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1、1 第五章 弯曲应力 题号 页码 5-3 .1 5-5 .3 5-7 .3 5-8 .4 5-9 .6 5-10 .9 5-11 .10 5-13 . 11 5-14 .13 5-15 .14 5-16 .15 5-19 .16 5-23 .16 5-25 .17 5-26 .18 5-29 .20 5-30 .22 5-33 .23 5-34 .25 5-35 .26 5-37 .27 5-39 .29 5-42 .31 5-44 .32 5-47 .33 5-49 .34 5-50 .35 5-52 .36 5-54 .38 5-56 .38 (也可用左侧题号书签直接查找题目与解) 5-3
2、 试证明，在集中力 F 作用处（图 a） ，梁微段的内力满足下列关系： | FS 右- FS 左| = F，M 右 = M 左 而在矩为 Me 的集中力偶作用处（图 b） ，则恒有 FS 右 = FS 左， | M 右 = M 左| = Me 2 证明：根据题图(a) ，由 题 5-3 图 Fy 0 ，FS左 F qdx FS右 0 保留有限量，略去微量 qdx 后，得 FS右 FS左 F 为了更一般地反映 F 作用处剪力的突变情况（把向下的 F 也包括在内） ，可将上式改写为 仍据题图(a) ，由 FS右 FS左 F (a) M 0 ，M F ( dx ) qdx( dx ) F dx M
3、0 C 右 2 2 S左 左 保留有限量，略去一阶和二阶微量后，得 M 右 M 左 足标 C 系指梁微段右端面的形心，对题图(b) 亦同。 根据题图(b) ，由 (b) Fy 0 ，FS左 qdx FS右 0 略去微量 qdx 后，得 FS右 FS左 (c) 仍据题图(b) ，由 M 0 ，M M qdx( dx ) F dx M 0 C 右 e 2 S左 左 保留有限量，略去一阶和二阶微量后，得 M 右 M 左 M e 3 为了更一般地反映 M e 作用处弯矩的突变情况（把逆钟向的 M e 也包括在内） ，可将上式改写 为 M 右 M 左 M e (d) 5-5 已知梁的剪力、弯矩图如图所示
4、，试画梁的外力图。 题 5-5 图 解：根据题图中所给的 FS 图和 M 图，并依据三个微分关系和两个突变关系，可画梁的 外力图，示如图 5-5(a) 和(b)。 5-7 图示外伸梁，承受均布载荷 q 作用。试问当 a 为何值时梁的最大弯矩值（即| M | max）最小。 解：1.求支反力 题 5-7 图 由对称性可知，二支座的支反力相等 见图 5-7(a) ，其值为 FCy FDy ql 2 () 4 2画弯矩图 根据各梁段的端值及剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系，画弯矩图如图(b) 所示。 3确定 a 值 由进一步分析可知，只有当梁中点处的弯矩值与 C、D 处弯矩的绝对值相等时，梁的最 大
5、弯矩值才可能最小，由此得 1 ql 2 1 qla 1 qa 2 解此方程，得 舍去增根，最后确定 8 2 2 a 1 2 l 2 a 2 1 l 0.207l 2 5-8 图示简支梁，梁上小车可沿梁轴移动，二轮对梁之压力均为 F。试问： (1) 小车位于何位置时，梁的最大弯矩值最大，并确定该弯矩之值； (2) 小车位于何位置时，梁的最大剪力值最大，并确定该剪力之值。 解：1.求支反力 题 5-8 图 由图 5-8(a)所示小车位置，可求得两端的支反力，其值分别为 F F (2l 2 d )，F F (2 d ) 0 (l d ) Ay l By l 5 2画剪力、弯矩图 根据支反力及梁上小车
6、压力，画剪力、弯矩图如图(b)和(c) 所示。 3确定最大弯矩值及小车位置 由 M 图可以看出最大弯矩必在 F 作用处。 求左轮处之 M 1 ， 并求其极值， 即可得到 M max 。 M 1 () FAy 由 F (2l d ) 2 2 l 0 (l d ) (a) dM 1 () 0 d 得 此即左轮处 M 1 达最大值的左轮位置。 2l d 4 (b) 将式(b)代入式(a)，得弯矩的最大值为 F 2 M max (2l d ) 8l (c) 由对称性可知，当 (2l 3d ) / 4 时，右轮处的 M 2 达到最大，其值同式(c) 。 4确定最大剪力值及小车位置 由剪力图不难判断，最大
7、剪力只可能出现在左段或右段，其剪力方程依次为 F Fs1 FAy (2l 2 d ) l 0 (l d ) Fs 2 FBy F (2 d ) l 0 (l d ) 6 二者都是 的一次函数，容易判断，当 0 或 (l d ) 时，即小车无限移近梁的左端或 右端时，梁支座内侧截面 A+ 或 B- 出现最大剪力，其绝对值为 Fs max F (2l d ) l (d) 5-9 图示各梁，承受分布载荷作用。试建立梁的剪力、弯矩方程，并画剪力、弯矩图。 (a)解：1.建立剪力、弯矩方程 题 5-9 图 设截面 x 处的载荷集度为 q( x) ，由图 5-9(a,1)可知， q q( x) 0 x l
8、 由图(2) 可得，剪力与弯矩方程分别为 7 2 1 F q( x) x q0 x (0 x l ) (a) s 2 2l x x q x3 M q( x) 2 3 0 6l (0 x l ) (b) 2画剪力、弯矩图 由式(a) 和(b) 可知，二者均为简单的幂函数，其函数图依次为二次下凹曲线及三次下凹 曲线。 算出 A、B 两端的 Fs、M 值，并考虑到上述曲线形状，即可绘出 Fs、M 图，如图（3） 和（4）所示。 (b)解：1.求支反力 由梁的对称条件可知， F F 1 q l () 2建立剪力、弯矩方程 Ay By 4 0 设截面 x1 处的载荷集度为 q( x1 ) ，由图 5-9
9、(b,1)可知， q( x1 ) 2q0 x l 1 l (0 x1 ) 2 由此可得，左半段梁的剪力与弯矩方程分别为 F F q( x ) x q l q x 2 1 1 0 0 1 (0 x l ) (c) s Ay 2 4 l x x q l 1 2 q x 3 l M FAy x1 q( x1 ) 1 1 0 x1 0 1 (0 x ) (d) 2 3 4 3l 2 根据问题的对称性（对于 Fs ，是反对称的） ，可写出右半段梁的剪力与弯矩方程如下： 8 2 F q0l q0 x2 (0 x l ) (e) s 4 l 2 2 3 3画剪力、弯矩图 M q0l x 4 2 q0 x2
10、3l (0 x2 l ) 2 (f) 依据式(c)和(e)可绘剪力图，如图(2)所示；依据式(d)和(f)可绘弯矩图，如图(3)所示。 (c)解：1求支反力 由 M B 0 和 Fy 0 可得 FAy 7ql 24 ()，FBy 11ql 24 () 2建立剪力、弯矩方程 坐标如图 5-9(c,1)所示，由截面法可得剪力、弯矩方程分别为 F F q( x ) x 7ql qx 2 1 1 1 (0 x l ) (e) s1 Fs2 Ay FBy 2 qx2 24 l 11ql qx 24 2 3 1 (0 x2 2 l ) 2 (f) M F x q( x ) x1 x1 7ql x qx1
11、(0 x l ) (g) 1 Ay 1 1 2 3 24 1 3l 1 2 M F x q x2 11ql x q x2 (0 x l ) (h) 2 By 2 2 2 24 2 2 2 2 2 3画剪力、弯矩图 依据式（e） 、(f) 可绘剪力图，如图(2) 所示；依据式(g) 、(h) 可绘弯矩图，如图(3) 所示。 9 2 qx 11l 注意在 x 处有 F 0 ， M 有极大值，其值为 2 24 s2 2 M 2 max M max 121 ql 2 1152 (d)解：1建立剪力、弯矩方程 坐标如图 5-9(d，1)所示，由截面法易得剪力、弯矩方程分别为 q( x ) x qx 2
12、F 1 1 1 (0 x l ) ( i ) s1 ql Fs2 2 l qx2 1 2 l (0 x2 ) ( j) M1 M q 2 2 4 3 1 3l x 2 ql ( l 4 6 x2 ) 2 l (0 x1 2 ) l (0 x2 2 ) (k) ( l ) 2画剪力、弯矩图 依据式(i) 、(j) 可绘剪力图，如图(2) 所示；依据式(k) 、(l ) 可绘弯矩图，如图(3)所示。 注意在 x2 l / 4 处有 Fs2 0 ，此处 M 2 有极值，其绝对值为 M 2 max 7ql 2 96 5-10 在图示梁上，作用有集度为 m = m (x)的分布力偶。试建立力偶矩集度、剪
13、力 与弯矩间的微分关系。 10 题 5-10 图 解：在 x 处取 dx 微段，画其受力图，如图 5-10 所示。 根据图示，由 得 M C 0，M dM M Fs dx m(x)dx 0 dM Fs dx m(x)dx 或写成 其中 C 系指微段右端截面的形心。 又由 dM Fs m dx (a) Fy 得 0，Fs dFs Fs 0 dFs 0 或写成 dFs 0 dx (b) 式(a)和(b)即为本题要求建立的微分关系。 5-11 对于图示杆件，试建立载荷集度（轴向载荷集度 q 或扭力矩集度 m）与相应内 力（轴力或扭矩）间的微分关系。 11 题 5-11 图 解：在 x 处取 dx 微
14、段，画其受力图，如图 5-11(a)和(b)所示。 根据图(a) ，由 得 Fx 0，FN dF N q( x)dx F N 0 dF N q( x)dx 0 或写成 根据图(b)，由 dF N dx q (a) M x 0，T dT m( x)dx T 0 得 dT m( x)dx 0 或写成 dT m dx (b) 5-13 图示杆件，承受平行于杆轴方向的均布载荷 q 作用。试画杆的内力图，并利 用相应载荷与内力间的微分关系检查内力图的正确性。 12 题 5-13 图 (a)解: 坐标自左端向右取， 内力 FN 0，Fs 0 ， 故内力图只剩下 M 图了， 如图 5-13(a) 所示。 此
15、种受力情况，相当于梁上承受集度为 m qh 的分布力偶的情况，利用微分关系（见题 5-10 式(a)） 。 dM Fs m dx 可以检查 M 图的正确性。这里， Fs 0，m qh 为正的常值，表明 M 图应为上倾斜直线。 图中正是这种斜直线，说明所画 M 图是正确的。 (b)解：坐标自左端向右取，剪力、弯矩图及轴力图依次示于图 5-13(b) 的(1)、(2)和(3)。 此种受力情况，相当于杆上作用有载荷集度为 q 的均布轴向载荷和集度为 m qh / 2 的 13 均布力偶。 y 方向无分布载荷作用，即 q y 0 ，利用微分关系 dFs dx q y 0 检查 Fs 图，斜率为 0，应
16、为水平直线，这是对的。 利用微分关系 dM qh / 2 Fs m dx 3qh / 2 （左半段） （右半段） 检查 M 图，左半段为正常数，应为上倾斜直线，对的；右半段为负常数，应为下倾斜直线， 且斜率是左边的三倍，也是对的。 利用微分关系 dFN dx q 检查 FN 图，斜率为负常数，应为下倾斜直线，所绘 FN 图是对的。 5-14 试画图示刚架的内力图。 14 解：内力图示如图 5-14。 题 5-14 图 5-15 试画图示刚架的弯矩图。 15 解：刚架的弯矩图示如图 5-15。 题 5-15 图 5-16 图 a 所示曲杆 AB，B 端固定，A 端承受集中载荷 F。杆的轴线为四分
17、之一圆 弧，半径为 R，横截面的位置用极角 表示，其受力如图 b 所示。试计算截面 的内力，并 求杆内的最大弯矩。 题 5-16 图 解：参看题图(b) ，杆段 AC 的平衡方程为 16 R R Fn 0，Fs Fcos 0 M C 0，M FRsin 0 Ft 0，FN Fsin 0 由此得到剪力、弯矩及轴力方程依次为 Fs FcosM FRsinFN Fsin(a) (b) (c) 此即截面 的内力。 由式(b)不难判断，最大弯矩发生在固定端截面 B ，其值为 M max FR 5-19 图示带传动装置，胶带的横截面为梯形，截面形心至上、下边缘的距离分别为 y1 与 y2，材料的弹性模量为
18、 E。试求胶带内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。 题 5-19 图 解：由题图可见，胶带中性层的最小曲率半径为 min R1 依据 Ey 可得胶带内的最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力分别为 Ey1 t, max 1 和 Ey2 c, max 1 5-23 图示直径为 d 的圆木，现需从中切取一矩形截面梁。试问： (1) 如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高，h 和 b 应分别为何值； (2) 如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高，h 和 b 又应分别为何值。 17 2 3 3 2 2 题 5-23 图 解：(1) 为使弯曲强度最高，应使Wz 取最大值。 由 W bh z 6 得 b (d 2 b 2 )
19、6 由此可得 dWz db 1 (d 2 3b 2 ) 0 6 b 3 d，h 3 d 2 b 2 6 d 3 (2) 为使弯曲刚度最高，应使 I z 取最大值。 由 I bh h d 2 h 2 z 12 12 得 dI z 3h (d h 2 ) h 4 0 由此得 dh 12 d 2 h 2 h 3 d，b 2 d 2 h 2 d 2 5-25 图示变截面梁，自由端承受载荷 F 作用，梁的尺寸 l，b 与 h 均为已知。试计 算梁内的最大弯曲正应力。 18 2 解：1.求截面 x 处的抗弯截面系数 由于 x 处的截面高度为 题 5-25 图 h( x) 2 3h x 2h x 3l l
20、故有 W ( x) b h 2 ( x) 2bh x 2 z 6 2求截面 x 处的最大弯曲正应力 截面 x 处的弯矩为 3l 2 该截面上的最大弯曲正应力为 M ( x) F ( x l ) 2 M x Fl 2 l ( x) ( ) 3 ( x ) 3计算梁内的最大弯曲正应力 由 Wz ( x) 2bh2 x 2 2 d ( x) 0 dx 得 1 2 ( x l ) 1 (l x) 0 故梁内的最大弯曲正应力为 x 2 x3 x l 2 x3 3Fl max 4bh 2 5-26 图示截面梁，由18 工字钢制成，截面上的弯矩 M = 20kNm，材料的弹性 模量 E = 200GPa，泊
21、松比 = 0.29。试求截面顶边 AB 与上半腹板 CD 的长度改变量。 19 z W 3 AB 解：1.查18 工字钢的有关数据 题 5-26 图 工字钢截面大致形状及尺寸符号示如图 5-26。 由附录 F 表 4 查得 h 180mm，b 94mm t 10.7mm，I z 2计算顶边 AB 的长度改变量 顶边处有 1660cm4，W 185cm3 M max z 由此可得 AB 边的伸长量为 max E b bM 0.29 0.094 20 10 m EWz 200 109 185 10 6 1.474 10 5 m 0.01474mm 3计算上半腹板 CD 的长度改变量 20 I 1
22、z z 距中性轴 z 为 y1 的点，弯曲正应力的绝对值为 y My1 该处的横向应变为 ( 1 ) （这里， y1 以向上为正） z ( y ) My1 由此可得线段 CD 的伸长量为 EI z h1 dy M h1 y dy Mh2 1 CD 0 1 EI 0 1 3 1 2EI 2 0.29 20 10 0.0793 m 2 200 109 1660 108 5.49 10 6 m 0.00549mm 计算中用到 h1 h / 2 t 79.3mm。 5-29 图示矩形截面简支梁，承受矩为 Me=Fa 的集中力偶作用。试绘单元体 ABCD 的应力分布图（注明应力大小） ，并说明该单元体是
23、如何平衡的。截面的宽度为 b，高度为 h。 解：1.画剪力、弯矩图 题 5-29 图 左、右支座的支反力大小均为 F / 3 ，方向是左向上、右向下。据此可画 Fs、M 图，示 如图 5-29(a) 、(b)。 21 2求单元体两端面上的应力及其合力 单元体两端面及纵截面上的应力分布情况示如图(c) ，最大弯曲正应力和剪应力值分别为 1max M1 Wz 6Fa 3bh2 2Fa bh2 2 max M 2 Wz 4Fa bh2 3Fs2 F 1max 2 max 2A 2bh 由切应力互等定理可知，纵截面上的切应力 x 与 2max 一样大。 左、右端面上弯曲正应力构成的轴向合力分别为 F
24、1 ( bh ) Fa x1 2 1max 2 2h F 1 ( bh ) Fa x 2 2 2max 2 h 左、右端面上弯曲切应力构成的竖向合力大小相等，其值为 1 Fy1 Fy 2 F 6 顺便指出，纵截面上弯曲切应力构成的轴向合力为 Fsx x (ab) Fa 2h 3检查单元体的平衡方程是否满足 22 3 3 z 3 Fa Fx 0，Fx 2 Fx1 Fsx h F F Fa Fa 0 2h 2h Fy 0，Fy1 Fy 2 0 6 6 M Z 1 0，Fx 2 h h 3 Fx1 3 Fy 2 a Fa Fa Fa 0 3 6 6 由此可见，单元体的全部平衡方程均能满足（另三个平衡
25、方程是恒等满足，无需写出） 。 5-30 梁截面如图所示，剪力 F s = 200kN，并位于 x-y 平面内。试计算腹板上的最大 弯曲切应力，以及腹板与翼缘（或盖板）交界处的弯曲切应力。 (a)解：首先，确定截面形心位置 题 5-30 图 y 0.020 0.100 0.010 0.120 0.010 2 0.080 m C 0.020 0.100 0.120 0.020 0.04818m 其次，计算惯性矩和截面静矩 (C到顶边之距) I 0.100 0.020 z 12 0.100 0.020 0.038182 2 0.010 0.120 12 S z ,max 2 0.010 0.120
26、 0.03182 2 m 4 8.292 10 6 m 4 0.09182 0.020 0.09182 m 3 8.431 10 5 m 3 2 S 0.100 0.020 0.03818m 3 7.636 10 5 m 3 最后，计算弯曲切应力。腹板上的最大弯曲切应力为 F S s z , max 200 10 8.431 105 N 1.017 108 Pa 101.7MPa max I z 8.292 10 6 0.020m2 腹板与翼缘交界处的弯曲切应力为 23 3 z 3 3 3 3 3 Fs S z 200 10 7.636 10 5 N 9.21 107 Pa 92.1MPa 交
27、界 I 8.292 10 6 0.020m 2 (b)解：首先，确定截面形心位置（采用负面积法） y 0.110 0.150 0.075 (0.110 0.020) 0.100 0.070 m C 0.110 0.150 (0.110 0.020) 0.100 0.081m (C到顶边之距） 其次，计算惯性矩和截面静矩（算 I z 时也采用负面积法） I 0.110 0.150 z 12 0.110 0.150 (0.081 0.075) 2 0.090 0.100 12 0.090 0.100 (0.081 0.070) 2 m 4 2.294 10 5 m 4 S 0.030 0.110
28、(0.069 0.015) 0.020 (0.069 0.030) 2 1 m 3 z ,max 2 1.934 10 4 m 3 S z上 S z下 0.020 0.110 (0.081 0.010)m 3 1.562 10 4 m 3 0.030 0.110 (0.069 0.015)m3 1.782 10 4 m 3 最后，计算弯曲切应力。腹板上的最大弯曲切应力为 F S s z , max 200 10 1.934 104 N 8.43 107 Pa 84.3MPa max I z 2.294 10 5 0.020m2 腹板与上盖板交界处的弯曲切应力为 Fs Sz上 200 10 1.
29、562 104 N 6.81 107 Pa 68.1MPa 交界上 I z 2.294 10 5 0.020m2 腹板与下盖板交界处的弯曲切应力为 F S s z下 200 10 1.782 10 4 N 7.77 107 Pa 77.7MPa 交界下 I z 2.294 10 5 0.020m 2 5-33 图示铸铁梁，载荷 F 可沿梁 AC 水平移动，其活动范围为 0 3l / 2。试确 定载荷 F 的许用值。已知许用拉应力 t =35MPa，许用压应力 c =140MPa, l=1m。 24 M M 3 3 6 题 5-33 图 解：1.确定截面的形心位置及对形心轴 z 的惯性矩 由图
30、5-33 可得 y ( 0.100 0.020 0.010 0.080 0.020 0.060 )m 0.03222m C 0.100 0.020 0.080 0.020 I 0.100 0.020 z 12 0.100 0.020 0.02222 2 0.020 0.080 12 0.020 0.080 (0.060 0.03222) 2 m 4 3.142 10 6 m 4 2确定危险面的弯矩值 分析可知，可能的危险面有两个： 当 F 作用在 AB 段时，危险位置是 当 F 作用在 BC 段时，危险位置是 l ，M 2 max Fl 4 3l ， M Fl 2 3确定载荷 F 的许用值 由
31、危险面 B 的压应力强度要求 max 2 c, max 得 max I z (0.100 yC ) Fl 2I z (0.100 yC ) c F 2I z c 2 3.142 10 140 106 N 1.298 104 N 12.98kN l(0.100 yC ) 1.000 (0.100 0.03222) 由截面 B 的拉应力强度要求 t, max 得 max I z yC Fl 2I z yC t 25 max M 1 6 6 F 2I z t 2 3.142 10 35 106 N 6.83 103 N 6.83kN lyC 1.000 0.03222 由 M 作用面的拉应力强度要求
32、 t, max 得 max I z (0.100 yC ) Fl 4I z (0.100 yC ) t F 4I z t 4 3.142 10 35 106 N 6.49 103 N 6.49kN l(0.100 yC ) 1.000 (0.100 0.03222) 该面上的最大压应力作用点并不危险，无需考虑。 比较以上各结果，最后确定取载荷的许用值为F 6.49kN 。 5-34 图示矩形截面阶梯梁，承受均布载荷 q 作用。为使梁的重量最轻，试确定 l1 与截面高度 h1 和 h2。已知截面宽度为 b，许用应力为 。 解：1.求最大弯矩 左段最大弯矩的绝对值为 题 5-34 图 ql 2 右
33、段最大弯矩的绝对值为 M 1 max 2 ql 2 M 1 2 max 2 2求截面高度 h1 和 h2 由根部截面弯曲正应力强度要求 M1 max 6ql 2 1max 得 Wz1 2bh2 26 2 2 h1 3ql 2 l b 3q b (a) 由右段危险截面的弯曲正应力强度要求 M 2 max 6ql1 2 max 得 Wz 2 2bh2 h l 3q (b) 2 1 b 3确定 l1 该梁的总体积为 V V V bh (l l ) bh l b 3q l(l l ) l 2 1 2 1 1 2 1 b 1 1 由 dV dl1 得 0， 2l1 l 0 l l 最后，将式(c) 代入
34、式(b) ，得 1 2 h l 3q 2 2 b 为使该梁重量最轻（也就是V 最小） ，最后取 l l ，h 2h l 3q 1 2 1 2 b 5-35 图示简支梁，由四块尺寸相同的木板胶接而成，试校核其强度。已知载荷 F = 4kN，梁跨度 l= 400mm，截面宽度 b = 50mm，高度 h = 80mm，木板的许用应力 =7MPa， 胶缝的许用切应力 =5MPa。 题 5-35 图 27 解：1.画剪力、弯矩图 该梁的剪力、弯矩图如图 5-35 所示。由图可知，最大剪力（绝对值）和最大弯矩分别为 Fs max 2 F，M max 3 2 Fl 9 2校核木板的弯曲正应力强度 M 6
35、2Fl 4 4 103 0.400N max max Wz 9bh2 3 0.050 0.0802 m2 6.67 106 Pa 6.67MPa 3校核胶缝的切应力强度 max 3 Fs max 2 A 3 2F 3 2bh 4 103 N 0.050 0.080m2 1.000 106 Pa 1.000MPa 结论：该胶合木板简支梁符合强度要求。 5-37 图示四轮吊车起重机的导轨为两根工字形截面梁，设吊车自重 W = 50kN，最 大起重量 F = 10kN，许用应用 =160MPa，许用切应力 = 80MPa。试选择工字钢型号。 由于梁较长，需考虑梁自重的影响。 提示：首先按载荷 W 与
36、 F 选择工字钢型号，然后根据载荷 W 与 F 以及工字钢的自重校 核梁的强度，并根据需要进一步修改设计。 题 5-37 图 28 解：1.求最大弯矩 设左、右轮给梁的压力分别为 F1和F2 ，不难求得 F1 10kN，F2 50kN 由图 5-37(a)所示梁的受力图及坐标，可得支反力 F 1 F (l x) F (l x 2) 50 6x (0 x 8) Ay l 1 2 F 1 F x F ( x 2) 6x 10 (0 x 8) By l 1 2 该梁的剪力、弯矩图示如图(b) 和(c) 。图中， M C FAy x (50 6x) x M D FBy (l x 2) (6x 10)(
37、8 x) (0 x 8) (0 x 8) 由 得极值位置依次为 dM C dx 0， dM D 0 dx x 25 m，x 19 m 6 6 两个弯矩极值依次为 M Cmax 和 (50 25) 25 kN m 104.2kN m 6 29 z z 2 M Dmax (19 10)(8 19 )kN m 140.2kN m 6 比较可知，单梁的最大弯矩值为 M 2初选工字钢型号 max 1 M 2 Dmax 70.1kN m 先不计梁的自重，由弯曲正应力强度要求 max 得 M max Wz W M max z 70.1 103 m3 160 106 4.38 10 4 m3 438cm3 由
38、附录 F 表 4 初选28a 工字钢，有关数据为 W 508cm 3，q 43.492kg/m， 8.5mm，I / S z 24.6cm 3检查和修改 考虑梁自重的影响，检查弯曲正应力强度是否满足。 梁中点处弯矩增量为 ql 43.492 9.81 10 2 N m 5.33 103 N m M max 8 8 上面分析的最大弯矩作用面在跨中以右 0.167m 处， 二者相距很近， 检查正应力强度时可 将二者加在一起计算（计算的 max 比真实的略大一点，偏于安全） ，即 M M (70.1 103 5.33 103 )N max max max Wz 508 10 6 m2 (1.380
39、108 1.049 107 )Pa 148.5MPa 最后，再检查弯曲切应力强度是否满足。 F 1 (6 8 10) 1 43.492 9.81 10 3 10kN 31.13kN s, max 2 F 2 31.13 103 N max s, max ( I z ) Sz 24.6 10 2 8.5 10 3 m 2 1.489 107 Pa 14.89MPa 结论：检查的结果表明，考虑梁自重影响后，弯曲正应力和切应力强度均能满足要求， 故无需修改设计，最后选择的工字钢型号为28a。 5-39 图示简支梁，由两根50b 工字钢经铆钉连接而成，铆钉的直径 d = 23mm， 许用切应力 =90
40、MPa，梁的许用应力 =160MPa。试确定梁的许用载荷q及铆钉的相应 30 z 1 2 3 间距 e。 提示：按最大剪力确定间距。 解：1.计算组合截面的 I z 和 S z 图 5-39 图 由附录 F 表 4 查得50b 工字钢的有关数据为 h 500mm，A 129.304cm 2，I 1 形成组合截面后，有 48600cm 4 I z 2I z 2( Ah 4 ) 2 4.86 10 4 1 1.29304 10 2 0.500 2 m 4 2 2.5883 10 3 m 4 S A h 1 1.29304 10 2 0.500m 3 3.2326 10 3 m 3 z 2 2 2由
41、弯曲正应力强度要求计算q M max ql 2 8 M h ql 2 h 由此可得 max max I z 8I z q 8I z 8 2.5883 10 160 106 N 5.01 104 N/m 50.1N/mm l 2 h 梁的许用载荷为 11.52 0.500m q 50.1N/mm 3求铆钉间距 e 由铆钉的切应力强度要求来计算 e 。 由对称条件可得 F 1 ql 1 5.01 10 4 11.5N 2.881 105 N 288.1kN s,max 2 2 按最大剪力计算两工字钢交界面上单位长度上的剪力（剪流 q ） ，其值为 31 3 z 2 W W F S q s,max
42、z 288.1 10 3.2326 10 3 N 3.598 105 N I 2.5883 10 3 m m 间距长度内的剪力为 q e ，它实际上是靠一对铆钉的受剪面来承担的，即 q e 2 A 2 d d 2 由此得梁长方向铆钉的间距为 1 4 2 2 2 6 e d 0.023 90 10 m 0.208m 208mm 2q 2 3.598 105 5-42 图示悬臂梁，承受载荷 F1 与 F2 作用，已知 F1=800N，F2=1.6kN，l=1m，许 用应力 =160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸： (1) 截面为矩形，h = 2b； (2) 截面为圆形。 解：(1) 矩形截面
43、 题 5-42 图 危险截面在悬臂梁根部，危险点为截面左上角点（拉应力）和右下角点（压应力） 。由弯 曲正应力强度条件 F2l F1 (2l ) 6F2l 6 (2F1l ) max z y bh2 hb2 3l 2b3 得 (F2 4F1 ) b 3 3l(F2 4F1 ) 3 3 1.000 (1.6 103 4 800) m 0.0356m 35.6mm 2 最后确定 h 2b 71.2mm 。 (2)圆形截面 危险截面的合弯矩为 2 160 106 2 2 2 2 M max 由弯曲正应力强度条件 M y M z (2F1l) (F2 l) 32 max 得 32M max d 3 d
44、 3 32M max 3 32 (2 800 1)2 (1.6 103 1)2 m 0.0524m 52.4mm 最后确定 d 52.4mm 。 160 106 5-44 图示简支梁， 在两个纵向对称面内分别承受集中载荷作用。 试求梁内的最大弯 曲正应力。 解：1.求支反力 由图 5-44(a) 可得支反力为 2 F1 y 3 题 5-44 图 (3F ) 2F，F2 y 1 (3F ) F 3 方向如图(a) 所示。 F1z 1 F，F2 z 3 2 F 3 2画弯矩图，并分析危险面位置 弯矩图示如图(b) 。由该图不难判断： 33 在 AC 段， M y、M z 均为 x 的正比函数，截面
45、 C 最危险； 在 BD 段，与 AC 段的情况类似，截面 D 最危险； 在 CD 段，M z 是线性减函数，M y 是线性增函数， 求 max 时分母上均为常数 （W y 或Wz ） ， 由此知 max 必是 x 的线性函数，其最大值必在该段端点处，不在截面 C ，就在截面 D 。 3计算该梁内的最大弯曲正应力 由以上分析可知，只需计算两个截面的 max 即可。 M y C ,max W y M z Wz 6Fl 3hb 2 6 2Fl bh 2 4Fl b 3 M y D ,max W y M z Wz 6 2Fl 3hb 2 6Fl bh 2 7 Fl 2b 3 比较可知，该梁内的最大弯
46、曲正应力在截面 C 处，其值为 4Fl max b3 5-47 图示简支梁，跨度中点承受集中载荷 F 作用。若横截面的宽度 b 保持不变， 试根据等强度观点确定截面高度 h(x)的变化规律。许用应力 与许用切应力 均为已知。 题 5-47 图 解：1.求 h( x) 由等强度观点可知， M ( x) F x 2 max M ( x) W ( x) 6Fx 2bh2 ( x) 由此可得 h( x) 3Fx b (0 x l / 2) (a) 梁的右半段与左边对称。 2求两端的截面高度 34 由式(a)可知，在 x 0 处， h(0) 0 ，这显然是不合理的，弯曲切应力强度要求得不到 满足，故需作
47、局部修正。由 max 3F s,max 2 A 3F 4bh(0) 得梁左端的截面高度为 h(0) 3F 4b (b) 这是满足剪切强度要求的最小截面高度，梁的右端亦同此值。 3确定 h(x)的变化规律 设可取截面高度为 h(0)的最大长度为 x1，为了同时满足正应力和切应力强度要求，应取 3Fx1 b h(0) 3F 4b 由此得 x1 3F 16b 2 最终确定截面高度 h(x)的变化规律为： 在区间 (0 x x1 ) 内 h( x) 3F 4b 在区间 ( x1 x l / 2) 内 梁的右半段与左边对称。 h( x) 3Fx b 5-49 图示板件，受拉力 F = 150kN 作用。
48、试绘横截面 A-A 上的正应力分布图，并 计算最大与最小正应力。 解：1.计算截面 A A 的有关几何量 截面的形心位置为 题 5-49 图 y 0.020 0.120 0.060 0.020 0.024 0.080 m 0.055m 55mm C 0.020 0.120 0.020 0.024 载荷偏心距为 35 -3 3 3 2 z 2 z e (60 55)mm 5mm 截面对形心轴 z 的惯性距为 I 0.020 0.120 z 12 0.020 0.120 0.0052 0.020 0.024 12 0.020 0.024 (0.080 0.055) 2 m 4 2.617 10 6
49、 m 4 截面面积为 A 0.020 (0.120 0.024)m 2 1.920 10 3 m 2 2计算正应力并画其分布图 由以上分析可知，截面 A - A 上有 FN 150kN，M 故有 150 103 0.005N m 7.5 10 2 N m FN My1 ( 150 103 7.5 10 0.065 ) N max A I 1.920 10 3 2.617 10 6 m 2 9.68 107 Pa 96.8MPa FN My2 ( 150 103 7.5 10 0.055 ) N min A I 1.920 10 3 2.617 10 6 m2 6.24 107 Pa 62.4M
50、Pa 据此可画正应力分布图，如图 5-49 所示。 5-50 图示矩形截面钢杆， 用应变片测得上、 下表面的纵向正应变分别为a =1.010 与b =0.410 -3，材料的弹性模量 E = 210GPa。试绘横截面上的正应力分布图，并求拉力 F 及其偏心距 e 的数值。 36 z 解：1.求 a 和 b 题 5-50 图 截面的上、下边缘处均处于单向受力状态，故有 a Ea b Eb 210 109 1.0 10 3 Pa 210MPa 210 109 0.4 10 3 Pa 84MPa 偏心拉伸问题，正应力沿截面高度线性变化，据此即可绘出横截面上的正应力分布图， 如图 5-50 所示。 2
51、求 F 和 e 将 F 平移至杆轴线，得 FN F，M Fe 由方程 F Fe a A Wz Ea (a) F Fe E (b) b A W b 联立求解，可得 F 和 e 的值。代入数据后，方程(a) 、(b)成为 F 240Fe 26250 F 240Fe 10500 (a)(b)由此解得 F 18375N 18.38kN，e 1.786 10 3 m 1.786mm 5-52 图示结构，承受集中载荷 F 作用，试校核横梁的强度。已知载荷 F = 12kN， 横梁用14 工字钢制成，许用应力 =160MPa。 37 解：1.横梁外力分析 题 5-52 图 横梁受力示如图 5-52(a)，由
52、平衡方程 M A 0、 Fx 0 和 Fy 0 依次求得 FB 30.9kN，FAx 21.8kN，FAy 9.82kN 2横梁内力分析 将 FB 分解为 FBx 和 FBy ， 并将 FBx 平移至梁轴线， 由此即可画横梁的内力图，M 图和 FN 图分别示如图(b) 和(c) 。 3横梁强度校核 由内力图不难判断，危险面可能是横截面 B 或B 。 对于 B 面，其最大正应力为 38 max (a) z 3 W F M NB BA Wz 由附录 F 表 4 查得，14 工字钢的 A 21.516cm 2，W 式(a)，可得 102cm3 。将有关数据代入 ( 21.8 103 9.82 10
53、) N 1.064 108 Pa 106.4MPa max1 21.516 10 4 102 10 6 m2 对于 B 面，其最大弯曲正应力为 M B 12 103 N 1.176 108 Pa 117.6MPa max2 z 102 10 6 m2 比较可知，最大正应力发生在 B 截面上、下边缘处，其值为 max 117.6MPa 可见，横梁的强度是足够的。 5-54 图示直径为 d 的圆截面铸铁杆，承受偏心距为 e 的载荷 F 作用。试证明：当 e d / 8 时，横截面上不存在拉应力，即截面核心为 R = d/8 的圆形区域。 题 5-54 图 证明：此为偏心压缩问题。载荷偏心产生的弯矩
54、为 M Fe 受拉区的最大拉应力为 M F t,max W A (a) 横截面上不存在拉应力的条件，要求式(a) 小于或等于零，即要求 32Fe 4F 由此得 d 3 d 2 e d 8 5-56 在图示立柱的顶部，作用一偏心载荷 F = 250kN。若许用应力 =125MPa， 试求偏心距 a 的许用值。 39 z I 解：1.确定内力 题 5-56 图 FN 250kN，M y Fa 2.50 10 5 a (N m) M 0.050F 0.050 250 103 N m 1.25 10 4 N m 2计算 I z、I y 及 A I z ( 0.100 0.1203 12 3 0.080
55、 0.0803 12 )m 4 1.099 10 5 m 4 3 I ( 0.020 0.100 y 12 2 0.080 0.020 12 )m 4 3.39 10 6 m 4 A (0.100 0.020 2 0.080 0.020)m 2 5.60 10 3 m 2 3求 a 的许用值 由正应力强度要求 M z y M y z F c, max z I y A 4 5 3 (1.25 10 ) 0.060 (2.50 10 a) 0.050 250 10 ( N ) 1.099 10 5 3.39 10 6 5.60 10 3 m2 112.88 3.69 103 a 106 (Pa) 125 106 Pa 得偏心距的许用值为 a 3.28 10 3 m 3.28mm
