 在平面直角坐标系x O y中 ， 把与x轴交点相同的二次函数图象称为“ 共根抛物线”. 如 图 ， 抛 物 线 小 y = 去2 -乎 - 2 的顶点为D ,交 x轴于点A 、B (点 A在点 8 左 侧 ) ， 交 y 轴于点C. 抛物线L 2与L 是“ 共根抛物线”， 其顶点为P .(1 ) 若抛物线L i经过点( 2 , 7 2 ),求 “对应的函数表达式；（ 2 ） 当 BP - C P的值最大时， 求点P的坐标；（ 3 ） 设 点 。是抛物线 1上的一个动点, 且位于其对称轴的右侧.若
21、 D P Q 与A A B C相似 ， 求其“ 共根抛物线乜2的顶点P的坐标.18 . （ 2020连云港） （ 1 ） 如 图 1 , 点 P为矩形A B C D对角线B D上一点， 过 点P作EF/ BC ,分别交A B、C D于 点E、F .若 B E = 2 , PF = 6 , 4 A E P的面积为S i , C F P的面积为S2 , 贝 ! I 51+52 =；（ 2 ） 如 图 2 , 点尸为。A B C D内一点（ 点尸不在8。上 ） ， 点 E、F、G 、H分别为各边的中 点 . 设四边形A E P H的面积为S i , 四边形P F C G的面积为我 （ 其中$2 S
22、i ） ,求 PBD的面积（ 用含S i 、S 2的代数式表示） ；（ 3 ） 如图3 , 点 P 为。A B C D内一点（ 点P不在B力 上 ） ， 过点P 作EF/AD , HG/AB ,与各边分别相交于点反F、G 、，. 设四边形AEP” 的面积为S , 四边形PGCF的面积为 S 2 （ 其中52 S ） , 求4 P B D的面积（ 用含51. S 2的代数式表示） ；（ 4 ） 如图4 ,点 A 、B、C 、D把。四等分. 请你在圆内选一点P （ 点尸不在A C 、BD上 ） ， 设 尸 员PC、黄围成的封闭图形的面积为S i ,以、P D 、俞围成的封闭图形的面积为 S 2 ,
23、 P B D的面积为S 3 , C的面积为54， 根据你选的点P的位置， 直接写出一个含有S i 、S 2、S 3、S 4的等式（ 写出一种情况即可） .19 （ 2020喃 京 ） 如 图 ，在 ABCQA A b C 中 ,） 、 。 分别是48、 A b上一点， 旭 . = g _ 耳A B A B证明的途径可以用下面的框图表示， 请填写其中的空格.（ 2 当=一 Bf 时 判 断 AB C与 A5C”是否相似，并说明理由.C ，D， A ，C ， B C ，20 . （ 2020南 京 ） 如图， 要在一条笔直的路边/ 上建一个燃气站， 向 / 同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气
24、. 试确定燃气站的位置， 使铺设管道的路线最短.（ 1 ） 如图， 作出点A 关于/ 的对称点A , 线段A -B与直线/ 的交点C 的位置即为所求，即在点C 处建燃气站， 所得路线AC8是最短的.为了证明点C 的位置即为所求， 不妨在直线/ 上另外任取一点C , 连接AC、B C , 证明A C+ CB (u? + n ( a 0 , 0 )的图象分别为C l、C 2 , 。 交 y轴于点P , 点 A在 C i 上 ， 且位于y轴右侧， 直 线 以 与 C 2在 y 轴左侧的交点为B .(1 ) 若 P点的坐标为(0 , 2 ), C .的顶点坐标为(2,4 ),求 a的 值 ；(2 )
25、设 直 线 丛 与 y 轴所夹的角为a .当a = 45。 ， 且 A为 。 的顶点时， 求a m的 值 ；若a = 90。 ， 试说明： 当a、m、n各自取不同的值时, 空 的 值不变；P B(3 ) 若 以 =2P 8 , 试判断点A是否为。 的顶点？ 请说明理由.23 .( 2020苏州) 某商店代理销售一种水果， 六月份的销售利润)， (元 ) 与 销 售 量x( k g)之间函数关系的图象如图中折线所示, 请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信 息 ， 解答下列问题：(1 ) 截止到6 月 9 日 ， 该商店销售这种水果一共获利多少元？(2 ) 求图象中线段B C 所在直线对应
26、的函数表达式.日期 销售记录24 .( 2020苏 州 ) 如 图 ， 已知NMCW = 90。 ， 0 7 是/M O N 的平分线， A 是射线。 例上一点，O A = Sc m .动 点 P 从点A 出 发 ， 以 1 c” /s的速度沿AO水平向左作匀速运动， 与此同时，动 点 。从 点 。出 发 ， 也 以lc m /s的速度沿ON竖直向上作匀速运动. 连 接P Q ,交O T于点B .经过0 、P、Q三点作圆， 交 OT于 点 C , 连 接P C、Q C .设运动时间为/ ( s ) , 其中 0 8 .(1 ) 求O P + O Q的 值 ；(2 ) 是否存在实数/ ， 使 得
27、 线 段 的 长 度 最 大 ？ 若存在， 求出/ 的 值 ； 若不存在， 说明理 由 .（ 3 ） 求四边形O P C Q的面积.25 .（ 2020无 锡 ） 如 图 ， 在矩形ABCQ中 ， AB = 2 , A= 1 , 点 E 为边C。上的一点（ 与 C、D不重合） , 四边形A B C E关于直线AE的对称图形为四边形A N M E ,延 长M E交AB于点P ,记四边形P A DE的面积为S .（ 1 ） 若 。, 求 S 的 值 ；（ 2 ） 设 。 E = x ， 求 S 关于x 的函数表达式.26 . （ 2020无 锡 ） 在平面直角坐标系中，0为坐标原点， 直 线 OA
28、交二次函数y = 工/ 的图4象于点A , Z A O B = 90， 点B在该二次函数的图象上， 设过点（ 0 , ? ） （ 其中” 0 ） 且平行于x 轴的直线交直线0 4 于点M ,交直线OB于 点N , 以线段。 恢ON为邻边作矩形 O M P N .（ 1 ） 若点4 的横坐标为8 .用含m的代数式表示M的坐标； 点 P 能否落在该二次函数的图象上？ 若 能 ， 求出m的 值 ； 若不能， 请说明理由.(2 )当加=2时 ， 若点P恰好落在该二次函数的图象上， 请直接写出此时满足条件的所答案与解析1 .（ 2020镇 江 ） 【 算一算】如图， 点 A 、B、C在数轴上， B 为
29、AC的中点， 点 A表 示 - 3 ， 点 8 表 示 1 , 则 点 C表示的数为二 ， AC长 等 于 8 ；【 找一找】如图， 点 M 、 M P 、。中的一点是数轴的原点， 点 4 、 B 分 别 表 示 实 数 返 - 1、 返+1 ,2 2。是 A8 的中点， 则 点N是这个数轴的原点；【 画一画】如图， 点 4B 分别表示实数c - 、 c +”, 在这个数轴上作出表示实数n的点（ 要 求 ：尺规作图， 不写作法， 保留作图痕迹） ；【 用一用】学校设置了若干个测温通道， 学生进校都应测量体温， 已知每个测温通道每分钟可检测个学生. 凌老师提出了这样的问题： 假设现在校门口有m个
30、学生， 每分钟又有h个学生到达校门口 . 如果开放3 个通道， 那么用4 分钟可使校门口的学生全部进校； 如果开放4个通道， 那么用2 分钟可使校门口的学生全部进校. 在这些条件下， a 、 ? 、b会有怎样的数量关系呢？爱思考的小华想到了数轴， 如图， 他将4 分钟内需要进校的人数m + 4b记作+（ ? +仍） ,用点4 表 示 ； 将 2 分钟内由4 个开放通道检测后进校的人数， 即校门口减少的人数8“ 记作 - 8， 用点B表 示 .用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（ ， 叶2 - 12a的点F、 G， 并写出+ （2b ）的实际意义； 写 出 机 的 数 量 关 系 ： ? =
31、4aABC-3 0 1图MAN P Q B 、F*- -F*旦 1 4 - 12 2图A B- 1 *-c -n 0 c +，图- & -.- 4-8a 0 泄 42图【 分析】(1 ) 根据数轴上点A对 应 -3 ,点B对 应1 , 求得AB的 长 ， 进而根据A B = BC可求得A C的长以及点C表示的数；(2 )可设原点为0 , 根据条件可求得AB中点表示的数以及线段A B的长度， 根据A B =2 , 可得A。= B。= 1 , 结 合0 Q的长度即可确定N为数轴的原点；(3 )设A 3的中点为M , 先求得A B的长度， 得到A M = B M = n ,根据线段垂直平分线的作法作
32、图即可；(4 )根据每分钟进校人数为/ ， , 每个通道每分钟进入人数为。， 列方程组 m+4b = 12a ,lm+2b =8a根据机+2人 =O F , m + 4b = 12a ,即可画出尸，G点 ， 其中+2b表示两分钟后, 校门口需要进入学校的学生人数；解中的方程组， 即可得到m = 4a .【 解答】解 ： (1 ) 【 算一算】： 记原点为。， ： A B= - ( - 3 ) = 4 ,： .A B = BC = 4 ,： .O C = O B + B C = 5 , A C = 2A B = S .所以点C表示的数为5 , A C长等于8 .故答案为：5 , 8 ；(2 )【
33、 找一找】： 记原点为。，.=返+ -(返-1 ) =2 ,2 2.,.AQ = B Q= 1 ,OQ = OB - B Q =返+1 - = 返，2 2:.N为原点.故答案为：N.(3 )【 画一画】： 记原点为。，由A B = c+ n - ( c - /?) = In ,作A 3的中点M,得 A M = B M = n ,以 点 。为圆心，A M = n长为半径作弧交数轴的正半轴于点E ,则点E即为所求；(4 )【 用一用】： 在数轴上画出点F , G；V 4分钟内开放3个通道可使学生全部进校，： .m+ 4 b = 3x x 4 ,即 m+ 4 b = 12a ( I ) ； 2 分钟
34、内开放4 个通道可使学生全部进校，m + 2h = 4x x 2 , BP tn+ 2h = 8 ( I I )； 以 。为圆心，0 B长为半径作弧交数轴的正半轴于点F ,则点F即为所求.作0 B的中点E , 则 。 E = BE = 4a ,在数轴负半轴上用圆规截取0 G = 30E = 12a ,则 点 G 即为所求.G B E , A-Yla5a 0 mllb n-4b图+ (， / 2b ) 的实际意义： 2 分钟后， 校门口需要进入学校的学生人数；方程(I I ) x 2 -方 程 (I ) 得 ： “ 2 = 4” .故答案为：m = 4a .2 . ( 2020镇 江 ) 如 图
35、， 直线/ 经过点(4,0)且平行于y 轴 ， 二次函数y = 2 - 2a r +c ( 、c 是常数, C = 90， 点 E 在 边 CQ上 ， 点尸在边AD的延长线上， /FEG = Z A E B = 90 , 且 空 = 迪， 连接BG交 CD于点H .EG EB求 证 ：B H = G H .【 拓展】如图， 点 E 在四边形ABCD内 ， ZAEB+ZDC=180 , 且 处 = 迈 , 过 EEB EC作 EF交 AQ于 点F , 若N EFA = N A E B ,延长FE交 BC于 点G .求 证:BG = C G .【 分析】【 感知】证得/B E C = Z E A
36、D ,证明RtA AD-RtA EBC ,由相似三角形的性质得 出 处 M , 则可得出结论；EB C B【 探究】过 点 G 作G M LC D于 点 M , 由 （1 ） 可知变型， 证 得B C = G M ,证明EG GM B C H / X G M H ( AAS ) , 可得出结论；【 拓展】在E G上取点M ,使/ B M E = Z A F E ,过 点C作CN /BM , 交E G的延长线于点N ,则/N = NBMG , 证明 AEFsEBM , 由相似三角形的性 质 得 出 岖 目 , 证明BE B M DEFs4ECN， 则里 用1， 得 出 空 再1， 则 BM =
37、CN， 证明 BGMQ丛CGN( AAS ),EC CN B M CN由全等三角形的性质可得出结论.【 解答】【 感知】证明：./C=NQ=NAEB = 90。 ,NBEC+NAED = NAED+NEAD = 90 ,NBEC= ZEAD ,RtA ADRtA EBC , . AE =-D-E- .EB CB【 探究】证明： 如图1 , 过点G作 GMLCD于点M ,由 (1 ) 可知 竺 唐 ,EG EB EB CB. DE DE 颉F，：.BC=GM ,又ZC= NGMH = 90 , NCHB = ZMHG ,：.ABC晔 AGMH ( AAS ),：.BH = GH ,【 拓展】证明
38、： 如图2 , 在EG上取点M , 使ZAFE ,过 点 。作CN/BM ,交EG的延长线于点N ,则NN= ZBMG ,Z EAF+ ZAFE+ ZAEF = ZAEF+ ZAEB+ Z BEM = 180 z ZEFA = ZAEB ,：./E A F = /B E M ,:A A E F sA E B M ,.A E_ EF， *BEEM V ZAEB+ZDEC= 180。，ZEFA+ZDFE= 180。，ZEFA = ZAEB ,：.ZCED= ZEFD ,： /BM G +/BM E= 180。，：.Z N = ZEFD ,V ZEFD+ZEDF+ZFED= Z FED+ Z DEC
39、+ Z CEN = 180 ,：.ZEDF= ZCEN ,:D E F sE C N , DE EF iEC C NV. . A E DEEB EC.EF EF丽 F ，:.BM = CN ,又 ；NN= NBMG , ZBGM= ZCGN ,ABGMACGTV ( A A S ),： .BG = C G .4 .( 2020宿 迁 ) 二次函数 + 法+ 3 的图象与x 轴交于A ( 2 ,0 ), B ( 6 ,0 ) 两 点 ， 与 y轴交于点C ,顶点为E .(1 ) 求这个二次函数的表达式， 并写出点E的坐标；( 2 ) 如图， 。是该二次函数图象的对称轴上一个动点， 当B D的垂直
40、平分线恰好经过点 C 时 ， 求点。的坐标；(3 ) 如图，P是该二次函数图象上的一个动点， 连 接 OP , 取 。 P 中 点 Q , 连 接 QC ,【 分析】 ( 1 ) 由于二次函数的图象与x 轴交于A ( 2 ,0 8 ( 6 ,0 ) 两 点 ， 把 A , 8 两点坐标代入y = a /+ 法+3 , 计算出a的值即可求出抛物线解析式， 由配方法求出点坐标；(2 ) 由线段垂直平分线的性质可得出CB = CO , 设 O ( 4 , )，由勾股定理可得42+ (,- 3 产 = 62+32 . 解方程可得出答案；( 3 破 CQ交抛物线的对称轴于点M ,设 R , 工 / -
41、2“ +3 ) , 则a工口-n 总) ，4 2 8 2设直线CQ的解析式为 y = k x+ 3 ， 则上 -n 总.解得k = -n -2 - ， 求出M( 4 ,8 2 2 4 n - 5 - 空 ) , ME = - 4 -卫 .由面积公式可求出n的 值 . 则可得出答案.n n【 解答】解： (1 ) 将 A ( 2 , 0 ) , 8 ( 6 , 0 ) 代入) =/ + 以+ 3 ,得4a+2b+3=01 36a+6b+3=0二解得J a-4b=-2.二次函数的解析式为y = x2-2x+ 3 .4*, = -7x2-2x+3=4_(x-4) 2 1 4 4Z .E (4 , -
42、 1 ).(2 )如 图 1 , 图 2 , 连 接 CB , C , 由点C 在线段B D的垂直平分线C N上 ， 得CB = C D .设 力 ( 4 , 加) ,V C (O , 3 ) , 由勾股定理可得：42+ (I-3)2 = 62+32 .解得 m = 3+29 .满足条件的点D的坐标为( 4 , 3+ 729) 或 (4， 3 -7 2 9 ) .(3 ) 如图3 , 设 CQ交抛物线的对称轴于点M ,设 P ( ， 2 +3 ) ， 则 Q ( - - n , 看 n2 ) ，设直线CQ的解析式为) ， 二履+ 3 , 则称 /8n W欣 +3 解得“ = 2， 于 是 CQ
43、 ： y = (1一? ) x+3 ,当 x = 4 时 ， y = 4 ( 4 n - 2 - ) +3 = n - 5 - -,4 n n：.M (4 , n - 5 - - ME = n - 4 - 卫 .n nSA CQE = SA CEM+SA QEM = X(n -4 - -)= 1 2 n2 - 4n - 60 = 0 ,解得=10或 =- 6 ,当 ” = 10 时 ， P ( 10 , 8 ) , 当 = -6 时 ， P ( - 6 , 24 ) .综合以上可得， 满足条件的点P 的坐标为( 10 , 8 ) 或 (- 6 , 24 ) .5 . ( 2020南 通 ) 已
44、知抛物线 y = aX+bx+c 经过 A ( 2 ,0 ), B ( 3n - 4 , yi ), C ( 5 +6 , y2 )三 点 ， 对称轴是直线x= 1 , 关于x 的方程以2+云+ = 1 有两个相等的实数根.(1 ) 求抛物线的解析式；( 2 ) 若 ”， 求 n 的取值范围.【 分析】 ( 1 ) 由题意可得0 = 4a+24+c ，- =1 ， = ( b - l ) 2 - 4ac = 0 ， 联立2a方程组可求， 心 c , 可求解析式；(2 )由 - 5 , 可得点B ,点C 在对称轴直线尸1的左侧， 由二次函数的性质可求解；(3 ) 分两种情况讨论， 列出不等式组可
45、求解.【 解答】解 ： ( 1 ) ：抛物线 /+法+c经过A ( 2 ,0 ) ,0 = 4a+2h+c , , 对称轴是直线x 二1关于X的方程 ajr+hx+c = x 有两个相等的实数根,； . = (- 1 ) 2 - 4a c = 0(3),由可得：b=lc=0. .抛物线的解析式为y+x2(2 ) ：n - 5 ,3/t - 4 - 19 , 5n+6 0 ,3/1 - 4 5/1+6 ,yn ；(3 ) 若点8 在对称轴直线x = 1的左侧，点C在对称轴直线x = 1的右侧时,3n-4l由题意可得5n+6 1 ,l-(3n-4)C5n+6-l：.0 n -,3若 点 C 在对称
46、轴直线x= 1的左侧， 点 B 在对称轴直线x= 1的右侧时，3rr4l由题意可得： , 5n+6l ,3n-4-lC l-(5n+6)不等式组无解,综上所述： o , 8 = 4 , 连 接A C .若A C = A B ,求s i n /。 。的 值 ；(2 )如图， 凸四边形A B C D中 ，A O = 8。，A D 1 B D ,当2CD2+ CB2 = CA2时 ， 判断四边形48C C是否为对余四边形. 证明你的结论；【 拓展提升】(3)在平面直角坐标系中， 点A ( - l,0),8(3,0),C (l,2),四边形A 8C 是对余四边形， 点E在对余线B D上 ， 且位于 A
47、 B C内 部 ，Z A E C = 90 + Z A B C .设 岖 =u ,BE点D的纵坐标为r, 请直接写出u关于r的函数解析式.【 分析】 (1 ) 先构造直角三角形， 然后利用对余四边形的性质和相似三角形的性质， 求出s i n /。 。的 值 .(2 )通过构造手拉手模型， 即构造等腰直角三角形， 通过证明三角形全等， 利用勾股定理来证明四边形A BC。为对余四边形.(3 )过 点 。作D H Lx轴于点H , 先证明 AB E M D B A , 得 出u与AD的关系， 设D(x , f ),再利用(2 )中结论， 求出A O与r的关系即可解决问题. .【 解答】解： (1 )
48、 过点4作AE LB C TE ,过 点C作CF1.A D于F .A图：AC = AB ,：.BE=CE = 3 ,在 RtA AEB 中 ,AE= J AB2 -BE 2 = 52 _2 = 4 ,V CFLAD,:.ND+NFCD = 90 ,：ZB+ZD = 90 ,：.ZB= ZDCF,V ZAEB= ZCFD = 90 ,：.AAEBs /DFC ,EB _ ABCF CD_3_ = 1CF 4C F= -512.而/。 =受=至- = 段 .AC 5 25(2 )如图中, 结 论 ： 四边形ABC。是对余四边形.理 由 ： 过点。作使得0M =O C ,连 接CM.四边形 ABCD
49、 中 ，A。= 8。，ADBD ,：.ZDAB= ZDBA = 5 ,VZDCM=ZDMC = 45 z：.ZCDM= ZADB = 90 ,：. NADC= NBDM ,UAD = DB , CD = DM ,：./ADC/BDM (SAS),：.AC=BM , 2CD2+CB2 = CA2 , CM1 = DM2+CD2 = 2CD2 ,：.CM2+CB2 = BM2 ,A ZBCM = 90 ,A ZDCB = 45 ,：.ZDAB+ZDCB = 90 ,，四边形A3CQ是对余四边形.图YA ( 1 , 0), 3 (3 , 0), C( 1 , 2),：.OA= , OB = 3 ,
50、AB = 4 , AC=BC = 2近,：.AC2+BC2 = AB2 ,： ./ACB = 90。，：.ZCBA= ZCAB = 45 , ； 四边形ABCD是对余四边形，/. ZADC+ZABC = 90 ,： .ZADC = 45 ,* / ZAEC = 90+ZABC = 135。 ， ZADC+ZAEC= 180。 ， .A ,D .C ,E四点共圆,J ZACE= ZADE ,ZCAE+ZACE= ZCAE+ZEAB = 45 ,：.ZEAB= ZACE ,：.ZEAB= ZADB ,? ZABE= ZDBA ,： ./ABEADBA ,A EA DA D而，J=A E4nBEA
51、BA EBEW =D(:设由(2 )可 知 ，BD2 = ICD+AD1 ,/. ( JC - 3 ) 2+ P = 2 (x - 1 ) 2+ (r - 2 ) 2 + ( JC+1 ) 2+ ? ,整理得(x +1 )2 = 4/-?,在 R t A A D H 中 ， 4 。= A/ H2+DH2 = 7(x +l )2 + t2 = -. * . =胆=近( 0/4 ),4 2即 “ =近(0f 0 ） , 则 BC=时 ， AC+BC最 大 .推理证明（V ） 对 （ IV ） 中的猜想进行证明.问 题 1 , 在图中完善（II ） 的描点过程， 并依次连线；问题2 , 补全观察思考
52、中的两个猜想： （ HI ） 2 ； （ IV ） & ；问题3 , 证明上述（V ） 中的猜想；问题4 , 图中折线B- -E- -F- - G - - A是一个感光元件的截面设计草图， 其中点A , B间的距离是4 厘 米 ， AG = 8E= 1 厘 米 . NE= / F = NG = 90。. 平行光线从AB区域射入，N B N E = 6 0。, 线 段F M 、FN为感光区域， 当 E F的长度为多少时， 感光区域长度之和最大， 并求出最大值.问题2 ： 利用图象法解决问题即可.问题3 ： 设 BC = x , AC - 8C = y ， 根据一元二次方程， 利用根的判别式解决问
53、题即可.问题4 : 延长AM交E F的延长线于C , 过点A作 A” ,E F 于 “， 过点B作BK1. G F于K交 A” 于 Q . 证明 FN + FM = EF+ FG - EN - G M - B K + A H -运- = BQ + A Q + KQ + Q H3- 越 =BQ + A Q + 1 - 延, 求出B Q + A Q的最大值即可解决问题.3 3【 解答】解 ： 问 题 1 : 函数图象如图所示：问题2 ： ( in ) 观察图象可知， x = 2 时 ， )， 有最大值.( I V ) 猜 想 ： B C = &f l.故答案为： 2 , BC = 4f l .问题
54、 3 : 设 BC = x , A C+ BC = y ,在 R S ABC 中 ，,./C = 90。：A C = 7AB2-BC2 = 7 4 a2- x2， , = x +V 4 a2- x2，, yx = V 4 a2- x2 -，y2. 2xy+/ = 4 / - / ,:.Zr2 - Zry+y2 4( 72 = 0 , , 关于x 的一元二次方程有实数根，/. = 4y2 - 4x2x ( y2 - 4 / ) 0 , 归 8 2 zVy 0 , a 0 ,当 丁 = 2 时, 2x2 4 = 0(血 x - 2a ) 2 = 0 , *.X 1 =X2 = y2a， 当 8 c
55、 二 小 时 ， y 有最大值.问题4 ： 延长AM交 M 的延长线于C , 过点A 作 AHL EF于H , 过点B 作 BKL GF于K交AH 于 Q .在 R3 BNE 中, ZE = 90 z ZBNE = 60 , BE= cm ,：.tanZBNE=,ENN E=亚(a n ),3a：AM/BN ,A ZC = 60 r9： ZGFE = 90 ,NCMF=30。 ，ZAMG = 30 , ZG = 90 , AG= Icm , ZAMG = 30 , 在 RtA AGM 中 ,tan NAMG = ,G M/. GM = 5/3 (cm ), ：/G = NGFH = 9U。,
56、ZAHF = 90 z 四边形A G S为矩形，：.AH=FG , ； /GFH= /E = 90。 ，ZBKF = 90 四边形BKFE是矩形，：.BK=FE ,: FN+FM = EF+FG - EN - GM = BK+AH -运- = BQ+AQ+KQ+QH - =3 3BQ+AQ+2 -在 RtA ABQ 中 ，AB =4cm ,由问题3可 知 ， 当BQ = AQ = 242pm时 ，AQ+BQ的值最大， 此 时EF= （ 1+2近） cm ,.8。= 40 = 2 g时 ，FN+FM的最大值为（ 4扬2 - 比 空） cm ,止匕时EF= （ 1+2圾）c m .9 . （ 20
57、20徐 州 ） 我们知道： 如图， 点B把线段A C分成两部分， 如果区 =胆， 那么称A B A C点B为线段A C的黄金分割点. 它 们 的 比 值 为 丘 工 .2（ 1 ）在图中，若A C = 20c m ,则A 8的 长 为（ 10- 1 0 ） _c m ；（ 2如图用边长为20 ”的正方形纸片进行如下操作 对折正方形A B C D得折痕EF ,连 接CE , 将C B折叠到C E 上 ， 点 B对应点H ,得折痕C G .试 说 明 ：G是A 8的黄金分割 点 ；（ 3 ）如图， 小明进一步探究： 在边长为的正方形A B C D的边AD上任取点（ A D E ） ,连接B E，
58、作C F LB E， 交A B于点尸， 延长EF、C B交于点P . 他发现当P B与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是A。、AB的黄金分割点. 请猜想小明的发现， 并说明理 由 .【 分析】（1 ）由黄金分割点的概定义可得出答案；（ 2延 长EA ,C G交于点M ,由折叠的性质可知， N E C M = ZB C G得出N E M C = Z E C M ,则E M = E C根据勾股定理求出C E的 长 ， 由锐角三角函数的定义可出t a n /BC G =近 二 ,2即黑， 则可得出答案；BC 2（ 3证明 A BE丝8C R A SA ）， 由全等三角形的性质得出BF = AE证明
59、 A EF/X BP F ,得 出 岖 望 ， 则可得出答案.BP BF【 解答】解 ： （1 ）：点8为线段A C的黄金分割点，A C = 20c m ,：.AB =近 二x 2 0 = ( IOA/5 - 1 0 )ent .故答案为： (1 0 7 5 - 1 0 ) .四边形A8CQ为正方形，：. ZEMC= ZBCG ,由折叠的性质可知， NECM= /BCG ,：. /EMC= NECM ,：.EM=EC ,V D E = 1 0 , D C = 2 0 ,AC= 7DE2+ D C2 = V 102+202 = 1。 遂 ； EM =10 爬 i：.DM= 1 0遥+ 1 0 ,
60、.tanZDMC =DC = 20 _ 2 亚 TD10V5+10 V5+1 = 2tan N BCG = 1 12网二代-1BC = 2：AB = BC ,. BG V 5-1 =-AB 2.G是AB的黄金分割点;( 3 )当8P = BC时 ， 满足题意.理由如下：四边形ABC。是正方形，：.AB = BC , NBAE= NCBF = 90 ,：BECF ,：. NABE+NCFB = 90 ,XV ZBCF+ZBFC = 90 ,ZBCF= NABE ,AABE %/BCF (ASA),：.BF = AE ,JAD/CP ,XAEFsXBPF ,. A E A F*BP =BF ,当从
61、尸恰好分别是A。 、AB的黄金分割点时，：AEDE ,. A F BF /BF A B,：BF = AE , AB = BC ,. A F BF A EBF A B BC，. A E A E -= - IBP BC：.BP = BC .10 .( 2020徐 州 ) 如 图 ， 在平面直角坐标系中， 函 数y = - a/+2 x+3a ( a 0 )的图象交x轴于点A、8 , 交y轴于点C , 它的对称轴交X轴于点E . 过 点C作C x轴交抛物线于点D , 连接D E并延长交y 轴于点F ,交抛物线于点G . 直线A尸交CO于点H ,交抛物线于点K ,连接H E、G K .(1 ) 点 E
62、 的坐标为：( 1, 0) ；(2 ) 当4 HE尸是直角三角形时， 求 的 值 ；( 备用图)【 分析】( 1 ) 利用对称轴公式求解即可.(2 ) 连接EC , 分两种情形： 当N EF = 90。 时 ， 当/H F E = 90。 , 分别求解即可.(3 ) 求出直线H F , D F的解析式， 利用方程组确定点K , G的坐标， 再求出直线E H ,GK的解析式即可判断.【 解答】解 ： ( 1 ) 对于抛物线y= - -+2ax+3a , 对称轴x = - 2 - =1 ,-2a/. ( 1 ,0 ) ,故答案为( 1 ,0 ) .(2 ) 如 图 ， 连接EC .对于抛物线v =
63、ax2+2ax+3a， 令x = 0 , 得至Iy = 3a ,令 y = 0 , - 。+2以+3 = 0 ,解得.r= 或 3 , A ( l ,0 ) ,3 ( 3 ,0 ) ,C ( 0 ,3) ， C, Q关于对称轴对称，：.D ( 2 , 3)， CD = 2 , EC = DE ,当N打?=90。 时 ，; ED = EC ,：.ZECD= ZEDC ,VZDCF = 90 z：.ZCFD+ZEDC = 90 , /ECF+/ECD = 9。 。，:.ZECF= ZEFC ,：.EC = EF = DE ,9：EA/DH ,：.FA=AH ,；.AE = DH ,29AE = 2
64、 ,：.DH = 4 ,: HE1DFEF=ED ,：.FH=DH = 4 ,在 Rta CFH 中 ， 则有 42 = 2?+ (6 a )2 ,解得“ = 亭或- 零( 不符合题意舍弃) ，. a - M3当 二 90。 时 ，9：0A = 0E , FOLAE .：.FA = FE ,：.OF=OA = OE= 1 ,3a = ,.a = 3综上所述， 满足条件的“ 的值为(3 )结论： EH/GK .理由： 由题意 4 ( 7 , 0 ) , 尸(0, - 3a ), D ( 2 , 3a ), / ( - 2 , 3a ), E ( 1 , 0 ),直线AF的解析式y = - 3a
65、x - 3a ,直线DF的解析式为y = 3ax- 3a ,fy=-3ax-3a (x= -l fx=6由 0 , 解得/ 或/ ，y=-a xZ+2ax+3a I y=。 y=-21a：.K ( 6 , - 21a ),fy=3ax-3a (x=2 . |x=-3由 9 , 解得 或1 ,y=-a xz+2ax+3a ly=3a y=T2a：.G ( - 3 , - 12a ),，直线HE的解析式为y= - ax+a ,直线GK的解析式为y = - ax - 15A ,相同,叶- 15 0 或 k , 10.如图1 中 ， 过 点 。作 OH_L直线” 于 H , 交。于 Q , P .设直
66、线 =小 +4 交 x 轴于尸（- 芈， 0 ） , 交 y 轴 于 E （ 0 , 4 ） ,O： .O E=4 ,。 尸= 生 巨3./ c m - O F 一 V 3 tan z_ FEO-fO E 3：.ZFEO = 30 ,：.OH = OE = 2 ,2：.PH=OH+OP=3 ,/.O O关于直线n的“ 特 征 数 =PQ-PH = 2x3 = 6 .(2 )如图2中 ， 设直线I的解析式为y = kx+b .当A0时 ， 过点尸作尸”，直 线 / 于 ”， 交。尸于E, N .由题意,EN = 2圾，ENNH = 4娓 ,:.NH = 410.,：N ( - 1 , 0), A
67、7( 1 , 4),:. MNj / * = 2 遥,HM=，M N2-NM = V 20-10 = V Io，.MN”是等腰直角三角形，的中点K (0 ,2 ),., .KN = H K = K M = -Js , ( - 2 , 3 ) ,把 ，(-2, 3),例 (1 , 4 )代入 y = & + b ,则有 k+b =4 ,I_2k+b=3fk K q解得 ；，r.直线/ 的解析式为 、 =工 +且 ，3 3当 黄0时, 同法可知直线/ 经过” (2,1),可得直线/ 的解析式为V = - 3x +7 .综上所述， 满足条件的直线/ 的解析式为 y = g + 4 或 y - 3X+
68、7 .12 . ( 2020常 州 ) 如 图 ， 二次函数y = x2+ b x+ 3的图象与.y轴交于点A , 过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B , 抛物线过点C ( 1 , 0),且顶点为D ,连接A C、BC、B D、C D .(1)填 空 ： 匕=-4 ；(2 )点P是抛物线上一点， 点P的横坐标大于1 , 直 线P C交直线B D于 点Q .若/ C Q。= Z A C B ,求 点P的坐标；(3 )点E在直线A C上 ， 点E关于直线B D对称的点为F ,点F关于直线B C对称的点(2 )分两种情况讨论， 当点Q在点D上方时， 过 点C作C E 1 A B于E , 设8。与
69、x轴交于点 F ,可得点 E ( 1 , 3 ), CE = BE=3 , A E = 1 , 可得 NBC= N E C B = 45。 , ta n A A CE= , ZBCF = 45 , 由勾股定理逆定理可得/8C ) = 90。， 可求/A C E= Z D B C , 可EC 3 一得N A C B = N C F D , 可得点F 与 点Q 重 合 ， 即可求点P 坐 标 ；当 点 。在 点D下方时， 过 点 。作 C” ,O B 于 ， 在线段B H的延长线上截取H F = Q H ,连 接 C。交抛物线于点P,先求直线B D解析式， 点 F 坐 标 ， 由中点坐标公式可求点
70、Q坐 标 ， 求 出C Q解析式， 联立方程组， 可求点P坐 标 ；(3 ) 设直线AC与B D的交点为N， 作C H LB D于 “， 过点N 作M NLx轴 ， 过 点E作E M LM N , 连 接CG , G F ,先求出/C N ” = 45。 ， 由轴对称的性质可得EN = N F , N E N B= Z F N B = 45 , 由“44夕可证 E M N m4 N K F ,可得 E M = N K = , M N= K F ,可求 CF5=6 , 由轴对称的性质可得点G 坐 标 ， 即可求解.【 解答】解 ： ( 1 ) ：抛物线y = / + 法+3的图象过点C ( 1
71、, 0 ),/.0 = l+h+3 ,.b = - 4 ,故答案为：- 4 ；(2 ) ”= - 4 ,抛物线解析式为) ， = /-4 x + 3V抛物线y = / - 4 / 3 的图象与) ， 轴交于点A ， 过点A作 x 轴的平彳亍线交抛物线于另一点B ,，点 A ( 0 , 3 ), 3 = / - 4x+3 ,.xi = 0 ( 舍 去 ) , X2 = 4 ,. 点8 (4 , 3 ),.、= / _ 4x+3 = ( x - 2 ) 2 - 1 ,.顶 点 。坐 标 （ 2 , - 1 ） ,如 图 1 , 当点Q 在点。上方时， 过 点 C 作 C E U 8 于 E , 设
72、 8。与 x 轴交于点F ,图1: 点 4 ( 0 , 3 ) , 点 B ( 4 , 3 ) , 点 C ( 1 , 0 ), CEA.AB ,.,.* ( 1 ,3 ) , CE = BE = 3 , AE= 1 ,；.NEBC= NECB = 45 , tanZACE=,EC 3:.NBCF = 45。 ,.点 8 (4 , 3 ) , 点 C ( 1 ,O ) ,点 。(2 , - 1 ),BC = -J9+9 = 3, /2 , CD = 71+1 = 2 1 BD = (4-2)2+(3+l ) 2 = 21 /5，,：BC2+CD2 = 20 = BD2 ,：.Z BCD = 9
73、0 ,：.tan ZDBC =型=2 =工 =tanNACE ,BC 3V 2 3ZAC E= 4 DBC ,：. ZACE+ZECB= NDBC+NBCF ,ZACB = NCFD ,又 ；NC Q Z = ZACB ,二点尸与点。重 合 ,；点P 是直线CF与抛物线的交点，0 = A2 - 4x+3 ,/.XI = 1 , X 2 = 3 , ,点P (3 ,0 ) ；当 点 Q 在点D 下方上， 过 点 C 作 CH 1DB于 H , 在线段BH 的延长线上截取HF=QH ,9：CHDB , HF=QH ,：.CF=CQ ,：.ZCFD= ZCQD ,：.ZCQD= ZACB t: CH
74、 工 BD ,丁点5 ( 4 ,3 ) ,点 0 (2 , - 1 ),二 .直 线 BD解析式为 y = 2x - 5 ,，点尸(互 ，0),2 直 线C”解析 式 为 ：y= Ax+1 ,2 2( _ 1 1J尸下丁,y=2x-5(11x5-解得 ,O|y =5.点 a 坐标为(2, - 亘 ) ，5 5:F H = Q H , 点 Q (持-制.直 线C Q解析式为: y = - 等 吗 ,0 0(4 4y = r x + 联立方程组 3 3 ,y =x -4x +3(5fX1=l *2w解 得 ： 或1y1. =0 卜 2 = 38工点P(堤 ，- 最 ) ；3 9综上所述： 点户的坐
75、标为( 3 , 0 ) 或 ( 尚 ,(3 ) 如 图 ， 设直线AC与 8。的交点为N ,点 E 作 E M LM N ,连接 C G , G F ,G.点 A (O , 3 ) , 点 C ( 1 ,0 ) ,.直线AC解析式为： y= - 3x+3 ,-1).9 ,作C H LB D于H ,过点N作M NLx轴，过y =-3x +3y =2x -58x =?9y- -5点N 坐标为（ !，- !） ,5 5,点H 坐标为( 芈 ，- !),5 5CH1 = ( H - 1 ) 2+ ( ) 2 = 2 HN2 =5 5 51 1 - B ) 2+( - 3 + 9 )2=a5 5 5 5
76、 5：.CH = HN,：.ZCNH = 45 ,V点E 关于直线BD对称的点为F ,EN=NF , NENB = NFNB = 45 ,:.NENF = 90 ,： .NENM+NFNM = 90。，又：N ENM+ Z MEN = 90 ,:.NMEN= ZFNM ,：.AEMN也 ANKF ( AAS )：.EM = NK = , MN = KF ,5.点E 的横坐标为- ，5.点E ( - ， 学 ) ，5 5：.MN = - = KF,5：.CF = -+ - -1=6,5 5点F关于直线BC对称的点为G ,.FC=CG = 6 , NBCF= NGCB = 45 ,：.ZGCF =
77、 90 ,. . . 点G ( 1 , 6), , .A G = J F + ( 6 - 3 ) 2 = /10 -13 .( 2020淮 安 ) 初步尝试I(1 ) 如图， 在三角形纸片A B C中 ，Z A C B = 90 , 将a A B C折 叠 ， 使点B与 点 C重 合 ，折痕为M N， 则 AM 与B M的 数 量 关 系 为 = ； 思考说理I(2 )如图， 在三角形纸片A B C 中 ， A C = BC = 6 , A B = 10 , 将a A B C 折 叠 ， 使点B与点 C重 合 ， 折痕为M N ,求 幽 的 值 ；B M 拓展延伸I(3 )如图， 在三角形纸片
78、A B C 中 ， A B = 9 , BC = 6 , Z A C B = 2 N A , 将 A B C 沿过顶点 C的直线折叠， 使点B落在边AC上的点夕处， 折痕为C M .求线段AC的 长 ；若点。是边A C 的 中 点 点 P 为线段。 夕上的一个动点 将 4 A P M 沿 折 叠 得 到 A P M ,点 A的对应点为点A ， , A M与C P交于点F , 求 空 的 取 值 范 围 .M FC图 图【 分析】 ( 1 ) 利用平行线的方向的定理解决问题即可.(2 )利用相似三角形的性质求出B M , AM即 可 .(3 )证明 BCMSBAC , 推 出 理= 典 = 型
79、,由此即可解决问题.A B BC A C证明 P F K s X M F C , 推 出 里 =也 二 ， 因 为 C M = 5 , 推 出 里 =” 二即可解决问FM C M FM 5题 .【 解答】解 ： （1） 如图中，图VAABC折叠， 使点B与点C重合， 折痕为MN , M N垂直平分线段BC,：.CN=BN ,: NMNB= NACB = 9U。IC.MN/AC ,: CN=BN i故答案为AM = BM .图*：CA = CB = 6 ,NA = NB ,由题意MN垂直平分线段8。,：BM=CM ,：.ZB= /MCB ,： .ZB C M= Z A ,; N B = N B
80、,:.XBCMSXBAC ,. BC _ BM*BA BC ._ 6L= BM下一-T ：.BM= -,5： .AM = AB - B M = 10 - 殁 = 竺 - ,5 532. A M 5 16-，BM 2 1 T ,5(3 )如图中，A M B图由折叠的性质可知,C B = C B ， = 6 ,ZAC B = 2ZA ,:. N B C M =N A,:, N B= N B,:. X B C M s M B A C ,. BC = BM = C M* A B BC - A C._ 6 = BM,9 T N B C M = A AC M ,：.BM = 4 ,：.AM=CM=5 ,-
81、 6 _ 5 ” .9 A C：.AC = - .2ZA = NA = NMCF , ZPFA = /M F C , PA = PA,:.X P F N sX M F C , P F _ P A7丽 CM ，CM = 5 ,.P F _ P A ,*FM - - 5 点 P 在线段 OB 上运动， 0A = OC = E , AB = - - 6 = 3 ,4 2 22 一 4._ 3_ P F -1时 ， 将线段M A绕点M顺时针旋转90。 得到线段M F ,连 接FB、FC、O A . 若Z F B A + Z A O D - Z B F C = 45 ,直接写出直线。 尸与该二次函数图象
82、交点的横坐标.【 分析】 (1 ) 将 点 A坐标代入二次函数解析式中， 求出人, 进而得出二次函数解析式，再将点B坐标代入二次函数中， 即可求出n的 值 ；(2 ) 先表示出点M , N的坐标， 进而用M N= 3建立方程求解， 即可得出结论；(3 )先求出点C坐 标 ， 进而求出直线AC的解析式， 再求出直线B C的解析式， 进而表示出Si , S2 ,最后用S i - 52 = 6 建立方程求出m的 值 ；先判断出CF/O A ,进而求出直线C F的解析式， 再判断出A F/X轴 ， 进而求出点F的坐标， 即可求出直线。 下的解析式， 最后联立二次函数解析式， 解方程组即可得出结论.【
83、解答】解 ： ( 1 ) 将点A ( - 1 , 2 )代入二次函数y = - / + 法+ 4 中 ， 得 -1 - 8+4 = 2 ,.二次函数的解析式为y = - 7+x +4 ,将点8 ( 3 , ) 代 入 二 次 函 数 -，+x +4中 ， 得= -9+3+4= - 2 ,故答案为：1 , - 2 ；(2 )设 直 线 的 解 析 式 为 ) ， = 履+ 。， 由 (1 ) 知 ， 点8 ( 3 , -2),V A ( -1,2),. ，k+a=2 3k+ a=-2 ，. fk=-l, la=l直线A B的解析式为y = - x+ ,由 (1 ) 知 ， 二次函数的解析式为y=
84、 -7+x +4 ,.点 P ( m ,0),C .M m ,-m+1 ) , N ( m , - z n2+/n +4 ),丁点N在点M的上方， 且M N = 3 ,- ?+7+4 - ( - /n +1)=3,；m = 0或加二2 ；(3 )如图1 ,由(2 )知 ， 直线A 8的解析式为y = - x +1 ,: . 直线C D的解析式为y= - x +l+4= - x+ 5 ,令 y = 0 ,贝J r +5=0 , x = 5 ,C (5 , 0),V A ( -1 ,2),B(3, -2),. .直线AC的 解 析 式 为 - 工 + 互 , 直线BC的解析式为y = x - 5
85、,3 3过点N 作 y 轴的平行线交AC于 K ,交 BC于 4 ，.点 P (/w , 0 ),91 5N ( m , m +m+4 ) , K ( 帆 , - m+ ) , ( ? , m- 5 ) ,3 39 1 5 ) 47 7NK = - m +m+4+m - -= - 机 + 三机+ , NH = - 加 一 +9 ,3 3 3 31zI z 9 4. 7 x 9:.Si - SA NAC = NKx ( xc XA ) = ( - ) x6 = - +4 ？ + 7 ,2 2 3 3Si =SA NBC - NHx (xc - X B) = ni2+9 ,2VSi - 52 =
86、6 ,m2+9 - ( - 3 m2+4/力 + 7 ) = 6 , m = 1+ F ( 由于点N 在直线AC上 方 ， 所 以 ， 舍 去 ) 或机=1 -如 ；：.S2= - 3序+ 4m+7 = - 3 ( 1 - 7 3 ) 2+4 ( 1 - V 3 ) +7 = 273 - 1 ，Si= - m2+9 = - ( 1 -技 2+9 = 2扬5 ；如图2 ,记直线AB与 .v轴 ， v轴的交点为I , L ,由 (2 ) 知 ， 直线A 8的解析式为y= - x+1 ,1 , 0 ), L ( 0 , 1 ),：.OL = OI ,ZALD= NOL/ = 45 ,ZAOD+ZOA
87、B = 45 ,过点5 作 3GOA ,NABG= NOAB ,ZAOD+ZABG = 45 ,/F B A = /ABG + /FBG , ZFBA+ZAOD - ZBFC = 45 zA ZABG+ZFBG+ZAOD - ZBFC = 45 ,：.ZFBG= ZBFC ,J.BG/CF ,：.OA/CF ,A ( 7 , 2 ) , 直 线 0 4 的 解 析 式 为 尸 2 r, C (5 , 0 ), 直 线 CF的解析式为y= - 2x+10 ,过点A , F 分别作过点M 平行于x 轴的直线的垂线， 交于点Q , S ,由旋转知，ZAMF= 90 ,.A M /是等腰直角三角形，：
88、.ZFAM = 45 , ZAIO = 45Q ,：.ZFAM= ZAIO ,尸x 轴 , ,点尸的纵坐标为2 , / (4 , 2 ),直 线 OF的解析式为y = lx ,联立解得，二次函数的解析式为y= -f+x+4 ，直 线 。 尸 与 该 二 次 函 数 图 象 交 点 的 横 坐 标 为 更 运 或 土 运 .15 ( 2020扬州) 如图1 , 已知点O 在四边形A B C D的边AB上 ， 且 04 = 08 = OC = 。 。= 2 ,OC平分NB0。， 与 BQ交于点G , AC分别与8。 、。 。交于点E、F .(1 ) 求 证 ：0C/AD ；(2 ) 如图2 , 若
89、D E = D F ,求 处 的 值 ；A F(3 ) 当四边形A8CC的周长取最大值时， 求 些 的 值 .DFDD【 分析】( 1 ) 由等腰三角形的性质及角平分线的定义证得NA。 。= /O O C , 则可得出结论 ；(2 ) 证明 4 。 / ) 和小A B D为等腰直角三角形， 得出黑脸, 证明 A D E A O F , 由相似三角形的性质可得出结论；(3 ) 设 BC=CD = x , CG = m， 则 OG = 2 - m , 由勾股定理得出 4 - ( 2 - m)2 = x1 - n ? ,解 得 加 =工乂2 , 可用x 表示四边形A B C D的周长，根据二次函数的
90、性质可求出,r = 2 时 ，4四边形A B C D有最大值， 得出/ 4 。 尸 = ZDOC = 60 , ZDA E = 30 ,由直角三角形的性质可得出答案.【 解答】 ( 1 ) 证 明 ： 4。= 0,： .Z O A D = Z A D O ,.。 （ 7平 分 / 8。 。,： . Z D O C = Z C O B ,又 ：N D O C + N C O B = Z O A D + Z A D O ,/ A D O = ND O C ,A CO /A D ；(2 ) 解 ： 如 图 1 ,D ：OA = OB=OD ,：. ZADB = 900 ,设NAC = a , 贝 /
91、4C 0= NZMC=a .9OA = OD , DA/OC ,：.ZODA = ZOAD = 2a ,:/D F E = 3a , ; DF=DE ,：.ZDEF= ZDFE = 3a ,A 4a = 90 ,A a = 22.5 zAZDAO = 45 , /XAOD和 ABD为等腰直角三角形，：.AD = y/2AO , A D _厂 而尤， : DE=DF ,:/D FE= /D E F , ： ZDFE= NAFO ,：. ZAFO= NAED ,又 NAOE = NA。 尸 = 90 ,，XADESAOF ,.A E .A D r- A F = A O ,(3 )解 ： 如图2 ,
92、OD = OB , ZBOC = ZDOC ,/ . BOCADOC( 5A5),：.BC=CD ,设 BC=C)= x , CG = m , 贝 ! OG = 2 - m ,：OB2 - OG2 = BC1 - CG2 ,4 - ( 2 - /?) 2 = x2 - w2 ,解得： m = x ,4OG = 2 - x2 ,4OD = OB , NDOG = NBOG ,； .G为8。的中点，又为A 8的中点，：.AD = 2OG = 4 -1 22 X，四边形 ABCD 的周长为 2BC+AD+AB = 2x+4 - -x2+42= - 会2+级+8= - (x- 2 )2+ 10 , 尤
93、 二 2 时 , 四边形A BC 。的周长有最大值为10 .AB C=2, .3C 0为等边三角形，Z .Z BO C = 60 ,V OC/AD , ,NDAO= NCOB = 60。 ，A ZADF= Z DOC = 60 , Z DAE =30 ,： .Z A F D = 90 ,AD E _=A/3- DF=DADA 3 2.DE 2炳 二 .DF 316 .( 2020扬 州 ) 如 图 ， 已知点A ( 1 , 2 8( 5 , )(” (),点 P为线段A B 上的一个动点 ， 反比例函数y = K ( x 0 ) 的图象经过点尸. 小明说： “ 点P从点A运动至点B的过x程 中
94、 ，k值逐渐增大， 当点P在点A位置时A 值最小， 在点B位置时k值最大. ”(1 ) 当 =1 时.求线段A 8 所在直线的函数表达式.你完全同意小明的说法吗？ 若完全同意， 请说明理由； 若不完全同意， 也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值.(2 ) 若小明的说法完全正确， 求 的取值范围.y AA- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - O x【 分析】 ( 1 ) 把n = 1代入确定出B的坐标， 利用待定系数法求出线段A B所在直线的解析式即可；若 =1 , 完全同意小明的说法， 求出正确k 的最大值与最小
95、值即可；(2 ) 若小明的说法完全正确， 把 A 与 B 坐标代入反比例解析式， 并列出不等式， 求出解集即可确定出的范围.【 解答】解 ： ( 1 ) 当= 1 时 ， 8 (5 , 1 ),设线段A B所在直线的函数表达式为y = m x+ n ,把 A ( 1 , 2 ) 和 8 ( 5 , 1 ) 代 入 得 ： 卜 如 = 2 ,15m+n=l 一 1m- 7解 得 J 0 ,9n =I则线段A 8所在直线的函数表达式为) ， = - 工 +；4 4不完全同意小明的说法， 理由为：人所X(-/吟)二号“芸2+鲁 ,V 1X5 , 当 X = 1 时 ，k m in = 2 ；当 X
96、二 9 时,k m a x ,2 16则不完全同意；( 2 ) 当 =2 时 ， A (1 , 2 ), 8 (5 , 2 ) , 符 合 ；当时，y二也 工 ，4 4A = x ( 正2 x + 也二L) =n ( %.nz1 0)2+(10-n )24 4 4 2n-4 16(2-n)当 ” 2 时 ， A 随 x的增大而增大， 则有1 6 名 ,2n-4i t t W n 2 时 ， A 随 x的增大而增大， 则 有 答 W 1 ,2n-4此时n 2,综 上 ， 佗 也 .917 .( 2020连云港) 在平面直角坐标系x O )， 中 ， 把与X轴交点相同的二次函数图象称为“ 共根抛物
97、线”. 如 图 ， 抛物线L ： = ! ? - - 2 的顶点为。， 交 x 轴于点A 、B (点 A在点8 左 侧 ) ， 交 y 轴于点C. 抛 物 线 上 与 心 是 ，共根抛物线”， 其顶点为P .(1 ) 若抛物线L 2经过点( 2 , 7 2 ),求 42对应的函数表达式；( 2 ) 当 BP - C P的值最大时, 求 点P的坐标；(3 )设 点 。是抛物线L x上的一个动点， 且位于其对称轴的右侧. 若 D P Q 与4 A 8 C 相似 ， 求其“ 共根抛物线乜2的顶点P的坐标.【 分析】(1 ) 由题意设抛物线L i的解析式为y = a (x +1 ) ( x - 4 )
98、,利用待定系数法求出即可解决问题.(2 )由题意8P = AP , 如 图 1 中 ， 当 A , C , P 共线时，BP - PC 的值最大， 此时点P 为直线AC与直线x = 的交点.2(3 ) 由题意， 顶 点 。( 3 , -空 )，ZPD Q不可能是直角， 第一种情形： 当NZ)PQ =2 890。 时 ， 如 图 3 - 1 中 ， 当 QZ)PsA4BC时. 如图3 - 2 中 ， 当 时. 第二种情形： 当 / 。 2= 90 . 如图3 - 3 中 ， 当 PQQsXABC时. 当 DP Q /A BC时 ， 分别求解即可解决问题.【 解答】解 ： ( 1 ) 当 y =
99、0 时 ， * ， - 1 - 2 = 0 , 解 得 尤 = 7 或 4 ,.A ( - 1 , 0 ), ? (4 ,0 ) , C ( 0 , - 2 ),由题意设抛物线L 2的解析式为y = a ( x+1 ) ( x - 4 ),把 (2 , - 12 ) 代入 y = a (x+1 )(x - 4 ),- 12= - 6 a i解得a = 2 ,，抛物线的解析式为y = 2 ( x+1 ) ( x -4 ) = 2? - 6x - 8 .( 2 ) . 抛物线上与Li是洪根抛物线”， A ( 1 , 0 ), 5 (4 , 0 ),抛物线1 , L i的对称轴是直线x = 3，2点
100、尸在直线* =上，2； .BP = AP , 如 图 1中 ， 当 A , C , P 共线时, B P - P C的值最大，此时点P为直线AC与直线x = 3 的交点，2直线AC的解析式为y= -2 x -2 , -5 )（3 ） 由题意, AB = 5 , CB = 25/5 ,：.AB2 = BC2+AC2 ,：.ZACB = 90 , CB = 2CA , ,v y - 11A 2. 2= 1 （ r - 3 2A 乙 l A I 2 2 2 2顶点力（ 1_ ,-孕 ） ，2 8CA = *5/5 25由题意，/PQ不可能是直角,第一种情形： 当/ 。 尸 。=90。 时 ,如图3
101、- 1中 ， 当。 。 尸s ABC时（OP = AC = A一 DP BC 2I , l x2 - l x - 2 ） ,2 2 2DP = Ax2 -3.x-2 -（ - 空）= 4 7 - , QP = x - &2 2 8 2 2 8 2： P D = 2Q P ,.2x -3 = l x2- 9佟， 解 得 尸 孝 或 提 （ 舍 弃 ） ,2 2 8 2 2等） .2 8如图3 - 2中 ， 当 D Q P / X A B C时 ， 同法可得P Q = 2P D ,x - - = x2 - 3x+ ,2 4解得或3（舍 弃 ） ，2 2 （ 1 ，-竺） .2 8第二种情形： 当/
102、。 。 。= 90。.如图3 - 3中 ， 当 PDQsA4BC时 ， 骂_ =蚂 = ， DQ BC 2过 点 。作于M .则小QDMSPDQ ,嚅嘿吟, 由图3 - 3 可 知 ， 呜， 普） , 0 噂,普） ,： .MD = S , MQ = 4 ,:.DQ = 4疾 ,由 地 =西 ， 可得p= io ,D M DQ 。（ 日 ,- 争）2 8P （ 尚 ， 孚） .2 8当 D P Q / X A B C时 ， 过 点 Q 作 QMJ_P） 于M .： .DM = - , Q M = 1 , Q D = J-2 2由旦R = PD 可得PD =殳,D M DQ 2T） .2 8综上
103、所述： 尸点坐标为导蒙或弓,噂） 或 吟样） 或- 1 ） .18 .（ 2020连云港） （ 1 ） 如 图 1 , 点 P 为矩形A B C D对角线B D上一点， 过 点P作EF/ BC ,分另1 I交C D于点E、F .若B E = 2 , P F = 6 , A E P的面积为Si , A C F P的面积为S 2 ,则 Sl+S2= 12（ 2 ） 如图2 , 点 P 为 口 A B C D内一点（ 点 P 不在8D 上 ） ， 点 氏F、G、H分别为各边的中 点 . 设四边形A E P H的面积为Si , 四边形P F C G的面积为S2（其中S2 Si ） ,求4 P BD的面
104、积（ 用含Si、S2的代数式表示） ；（3 ） 如图3 , 点P为。A B C D内一点（ 点P不在8。上 ） ， 过点P作EF/A D , HG/A B ,与各边分别相交于点反F 、G 、”. 设四边形AEPH的面积为Si ,四边形PGCF的面积为S2 （其中S2 Si ） ,求4 P B D的面积（ 用含Si、S2的代数式表示） ；（4 ）如图4 ,点A、B、C、D把。四等分. 请你在圆内选一点P （ 点 P不在AC、BD上 ） ， 设 P B、P C、食围成的封闭图形的面积为Si ,南、P D 、第围成的封闭图形的面积为S2 , P B D的面积为S3 , 出C的面积为S4 , 根据你选
105、的点P的位置， 直接写出一个含有Si、S2、S3、S4的等式（ 写出一种情况即可） .【 分析】（1 ）如 图1中 ， 求出 P F C的面积， 证明 A P E的面积= P F C的面积即可.（ 2 ）如图2中 ， 连接用 ,P C ,在中， 因为点E是AB的中点， 可设SAAPE = SAPBE= a ,同 理 ,5A APH = 5A PDH = b , SA PDG = SA PCC = C , SA PFC = SA PBF = d , 证明 S 四边形AEPH+S四边形PFCG = S四边形四边形噌G = S2 , 推 出-叱 会 平 行 四 边 形 SS1+S2， 根据 SA P
106、BD = SA ABD - ( SI+SA PBE+SA PHD ) = S1+S2 - ( Si+ +Si )= S2 Si .可得 结 论 .(3 )如 图3中 ， 由题意四边形E B G P ,四边形P F D都是平行四边形， 利用平行四边形的性质求解即可.(4 )分四种情形： 如图4 - 1中 ， 结 论 ：S2 - Si = S3+S4 . 设线段P B , 线 段 阴 ， 弧A 8围成的封闭图形的面积为x , 线 段P C , 线 段P D , 弧C D的封闭图形的面积为V .由题意：S1+X+S4 = S+ y+ S3 ,推出 x - y = S3 - S4 ,由题意 Si+S2
107、+x+y = 2 ( S1+X+S4 ) ,可得 S2 - Si=x - y+2s4 = S3+S4 . 其余情形同法可求.【 解答】解 ： (1 )如 图1中,图1过 点P作PM LAD于M ,交B C于N .: 四 边 形A8C。是矩形，EF/BC ,.四边形A E P M ,四边形M P F D ,四边形BN P E ,四边形P N C F都是矩形，BE= P N = C F = 2 , SA PFC = xPFxCF = 6 , SA AEP = SA APM , 5A PEB = SA PUN , SA PDM2= SA PFD , SA PCN = SA PCF , SA A BD
108、 = SA BCD ,:S AEPM 二 5 跳 P N CF ,ASi =52 = 6 ,ASI+S2= 12 ,故答案为12 .(2 )如图2中 ， 连接啊, PC ,AHDBF C图2在 A PB中，点E是A B的中点，可设 SA APE - SA PBE = a， 同理,SAPH = SA PDH = b ,SA PDG = S PGC = C ,SA PFC - SA PBF- d ,S 四 边 形 AEPH+S 四 PFCG = a+b+c+d , S 四 边 形 PEBF+S 四邂 PHDG = a+b+c+d ,: .S四 边 形A P ” + S四 边 形PFCG = S四
109、边 形PEBF+S四 边 形PHDG = S1+ S2 ,； SA ABD = - i - S 平 行 四 边 形 ABCD = Si + 5 2 ,: S & PBD = SA ABD - ( SI+SA PBE+SX PHD ) = S1+ S2 - ( Si + a + Si - a ) = S2 - Si .(3 )如图3中， 由题意四边形EBGP ,四边形HPFD都是平行四边形，5 四 边 形 EBG P = 2sA EBP , S 四 边 形 HPFD = 2sA HPD ,二Sa A8O = S平 行 四 边 形/W C = * S1+S2+2SA EBP+2SA HPD) 二*
110、 S1+ S2 SA EBP+SA HPD ,SA PBD = SA ABD - ( 5I+SA EBP+SA HPD ) = - ( 5 2 - Si ) .(4 )如图 4 1 中,结论：52 -Si=S3+S4 .理由： 设线段PB， 线段% ,弧AB围成的封闭图形的面积为x ,线段PC ,线段P D ,弧C Q的封闭图形的面积为y.由题意： Si + x+ S4 = Si + y + S3 ,Ax - y = S3 - S4 /VSi+S2+x+y = 2 ( S1+X+S4 ),/.S2 - S= x - y+2S4 = S3+S4 .同法可证： 图4 - 2中 ， 有结论：Si -
111、 S2 = S3+S4 .图4 - 3中和图4 - 4中 ， 有 结 论 ：|Si -S2| = |S3 - S4| .图4-1图42图4-3图4 719 （ 2020喃 京 ） 如图 在 4 A B C A b C 中分别是AB、 A b上一点， 地= 与工AB A B证明的途径可以用下面的框图表示， 请填写其中的空格.ZUDCsAJDC( 2当， 吗 = 产 = 产 时判断 ABC与4 A F C 是否相似，并说明理由.C，D ， N C B C ，【 分析】 ( 1) 根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可.( 2 ) 过点D , 。分别作DE/BC , D EB，C , DE交AC
112、于E , D E交4C 于 E . 首先证明 CED/CED, 推出N CE ) = ZCED, 再证明N ACB= N4C b即可解决问题.【 解答】 ( 1 ) 证明： .果 =-,.AD _ AB * D ， - N B ， . . CD = AC = AB C，D A，C A B .CD = AC = AD C D ， A C A D ：./XADC/XADC ,ZA = Z.A!, . AC _ AB. N C - N B ，.ABCs /X A B C .故答案为CD - AC - ADC D - A，C ，一 D ，N A = Z A .( 2 ) 如图， 过点。， 。分别作 D
113、E/BC , D EB，C ,DE 交 AC 于 E , DE交 A C于 E .：.ADE s ABC ,. AD = DE = AEAB - BC - AC 图 硅 N D _ D E _A E A B B C A CyDBECA/A7D/7B- A=DAB-f-.DE _ BC同 理AEE AC N C， .AC- AE _ A C - A E 电EC _ E C , - AC Ay C? 而一A，C ， .EC _ AC% ，C ，一 N C， . . CD = AC = BC - D A C B，C.CD = DE = EC 七，D， D E E，C， :. AD C E s WC
114、E ,:. N C E D = Z CED, ： DE/BC ,： . Z C E D + Z A C B = 180 ,同 理 ，Z CED+ Z A CB=SQ ,： .Z A C B = Z A CB, . AC - CB k C ，飞，B， ，20 .( 2020南 京 ) 如图， 要在一条笔直的路边/ 上建一个燃气站， 向 / 同 侧 的 人B两个城镇分别铺设管道输送燃气. 试确定燃气站的位置, 使铺设管道的路线最短.(1 ) 如图， 作出点A 关于I的 对 称 点 线 段A B与直线I的交点C 的位置即为所求，即在点C 处建燃气站， 所得路线AC8是最短的.为了证明点C 的位置即为
115、所求， 不妨在直线/ 上另外任取一点C ,连接AC、B C ,证明A C+ CB A C+ CB .请完成这个证明.（ 2 ） 如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区， 燃气管道不能穿过该区域. 请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（ 不需说明理由） ,生态保护区是正方形区域， 位置如图所示；生态保护区是圆形区域， 位置如图所示.【 分析】（ 1 ） 由轴对称的性质可得CA = CA ,可 得A C+ BC = A C+ BC = A B , A C + C B =A , C+ BC ,由 三 角 形 的 三 边 关 系 可 得 , 可得结论；（ 2 ） 由 （ 1 ） 的结论可求； 由
116、 （ 1 ） 的结论可求解.【 解答】证 明 ： （1 ） 如图， 连接AC ,; 点 A , 点 A,关于I对 称 ， 点 C 在 / 上 ，： .CA = CA1 ,： .A C+ BC = A C+ BC = A B ,同理可得 AC+CB = AC+BC , ： A B A C+ CB ,： .A C+ BC = 90 ,二四边形力CH尸是矢国杉，：.FH = CD = 6 ,. 尸G = 4 ,:丛MBQWMMEP ,：.BQ = PE ,：.PE = BQ = BG+GQ ,：FG = EG+PE+FP = EG+BG+GQ+PF = 2-/-GQ+PF ,：.GQ+PF = 2y
117、3；(3 )如图2 ,当点8落 在PQ上 时 ,D图2,: MBQQ4MEP ,：.MQ = MP ,：ZQMP = 60 ,.MPQ是等边三角形，当点8落 在PQ上 时 ， 点B关于QM的对称点为B ,.,.M8Q四MB。,：.ZMBQ= /M B。= 90。：.ZQME = 30点B与点E重 合 ， 点Q与 点G重 合 ，NQMB = NQMB = a = 30。 ，如图3 ,当点落在MP上 时 ，1图3同理可求：NQMB二=NQMF = a = 60。 ，当30。 a 0 ,，m+2b = 0 ,m = - 2b ,A ( m ,几 ) , 点 A 是抛物线C i的顶点.23 .( 20
118、20苏州) 某商店代理销售一种水果， 六月份的销售利润y ( 元 ) 与 销 售 量 x (k g )之间函数关系的图象如图中折线所示. 请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信 息 ， 解答下列问题：(1 ) 截止到6 月 9 日 ， 该商店销售这种水果一共获利多少元？(2 ) 求图象中线段所在直线对应的函数表达式.日期 销售记录6 月 1 库 存 600kg , 成本价8 元/ 依， 售 价 10元/ 依( 除日 了促销降价， 其他时间售价保持不变) .6 月 9【 分析】 （ 1 ） 由表格信息可知， 从 6 月 I 日到6 月 9 日 ， 成本价8 元/ 依， 售 价10元/k g
119、 ,一共售出200版 , 根据利润= 每千克的利润x销售量列式计算即可；（ 2 ） 设 B 点坐标为（ a , 4 00 ） , 根据题意列方程求出点B的坐标， 设线段B C所在直线对应的函数表达式为） = & + , 利用待定系数法解答即可.【 解答】解 ： （ 1 ） 200x （ 10- 8 ） = 4 00 （ 元 ）答 ： 截止到6 月 9 日 ， 该商店销售这种水果一共获利4 00元 ；（ 2 ） 设点8 坐标为（ a , 4 00 ） , 根据题意得：( 10 - 8 ) x ( 600 - ( a - 200 ) + ( 10 - 8.5 ) x200= 1200 ,解这个方程
120、， 得a = 35 0 ,. 点 B 坐标为( 35 0, 4 00) ,设线段所在直线对应的函数表达式为y = k x+ h ,则 ：f 35 0k + b=4 00 解 彳 巴 1800k + b = 1200* J 000_ |b- 9线段8 c所在直线对应的函数表达式为yx逸姐.y 9 924 . ( 2020苏 州 ) 如 图 ， 已知/ M O N = 90。 ， 。7是/ MON的平分线，A是射线OM上一点，O A = 8c w . 动点P从点A出 发 ， 以c m ls的速度沿AO水平向左作匀速运动， 与此同时，动 点 。从 点 。出 发 ， 也 以Ic m /s的速度沿O N
121、竖直向上作匀速运动. 连接P Q ,交O T于点8 . 经 过0 、P 、Q三点作圆， 交O T于 点C ,连 接P C、Q C .设运动时间为/ ( s ) ,其中 0 / =包 =x/3 ,DE ZAED = 60 ,：AB/CD ,：.ZBAE = 60 ,四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME ,：. ZAEC= NAEM ,*/ ZPEC= ZDEM ,：. ZAEP= ZAED = 6Q0 ,APE为等边三角形，吟x （竽+ 畀T；（ 2 ） 过 作 EF_ L 4 3 于 F,由 （ 1 ） 可 知 ，Z A E P = Z A E D = Z R A E ,： .
122、A P = P E ,设 A P = P E = ,AF = E D = x ,则 P F = a- x , EF = AD =1 ,2 7在 R t A P EF 中 ， （ a - x ） 2+ 1 = J , 解 得:a = x26 .（ 2020无 锡 ） 在平面直角坐标系中，O为坐标原点， 直 线 OA 交二次函数y = 工/ 的图4象于点A , Z A O B = 90， 点B在该二次函数的图象上， 设过点（ 0 , ? ） （ 其中? 0 ） 且平行于x 轴的直线交直线OA 于点M , 交直线OB于 点N , 以线段OM、ON为邻边作矩形 O M P N .（ 1 ） 若点A 的
123、横坐标为8 .用含， ”的代数式表示M的坐标； 点 P能否落在该二次函数的图象上？ 若 能 ， 求出m的 值 ； 若不能， 请说明理由.（ 2 ） 当? = 2 时 ， 若 点 P恰好落在该二次函数的图象上， 请直接写出此时满足条件的所有直线OA 的函数表达式.【 分析】（ 1 ） 求出点A的坐标， 直线直线0 A的解析式即可解决问题.求出直线。8的解析式， 求出点N的坐标， 利用矩形的性质求出点P的坐标， 再利用待 定 系 数 法 求 出 的 值 即 可 .（ 2 ）分两种情形： 当点A在y轴的右侧时， 设4 （ a , 1 / ） ,求出点p的坐标利用待4定系数法构建方程求出即 可 .当点
124、A在 ） ， 轴的左侧时， 即为中点8的位置, 利用中结论即可解决问题.【 解答】解 ：（ 1 ） :点4在 ） ， = 的 图 象 上 ， 横坐标为8 ,4（ 8 , 16） , 直 线0 4的解析式为） ; 2x, 点M的纵坐标为m ,M （ m t m） .2假设能在抛物线上， 连 接0P .* . Z A O B = 90 ,直 线0 8的解析式为y = - /r ,V点N在直线0 B上 ， 纵坐标为m , N （ - 2m , m） ,.M N的中点的坐标为（- 3机， 机） ,4.P （- 3? ，2m ） ,把点P坐标代入抛物线的解析式得到机=丝 .2 9(2 ) 当点A 在 v
125、轴的右侧时， 设 A ( “ ，) ,4直 线 0A 的解析式为y = 工 研 ，4M ( , 2 ),aJO BL O A ,. .直 线OB的解析式为y = - 9 工， 可 得 N ( - m ， 2 ),a 2二P 注 -包 ， 4 ) , 代入抛物线的解析式得到， B - 3 =4 ,a 2 a 2解 得 ， 。 =4扬4 ,. ,直 线0 A的解析式为y = ( ) x .当点4 在 y 轴的左侧时， 即为中点B的位置，直 线 0 4 的 解 析 式 为 产 -&= - ( &1 )x ,a综上所述， 满 足 条 件 的 直 线 的 解 析 式 为 y = ( 加l ) x 或) ， =-( 五 l) x .
