第十一章全等三角形（复习）第十一章全等三角形（复习） 一一.全等三角形全等三角形：1 1：什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全：什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？等形？2 2：全等三角形有哪些性质？：全等三角形有哪些性质？能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形一个三角形经过平移、翻折、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形旋转可以得到它的全等形1 1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等全等三角形的对应边相等、对应角相等2 2）：全等三角形的周长相等、面积相等全等三角形的周长相等、面积相等3 3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等 知识回顾：知识回顾：一般三角形一般三角形 全等的条件全等的条件：：1.1.定义（重合）法；定义（重合）法；2.SSS2.SSS；；3.SAS3.SAS；；4.ASA4.ASA；；5.AAS.5.AAS.直角三角形直角三角形 全等全等特有特有的条件：的条件：HL.HL.包括直角三角形包括直角三角形不包括其它形状的不包括其它形状的三角形三角形解题中解题中常用的常用的4 4种方种方法法 回顾知识点：回顾知识点：边边边：边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSSSSS”) )边角边边角边: :两边两边和和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SASSAS”) )角边角角边角: :两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASAASA”) )角角边角角边: :两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AASAAS”) )斜边斜边. .直角边：直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成写成“HLHL”) ) 方法指引证明两个三角形全等的基本思路：证明两个三角形全等的基本思路：（（1 1）已知两边）已知两边-------- 找第三边找第三边(SSS)找夹角找夹角（SAS)(2)(2)已知一边一角已知一边一角------已知一边和它的邻角已知一边和它的邻角找是否有直角找是否有直角(HL)已知一边和它的对角已知一边和它的对角找这边的另一个邻角找这边的另一个邻角(ASA)找这个角的另一个边找这个角的另一个边(SAS)找这边的对角找这边的对角 (AAS)找一角找一角(AAS)已知角是直角，找一边已知角是直角，找一边(HL)(3)(3)已知两角已知两角------找两角的夹边找两角的夹边(ASA)找夹边外的任意边找夹边外的任意边(AAS) 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
线上用法：用法：用法：用法： ∵∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴∴点Q在∠AOB的平分线上．角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等.用法：用法：用法：用法：∵∵∵∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴ ∴ QD＝QE二二.角的平分线：角的平分线：1.角平分线的性质：角平分线的性质：2.角平分线的判定：角平分线的判定： 总结提高总结提高学习全等三角形应注意以下几个问题：学习全等三角形应注意以下几个问题：（1)1)要正确区分要正确区分“对应边对应边”与与“对边对边”，，“对应角对应角”与与 “对对角角”的不同含义；的不同含义；（（2 2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；置上；（（3 3）要记住）要记住“有三个角对应相等有三个角对应相等”或或“有两边及其中一边的对角对应有两边及其中一边的对角对应相等相等”的两个三角形不一定全等；的两个三角形不一定全等；（（4 4）时刻注意图形中的隐含条件，如）时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角公共角” 、、“公共边公共边”、、“对对顶角顶角” 练习练习1：如图，：如图，AB=AD,CB=CD. 求证求证: AC 平分平分∠ ∠BADADCB证明：在证明：在△△ABC和和△△ADC中中 AC=AC AB=AD CB=CD ∴ ∴ △△ABC≌△≌△ADC （（SSS）） ∴ ∴ ∠ ∠BAC= ∠ ∠DAC ∴ ∴ AC平分平分∠ ∠BAD 2、如图，、如图，D在在AB上，上，E在在AC上，上，AB=AC ,∠ ∠B=∠ ∠C, 试问试问AD=AE吗？为什么？吗？为什么？EDCBA解解： AD=AE理由：理由： 在在△△ACD和和△△ABE中中 ∠ ∠B=∠ ∠C AB=AC ∠ ∠A=∠ ∠A ∴ ∴ △△ACD≌△≌△ABE （（ASA）） ∴ ∴ AD=AE 3、如图，、如图，OB⊥ ⊥AB,OC⊥ ⊥AC,垂足为垂足为B,C,OB=OCAO平分平分∠ ∠BAC吗？为什么？吗？为什么？OCBA答：答： AO平分平分∠ ∠BAC理由：理由：∵ ∵ OB⊥ ⊥AB,OC⊥ ⊥AC ∴ ∴ ∠ ∠B=∠ ∠C=90° 在在Rt△△ABO和和Rt△△ACO中中 OB=OC AO=AO ∴ ∴ Rt△△ABO≌ ≌Rt△△ACO （（HL）） ∴ ∴ ∠ ∠BAO=∠ ∠CAO ∴ ∴ AO平分平分∠ ∠BAC 4、如图，、如图，AC和和BD相交于点相交于点O,OA=OC,OB=OD 求证：求证：DC∥ ∥AB证明：在证明：在△△ABO和和△△CDO中中 OA=OC ∠ ∠AOB= ∠ ∠COD OB=OD ∴ ∴ △△ABO≌△≌△CDO （（SAS））∴ ∴ ∠ ∠A= ∠ ∠C∴ ∴ DC∥ ∥ABAODBC 练习练习5：： 如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带那块去合适？为什么？呢？如果可以，带那块去合适？为什么？BA FEDCBA6、如图，已知、如图，已知AC∥ ∥EF,DE∥ ∥BA,若使若使△△ABC≌△≌△EDF,还需要补还需要补充的条件可以是充的条件可以是 或或或或或或AB=EDAC=EFBC=DFDC=BF 7：已知：已知 AC=DB, ∠ ∠1=∠ ∠2. 求证求证: ∠ ∠A=∠ ∠D21DCBA证明：在△ABC和△DCB中 AC=DB ∠ ∠1=∠ ∠2 BC=CB ∴ △ABC≌△DCB （SAS） ∴ ∠ ∠A=∠ ∠D 8、、如图，已知，如图，已知，AB∥ ∥DE，，AB=DE，，AF=DC。
请问图中有那请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明几对全等三角形？请任选一对给予证明FEDCBA△△ABF≌△≌△DEC△△CBF≌△≌△FEC△△ABC≌△≌△DEF答：答： 9、如图，已知、如图，已知E在在AB上，上，∠ ∠1=∠ ∠2，， ∠ ∠3=∠ ∠4，那么，那么AC等于等于AD吗？为什么？吗？为什么？4321EDCBA解：解：AC=AD理由：在理由：在△△EBC和和△△EBD中中 ∠ ∠1=∠ ∠2 ∠ ∠3=∠ ∠4 EB=EB ∴ ∴ △△EBC≌△≌△EBD (AAS) ∴ ∴ BC=BD 在在△△ABC和和△△ABD中中 AB=AB ∠ ∠1=∠ ∠2 BC=BD ∴ ∴ △△ABC≌△≌△ABD (SAS) ∴ ∴ AC=AD 10、已知，、已知，△△ABC和和△△ECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B，，C，，D在一条直线上求证：在一条直线上求证：BE=AD EDCAB变式：变式：以上条件不变，将以上条件不变，将△△ABC绕绕点点C旋转一定角度（大于零度而小于旋转一定角度（大于零度而小于六十度），以上的结论还成立吗？六十度），以上的结论还成立吗？证明证明：∵ △△ABC和和△△ECD都是等边三角形都是等边三角形∴ ∴ AC=BC DC=EC ∠ ∠BCA=∠ ∠DCE=60°∴ ∴ ∠ ∠BCA+∠ ∠ACE=∠ ∠DCE+ ∠ ∠ACE即即∠ ∠BCE=∠ ∠DCA在在△△ACD和和△△BCE中中 AC=BC ∠ ∠BCE=∠ ∠DCA DC=EC∴ ∴ △△ACD≌△≌△BCE (SAS)∴ ∴ BE=AD 9、如图，已知、如图，已知E在在AB上，上，∠ ∠1=∠ ∠2，， ∠ ∠3=∠ ∠4，那么，那么AC等于等于AD吗？为什么？吗？为什么？4321EDCBA解：解：AC=AD理由：在理由：在△△EBC和和△△EBD中中 ∠ ∠1=∠ ∠2 ∠ ∠3=∠ ∠4 EB=EB ∴ ∴ △△EBC≌△≌△EBD (AAS) ∴ ∴ BC=BD 在在△△ABC和和△△ABD中中 AB=AB ∠ ∠1=∠ ∠2 BC=BD ∴ ∴ △△ABC≌△≌△ABD (SAS) ∴ ∴ AC=AD 10、已知，、已知，△△ABC和和△△ECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B，，C，，D在一条直线上求证：在一条直线上求证：BE=AD EDCAB变式：变式：以上条件不变，将以上条件不变，将△△ABC绕绕点点C旋转一定角度（大于零度而小于旋转一定角度（大于零度而小于六十度），以上的结论还成立吗？六十度），以上的结论还成立吗？证明证明：∵ △△ABC和和△△ECD都是等边三角形都是等边三角形∴ ∴ AC=BC DC=EC ∠ ∠BCA=∠ ∠DCE=60°∴ ∴ ∠ ∠BCA+∠ ∠ACE=∠ ∠DCE+ ∠ ∠ACE即即∠ ∠BCE=∠ ∠DCA在在△△ACD和和△△BCE中中 AC=BC ∠ ∠BCE=∠ ∠DCA DC=EC∴ ∴ △△ACD≌△≌△BCE (SAS)∴ ∴ BE=AD 分析：分析：由于两个三角形完全重合，故面积、周长相等。
至于由于两个三角形完全重合，故面积、周长相等至于D，，因为因为AD和和BC是对应边，因此是对应边，因此AD＝＝BCC符合题意符合题意说明：本题的解题关键是要知道中两个全等三角形中，对应顶点定在说明：本题的解题关键是要知道中两个全等三角形中，对应顶点定在对应的位置上，易错点是容易找错对应角对应的位置上，易错点是容易找错对应角 例题精析：例题精析：连接例题 例例2 如图 如图2，，AE＝＝CF，，AD∥ ∥BC，，AD＝＝CB，，求证：求证：⊿⊿ADF≌⊿≌⊿CBE 分析：分析：已知已知△△ABC≌△≌△ A1B1C1 ，相当于已知它们的对应边相，相当于已知它们的对应边相等等.在证明过程中，可根据需要，选取其中一部分相等关系在证明过程中，可根据需要，选取其中一部分相等关系.例例3已知：如图已知：如图3，，△△ABC≌△≌△A1B1C1，，AD、、A1D1分别是分别是△△ABC和和△△A1B1C1的高的高. 求证： 求证：AD=A1D1图图3 例例4：求证：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两：求证：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。
个直角三角形全等分析：分析：首先要分清首先要分清题设题设和和结论结论，然后按要求，然后按要求画出图形画出图形，根据题意写出，根据题意写出已已知求证知求证后，再写出证明过程后，再写出证明过程说明：说明：文字证明题文字证明题的书写格的书写格式要标准式要标准 如图：将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处， 已知∠1+∠2=100°，则∠A= 度； 例例5、如图、如图6，已知：，已知：∠∠A＝＝90°，， AB=BD，，ED⊥ ⊥BC于于 D. 求证： 求证：AE＝＝ED 提示：提示：找两个全等三角形，需连结找两个全等三角形，需连结BE.图图6 例6、如图：AB=AC，BD=CD，若∠B=28°则∠C= ； 5、如图、如图5，已知：，已知：AB=CD，，AD=CB，，O为为AC任任一点，过一点，过O作直线分别交作直线分别交AB、、CD的延长线于的延长线于F、、E，求证：，求证：∠∠E=∠ ∠F.提示：提示：由条件易证由条件易证△△ABC≌△≌△CDA 从而得知从而得知∠∠BAC＝＝∠∠DCA ，即：，即：AB∥ ∥CD. 第十三章第十三章 轴对称轴对称 • 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形这条直线就是它的是它的对称轴对称轴这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称• 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称这条直线叫个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称这条直线叫做做对称轴对称轴折叠后重合的点是对应点,叫做_对称点对称点_____.一一.轴对称图形轴对称图形1、轴对称图形：、轴对称图形：2、轴对称：、轴对称： 3 3、、轴对称图形和轴对称的区别与联系轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形轴对称图形轴对称轴对称 区别区别联系联系图形图形 (1)(1)轴对称图形是指轴对称图形是指( )( ) 具具 有特殊形状的图形有特殊形状的图形, 只对只对( )( ) 图形而言图形而言; ;(2)(2)对称轴对称轴( )( ) 只有一条只有一条(1)(1)轴对称是指轴对称是指( )( )图形图形 的位置关系的位置关系, ,必须涉及必须涉及 ( )( )图形图形; ;(2)(2)只有只有( )( )对称轴对称轴. .如果把轴对称图形沿对称轴如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分分成两部分, ,那么这两个图形那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称就关于这条直线成轴对称. .如果把两个成轴对称的图形如果把两个成轴对称的图形 拼在一起看成一个整体拼在一起看成一个整体, ,那那么它就是一个轴对称图形么它就是一个轴对称图形. .一个一个一个一个不一定不一定两个两个两个两个一条一条知识回顾： 4、轴对称的性质： ①关于某直线对称的两个图形是全等形。
关于某直线对称的两个图形是全等形 ②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是 任何一任何一对对应点所连线段的垂直平分线对对应点所连线段的垂直平分线 ③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 ④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称两个图形关于这条直线对称 解:3. 1 1、什么叫线段垂直平分线？、什么叫线段垂直平分线？ 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线垂直平分线，，也叫也叫中垂线2 2、线段垂直平分线有什么性质？、线段垂直平分线有什么性质？ 线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距与这条线段的两个端点的距离相等离相等 （纯粹性）你能画图说明吗？二二.线段的垂直平分线线段的垂直平分线 3.逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，段的垂直平分线上。
完备性）4.线段垂直平分线的集合定义： 线段垂直平分线可以看作是线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等与线段两个端点距离相等的所的所有点的集合有点的集合 三三.用坐标表示轴对称小结：用坐标表示轴对称小结： 在平面直角坐标系中，关于在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点轴对称的点横坐标相横坐标相等等,纵坐标互为相反数纵坐标互为相反数.关于关于y轴对称的点轴对称的点横坐标互为相横坐标互为相反数反数,纵坐标相等纵坐标相等.点（点（x, y））关于关于x轴对称的点的坐标为轴对称的点的坐标为______.点（点（x, y））关于关于y轴对称的点轴对称的点的坐标为的坐标为______.(x, －－ y)(－－ x, y) 1、完成下表、完成下表.已知点(2,-3)(-1,2)(-6,-5)(0,-1.6)(4,0)关于x轴的对称点关于y轴的对称点(-2, -3)(2, 3)(-1,-2)(1, 2)(6, -5)(-6, 5)(0, -1.6)(0,1.6)(-4,0)(4,0)2、已知点、已知点P(2a+b,-3a)与点与点P’(8,b+2).若点若点p与点与点p’关于关于x轴对称，则轴对称，则a=_____ b=_______.若点若点p与点与点p’关于关于y轴对称，则轴对称，则a=_____ b=_______.练 习246-20(抢答抢答) 思考思考：如图：如图,分别作出点分别作出点P,M,N关于直线关于直线x=1的对称点的对称点, 你你能发现它们坐标之间分别有什么关系吗能发现它们坐标之间分别有什么关系吗?1531425-2 -1 012345-4-3-2-1x=1······P(-2,4)M(-1,1)N’(5,-2)N(-3,-2)M’(3,1)P’(4,4)x y ’点（点（x, y）关于直线）关于直线x=1对称的点的坐标为（对称的点的坐标为（2-x, y）） 类似: 若两点(x1，y1)、(x2，y2)关于直线y=n对称，则 ; 归纳:若两点(x1，y1)、(x2，y2)关于 直线x=m对称，则;y1=y2x1=x2X2=2m-x1y2=2n-y1(m= )(n= ) 4.利用轴对称变换作图：如图：要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道什么地方，可使所用的输气管道线最短？ABLP 三三.（等腰三角形（等腰三角形)知识点回顾知识点回顾1.1.等腰三角形的等腰三角形的性质性质①①. .等腰三角形的两个底角相等。
等腰三角形的两个底角相等等边对等角等边对等角））②②. .等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合三线合一三线合一））2 2、等腰三角形的判定：、等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等边也相等等角对等边等角对等边）） 四四.（等边三角形（等边三角形)知识点回顾知识点回顾1.1.等边三角形的等边三角形的性质：性质： 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60600 0 2 2、等边三角形的判定：、等边三角形的判定： ①三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形 ②有一个角是有一个角是60600 0的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形3.3.在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于30300 0，，那么它那么它所对的直角边等于斜边的一半所对的直角边等于斜边的一半 1、如图，在、如图，在△△ABC中，中，AB=AC时，时，(1)∵∵AD⊥⊥BC∴∠∴∠ ____= ∠∠_____;____=____(2) ∵∵AD是中线是中线∴∴____⊥⊥____; ∠∠_____= ∠∠_____(3) ∵∵ AD是角平分线是角平分线∵∵____ ⊥⊥____;_____=____BACDBADCADBDCDADBCBADCADADBCBDCD练习：练习： 例 1：如图 1，AD 是△ABC 的角平分线，BE⊥AD 交 AD 的延长线于 E，EF∥AC 交 AB 于 F，求证：AF＝FB.图 1∵BE⊥AE，∴∠BEF＋∠FEA＝90°，∠ABE＋∠BAD＝90°.∴∠ABE＝∠FEB，∴BF＝EF，∴AF＝FB.证明：∵AE 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵EF∥AC，∴∠CAD＝∠AEF.∴∠BAD＝∠AEF，∴AF＝EF. 求证：BC＝ AB.例 2：试证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°.如图 2.图 212 证明：如图 3，作出△ABC 关于 AC 对称的AB′C.则 AB′＝AB.∵∠CAB＝30°，∴∠B＝∠B′＝∠B′AB＝60°.∴AB＝BB′＝AB′.图 3又∵AC⊥BB′， 1．如图 4，AD 是△ABC 的边 BC 上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是________(把所有正②③④确答案的序号都填写在横线上)．①∠BAD＝∠ACD；②∠BAD＝∠CAD；③AB＋BD＝AC＋CD；④AB－BD＝AC－CD.图 4 2．某等腰三角形的两条边长分别为 3 cm 和 6 cm，则它的周长为()CA．9 cmB．12 cmC．15 cmD．12 cm 或 15 cm3．等腰三角形的一个角为 30°，则底角为___________． 30°或 75° ∴∠DBC＝∠EAC＝ ∠A.4．已知：如图 5，AB＝AC，BD⊥AC.12图 5方法二：∵BD⊥AC，∴∠DBC＝90°－∠C.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.求证：∠DBC＝12∠A . 证明：方法一：作∠A 的平分线 AE 交 BC 于 E，∵AB＝AC，∴AE⊥BC.∴∠C＋∠EAC＝90°.∵BD⊥AC，∴∠C＋∠DBC＝90°. 5．如图 6，在△ABC 中，AB＝AC，在 AB 上取一点 E，在AC 延长线上取一点 F，使 BE＝CF，EF 交 BC 于 G，EM∥CF.求证：EG＝FG.图 6∴∠B＝∠EMB，∴EB＝EM.又∵BE＝CF，∴EM＝FC.∴△MEG≌△CFG(AAS)．∴EG＝FG.证明：∵EM∥FC，∴∠EMB＝∠ACB，∠MEG＝∠F.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB. 6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40°，求等腰三角形底角的度数．＝65°.∴∠B＝∠ACB＝180°－∠A2＝180°－50°2图 7解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图 7(1)，∵∠B＝∠ACB，∠ACD＝40°，∴∠A＝50°. ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图 7(2)，∵∠B＝∠ACB，∠ACD＝40°，∴∠BAC＝90°＋40°＝130°.∴∠B＝∠ACB＝180°－130°2＝25°.∴底角度数为 65°或 25°. 7．如图 8，阴影部分是由 5 个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方法分别在下图空白方格内涂黑两个小正方形，使它们成为轴对称图形．图 8解：如图9.图 9 8．如图 10，已知四边形 ABCD，你能画出它关于 y 轴对称的图形吗？它的对应顶点的坐标是怎样变化的？图 10 解：能；如图 11，四边形 A′B′C′D′的四个顶点的坐标分别为 A′(0,5)，B′(－2,0)，C′(－4,3)，D′(－2,2)，即对应顶点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．图 11 本章知识导引本章知识导引整式整式整式的概念整式的概念单项式单项式多项式多项式系数系数次数次数项项次数次数整式的运算整式的运算整式乘法整式乘法互互逆逆运运算算整式除法整式除法因式分解因式分解概念概念方法方法同类项同类项合并同类项合并同类项整式加减整式加减幂的运算幂的运算单项式乘单项式单项式乘单项式单项式乘多项式单项式乘多项式多项式乘多项式多项式乘多项式乘法公式乘法公式提公因式法提公因式法公式珐公式珐互互逆逆变变形形 知识要点知识要点:一、幂的一、幂的4个运算性质个运算性质二、整式的乘、除二、整式的乘、除三、乘法公式三、乘法公式四、因式分解四、因式分解 考查知识点：（当考查知识点：（当m,n是正整数时）是正整数时）1、同底数幂的乘法：、同底数幂的乘法：am · an = am+n 2、同底数幂的除法：、同底数幂的除法：am ÷ an = am-n ； a a0 0=1(a≠0)=1(a≠0)3、幂的乘方、幂的乘方: (am )n = amn 4、积的乘方、积的乘方: (ab)n = anbn 解此类题应注意明确法则及各自运算的特点，避免混淆解此类题应注意明确法则及各自运算的特点，避免混淆知识点一知识点一 例2 计算：(-2x2)3=__本题中积的乘方运算是通过改变运算顺序进行的，即将各个因式的积的乘方转化为各个因式的乘方的积，前者先求积后乘方，后者则先乘方再求积．例3 计算： (-1)2009+π0= 零指数的考查常常与实数的运算结合在一起，是易错点． -8x60 2.若若10x=5,10y=4,求求102x+3y-1 的值的值.3.计算：计算：0.251000×（（-2））2000注意点：注意点：（（1）指数：加减）指数：加减乘除乘除转化转化（（2）指数：乘法）指数：乘法幂的乘方幂的乘方转化转化（（3）底数：不同底数）底数：不同底数同底数同底数转化转化1.(x-3)x+2=1x+2=0,x=-2原式原式=102x×103y÷10=(10x)2×(10y)3÷10[ 0.5×（（-2））]2000=a0=1(a≠0) 知识点知识点2 2 整式的乘除法整式的乘除法相关知识：单项式乘以单项式，单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，多项式乘以多项式，单项式除以单项式，单项式除以单项式，多项式除以单项式．多项式除以单项式．常见题型有填空题、选择题和计算与化简求值等低中档题． 例(1)(2008年山西)计算： 2x3·(-3x)2=__________ (2)(2008年福建宁德)计算： 6m3÷(-3m2)=_________. 单项式的乘除法中若有乘方、乘除法等混合运算，应按“先算乘方，再算乘除法”的顺序进行．在进行单项式的乘除法运算时，可先确定结果(积或商)的符号，再按法则进行计算．18x5-2m 计算：计算：(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)(1-x)(1+x)(1+x2)(1-x4)(x+4y-6z)(x-4y+6z)(x-2y+3z)2平方差公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式：完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2三数和的平方公式：三数和的平方公式：(a+b+c)2=a2+b2 +c2+2ab+2ac+2bc知识点三知识点三 (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)•=9x2-16-(6x2-4x+9x-6)•=9x2-16-6x2+4x-9x+6•=3x2-5x-10 •=(1-x2)(1+x2)(1+x4)•=(1-x4)(1+x4)•=1-x8(1-x)(1+x)(1+x2)(1-x4) (x+4y-6z)(x-4y+6z)•=[x+(4y-6z)][x-(4y-6z)]•=x2-(4y-6z)2•=x2-(16y2-48yz+36z2)•=x2-16y2+48yz-36z2 (x-2y+3z)2•=[(x-2y)+3z]2•=(x-2y)2 +6z(x-2y)+9z2•=x2-4xy+4y2+6zx-12yz+9z2•=x2+4y2+9z2-4xy+6zx-12yz三数和的平方公式：三数和的平方公式：(a+b+c)2=a2+b2 +c2+2ab+2ac+2bc 计算计算:(1)98×102 (2)2992 (3) 20062-2005×2007 •(1)98×102•=(100-2)(100+2)•=1002-22•=9996 •(2)2992 •=(300-1)2•=3002-2×300×1+1•=90401 (3) 20062-2005×2007•=20062-(2006-1)(2006+1)•=20062-(20062-12)•=20062-20062 +1•=1 1 、已知已知a+b=5 ，，ab= -2，， 求（求（1）） a2+b2 （（2））a-ba2+b2=(a+b)2-2ab(a-b)2=(a+b)2-4ab2、已知、已知a2-3a+1=0，求（，求（1）） （（2））3、已知、已知 求求x2-2x-3的值的值 1、因式分解意义：、因式分解意义：和和积积2、因式分解方法：、因式分解方法：一提一提二套二套三看三看二项式：二项式：套平方差套平方差三项式：三项式：套完全平方与十相乘法套完全平方与十相乘法看：看：看是否分解完看是否分解完3、因式分解应用：、因式分解应用：提：提： 提公因式提公因式提负号提负号套套知识点四知识点四 1.从左到右变形是因式分解正确的是从左到右变形是因式分解正确的是( )A.x2-8=(x+3)(x-3)+1B.(x+2y)2=x2+4xy+4y2C.y2(x-5)-y(5-x)=(x-5)(y2+y)D.D 2.下列各式是完全平方式的有下列各式是完全平方式的有( )①① ②② ③③ ④④AA.①②③①②③ B.②③④②③④C. ①②④①②④ D.②④②④D1+－４－４ 把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：1. x 5 - 16x 2. –4a 2+4ab- b 23. m 2(m- 2) - 4m(2- m) 4. 4a 2- 16(a - 2) 2 （（1）提公因式法）提公因式法 （（2））套用公式法套用公式法二项式二项式:平方差平方差三项式三项式:完全平方完全平方 1、多项式、多项式x2-4x+4、、x2-4的公因式是的公因式是_________2、已知、已知x2-2mx+16 是完全平方式，则是完全平方式，则m=_____5、如果、如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,那么那么a+b=_____3、已知、已知x2-8x+m是完全平方式，则是完全平方式，则m=_____4、已知、已知x2-8x+m2是完全平方式，则是完全平方式，则m=_____x-2±416±4±4-mx±86、如果、如果(a2 +b2 )(a2 +b2 -1)=20,那么那么a2 +b2 =_____5-4(不合题意不合题意) 1、计算、计算(-2)2008+(-2)2009 2、计算：、计算： 3、计算、计算: 2005+20052-200624、计算、计算: 3992+399 观察观察:……请你用正整数请你用正整数n的等式表示你发现的规律的等式表示你发现的规律 .正整数正整数n 观察下列各组数观察下列各组数,请用字母表示它们的规律请用字母表示它们的规律……n是正整数是正整数 观察下列各组数观察下列各组数,请用字母表示它们的规律请用字母表示它们的规律……n是正整数是正整数 设设 (n为大于为大于0的自然数的自然数).(1) 探究探究an 是否为是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；(2) 若若一一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方完全平方数数”. 试找出试找出a1 ，，a2 ，，…a n，，…这一列数中从小到大排列的前这一列数中从小到大排列的前4个个完全平方数，并指出当完全平方数，并指出当n满足什么条件时，满足什么条件时，an 为完全平方数为完全平方数(不必说不必说明理由明理由) .两个连续奇数的平方差是两个连续奇数的平方差是8的倍数的倍数前前4个完全平方数为个完全平方数为16、、64、、144、、256n为一个完全平方数的为一个完全平方数的2倍，倍，an是一个完全平方数是一个完全平方数 1 1、如图：在、如图：在△△ABCABC中，中，∠∠C =90C =900 0，，ADAD平分平分∠ ∠ BACBAC，，DE⊥ABDE⊥AB交交ABAB于于E E，，BC=30BC=30，，BDBD：：CD=3CD=3：：2 2，则，则DE=DE= 。
12cABDE全等三角形机动练习： 4.4.已知，已知，△△ABCABC和和△△ECDECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B B，，C C，，D D在一条在一条直线上求证：直线上求证：BE=ADBE=AD EDCAB变式：变式：以上条件不变，将以上条件不变，将△△ABC绕绕点点C旋转一定角度（大于零度而小于旋转一定角度（大于零度而小于六十度），以上的结论海成立吗？六十度），以上的结论海成立吗？证明证明：∵ △△ABC和和△△ECD都是等边三角形都是等边三角形∴ ∴ AC=BC DC=EC ∠ ∠BCA=∠ ∠DCE=60°∴ ∴ ∠ ∠BCA+∠ ∠ACE=∠ ∠DCE+ ∠ ∠ACE即即∠ ∠BCE=∠ ∠DCA在在△△ACD和和△△BCE中中 AC=BC ∠ ∠BCE=∠ ∠DCA DC=EC∴ ∴ △△ACD≌△≌△BCE (SAS)∴ ∴ BE=AD 5.5.如图，已知如图，已知E E在在ABAB上，上，∠∠1=∠21=∠2，， ∠ ∠3=∠43=∠4，那么，那么ACAC等于等于ADAD吗吗？为什么？？为什么？4321EDCBA解：解：AC=AD理由：在理由：在△△EBC和和△△EBD中中 ∠ ∠1=∠ ∠2 ∠ ∠3=∠ ∠4 EB=EB ∴ ∴ △△EBC≌△≌△EBD (AAS) ∴ ∴ BC=BD 在在△△ABC和和△△ABD中中 AB=AB ∠ ∠1=∠ ∠2 BC=BD ∴ ∴ △△ABC≌△≌△ABD (SAS) ∴ ∴ AC=AD 6.6.如图，已知，如图，已知，AB∥DEAB∥DE，，AB=DEAB=DE，，AF=DCAF=DC。
请问图中有那几对请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明全等三角形？请任选一对给予证明FEDCBA答：答：△△ABC≌△≌△DEF证明：∵ AB∥ ∥DE∴ ∴ ∠ ∠A=∠ ∠D∵ ∵ AF=DC∴ ∴ AF+FC=DC+FC∴ ∴ AC=DF在在△△ABC和和△△DEF中中 AC=DF ∠ ∠A=∠ ∠D AB=DE∴ ∴ △△ABC≌△≌△DEF （（SAS）） 7.7.如图，已知，如图，已知，EG∥AFEG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题只写出一种情况）件，另一个作为结论，推出一个正确的命题只写出一种情况）①①AB=AC ②DE=DF ③BE=CFAB=AC ②DE=DF ③BE=CF已知：已知： EG∥AF EG∥AF 求证：求证：GFEDCBA高高 拓展题拓展题9.9.如图如图, ,已知已知ACAC∥∥BDBD，，EAEA、、EBEB分别平分分别平分∠∠CABCAB和和∠∠DBADBA，，CDCD过点过点E E，则，则ABAB与与AC+BDAC+BD相等吗？请说明理由。
相等吗？请说明理由ACEBD要证明要证明两条线段的和与一条线段相等两条线段的和与一条线段相等时常用时常用的两种方法：的两种方法：1、可在、可在长线段上截取长线段上截取与与两条线段中一条相等两条线段中一条相等的一段的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等割）相等割）2、把一个三角形、把一个三角形移到移到另一位置，使另一位置，使两线段补两线段补成一条线段成一条线段，再证明它与，再证明它与长线段相等长线段相等补） 11.11.如图，在如图，在R△ABCR△ABC中，中，∠∠ACB=450ACB=450，，∠∠BAC=900BAC=900，，AB=ACAB=AC，点，点D D是是ABAB的中点，的中点，AF⊥CDAF⊥CD于于H H交交BCBC于于F F，，BE∥ACBE∥AC交交AFAF的的延长线于延长线于E E，求证：，求证：BCBC垂直且平分垂直且平分DE.DE. 12.12.已知：如图：在已知：如图：在△△ABCABC中，中，BEBE、、CFCF分别是分别是ACAC、、ABAB两两边上的高，在边上的高，在BEBE上截取上截取BD=ACBD=AC，在，在CFCF的延长线上截取的延长线上截取CG=ABCG=AB，连结，连结ADAD、、AGAG。
求证：求证：△ △ ADG ADG 为等腰直角三角形为等腰直角三角形 13.13.已知：如图已知：如图2121，，AD∠BACAD∠BAC，，DE⊥ABDE⊥AB于于E E，，DF⊥ACDF⊥AC于于F F，，DB=DCDB=DC，，求证：求证：EB=FCEB=FC 。