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1、例例1 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为试求试求: (1)k ; (2) X的分布函数的分布函数; (3)几个常用的连续型随机变量的分布例例2 已知连续型随机变量已知连续型随机变量X的分布函数为的分布函数为试求试求:(1)常数常数a , b ; (3) X的概率密度的概率密度.几个常用的连续型随机变量的分布例例3 已知某型号电子管的使用寿命已知某型号电子管的使用寿命 X 为连续型为连续型r.v., 其其概率密度为概率密度为(1) 求常数求常数 c; (3) 已知一设备装有已知一设备装有3个这样的电子管个这样的电子管, 每个电子管能否每个电子管能否正常工作相互独立正常工作相互独立,
2、 求在使用的最初求在使用的最初1500小时只有一个小时只有一个损坏的概率损坏的概率.(2) 计算计算几个常用的连续型随机变量的分布1. 均匀分布均匀分布若随机变量若随机变量X具有概率密度函数具有概率密度函数 则称则称X在在(a, b)上上服从服从均匀分布均匀分布，记作，记作XU(a, b).二、几个常用的连续型随机变量的分布二、几个常用的连续型随机变量的分布概率密度概率密度函数图形函数图形几个常用的连续型随机变量的分布X的分布函数为的分布函数为 几个常用的连续型随机变量的分布对任意长度为对任意长度为l的子区间的子区间(c, c+l), a c 0为常数为常数, 则称则称X服从参数为服从参数为的
3、的指数分布指数分布,记作记作X E ()或或e().2. 指数分布指数分布其分布函数为其分布函数为 几个常用的连续型随机变量的分布指数分布的另一种表示形式指数分布的另一种表示形式 则称则称X服从参数为服从参数为 0的指数分布的指数分布. 其分布函数为其分布函数为几个常用的连续型随机变量的分布1xF( x)0xf ( x)0几个常用的连续型随机变量的分布 指数分布通常用于描述对某一事件发生的等待时间指数分布通常用于描述对某一事件发生的等待时间, 例如例如: 乘客在公共汽车站的候车时间、乘客在公共汽车站的候车时间、 某些元件或设备某些元件或设备的使用寿命的使用寿命(等待用坏的时间等待用坏的时间)
4、、电话交换台收到两次呼、电话交换台收到两次呼叫之间的时间间隔等叫之间的时间间隔等.应用背景应用背景:(1)求该电子元件寿命超过求该电子元件寿命超过2年的概率；年的概率；(2)已知该电子元件已使用了已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用年，求它还能使用2年的年的概率为多少？概率为多少？几个常用的连续型随机变量的分布故又把指数分布称为故又把指数分布称为“永远年轻永远年轻”的分布的分布.若若 X E(), 则则指数分布的指数分布的“无记忆性无记忆性”事实上事实上,几个常用的连续型随机变量的分布【注】【注】指数分布指数分布通常用于描述对某一事件发生的等待时通常用于描述对某一事件发生的等待时间间,
5、 而在离散型分布中而在离散型分布中, 几何分布几何分布用于描述事件用于描述事件A发生发生(试验成功试验成功)所进行的试验次数所进行的试验次数, 如果将每次试验视为经如果将每次试验视为经历一个单位时间历一个单位时间(离散时间离散时间), 则直到试验成功为止则直到试验成功为止, 试试验总次数相当于直到试验成功所等待的时间验总次数相当于直到试验成功所等待的时间. 在此意义在此意义上上, 指数分布可视为离散情形下的几何分布在连续情形指数分布可视为离散情形下的几何分布在连续情形下的推广下的推广.指数分布与几何分布都具有指数分布与几何分布都具有“无记忆性无记忆性”连续型连续型离散型离散型几个常用的连续型随
6、机变量的分布3. 正态分布正态分布 (亦称高斯亦称高斯(Gauss)分布分布)记作记作 X N ( , 2 ).若若 X 的概率密度为的概率密度为则称则称 X 服从参数为服从参数为 , 2 的的正态分布正态分布. 为实常数为实常数, 且且 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，它在概率统计中占有特别重要的地位的分布之一，它在概率统计中占有特别重要的地位.几个常用的连续型随机变量的分布正态概率密度的合理性正态概率密度的合理性几个常用的连续型随机变量的分布正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲对称的钟
7、形曲线线.特点是特点是“两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称”,由此特由此特点知正态分布描述随机变量取值中间概率大点知正态分布描述随机变量取值中间概率大,两头两头概率很小的随机现象概率很小的随机现象. 正态分布正态分布 图形特点图形特点几个常用的连续型随机变量的分布应用背景应用背景(可用正态分布描述的实例极多可用正态分布描述的实例极多)各种测量的误差；各种测量的误差； 人体的生理特征；人体的生理特征；工厂产品的尺寸；工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；农作物的收获量；海洋波浪的高度；海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度；金属线抗拉强度；热噪声电流强度；热噪声电流强度； 学生的考试成绩；学
8、生的考试成绩；若若 r.v. X 受大量相互独立的随机因素影响受大量相互独立的随机因素影响; 每一因素的影响都是微小的每一因素的影响都是微小的, 无主导因素无主导因素; 且这些正、负影响可以叠加且这些正、负影响可以叠加,则认为随机变量则认为随机变量X 服从正态分布服从正态分布几个常用的连续型随机变量的分布 另一方面另一方面, 有些分布有些分布(如二项分布、泊松分布如二项分布、泊松分布)的极的极限分布是正态分布限分布是正态分布. 所以所以, 无论在实践中无论在实践中, 还是在理还是在理论上论上, 正态分布是概率论中最重要的一种分布正态分布是概率论中最重要的一种分布.二项分布向正态分布的转换二项分
9、布向正态分布的转换几个常用的连续型随机变量的分布正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征几个常用的连续型随机变量的分布 位置参数位置参数.思考 = -2几个常用的连续型随机变量的分布 形状参数形状参数. ( 大小与曲线陡峭程度成反比大小与曲线陡峭程度成反比)几个常用的连续型随机变量的分布正态分布的分布函数正态分布的分布函数问题问题 正态分布下的概率计算问题如何解决正态分布下的概率计算问题如何解决? ?此时,原函数不是初等函数!几个常用的连续型随机变量的分布标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的分布函
10、数表示为【注】标准正态分布的密度函数为【注】标准正态分布的密度函数为偶函数偶函数.几个常用的连续型随机变量的分布标准正态分布的图形标准正态分布的图形几个常用的连续型随机变量的分布【几个常用结论几个常用结论】对于标准正态分布的分布函数对于标准正态分布的分布函数(x)的函数值，书后附有标准的函数值，书后附有标准正态分布表正态分布表(教材教材P439). 表中表中只给出了只给出了xx0时，可利用时，可利用(x)=1(x)计算得到计算得到.证明证明几个常用的连续型随机变量的分布 通过线性变换将一般正态分布转化为标准正态分布通过线性变换将一般正态分布转化为标准正态分布. 此引理解决了一般正态分布的概率计算问题此引理解决了一般正态分布的概率计算问题.几个常用的连续型随机变量的分布证明证明几个常用的连续型随机变量的分布几个常用的连续型随机变量的分布例例8 3 原理原理设设 X N ( , 2), 求求解解【结论】【结论】 一次试验中一次试验中, X 落入区间落入区间( - 3 , +3 )的概率为的概率为 0.9974, 而超出此区间可能性很小而超出此区间可能性很小.几个常用的连续型随机变量的分布
