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1、第二章 随机变量及其分布 教学要求1.了解随机变量及其概率分布的概念。2.了解随机变量分布函数的概念，掌握分布函数的性质，会计算与随机变量有关的事件的概率。3.了解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布，二项分布，几何分布，泊松分布及其运用。4.了解延续型随机变量及其概率密度的概念，掌握密度函数的性质，掌握均匀分布，指数分布，正态分布及其运用。5.会求简单的随机变量函数的分布。例1. 填空题：1同时抛掷三枚硬币，以 X 表示出现正面的个数，那么 X 的概率分布为_2设3设 X 的概率分布为 4设X0123P1/83/83/81/85设 X 的概率密度为用 Y 表示对 X 的三次独立反
2、复察看中事件 出现的次数，那么6设 X 的分布为 X-4-1024P7/20a2a1/203/20那么 Y = 3X-1-13-4-1511P7/203/206/201/203/206设 X 的分布为12517P6/203/201/2010/20例2 选择题：1以下函数中，哪个是 X 的分布函数A B C D2设 X 的分布律为A ； B ； C ； 3知 X 的分布函数为 那么常数 k 和 b 分别为A B C DD . 4设 X 的概率分布为 ，那么随着 的增大，概率 5设 ，概率密度为 ，那么以下等式正确的选项是A单调增大； B单调减少； C增减性不定； D坚持不变。 A ； B ； C
3、 ； D 6设 X 的概率分布为 AN (1 , 4) BN (0 , 1) CN (1 , 1) DN (1 , 2)例3 设实验胜利的概率为 ，失败的概率为 ，独立反复实验直到1成功两次为止；2胜利三次为止，分别求所需实验次数的概率分布。解：解： 1 1设设 X X 表示直到胜利两次为止的所需实验次数表示直到胜利两次为止的所需实验次数 X X 的能够取值为的能够取值为2 , 3 , 4 .2 , 3 , 4 .2设 Y 表示直到胜利三次为止所需实验次数，那么 Y 能够取值为3 , 4 , 5 . 例4 一批产品由9个正品3个次品组成，从这批产品中每次任取一个，取后不放回，直到取到正品为止，
4、由 X 表示取到的次品个数，写出 X 的概率分布及分布函数。解：解： X X 一切能够取值为一切能够取值为0 , 1 , 2 , 3 .0 , 1 , 2 , 3 .故 X 的分布律为：X0123P3/49/449/2201/220当当当 当当例5 设 X 的概率密度为解：解： 1 1由由 的性质，有的性质，有求1系数 k ；2X 的分布函数；3当 ，当 ，当3 例6 设 X 的概率密度为解：解： 设设 Y Y 的分布函数为的分布函数为 ；密度为；密度为求 的概率密度。当当当 故例7 知 X 的概率密度为且 ，求1常数 a , b 的值；2 解：解： 1 1由由得到 再由联立解得：2例8 在电
5、源电压不超越200V，在200V 240V之间和超越240V这三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为 0.1 ，0.001 ，0.2 ，假设电源电压服从正态分布 ，求：1该电子元件损坏的概率 ；2该电子元件损坏时，电源电压在200V 240V之间的概率 。解：解： 设 A A 表示表示“电子元件子元件损坏，坏， 分分别表示表示“电压不超越不超越200V 200V ，“电压在在200V 240V 200V 240V 之之间和和“电压超越超越240V 240V 。由1由全概率公式，得 2根据贝叶斯公式，有 例9 公共汽车门的高度是按男子与车门顶不碰头的概率在0.01以下设计的。设男子身高 ，问车门高度为多少？解：解： 设车门高度为设车门高度为 h h ，按设计要求，按设计要求求：随机变量例10 知 X 的概率密度为解：解： 当当 当当两端同时对 y 求导，得 所以 例11 设 X 在 (0,1) 服从均匀分布，求12 的概率密度。解：解： 由题设知由题设知1当 当 当故2当 当 例12 设 X N (0,1)，试求12解：解： X X 的概率密度为的概率密度为1当 当故另外根据公式，2当 当故
