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1、（新）20XX 年中考数学一轮专题 10 二次根式复习精讲+典型热考题型测试（解析版） 1 专题 10 二次根式 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 二次根式的有关概念和性质 二次根式概念：一般地，我们把形如（ 0）的式子叫做二次根式， “”称为二次根号。 【注意】 1.二次根式，被开方数 a 可以是一个具体的数，也可以是代数式。 2.二次根式是一个非负数。 （新）20XX 年中考数学一轮专题 10 二次根式复习精讲+典型热考题型测试（解析版） 2 3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（ 0）就表示 a 的算术平方根。 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a0 时，有意义，是二
2、次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 二次根式的性质： 1含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。 2结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。 3当a0 时， 知识点二 二次根式的运算 二次根式的乘法法则: 【注意】 1、要注意这个条件，只有 a，b 都是非负数时法则成立。 : 3、乘法交换律在二次根式中仍然适用。 以是一个具体的数也可以是代数式二次根式是一个非负数新年中考数学一轮专题二次根式复习精讲典型热考题型测试时有意义是二次根式所以要使二次根式有意义只要使被开方数大于或等于零即可二次根式的性质含有两种相同的运算乘法法则注意要注意这个条件只有都是非负数时
3、法则成立乘法交换律在二次根式中仍然适用新年中考数学一轮专题二（新）20XX 年中考数学一轮专题 10 二次根式复习精讲+典型热考题型测试（解析版） 3 二次根式的乘法法则变形（积的算术平方根） ： 化简二次根式的步骤（易错点）： 1. 把被开方数分解因式( 或因数) ； 2. 把各因式( 或因数) 积的算术平方根化为每个因式( 或因数) 的算术平方根的积； 3. 如果因式中有平方式( 或平方数) ，应用关系式( )2= （ 0）把这个因式( 或因数) 开出来，将二次根式化简。 二次根式的除法法则： 【注意】 1、要注意这个条件，因为 b=0 时，分母为 0，没有意义。 2、在实际解题时，若不考
4、虑 a、b 的正负性，直接得是错误的。 二次根式的除法法则变形（商的算术平方根） ： 二次根式的特点： 1. 被开方数不含分母，例： ； 2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例： 。 【二次根式运算中的注意事项】 一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。 二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。 （合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变） ，不能合并的直接抄下来。 二次根式比较大小： 1、若，则有； 2、若，则有 3、将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小。 二次根式混合运算顺序：先计算括号内
5、，再乘方（开方） ，再乘除，再加减。 以是一个具体的数也可以是代数式二次根式是一个非负数新年中考数学一轮专题二次根式复习精讲典型热考题型测试时有意义是二次根式所以要使二次根式有意义只要使被开方数大于或等于零即可二次根式的性质含有两种相同的运算乘法法则注意要注意这个条件只有都是非负数时法则成立乘法交换律在二次根式中仍然适用新年中考数学一轮专题二（新）20XX 年中考数学一轮专题 10 二次根式复习精讲+典型热考题型测试（解析版） 4 注意：运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。 【考查题型】 考查题型一 二次根式有意义的条件 【解题思路】次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义
6、典例 1 （2020 黑龙江大庆市 中考真题）函数2yx的自变量x的取值范围是（ ） A0x B0x C0x D12x 【答案】C 【分析】由二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，从而可得答案 【详解】解：由题意得：20,x 0,x 故选：.C 变式 1-1 （2020 内蒙古鄂尔多斯市 中考真题）二次根式中，x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【答案】D 【分析】 根据二次根式的性质，被开方数大于或等于 0，可以求出 x 的范围 【详解】解：根据题意得 3+x0 ，解得：x 3， 故 x的取值范围在数轴上表示正确的是故选：D 以是一个具体的数也可以是代数式二次根式是一
7、个非负数新年中考数学一轮专题二次根式复习精讲典型热考题型测试时有意义是二次根式所以要使二次根式有意义只要使被开方数大于或等于零即可二次根式的性质含有两种相同的运算乘法法则注意要注意这个条件只有都是非负数时法则成立乘法交换律在二次根式中仍然适用新年中考数学一轮专题二（新）20XX 年中考数学一轮专题 10 二次根式复习精讲+典型热考题型测试（解析版） 5 变式 1-2 （2020 山东菏泽市 中考真题）函数25xyx的自变量x的取值范围是（ ） A5x B2x 且5x C2x D2x 且5x 【答案】D 【分析】由分式与二次根式有意义的条件得函数自变量的取值范围 【详解】解：由题意得： 20,5
8、0xx 解得：2x 且5.x 故选 D 考查题型二 利用二次根式的性质化简 【解题思路】算术平方根为非负数 典例 2 （2020 四川攀枝花市 中考真题）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简222(1)(1)()abab的结果是（ ） A2 B0 C2a D2b 【答案】A 【分析】 根据实数 a 和 b在数轴上的位置得出其取值范围， 再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案 【详解】解：由数轴可知-2 a-1 ，1b2， a+10，b-1 0，a-b 0， 222(1)(1)()abab =11abab = 11abab =-2故选 A. 变式 2-1 （2016 山东潍坊市 中考真
9、题）实数 a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+2()ab的结果是( ) 以是一个具体的数也可以是代数式二次根式是一个非负数新年中考数学一轮专题二次根式复习精讲典型热考题型测试时有意义是二次根式所以要使二次根式有意义只要使被开方数大于或等于零即可二次根式的性质含有两种相同的运算乘法法则注意要注意这个条件只有都是非负数时法则成立乘法交换律在二次根式中仍然适用新年中考数学一轮专题二（新）20XX 年中考数学一轮专题 10 二次根式复习精讲+典型热考题型测试（解析版） 6 A2a-b B2ab Cb Db 【答案】A 【详解】由图可知：00ab， +0a b ， 2( + )2 aa ba
10、baab. 故选 A. 变式 2-2 （2018 浙江杭州市 中考真题）2( 2)化简的结果是（） A2 B2 C2 D4 【答案】B 【分析】先将括号内的数化简，再开根号，根据开方的结果为正数可得出答案 【详解】 2( 2)=4=2， 故选：B 变式 2-3 （2015 四川绵阳市 中考真题）若，则（ ） A-1 B1 C52015 D-52015 【答案】A 【解析】 由可得，解得，所以，故答案选 A. 考查题型三 二次根式的乘除运算 【解题思路】考查二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键 典例 3 （2020 山东聊城市 中考真题）计算3453 35的结果正确的是（ ） A1 B
11、53 C5 D9 【答案】A 【分析】利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果 以是一个具体的数也可以是代数式二次根式是一个非负数新年中考数学一轮专题二次根式复习精讲典型热考题型测试时有意义是二次根式所以要使二次根式有意义只要使被开方数大于或等于零即可二次根式的性质含有两种相同的运算乘法法则注意要注意这个条件只有都是非负数时法则成立乘法交换律在二次根式中仍然适用新年中考数学一轮专题二（新）20XX 年中考数学一轮专题 10 二次根式复习精讲+典型热考题型测试（解析版） 7 【详解】解：3453 35 345275 1345275 1， 故选：A 变式 3-1 （2020 江苏南通市 中考真题）下
12、列运算，结果正确的是（ ） A532 B323 2 BC623 D622 3 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算性质进行计算即可 【详解】 A5与3不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； B3 与2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； C62623 ，此选项错误； D623222 3，此选项计算正确； 故选：D 变式 3-2 （2020 广东广州市 中考真题）下列运算正确的是（ ） Aabab B236aaa C5630xxx D5210xx 【答案】D 【分析】根据二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，同底数幂的相乘，幂的乘方运算法则依次判断即可得到答案. 【详解】A、a与b不是
13、同类二次根式，不能进行加法运算，故该选项错误； 以是一个具体的数也可以是代数式二次根式是一个非负数新年中考数学一轮专题二次根式复习精讲典型热考题型测试时有意义是二次根式所以要使二次根式有意义只要使被开方数大于或等于零即可二次根式的性质含有两种相同的运算乘法法则注意要注意这个条件只有都是非负数时法则成立乘法交换律在二次根式中仍然适用新年中考数学一轮专题二（新）20XX 年中考数学一轮专题 10 二次根式复习精讲+典型热考题型测试（解析版） 8 B、236aaa，故该选项错误； C、5611xxx ，故该选项错误； D、5210xx，故该选项正确， 故选：D. 考查题型四 判断最简二次根式 【解题
14、思路】最简二次根式必须满足两个条件： 1被开方数不含分母； 2被开方数不含能开得尽方的因数或因式 典例 4 （2020 甘肃兰州市 中考真题）下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) A18 B13 C27 D12 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解 【详解】 A、183 2不是最简二次根式，错误； B、13是最简二次根式，正确； C、273 3不是最简二次根式，错误； D、122 3不是最简二次根式，错误， 故选 B 变式 4-1 （2020 山东济宁市 中考真题）下列各式是最简二次根式的是（ ） A13 B12 C2a D53 【答案】A 【分析】根据
15、最简二次根式的定义即可求出答案 【详解】解：A、13是最简二次根式，故选项正确； B、12=2 3，不是最简二次根式，故选项错误； C、2aa，不是最简二次根式，故选项错误； 以是一个具体的数也可以是代数式二次根式是一个非负数新年中考数学一轮专题二次根式复习精讲典型热考题型测试时有意义是二次根式所以要使二次根式有意义只要使被开方数大于或等于零即可二次根式的性质含有两种相同的运算乘法法则注意要注意这个条件只有都是非负数时法则成立乘法交换律在二次根式中仍然适用新年中考数学一轮专题二（新）20XX 年中考数学一轮专题 10 二次根式复习精讲+典型热考题型测试（解析版） 9 D、51533，不是最简二
16、次根式，故选项错误； 故选 A. 变式 4-2 （2019 山西中考真题）下列二次根式是最简二次根式的是( ) A12 B127 C8 D3 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的概念逐一进行判断即可. 【详解】A. 1222，故 A 选项不符合题意； B. 122 2177，故 B 选项不符合题意； C. 82 2，故 C 选项不符合题意； D. 3是最简二次根式，符合题意， 故选 D. 考查题型五 同类二次根式的判断 【解题思路】解题的关键是熟练的掌握同类二次根式的定义： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 典例 5 （2020 上海中考真题
17、）下列各式中与3是同类二次根式的是 A6 B9 C12 D18 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的概念逐一判断即可. 【详解】解：A、6和3是最简二次根式，6与3的被开方数不同，故 A 选项错误； B、93，3不是二次根式，故 B 选项错误； C、122 3，2 3与3的被开方数相同，故 C 选项正确； D、183 2，3 2与3的被开方数不同，故 D 选项错误； 以是一个具体的数也可以是代数式二次根式是一个非负数新年中考数学一轮专题二次根式复习精讲典型热考题型测试时有意义是二次根式所以要使二次根式有意义只要使被开方数大于或等于零即可二次根式的性质含有两种相同的运算乘法法则注意要注意这个条
18、件只有都是非负数时法则成立乘法交换律在二次根式中仍然适用新年中考数学一轮专题二（新）20XX 年中考数学一轮专题 10 二次根式复习精讲+典型热考题型测试（解析版） 1 0 故选：C. 变式 5-1 （2020 重庆中考真题）下列计算中，正确的是（ ） A235 B222 2 C236 D2 323 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案 【详解】解：A2与3不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误； B2 与2不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误； C23236 ，此选项计算正确； D23与2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； 故选：C 变式
19、 5-2 （2018 云南曲靖市 中考真题）下列二次根式中能与 23合并的是（ ） A8 B13 C18 D9 【答案】B 【分析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为 3的二次根式即可 【详解】A、822，不能与 23合并，故该选项错误； B、13=33能与 23合并，故该选项正确； C、1832不能与 23合并，故该选项错误； D、93不能与 23合并，错误； 故选 B 考查题型六 二次根式的加减 【解题思路】二次根式加减法的运算，掌握运算法则是解题关键 典例 6 （2020 内蒙古中考真题）82的计算结果是（ ） A5 B10 C3 2 D42 【答案】C 以是一个具体的数也可以是
20、代数式二次根式是一个非负数新年中考数学一轮专题二次根式复习精讲典型热考题型测试时有意义是二次根式所以要使二次根式有意义只要使被开方数大于或等于零即可二次根式的性质含有两种相同的运算乘法法则注意要注意这个条件只有都是非负数时法则成立乘法交换律在二次根式中仍然适用新年中考数学一轮专题二（新）20XX 年中考数学一轮专题 10 二次根式复习精讲+典型热考题型测试（解析版） 1 1 【分析】根据二次根式的运算法则即可求解 【详解】 82=822 223 2, 故选 C 变式 6-1 （2019 甘肃兰州市 中考真题）计算123（ ） A3 B2 3 C3 D4 3 【答案】A 【分析】根据二次根式的加
21、减法法则进行运算即可 【详解】 1232333 故选 A 变式 6-2 （2018 上海中考真题）下列计算182的结果是（ ） A4 B3 C22 D2 【答案】C 【分析】先对二次根式进行化简，然后再合并同类二次根式即可得. 【详解】182=32-2=22，故选 C 考查题型七 二次根式乘除混合运算 【解题思路】考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键 典例 7 （2020 辽宁朝阳市 中考真题）计算112124的结果是（ ） A0 B3 C3 3 D12 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质化简第一项，根据二次根式的乘法化简第二项，然后合并即可 【详解】解：原式
22、=12 3124 =2 33=3故选 B 变式 7-1 （2020 内蒙古赤峰市 中考真题）估计12 33 23的值应在 （ ） 以是一个具体的数也可以是代数式二次根式是一个非负数新年中考数学一轮专题二次根式复习精讲典型热考题型测试时有意义是二次根式所以要使二次根式有意义只要使被开方数大于或等于零即可二次根式的性质含有两种相同的运算乘法法则注意要注意这个条件只有都是非负数时法则成立乘法交换律在二次根式中仍然适用新年中考数学一轮专题二（新）20XX 年中考数学一轮专题 10 二次根式复习精讲+典型热考题型测试（解析版） 1 2 A4和 5之间 B5 和 6之间 C6 和 7之间 D7和 8之间
23、【答案】A 【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估算无理数的大小. 【详解】12 33 23 =112 33 233 =2+6， 469， 263， 42+65， 故选：A. 变式 7-2 （2020 湖北宜昌市 中考真题）对于无理数3，添加关联的数或者运算符号组成新的式子，其运算结果能成为有理数的是（ ） A2 33 2 B33 C33 D03 【答案】D 【分析】分别计算出各选项的结果再进行判断即可 【详解】A2 33 2不能再计算了，是无理数，不符合题意； B332 3，是无理数，不符合题意； C33=3 3，是无理数，不符合题意； D030，是有理数，正确 故选：D 变式 7
24、-3 （2019 山东聊城市 中考真题）下列各式不成立的是（ ） A8718293 B222233 以是一个具体的数也可以是代数式二次根式是一个非负数新年中考数学一轮专题二次根式复习精讲典型热考题型测试时有意义是二次根式所以要使二次根式有意义只要使被开方数大于或等于零即可二次根式的性质含有两种相同的运算乘法法则注意要注意这个条件只有都是非负数时法则成立乘法交换律在二次根式中仍然适用新年中考数学一轮专题二（新）20XX 年中考数学一轮专题 10 二次根式复习精讲+典型热考题型测试（解析版） 1 3 C8184952 D13232 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、除法法
25、则计算，判断即可 【详解】82 27 2183 2933，A 选项成立，不符合题意； 28222333 ，B 选项成立，不符合题意； 8182 23 25 2222，C 选项不成立，符合题意； 1323232( 32)(32)，D 选项成立，不符合题意； 故选 C 考查题型八 分母有理化 【解题思路】考查分母有理化；熟练掌握利用平方差公式求无理数的无理化因子是解题的关键 典例 8 （2019 江苏常州市 中考真题）下列各数中与23的积是有理数的是（ ） A23 B2 C3 D23 【答案】D 【分析】利用平方差公式可知与23的积是有理数的为23； 【详解】 2323431 ； 故选D 变式8-
26、1 （2019 湖北中考真题）“ 分母有理化” 是我们常用的一种化简的方法，如：23(23)(23)74 323(23)(23) ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数， 如： 对于3535， 设3535x ， 易知3535， 故0x ，以是一个具体的数也可以是代数式二次根式是一个非负数新年中考数学一轮专题二次根式复习精讲典型热考题型测试时有意义是二次根式所以要使二次根式有意义只要使被开方数大于或等于零即可二次根式的性质含有两种相同的运算乘法法则注意要注意这个条件只有都是非负数时法则成立乘法交换律在二次根式中仍然适用新年中考数学一轮专题二（新）20XX 年中考数学
27、一轮专题 10 二次根式复习精讲+典型热考题型测试（解析版） 1 4 由22( 3535)35352 (35)(35)2x ，解得2x ，即35352根据以上方法，化简3263 363 332后的结果为（ ） A53 6 B56 C56 D53 6 【答案】D 【分析】根据题中给的方法分别对63 363 3和3232进行化简，然后再进行合并即可. 【详解】设63 363 3x ，且63 363 3， 0x ， 263 32 (63 3)(63 3)63 3x ， 2122 36x ， 6x ， 3252 632 ， 原式52 66 53 6 ， 故选 D 考查题型九 二次根式比较大小的方法 典
28、例 9 （2018 河南中考模拟）比较大小：25_32（填“ ” 、“ ” 或“ ” ） 【答案】 【解析】 详解：2 520 ? 3 218 ? 2018， 2 53 2 变式 9-1 （2019 陕西中考模拟）比较大小：52_13 【答案】 【详解】 解：52=50 5213 以是一个具体的数也可以是代数式二次根式是一个非负数新年中考数学一轮专题二次根式复习精讲典型热考题型测试时有意义是二次根式所以要使二次根式有意义只要使被开方数大于或等于零即可二次根式的性质含有两种相同的运算乘法法则注意要注意这个条件只有都是非负数时法则成立乘法交换律在二次根式中仍然适用新年中考数学一轮专题二（新）20XX 年中考数学一轮专题 10 二次根式复习精讲+典型热考题型测试（解析版） 1 5 故答案为 变式 9-2 （2019 陕西中考模拟）比较大小：2 5_3 2 【答案】 【详解】 2 520 ，3 218 ， 2 53 2 ， 故答案为： 以是一个具体的数也可以是代数式二次根式是一个非负数新年中考数学一轮专题二次根式复习精讲典型热考题型测试时有意义是二次根式所以要使二次根式有意义只要使被开方数大于或等于零即可二次根式的性质含有两种相同的运算乘法法则注意要注意这个条件只有都是非负数时法则成立乘法交换律在二次根式中仍然适用新年中考数学一轮专题二
