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1、会计学1多元多元(du yun)函数微分学函数微分学65月月4日日第一页，共34页。第1页/共33页第二页，共34页。例例5. 满足定理3的条件,在 x=1的邻域内存在唯一(wi y)的有连续设则解解:导数(do sh)的函数组第2页/共33页第三页，共34页。由定理3知在 x=1的邻域内存在唯一的有连续导数 (do sh)的函数组则第3页/共33页第四页，共34页。练习练习(linx). 验证下列方程组在指定点邻域存在隐函数组验证下列方程组在指定点邻域存在隐函数组,并求指定偏导数或全微分并求指定偏导数或全微分第4页/共33页第五页，共34页。例例6. 设是由方程(fngchng)和所确定(q
2、udng)的函数 , 求解解 分别分别(fnbi)在各方程两端对在各方程两端对 x 求导求导, 得得第5页/共33页第六页，共34页。5 多元函数(hnsh)的泰勒公式 6 方向(fngxing)导数和梯度 第6页/共33页第七页，共34页。一、二元函数一、二元函数一、二元函数一、二元函数(hnsh)(hnsh)(hnsh)(hnsh)的的的的泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式复习(fx):一元函数的泰勒(ti l)公式:推广多元函数泰勒公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共33页第八页，共34页。记号记号(j ho)(设下面涉及 (shj)的偏导数连续 ): 一般(ybn)地,
3、机动 目录 上页 下页 返回 结束 表示表示第8页/共33页第九页，共34页。定理定理定理定理(dngl(dngl(dngl(dngl)1.)1.)1.)1.的某一邻域(ln y)内有直到 n + 1 阶连续(linx)偏导数 ,为此邻域内任 一点, 则有其中 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,称为其拉格拉格朗日型余项朗日型余项 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共33页第十页，共34页。证证证证: : : : 令令令令则 利用多元复合(fh)函数求导法则可得: 机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共33页第十一页，共34页。一般(
4、ybn)地, 由 的麦克劳林公式(gngsh), 得 将上述导数公式 (gngsh) 代入即得二元函数泰勒公式 (gngsh). 第11页/共33页第十二页，共34页。说明说明说明说明(shum(shum(shum(shumng):ng):ng):ng):(1) 余项估计(gj)式. 因 f 的各 n+1 阶偏导数(do sh)连续, 在某闭邻域其绝对值必有上界 M , 则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共33页第十三页，共34页。(2) (2) 当当当当 n = 0 n = 0 时时时时, , 得二元函数得二元函数得二元函数得二元函数(hnsh)(hnsh)的拉格朗日中的拉格
5、朗日中的拉格朗日中的拉格朗日中值公式值公式值公式值公式: :(3) 若函数(hnsh)在区域D 上的两个(lin )一阶偏导数恒为零, 由中值公式可知在该区域上 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共33页第十四页，共34页。例例例例1.1.1.1. 求函数求函数求函数求函数解解: 的三阶(sn ji)泰勒公式(gngsh). 因此(ync),机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共33页第十五页，共34页。其中(qzhng)机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共33页第十六页，共34页。练习练习练习练习(li(li(li(linx). nx). nx)
6、. nx). 解解: 表示(biosh)为x, y, z的多项式. 因此(ync),机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共33页第十七页，共34页。二、方向二、方向二、方向二、方向(fngxing)(fngxing)导数导数导数导数 讨论讨论(toln)函数函数z=f(x,y) 在一点在一点P沿某一方向的变化率沿某一方向的变化率问题问题 设函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)的某一邻域(ln y)U(P0)内有定义 l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 与l同方向的单位向量为el(cos cos) 取P(x0tcos y0tcos)U(P0) 如果极限存在, 则
7、称此极限为函数f(x, y)在点P0沿方向l的方向导数, 记为第17页/共33页第十八页，共34页。方向方向(fngxing)导数导数 方向(fngxing) 导数就是函数f(x y)在点P0(x0 y0)处沿方向(fngxing)l的变化率 思考思考: 函数函数f(x, y)在点在点P沿沿x轴正向和负向轴正向和负向 , 沿沿y轴正向和负轴正向和负向的方向导数向的方向导数 (do sh)如何如何? 沿x轴正向时, cos=1 cos=0 沿x轴负向时, cos=-1 cos=0第18页/共33页第十九页，共34页。 定理 如果函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)可微分, 那么(n me)
8、函数在该点沿任一方向l (el(cos cos)的方向导数都存在, 且有证明证明:由于函数可微，则增量由于函数可微，则增量 (zn lin)可表示为可表示为 但点在以(x0 y0)为始点的射线(shxin)l上,故有,所以第19页/共33页第二十页，共34页。 例2 求函数zxe2y在点P(1, 0)处沿从点P到点Q(2, 1)的方向(fngxing) 的方向(fngxing) 导数. 解 所以(suy)所求方向导数为 函数f(x, y)在点P0沿方向(fngxing)l (el(cos cos)的方向(fngxing) 导数 因为函数可微分 且 第20页/共33页第二十一页，共34页。定义定
9、义(dngy): 若函数若函数 对于(duy)n元函数f(X), 类似的有记作记作 第21页/共33页第二十二页，共34页。注注: 若函数若函数(hnsh)显然显然(xinrn) 第22页/共33页第二十三页，共34页。例例3:沿任意(rny)方向 l第23页/共33页第二十四页，共34页。例例4:第24页/共33页第二十五页，共34页。定理定理(dngl):则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数(do sh)存在 , 且有第25页/共33页第二十六页，共34页。例例5:解解:注注: 本题沿不同本题沿不同(b tn)方向方向,方向导数不同方向导数不同(b tn)第26页/共33页第二十七页，共
10、34页。三、梯度三、梯度(t d) 设函数(hnsh)zf(x, y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点P0(x0 y0)D, 都可确定一个向量fx(x0 y0)ify(x0 y0)j 这向量称为函数(hnsh)f(x, y)在点P0(x0 y0)的梯度, 记作gradf(x0 y0),即gradf(x0 y0)fx(x0 y0)ify(x0 y0)j 如 果 (rgu)函 数 f(x y)在 点 P0(x0 y0)可 微 分 el(cos cos)是与方向l同方向的单位向量, 则gradf(x0 y0)el|gradf(x0 y0)|cos(gradf(x0 y0)el) 第2
11、7页/共33页第二十八页，共34页。|gradf(x0 y0)|cos(gradf(x0 y0),el) 可以看出方向导数就是梯度在射线l上的投影, 当方向l与梯度的方向一致时, 方向导数取得最大值. 所以沿梯度方向是函数(hnsh)f(x, y)在这点增长最快的方向. 如果函数(hnsh)f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 el(cos cos)是与方向l同方向的单位向量, 则 函数在一点的梯度是这样一个向量, 它的方向(fngxing)与取得最大方向(fngxing)导数的方向(fngxing)一致, 而它的模为方向(fngxing)导数的最大值. 第28页/共33页第二十九页，共3
12、4页。于是(ysh) grad f(1, 1, 2) 例例7 设f(x, y, z)x2y2z2, 求grad f(1, 1, 2) 解 grad f(fx, fy, fz) (2x, 2y, 2z), (2, 2, 4) 例6 求221 yx grad 第29页/共33页第三十页，共34页。备用备用(biyng)题题 1. 函数(hnsh)在点处的梯度(t d)解解:则注意 x , y , z 具有轮换对称性第30页/共33页第三十一页，共34页。指向(zh xin) B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A2. 函数函数(hnsh)提示提示(t
13、sh):则第31页/共33页第三十二页，共34页。作业作业(zuy)：p-96 习题习题8-5 1 (1), 2 p-101 习题习题(xt)8-6 1 , 4, 12(1,3)第32页/共33页第三十三页，共34页。内容(nirng)总结会计学。则。由定理3知在 x=1的邻域内存在唯一的有连续导数的函数组。将上述(shngsh)导数公式代入即得二元函数泰勒公式.。向的单位向量为el(cos cos)。沿方向l的方向导数, 记为。cosa=1, cosb=0。cosa=-1, cosb=0。注: 本题沿不同方向,方向导数不同。设函数zf(x, y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数,。则对于每一点P0(x0 y0)D, 都可确定一个向量第三十四页，共34页。
