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1、会计学1多元多元(du yun)函数微分学函数微分学17804第一页，共39页。多元函数多元函数(hnsh)(hnsh)的极限的极限多元函数连续多元函数连续(linx)(linx)的概念的概念多元多元(du yun)(du yun)连续函数连续函数的性质的性质多元函数概念多元函数概念一、主要内容一、主要内容第1页/共38页第二页，共39页。高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法则求导法则复合函数复合函数求导法则求导法则微分法在微分法在几何上的应用几何上的应用方向导数方向导数多元函数的极值多元函数的极值全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念第2页/共38页第三页，共39页。第一第一(dy)(d
2、y)部分部分 主要内主要内容容一、偏导数一、偏导数(do sh)和全微分和全微分二、偏导数二、偏导数(do sh)的应用的应用第3页/共38页第四页，共39页。一、偏导数一、偏导数(do sh)(do sh)和全微分和全微分(一一)偏导数偏导数(do sh)的定义的定义第4页/共38页第五页，共39页。( (二二) )高阶偏导数高阶偏导数(do sh)(do sh)混合混合(hnh)偏偏导数导数函数函数(hnsh)(hnsh)的二阶偏导数为的二阶偏导数为第5页/共38页第六页，共39页。( (三三) )全微分全微分(wi fn)(wi fn)的公式的公式如果如果(rgu)(rgu)函函数数可微
3、可微, ,则它的偏导数则它的偏导数(do sh)(do sh)一定存一定存在在, ,且且第6页/共38页第七页，共39页。( (四四) )多元函数多元函数(hnsh)(hnsh)连续、可导、可微的关系连续、可导、可微的关系函数函数(hnsh)可微可微函数函数(hnsh)连续连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导第7页/共38页第八页，共39页。( (五五) )复合函数复合函数(hnsh)(hnsh)求导法则求导法则以上公式以上公式(gngsh)(gngsh)中的导数中的导数 称为全导数称为全导数. .函数函数(hnsh)(hnsh)在对应点在对应点具有连续偏导数具有连续偏导数, ,则则复合函
4、数复合函数在点在点t t可导可导, ,且且 定理定理1 1如果函数如果函数及及都在都在t t点可导点可导, ,第8页/共38页第九页，共39页。 如果如果(rgu)(rgu)都在点都在点对对和和的偏导数的偏导数(do sh)(do sh)，且函数，且函数在对应点在对应点具有连续偏导数，则复合具有连续偏导数，则复合(fh)(fh)函数函数在点在点的两个偏导数都存在的两个偏导数都存在, ,且且 定理定理2 2具有具有分线相加分线相加, ,连线相乘连线相乘第9页/共38页第十页，共39页。( (六六) )隐函数隐函数(hnsh)(hnsh)的求导法则的求导法则则方程则方程(fngchng)确定一个确
5、定一个(y )具有具有连续的连续的定理定理3 3设设在在的某邻域中有连续的偏导的某邻域中有连续的偏导数数,且且在在点点的某个邻域内总能惟一的某个邻域内总能惟一导数的隐函数导数的隐函数它满足条件它满足条件且且第10页/共38页第十一页，共39页。由方程由方程(fngchng)确定确定(qudng)的的隐函数隐函数与定理与定理(dngl)3(dngl)3类似类似, ,在在满足相应条件的情况下满足相应条件的情况下,对于对于有有第11页/共38页第十二页，共39页。( (一一) )微分微分(wi fn)(wi fn)法在几何上的应用法在几何上的应用切线切线(qixin)方程为方程为法平面方程法平面方程
6、(fngchng)为为1 1空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面二二、偏导数的应用偏导数的应用其上一点其上一点空间曲线空间曲线第12页/共38页第十三页，共39页。. .曲面的切平面曲面的切平面(pngmin)(pngmin)与法线与法线点的切平面点的切平面(pngmin)方方程为程为法线法线(f xin)方方程为程为在其上在其上曲面曲面第13页/共38页第十四页，共39页。的的( (二二) )方向导数和梯度方向导数和梯度(t d)(t d)的公式的公式设函数设函数(hnsh)(hnsh)在点在点可微可微, ,方向方向(fngxing)(fngxing)余余弦为弦为方向方向则函数则函数
7、在点在点沿方向沿方向的方向导数为的方向导数为第14页/共38页第十五页，共39页。梯度梯度(t d)(t d)的计算公式的计算公式 设函数设函数(hnsh)(hnsh)在空间在空间(kngjin)(kngjin)区域区域内具有内具有一阶连续偏导数，则函数在点一阶连续偏导数，则函数在点 的梯度为的梯度为第15页/共38页第十六页，共39页。函数在某点的梯度的方向与取得函数在某点的梯度的方向与取得(qd)(qd)最大方向导数最大方向导数梯度与方向梯度与方向(fngxing)导数的关系导数的关系 的方向的方向(fngxing)(fngxing)一致一致, ,而它的模为方而它的模为方向导数的最大值向导
8、数的最大值.第16页/共38页第十七页，共39页。( (三三) )多元多元(du yun)(du yun)函数极值函数极值定义所有定义所有(suyu)(suyu)一阶偏导数都为零的点，称它为该一阶偏导数都为零的点，称它为该函数的驻函数的驻点点. .极值极值(j zh)(j zh)点点注意注意驻点驻点 定理定理1 1（必要条件）（必要条件）设函数设函数在点在点具有偏导数，且在点具有偏导数，且在点处取得极值，则它在该点的偏导数必然为零处取得极值，则它在该点的偏导数必然为零, ,1.1.无条件极值无条件极值即即第17页/共38页第十八页，共39页。定理定理(dngl)2(dngl)2（充分条件（充分
9、条件(chn (chn fn tio jin)fn tio jin)）设函数设函数(hnsh)(hnsh) 在点在点的某邻域内连续，且有一阶的某邻域内连续，且有一阶及二阶连续偏导数，又及二阶连续偏导数，又则则在点在点处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）时有极值，时有极值， 当当时有极大值，时有极大值， 当当时有极小值；时有极小值；（2 2）时没有极值；时没有极值；（3 3）时可能有极值时可能有极值, ,也可能没有极值也可能没有极值. . . 令令第18页/共38页第十九页，共39页。求函数求函数极值的一般极值的一般(ybn)(ybn)步骤：步骤：(1)(1)解方程组解
10、方程组 求出实数求出实数(shsh)(shsh)解，得驻解，得驻点点. . (2)(2)对于每一个对于每一个(y (y )驻点驻点求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值 (3)(3)根据根据的符号，判定是否取得极值的符号，判定是否取得极值. .第19页/共38页第二十页，共39页。2.条件极值条件极值(j zh)：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值(j zh)拉格朗日乘数拉格朗日乘数(chn sh)(chn sh)法法 要求要求(yoqi)(yoqi)函数函数在条件在条件下的可能下的可能极值点，极值点，先构造函数先构造函数其中其中为某一常数，可由为某一常数，可由 解出解出其中其中
11、就是可能的极值点的坐标就是可能的极值点的坐标. .第20页/共38页第二十一页，共39页。二、典型二、典型(dinxng)例题例题例例1 1函数函数(hnsh)的定义域是的定义域是答案答案(d n):(1)(1)分母不能为零分母不能为零;(2);(2)负负数不能开偶次方数不能开偶次方;(3);(3)零和负零和负数没有对数数没有对数;(4);(4)其它其它A第21页/共38页第二十二页，共39页。例例2 2设函数设函数(hnsh)求求解解看成看成(kn chn)自变量自变量,看成看成(kn chn)常量常量)测试点测试点:偏导数偏导数,高阶偏导数的求法高阶偏导数的求法.第22页/共38页第二十三
12、页，共39页。例例3 3设设为可微函数为可微函数(hnsh).(hnsh).则则.解解测试点测试点: 复合复合(fh)函数求函数求导法导法.第23页/共38页第二十四页，共39页。例例4 4设设求全求全(qiqun)导数导数解解测试点测试点 复合复合(fh)函数求导的链式法则函数求导的链式法则.第24页/共38页第二十五页，共39页。例例5 5设设是由方程是由方程(fngchng)(fngchng)所确定所确定(qudng)(qudng)的隐函数的隐函数. .求求的全微分的全微分(wi fn).(wi fn).解解令令故故在点在点第25页/共38页第二十六页，共39页。所以所以(suy)的全微
13、分的全微分(wi fn)为为故故第26页/共38页第二十七页，共39页。测试点测试点(1)隐函数求偏导数的方法隐函数求偏导数的方法(fngf);(2)全微分的求法全微分的求法;(3)函数在一点的全微分的求法函数在一点的全微分的求法.第27页/共38页第二十八页，共39页。例例6求函数求函数的极值的极值.解解令令得驻点得驻点第28页/共38页第二十九页，共39页。故故所以所以(suy)函数函数在点在点取得取得(qd)极小极小值值测试点测试点:求极值的方法求极值的方法:(1)求驻点求驻点;(2)求驻点处的判别式的值求驻点处的判别式的值;(3)判定判定(pndng)驻点是否为极值点驻点是否为极值点,
14、并判断是极并判断是极大值点大值点,还还是极小值点是极小值点.并求出极值并求出极值.第29页/共38页第三十页，共39页。例例7 7已知曲面已知曲面(qmin)上点上点处的切平面处的切平面(pngmin)平行平行(pngxng)于平面于平面求求点的坐标点的坐标.解解设设点的坐标为点的坐标为令令曲面方程为曲面方程为故故, ,曲面在曲面在处切平面的法向量处切平面的法向量第30页/共38页第三十一页，共39页。为使切平面为使切平面(pngmin)平行于平行于平面平面(pngmin)必须必须(bx)且只需且只需得得,代入曲面(qmin)方程得得于是于是点的坐标为点的坐标为测试点测试点:求曲面上一点求曲面
15、上一点处的切平面的方法处的切平面的方法.要搞清那个曲面要搞清那个曲面, ,其方程是怎样的其方程是怎样的? ?那个点那个点? ?切平面的法向量切平面的法向量再应用点法式方程再应用点法式方程写出切平面的方程写出切平面的方程,也可写出法线方程也可写出法线方程.第31页/共38页第三十二页，共39页。例例8 8求空间求空间(kngjin)曲曲线线在点在点处的切线处的切线(qixin)方程和法平面方方程和法平面方程程.解解点对应点对应(duyng)于于故切线的方向向量故切线的方向向量所以所求切线方程为所以所求切线方程为所求法平面方程为所求法平面方程为测试点测试点:求空间曲线的切线和法平面方程的方法求空间
16、曲线的切线和法平面方程的方法.第32页/共38页第三十三页，共39页。例例9 9解解所以所以(suy)(suy)问题可问题可化为求化为求的最短距离的最短距离上的点到平面上的点到平面(pngmin)(pngmin)求旋转求旋转(xunzhun)(xunzhun)抛物面抛物面设抛物面上任意点为设抛物面上任意点为则它则它的距离为的距离为且它满足曲面方程且它满足曲面方程在条件在条件下的条件极值问题下的条件极值问题.到平面到平面第33页/共38页第三十四页，共39页。得得令令由方程由方程(fngchng)(3(fngchng)(3) )得得第34页/共38页第三十五页，共39页。即即代入方程代入方程(1
17、)(1)得得解得解得同理可得同理可得代入代入(4)(4)得得所以所以是惟一的可能极值点是惟一的可能极值点.第35页/共38页第三十六页，共39页。处取得处取得(qd)(qd)最小值最小值即必在即必在根据题意距离的最小值一定根据题意距离的最小值一定(ydng)(ydng)存在存在, ,且之有惟一的可能且之有惟一的可能测试点测试点:求条件极值的方法求条件极值的方法(fngf)极值点极值点,故该点必为最小值点故该点必为最小值点.第36页/共38页第三十七页，共39页。第37页/共38页第三十八页，共39页。内容(nirng)总结会计学。第一部分 主要内容。可微,则它的偏导数一定存在,且。(四)多元函数(hnsh)连续、可导、可微的关系。以上公式中的导数 称为全导数.。的某邻域中有连续的偏导。函数(hnsh)在某点的梯度的方向与取得最大方向导数。而它的模为方向导数的最大值.。定义所有一阶偏导数都为零的点，称它为该函数(hnsh)的驻。时可能有极值,也可能没有极值.。就是可能的极值点的坐标.。测试点:偏导数,高阶偏导数的求法.。测试点: 复合函数(hnsh)求导法.第三十九页，共39页。
