1 1 23 的 项 的 一 般 形 式 为 3M4s, 其 中 “是2和4构成的排列， 这种排列共有两个，即24和42.所以含因子 a 1逐23 的项分别是(— 1 )‘Q 11 a23a32a44=( - 1)7“ 做332a44=一 11Q23a32a44,( - 1 ya ] i23a34a42=(- 1 )"a 1图23034a42=a 1 2 3 a 3 4 a 42.4 .计算下列各行列式：(1)解41100251202142072514110411009090-2302021=041210--4111023XI/㈠X427024o=⑵解⑶2315T20423612223151-T2o423611222315-2042360202rM-231211-21*42340200rn2310T204230o=0200裁a解Qd-=adfbce-1 1 11 -1 11 1 -1=4abcdef. ooldo1c1^A11〃-o“TooooldQICTwAoo-oo弓oo+ald111o11c-J 11p- 1oaTOO解…啜[1+ " a O\c3+dc^| +oa1b—ac 11a+0dc d二 ( —1)(— I)"? 1]+cm =a^cd+ab+cd+ad+1.5 .证明：Q2 ab 〃(1) 2a a+b 2b =(a-b)3;证明a2 ab b2\ c2-ct \a2 ab-a2 b2-a22a a+h 2川 \2a b-a 2b-2a1 1 11 q -q I 1 0 0XT"忙 2 一 方 (沙 )(j)卜外3"ax+by ay+bz az+bx x y z(2) ay+bz az-^-bx ax+by =(«3+/73)) ? z x ;az+bx ax+by ay+bz z x y证明ax+by ay+bz az+bxay+bz az+bx ax+byaz+bx ax+hy ay+hzx ay+bz az+bx=ay az+bx ax+hyz ax+by ay+bzy+bzxay+hz az+bxaz+bx ax+hyax+by ay+bz % ay+bz zy az+bx xz ax+by y+b2y z az+bxz x ax+byx y ay+bzx=a3 yzy zZ x% yy z %+Z? 3 z x yx y zx=a3 yzy zz % +Z?3% yXyzy zz %% yx y z=(a3+b3)y z x.z % ya2 (G+ 1 ) 2 (Q+ 2 ) 2 (Q+ 3 ) 2b2 0 + 1 ) 2 ( Z ? + 2 )2 ( 0 + 3 ) 2c2 (c+1)2 (c+2)2 (c+3)2[ 2 ("i p ( " 2 ) 2 ( d + 3 ) 2证明a2b2c2d2( a + 1 ) 2 ( a + 2 ) 2 ( a + 3 ) 2( " 1 ) 2 0 + 2 ) 2 0 + 3 ) 2( c + 1 )2 ( c + 2 )2 ( c + 3 ) 2( " 1 ) 2 ( " 2 ) 2 ( d + 3 ) 2(C4-C3, C3—C2, C2—C1 得)a2b2c2d22a+12Z?+12c+l2d+l2a+32b+32c+32d+32a+52b+52c+52d+5(C4-C3, C3-C2 得)222222221111111L++++QAcd22222222QAcd11cc2c42241〃=0.=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);证明 7r24Iddd1c2c4c1匕炉4/ 71〃I 6 Z24I 4 Zlooc—1 a d -1ac(c-a) d(d -a )c2(c2- a2) d2(d2- a2)1 1 1= (b-a)(c-a)(d-a) bedb2(b+d) c2(c+d) d2(d+a)1 1 1= (b-a)(c-a}(d-a)0 c -b d -b0 c(c-b)(c+b+a) d(d-b)(d+ b+a)= 0 - a)(c-a)(d -a)(c-b )(d -% 9 + L a ) d(d+b+a)={a— b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d).(5)ooooOTTxxo0 0 0an an-\ an-2x -1a2 %+4n . n-\ . . .=x +a\x + • • • +an-\x+a„ .证明用数学归纳法证明.当〃=2 时，Dx2 = =x2+a1x+a2, 命题成立.U y A~rCli 1 4假设对于( 〃- 1)阶行列式命题成立，即八 n-\ . 〃 一 2 . . .Dn-\=X +〃 i X + , • , +dn-2X+Clll-[^则 。
" 按第一列展开，有— 1 0 …0 0D,=xDlt 1+«„(-1),,+1 x T …0 01 1 …x — 1— xD n-\ +dn=xn+ciixn *+ , • , +cin-\x+cin .因此， 对 于 n 阶行列式命题成立.7 .设〃阶行列式O=det(%),把 D 上下翻转、 或逆时针旋转90 、或依副对角线翻转， 依次得 〃(〃T )证明 [ = £ > 2 = ( - 1 ) 2 D , D3^D .证明 因为O = d e t( % ) ，所以= ( 一1 )1+2+—・+(〃-2)+(〃-1)n（n-1）二 （ 一 1 尸同理可证〃1)% ] • - 4 ] - 1) «(/?-1)D , = ( - l ) - ......... = ( 一1 ) 丁 加= ( 一1 ) 丁 D.a\n ••• ann〃(/?-1)2 = ( — 1 ) 2 2 = ( — 1 )n-（ - 1 「 — （ - 1 广） »8 .计算下列各行列式（ R 为攵阶行列式） :1a(D&=1, 其中对角线上元素都是 ， 未写出的元素都是a0 ；解Dn =（ 按 第n行展开）a00 . - 010a0 • - 0000a ・- 00000 •・ a01 00 • - 0a = ( T ) " + iooQ-ooQo』ooooo11 oo・oooo-aa+ ( - 1 产 。
.a (zi-l)x(n-l)a二 ( 一 l) " + i • ( - 1 ) ” +an=a"-an-2=an-2(a2-l).a (n-2)(»-2)x a a( 2 ) “ = a x a .a a ■ ■ ■ x解 将 第 一行乘( T ) 分别加到其余各行，得0Xaaa -x x-a0Dn =a -x0x-aa -x0aoo.0x-a再将各列都加到第一列上， 得x+(n-Y)a aaDn =a0 x-a0 • • ,00x-a0000 0x-a3— 1 ) "(a-ri)n( a - l) i(a-n)n~la— 1a-n511= [ x+ ( n- l ) a ] ( x- a )/ ,- 1.解 根 据 第 6题结果，有1n(n+l) C l1ci— 1( Q — 1 尸3— 1 ) "1a-n(a-n)n此行列式为范德蒙德行列式. n(n+\)2+1 = ( —l) k Y ] [ (a -i+ 1 )-(a -j+ l)]n+ l> i> j>\= (T尸’IlH /-./)]n+\>i> j>\〃 ( 〃 + 1 ) 〃 + ( 〃 - 1 ) + …+ 1 __= ( - 1 尸-( -1 )・ n( ”j )w+ l> Z > j>\=n( f) .n+ l> / > J>14 4( 4 ) % = ?)；G 4解anbnD2= 个号 ( 按第i行展开)% 0a{ b}q 4%od i 00 dn ° an-\a\ bi+ ( - 1产+ ^ c . d】再按最后一行展开得递推公式D 2n=a 4〃 D 2n- 2 - b 2n 一2,即 D 2 n = ( an—b心D2n一2,于是而所以与 二 ! ! ® " ， 一 % ) /i=2n02n= n ( % 4 一姐) •i=l⑸ 。
d e t( a〃 ) ， 其中 a月T ；解3 j= l讨,0 11 0Dn= d e t( a - ) = ；之21013210n— \ n-2 n-3 〃- 4• n— \• n- 2• n-3• H-4- 0r-rir2 ~r3C2+C]C3+C]= ( - ir- 1 1 1 1- 1 - 1 1 1n— \ n-2 n— 3 n- 4000- 200- 2- 20- 2- 2- 27 7 - 1 2 〃- 3 2 n- 4 2H-5( 〃 一I R K111100000n-1 （ 6） 2 =l + tZ |11 …]+ % '''11其中 出,一4F0.1 1 … 1 + “解1 + Q ] 1 …11 1 + tZ2 ' ' , 1• ・ ・ •・• ・・• •••1 1 … 1+a”C2~C3=aia2-=a1a2-C\ ~C200. . . 00i-a%0 … 00 10%… 00 1000------% an-\ 1000 … 0~an 1 + “i00 … 00a~x— 1 1 0. . . 00夕, q0 — 1 1 ••• 00婷000…一1 1*000 … 0 — 1 1+<1 00. . . 0001 0. . . 00魅1001 … 00媪000 … 01晒000. . . 00ni+ E ^1i=l= （ 的2 …“"X1 + Z1 = 1q8 .用克莱姆法则解下列方程组: (玉+%2 +退+%4 = 5⑴ J 玉 + 2X2—X3+4X4=— 22X J — 3 x2—x,— 5 x4= — 23^+X2+2X3+1 1X4=0解 因 为11234- 5U11T5114-111111--25- 2- 2O*23dn3..4T1114-111111--212-31-)22)5一一oA---)22)5--o111±1z2112~311111231&二一4 2 6 , D4 =-)22)5--o12-311111123。
3 =所以 1 * 2 = 9 = 2 , %35 % + 6 % 2 = 1% + 5 % 2 + 6 % 3 =0( 2 ) < JC2+5X3+6X4 = 0 .X3+5X4+6X5=0%4 + 5 / = 1解 因 为=22万%-3= - 1 1 4 5 ,0006500651065101ooo1510005=6600065006510651065100= 1 5 0 7 , D,=51000o00065006510651065100A- 0006511cl lu c( l-> c( >u 11065106510051000= 7 0 3 , D4 =0006500651clI〕I(c)c( >)6510051000A=2 112・4cIMj cl l lu --400651065106510051000一一A所以_ 1 5 0 7 _ 1 1 4 5 _ 7 0 3 _ 一3 9 5 _ 2 1 2玉 一 苗 ' 马— — 次，％ 3一 丽 ，％ 4— 谒，％ 4一 标 ・为什9十七二9. 问4 〃 取何值时，齐次线性方程组再+ 用2 +毛=0有非零X1+2//X2 + A3=0解？4 1 1解 系数行列式为。
1 〃 1 =/ / -1 2 〃 1令 0 ,得 火0或 在1 .于是，当 玲 或 加1时该齐次线性方程组有非零解.1 0 .问2取何值时,( 1 —A )% ] — 2 x 2+ 4 毛—0齐次线性方程组2 %+ ( 3 -团々+ *3= 0有非玉 + % 2 + ( 1 一4 )% 3 = 0零解?解系数行列式为1 —A —2 4D = 2 3 - A 11 1 1 - A1~A —3 + 2 42 1 - A 11 0 1 - / 1=( 1 — A )3+ ( A — 3 )— 4 ( 1 — A )— 2 ( 1 — A )( — 3 — A )=( l- A )3+ 2 ( l- A )2+ A - 3 .令0 = 0 ,得 A^O, Q2 或 在3 .于是，当 心0 ,心2或 在3吐 该齐次线性方程组有非零解. 第二章矩阵及其运算1 .已知线性变换：‘ 百=2乂+2 % + %"% 2 =3 % + %+5%，、 演=3 % + 2 % + 3 %求从变量X1,尤2 ,无3到变量y i , V2 ,力的线性变换.解由已知:故233233/I/(-1\一一I一一\|'—7\|-i7百x2毛My 2y 2fzIX/\153153211221-2T32, 76323yyy/I\/)749一一y =- 7% ] — 4% 2+9乃< y2 = 6x1 + 3X2 - 7X3[%=3%+2%2-4%32 .已知两个线性变换卜 ]=2 % + % W=- 3 Z ] + Z 2/々二一2为+3 % + 2 % ,
fl 1 1解3 A B - 2 A = 3 1 1 - 1( 1 - 1 12 3、- 2 45 1 Jfl- 2 17ii—1—1<0 5 8、 fl 1=3 0 - 5 6 - 2 1 1( 2 9 O j ( 1 - 1fl 1 1 Y12 3、（ 01 3 2 2 1- 1 7 2 02 9 - 2 j5 8、A1 B = 1 1 - 1 -1-24 = 0-56U - 1 1 人 0 5 1 J ( <2 9 0 J4 .计算下列乘积：(4 3 1丫71( 1 ) 1 - 2 3 2 ;1 5 7 O 1 1 Jf4 3 1丫71 ( 4 x 7+ 3 x 2 + lx l ]解 1 - 2 3 2 = lx 7+ ( - 2 )x 2 + 3 x l、5 7 0人 1 5 x 7 + 7 x 2 + 0 x 1 ,( 2 )( 1 2 3 )1 2 I ;解 ( 1 2 3 ) 2 =( lx 3 + 2 x 2 + 3 x l> ( 1 0 ).J(2 }( 3 ) 1 ( - 1 2 );解1 ( - 1 2 )=<2 x ( - 1 ) 2 x 2 )1 x ( - 1 ) 1 x 2、3 x ( —l) 3义2 ,f- 2=1「34、26 J64 9 (\ 3 1(4 0 -2)fl 3 1 )2 1 4 O ^i 0 -1 21 -1 3 4j 1 -3 1U 0 -2)f 6 -7 8 >解( 20 -5 -6)-解% ]（ 再X2退）42\a!3。
1 3%3 *2〃3 3人 工3 )二 ( 〃 \ \ X\ + a\ 2 % 2 + 〃 1 3X 3 ] 2九 1 + 4 2 2 X 2 + 4 2 3 X 31 3 / 1 + 〃2 3 1 2 + 〃3 3工3)々VX3 >5. 设A = 0 ； ), 6 = [ " ,问:⑴AB=BA吗？解 AB^BA.因为 " ，3 ， 所以(2)(A+B)2=A2+2AB+B2 吗？解(A+B)2^A2+2AB+B2.因为 A + 6 = g ",(A+5) 2= (； 5J2 .(A 29 } 但 - 2”+ 叫; R + 《8 +1 0V)一f1lO15 2176所以( 4 + 8)2 必2 + 2 4 8+ 82 .(3)(A+B)(A-B)=A2-B2 吗？解(A+B)(A-ByA2-B2.因为4 + 3 = 住 ? ，A，U " ,-5)= 修邹. ( J .而小叫通和制; 引故(A+8)(A-8)WA2-B2 .6 . 举反列说明下列命题是错误的：（ 1 ） 若 1 = 0 , 则4 =0 ;解 取 A = ［ 1 ） ， 则储=0 ,但A M .⑵若T =A,贝 " 0或A =E ;解 取A = ［ ： ） , 贝 M y 但A M且AW£⑶若A X=A 匕 且AM, 则乂=「解 取A=fo 8> x= G ； ） , 丫=］ ； ） ,贝 |J A X=4 R 且 A wO ,但 Xwy.7. 设A = ［ ； J L 求A2 ,T ,.」A”.解A?=(1 oY i oA_f i o)U 1 JU 1 厂 122 1JA3=A2A =1 0Y122 1版03h， (X 1 0、8 .设4= 0 2 1 ,求屋.( 0 0 A)解首先观察(4 1 OY/t 14 2 = 0 2 I 0 4； 0 0 秋0 0， 矛3矛A3=A2-A= 0 允[o 0， 九4无o力、0 0“5小A:,=A4-A= 0 先( 0 00、1 = 03/113矛 ，源6心4兄 ,矛J10箱5无' 无k无 T" 辿 尤 力Ak _ 2A 一 0无 攵 无 TI 0 0 比用数学归纳法证明：当k=2时， 显然成立.假设攵时成立，则上+1时,) 吠TAk+\= Ak,A = 0 无0 02A 1 1矛240期Jk ( f刀a0无 ( 01A00)17 龙+1/+ 1 )无T0 无+ 】0 0( 左+1火/ 一 |、( 左+1)犷产)由数学归纳法原理知：「 尤女尤T 丝 ④ 龙-2、2Ak= 0 无 k无一 .0 0 无I )9 .设A ,8为正阶矩阵，且A为对称矩阵，证明87AB也是对称矩阵.证 明 因 为 所 以(BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB^BTAB,从而BTA B是对称矩阵.10 .设A, 8都是〃阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是48=84证明 充分性：因为且A8=BA,所以(AB)T=(BA)T=ATBT=AB,即A B是对称矩阵.必要性：m AT=A, BT=B,且依⑷1人 用 所以AB=(AB)T=BTAT=BA.11 .求下列矩阵的逆矩阵：⑴人;解4 =A*=2 5 /[% /(42 /|川=1 ,故 存 在 . 因 为' 5 -2 )故 (2)cos® -sin61).sin® cosO解A=(第 ， U %• 囿T W故4T存在• 因为\ oL ll (z v w olz Jcos。
sin一sin6 cos所以 AT=|j A*_[ cos® sin%一 〔 -sin)'「1 2 f⑶ 3 4 - 2 ;15-4 1 Jfi 2 - n解 A= 3 4 -2 .|A|=2M,故A-1存在. 因为( 5 -4 1 J(%4*= A2f-4 2 0 )— 13 6 — 1人23(-32 14 -2j所以4 4 AFi '4 2 %1 0 ]q3 -217 -U(a, 1 a2(4)0Z解 A =00(a\a2- - -a„ M ).生 ”0” , 由对角矩阵的性质知a“ . 1、011 2 .解下列矩阵方程:(2 11 -1- 6142VBA5>--22382o(2)X 2 11 -1-no~ 4323解X =-1 33 2(2 11— 1o1-_ lfl -1 3一3 2[ 1-20332)7oo2 fo 1(4) 1 0( 0 001 fl 0 0、0 X 0 0 1(0 1 OJfl -4 3)= 2 0 - 1U - 2 Oj解fo i OY7Ix二1 0 00 0 1J2-4 3 Y1 0 OY10 - 1 0 0 1-2 0 人0 1 Ojfo 1二1 0( 0 00Y1 -4 3Y1 0 010 2 0 -1 0 0 11 人 1 -2 0 XO 1 Oj(2 -1二1 3U 0— 4一 2,13.利用逆矩阵解下列线性方程组:%+2马+3% 3=1(1)< 2%+2々+5%3=2;3g + 5%2+ %3= 3方程组可表示为fl2133丫玉］ 缶5 % = 2 ,(\3丫71、解V故， 2 = 253V2 = 0 ,3)⑹从而有X}-X2-X3=2(2)< 2xl— x2-3x3=\ .3%+ 2%2— 5%3= 0解方 程 组可表示为135_一_TT21231 故故有- ]- 3 1- 5 )90⑶14 .设屋=。
仅为正整数)， 证明( E - A )T= E + A +A2 + • •+屋，证明 因为屋=0 ,所以七-屋= £ 又因为E-Ak=(E-A\E+A+A2+- - ■+Ak~1),所以 ( E - 4 ) (耳4 +储+. . •+屋T) =E,由定理2推论知( E - A )可逆， 且( E - A ) - ' = E + A + A2+ - - - + AA- 1.证 明 一方面， 有E = ( E - A尸(耳乂).另一方面，由屋=0 ,有E = ( E - A ) + ( A - A2) + A2- - - -屋- 1+ (屋- L屋)=(E+A+A2+- - - + A A- 1) ( E - A ) ,故 (E-A)-\E-A)=(E+A+A2+- - •+ A/ :-1) ( E - A ) ,两端同时右乘( E -人尸， 就有(E-Ayl(E-A)=E+A+A2+- - -+Ak~l.15.设方阵A满足A2- A - 2 E = O ,证明A及 A+2E都可逆， 并求4 T 及( A + 2E ) - i .证明 由A 2_ 4 _ 2E = O得A2- A = 2E , B P A(A-E)=2E,或 A -^A -E )= E ,由定理2推论知A可逆， 且A T = J( A - E ) .由 A2-A-2E=O 得A2-A-6E=-4E, B P ( A + 2E ) ( A - 3E ) = - 4 E ,或 (A+2E).：(3E-A)=E 由定理2 推论知(4+2E)可逆， 且(A+2E尸=； (3E -A ).证明 由A2-A-2E=C＞得 A2-A= 2E,两端同时取行列式得⑷幺日,即 \A\\A-E\=2,故 | 川 。
0,所以 A 可逆，MA+2E=A2, \A+2E\=\A2\=\Af^0,故 A+2E 也可逆.由又由所以A2-A-2E=O =A(A-E)=2E=>A-1A(A-E)=2A-1E ^ ^= ； 缶 - E ),A2-A-2E=O^>(A+2E)A-3 (A+2E)=-4En (4+2E)(A-3E)=— 4 E,(A+2E)-1 (A+2E)(A-3E>-4(A+2 E)-1,(A+2E)T=； (3E-A)-16.17.解设 A 为 3 阶矩阵，|A|=；, 求|(2A)-L5A*|.因为所以|(2A)-1-5A*H^A-1-5|A |A -lH |A -1- |A -11=|-2A-11=(-2)3 . t |=-8 |A|T=-8X2=- 16.设矩阵A 可逆， 证明其伴随阵A*也可逆， 且(A*尸=(4力* .证明 由4 一 1=占 4 * , 得 4*=囿4, 所以当A 可逆时，有H*|=|A|"|AT|=|A|FO,从而A*也可逆.因为A*=|A|A， 所以(A* 尸=H「 ％ .又 A=』( A T )* = |A "T )*,所以(A*)T=H「 ％= | 川T|A|(4T)*=(4T)*. 18 .设〃阶矩阵A的伴随矩阵为A * ,证明:⑴若同= 0 ,则以* | =0;证明⑴ 用 反 证 法 证 明 . 假 设 则 有A * ( A *尸= 瓦4 = A A * ( A * ) T = | A | E ( 4 * ) T = 0 ,所以A * =。
， 这与| A * | W O矛盾，故 当 | 川 二0时， 有| A * |二0.由此得( 2)由于则A 4 * = |川E,取行列式得到| A | | A * |二 |4 | ".若| A | M,则| A * | = | A | "T ;若| A | = 0,由⑴知| A * | = 0,此时命题也成立.因此 | A T = | A | i .19 .解20.解( 0 3 3、设4= 1 1 0 , AB =A+ 2 B ,求民1- 1 2 3J由 AB ^A+ 2 E 可得( A — 2E ) B = A ,故f - 2B =(A- 2 E)-lA= 1(T3 3Y' f 0- 1 0 12 1) l - l3 3、1 02 3jf i o n设A= 0 2 0 ,
£s纥pl\/GQGGI//-kr_\H7AooBz/n\设解出OIEsT3Y1cc，A -oo氏-----n£"纥----GC 4GQAAno00r..；、ILGgz/lk\H7Ao06B -o'OA-1/(Ik-T\n/Ao08得此以由所解 设 信 2cs加 , 则(A 0丫2AD} AD2 )[c B^D3 D4)~[CD,+BD3 CD2+BD4)2=4-1D ,=0R3A D *、AD,=OCD.+BD^O =CD, + BDA = E，（称 】Q B心 - 勒 .由此得所以3 0 .求下列矩阵的逆阵: 328on 5;21co32Jr5120085A=2100殳< 52o@iD解z(\OAo38253285心25-1221±52-38002525001200/I\H=7B -008521005200/I是于000400310212Acoo1-312z/n\1=^^01-21-65^0031021211-21-21-8rI 第三章矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵：f l 0 2( 1) 2 0 3 1 ;( 3 0 4 - 3)< 10 2 f解 2 0 3 1 ( 下一步： - 2+ ( - 2", 小+ ㈠) 。
)( 3 0 4 - 3)( 1 0 2-0 0 -1 3 ( 下一步: - 2+ ( - 1) , 夕( 一2) . )1, 0 0 - 2 0 J< 1 0 2 - A-0 0 1 -3 ( 下一步： r 3T ' 2. )( 0 0 1 o j八 0 2-0 0 1 -3 ( 下一步： - 3+ 3. )( 0 0 0 3)0 2 - 4-0 0 1 -3 ( 下一步： 「 2+ 30 )( 0 0 0 1 Jn o 2 T-0 0 1 0 ( 下一步： 〃+ ( - 2) / 2, r \ + r3. )< 0 0 0 1J/ 1 0 0 0)-0 0 1 0 .( 0 0 0 ”仅 2 - 3 1}( 2) 0 3 - 4 3 ;( 0 4 - 7 - 1Jf 0 2 - 3 1]解 0 3 - 4 3 ( 下一步「 2x 2+ ( - 3加, 「 3+ ( - 2) 门 . )( 0 4 - 7 - 1J (0 2 - 3 n- 0 0 1 3 ( 下一步：r3+ r2, r}+ 3r2. )( 0 0 - 1 - 3)f O 2 0 10A-0 0 1 3 ( 下一步： r i + 2. )( 0 0 0 o j,0 1 0 5 、-0 0 1 3 .1^0 0 0 o jf l - 1 3 - 4 3、3 -3 5 -4 12 - 2 3 - 2 O '、 3 — 3 4 — 2 — 1,"1 - 1 3 - 4 3、解 2 - 2 3 = 2 0 ( 下一步: 「 2- 3打 ， 「 3- 2h ， r 「3r i . )、 3 — 3 4 — 2 — 1,"1 - 1 3 - 4 3、~ Q 0 - 3 6 - 6 ( 下一步: 丁㈠) , 5 (一 3) , 心+ ( - 5) . )、 0 0 - 5 10 - 10,( \ - 1 3 - 40 0 1 - 20 0 1 - 2( 0 0 1 - 23、2 ( 下一步： r 「3r 2, r 3一 - 2 , r4- r2. )( \ - 1 0 2 *0 0 1 -2 20 0 0 0 0( 0 0 0 0 o j⑷f 2 31 23 - 2( 2 - 31 - 3 一 7 )0 - 2 - 48 3 07 4 3) 解(2 3 1 - 3 - 7 11 2 0 —2 —4 Z-T-« J H a o 、3 —2 8 3 0 ( 下一步： 〃 一2r 2, r3- 3r2, r4- 2 r2. )、2 —3 7 4 3,f o10( 0f o10( 0- 1111、- 8 8 ~ 9 1 2 ( 下一步: 七+2门,r3- 8 rb 以 -7门. )一7 7 8 11J-1 1 1 。
0 0 ] 4 ( 下一步： 心 「2X ( - 1) , r 4 f . )0 0 1 4,"1 0 2 0 - 2、0 0 0 1 1 (卜 步: 七+ 以)( 0 0 0 0 o jf l 0 2 0 - 2)0 1 -1 0 30 0 0 1 4 -( 0 0 0 0 0 )2.f O 1设1 0( 0 00、0 A 01J l o0 n1 00 i jr i417316 ,求 A .f o 1 0、解 1 0 0是初等矩阵E ( l , 2) ,其逆矩阵就是其本身.loo V(1 0 1、0 1 0是初等矩阵E ( l , 2 ( D ) ,其逆矩阵是ID( \ 0 一1)E(l , 2( - 1) ) = 00f 0 1A= 1 00 Y 11 0 .0 1J3 Y 1 004( 0 0 1人70 1( 0 0- 1}0U7 (4 5 6Y 1 o - n= 1 2 3 0 1( 7 8 9人0 001J17V5282223 .试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵:(3 2 n⑴ 3 1 53 2 3(3解 31531000100)(3 2 10 - 0 - 1 40 0 21 0 01-1 1 0-1 0 1(3〜 0I。
fl~ 01 02— 100 (1 (0： 00) 2003/21— 17/6— 11 -1/2故逆矩阵为解0 一1/211 — 2 ~ 076— 11"223— 1002/3— 10勺 、7(3 -2 00 2 2 11 -2 -3 -2(0 1 2 1J30101000-2 02 2-2 -31 2-2 -31 24 92 2— 11-21-21511八— 3/2)21/2J00— 100 7/20 11 -1/22 一9/2、1 -20 1/2J1 0 0 0)0 10 00 0 100 0 0 1?0 0 10)0 0 0 11 0 - 3 00 1 0 0 ( 1 - 2 - 3 -20 1 2 10 0 1 1、0 0 -2 -1( 1 - 2 - 3 -20 1 2 10 0 1 10 0 0 10 0 10 0 01 0 -30 1 00 0 10 0 01 0 -32 1 -61— 4-2Jo)1— 4- 何f 1 -2 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1— 1 — 1o r— i — i2 10367(1 0 0 00 1 0 00 0 1 0ko 0 0 1( 1 1故 逆 矩 阵 为 ? !- 1 — 12 11 10 1— 1 — 12 1-2 一4)0 — 13 6— 6 — 10,6O2036-4Tf4 1 一214.(1)设4 = 2 2 13 1 -L(1 -3 )B= 2 2 ,求X使AX=8;( 3旬解 因 为f4 1 -2(A ,5 )= 2 2 13 1 -112 - 0一3) r floO1010234-052所以( 1 0 2、X=A-'B= -15 -3I 12 4jf 0 2 A(2)设4= 2 - 1 31-3 3 - 4 ；B =J-32 31, 求 X 使 X4=8.解考虑人次二刀.因为 123-3342432TToO1O1O1oO所以从而5.所以f O(A7； *)： 2U( 2 — 4、Xr= ( Ar)-1Br= -1 7 ,[ T 4>X=M=(_： 7 4 }( 1 -1 0)设4 = 0 1 -1 ,AX=2 X+ A,求 X .l-i o U74解原方程化为( A -2 E ) X = A因为f -1 -1 0 1 -1 0、( A -2 E , A)= 0 -1 -1 0 1 -10 -1 -1 0 1 ,f l 0 0 0 IT )- 0 1 0 - 1 0 1( 001 1 -1 oj( 0 1 - 1]X=(A- 2 E)~'A= -1 0 1I 1-1 oJ6 .在秩是r的矩阵中， 有没有等于0的r -1阶子式？有没有等于0的r阶子式？解 在秩是r的矩阵中， 可能存在等于0的r -1阶子式，也可能存在等于0的r阶子式.( 1000)例如，A = 0 1 0 0， 取4 ) = 3 .( 0010)o o ooo是等于0的2阶子式，10 0是等于。
的3阶子式.u 口 0 1 07 .从矩阵4中划去一行得到矩阵民问A , 8的秩的关系怎样？解 R(A)N R ⑻. 这是因为B的非零子式必是4的非零子式， 故A的秩不会小于B的秩.8 . 求作一个秩是4的方阵， 它的两个行向量是( 1,0, 1,0, 0) ,( 1,-1,0, 0, 0) .解 用已知向量容易构成一个有4 个非零行的5 阶下三角矩阵:( 1 0 0 0 0 )1-10 0 01 0 1 0 0 ,0 0 0 1 0、 0 0 0 0 0,此矩阵的秩为4 ,其第2 行和第3 行是已知向量.9 . 求下列矩阵的秩， 并求一个最高阶非零子式：( 3 1 0 2 、( 1 ) 1 -1 2 -1 ;U 3 - 4 4 ；( 3 1 0 2 )解 1 一 1 2 -1 ( 下一步: r ] < -> r2.)U 3 - 4 4j( i -i 2 - i ]~ 3 1 0 2 ( 下一步： 「 2 -3 修 ， 厂 3 f .)(1 3- 4 4 j‘ 1 -1 2 -1、~ 0 4 — 6 5 ( 下一步： 「 3 -)( 0 4 -6 5)( \ -1 2 -1\~ 0 4 — 6 5 ,10 0 0 oj矩阵的秩为2,= — 4 是一个最高阶非零子式.< 3 2 -1 -3 - 1]( 2 ) 2 -1 3 1 -3 ;、 7 0 5 — 1 — 8 , 2解133O-81O4- 492774O7119OOO矩阵的秩是2,解80531320二2231r2232O8053oo3-2oo1乂1oroo2Oo3ooo1lxro2OOOOOOOO1Azf1oooOO（ 下一步：rx- r2, r2- 2 rv-5 （ 下一步：r3-3 r2. ）「3-7人 ）5 71A-1 A5-2i = -7是一个最高阶非零子式.-17）— 5037822— 6-43-1002— 132002-17、— 5（ 下一步： 勺 一2r小 七 一2r4, r3- 3r4.）7— 50oj（ 下一步：r2+3r,, r3+ 2 r,.）711614oj7、10oj: 0）7i 1' oj（ 下一步： 上 十16%, r3T 6r2.） 矩阵的秩为3,O782053 0 =70。
0是一个最高阶非零子式.1 0 .设 A、8都 是m x n矩阵， 证 明A〜B的充分必要条件是R(A)=R ⑻.证 明 根 据 定 理3 ,必要性是成立的.充分性.设R(4)=R(8),则A与8的标准形是相同的.设A与8的标准形为D ,则有A〜D, D〜B.由等价关系的传递性， 有4 〜8'1 -2 32、11 .设4= -1 2k - 3，问攵为何值， 可使U -2 V(1)R(A)=1;(2)R(A)=2;(3)R(A)=3.1 -2 3 Kl解 A= — 1 2k — 3U- 2 v— 1k —1k \0k —100 -(k-l)(k+ 2))⑴ 当k= 1时,R⑷ =1;(2)当 k=-2 且原1 时,R(A)=2;(3)当 8 1且 后-2时,R⑷ =3.12 .求解下列齐次线性方程组：玉+82 + 2/-% 4 = 0(1)<2X[ + X2 + X3-X4=0 ;2% + 2X2+X3 + 2X4=0解 对系数矩阵A进行初等行变换， 有A=f l 1 2 -A f 1 0 -1 0]2 1 1 - 1 - 0 1 3 -1 ,I 2 2 1 2 )lo 0 1 -4 /3 J 于是玉 二 铲4产产七=1 %4% 4 = % 4故方程组的解为（k 为任意常数） .74-334-3｛再3玉 + +2 %628 2+— £% 3-— % 43 %=4 0 = ° ；5 % ] + 1 0% 2 + % 3 — 5 % 4 = 0解 对系数矩阵A进行初等行变换， 有1 一 n r i~ 0( 00 一1)1 00 oj2A= 3 6、5 10于是故方程组的解为3+ k2 0（ 右 ,女2为任意常数） .2 玉+ 3尤2— 电+ 5 % 4 = 03 % ] + % 2 + 2毛 -7 % = 0.4玉 + %— 3 % ,+ 6 % = 0'玉 _ 2 /+ 4毛 -7工4 = 0解 对系数矩阵A进行初等行变换， 有 2 33 14 1U - 25 )-76一7)fl00( 00 0 0)1 0 00 1 0 '0 0 1J于是, 故方程组的解为% ] = 0= 0% 3 = 0 .、 % 4 = °3 % [ + 4X2-5X3+7X4=02 % 一 3X2 + 3X3- 2X4=04 % + 1 % ― 1比 + 16 % 4 = 。
•7 % ] -2 % 2 + 项 + 3 % 4 = 0解 对 系 数 矩 阵 A进行初等行变换，有Z/131720173一171917演Z----r---<---1子3-70-7001-12-137970O1.x4—xo1ooooo'7263-15331-T4312一1-3247zrA-故方程组的解为， 百 、x2%3的 ， 攵2为任意常数) .13 .求解下列非齐次线性方程组：4xy+2x2-x3=2( 1) < 3X]-1X2+2X3=10;11% ] + 3 % 2 = 8解 对增广矩阵8进行初等行变换，有< 4 2 -1 2W1 3 -3 -8 、B = 3 — 1 2 10( 11 3 0 8 )0 -10 11 3 4 ,、 0 0 0 — 6j 于是R ( 4 ) = 2 ,而R(B)=3,故方程组无解.仅 x + 3 y + z = 4( ? }\x-2y+4z=-5 .U [ 3 x + 8 y - 2 z = 1 3 ，[ 4 x-y + 9 z = -6解对增广矩阵3进行初等行变换， 有即1429328T2134,I=B4 )—513一 6 ,(\00I。
0 2 一111 T 2 干县0 0 0， 于是0 0 0)x=-2z-l< y=z+2 ,[ z = zzf21A+ 2 （ / ：为任意常数） .U2x+y—z+w=\( 3 ) < 4 x+ 2 y -2 z + w=2;2x+y — z~w=}解对增广矩阵8进行初等行变换， 有(2 1 -1 1 A8 = 4 2 - 2 1 21k 2 1 -1 -1 1Jf l 1/2~ 0 0( 0 0-1/2 00 10 01/2 、0oj于是1x =- 2y +2Z+2z = zw = 0即1-20ooz(l\+、|/11- nx11rI2k（ M后为任意常数） .( 4 )解对增广矩阵8进行初等行变换， 有 8<2n ( \ 0 -1/7 -1/7 6/7、35I 〜0 1 -5/7 O9/7 O-5/7-46-75-7+-vvVV1-79-7+-zZ1= - - 75-7ZyZ是于出 ， 心为任意常数） .6-75-70为通解的齐次线性方程组.+、1-79-70+ &1±-7-7 --11/II w =240V与此等价地可以写成或或X = 2 q - C 2% 2=一羽+4 c 2■ X 3 = C]居 =0巧= 2 % 3 -% 4= - 3玉+4% 4 'X1-2X3+X4=0X2+3X3-4X4=0,这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组. 15./I取何值时，非齐次线性方程组4¥[+%2+%3=1< x} + Ax2+x3=/l .\x} +x2+Ax3=^r(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多个解？仅 1 1 1)解 3= 1 4 1 4U 1 a 到r( \ 1 A 王、~ 0 A— 1 1— A 7^(1— A) .10 0 (l-/l)(2+A) (1-A)(^+1)2J(1)要使方程组有唯一解，必须R(A)=3.因此当猊1 且 & - 2 时方程组有唯一解.(2)要使方程组无解，必须R(A)
0,所以当心10时，方程组无解.要使方程组有无穷多解，必须R(4)=R(8)<3,即必须(l-2)(10-A>0 且(1 一 ㈤ (4— 2)=0,所以当Q 1 时，方程组有无穷多解.此时，增广矩阵为f l 2 -2 ”8〜 0 0 0 0( 0 0 0 oj方程组的解为% 1 — —%2 + £ +1x2= x2%3二 七=kx 1I oj+k2 0 + 0W或出， 后为任意常数) .1 8 .证 明 R(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量及非零行向量 ［使AR了 .证明 必要性.由R (4)=l知 A 的标准形为(1 0 ••• 0]0 0 •• 0、 0 0 … 0,个°, (1,0,-,0),lo j即存在可逆矩阵尸和Q ,使PAQ= 01 (1,0,-,0),lo j或4 = f 一 | 0 ( 1, 0,… ,O)Q Tlo j "p令 = ?7 ° ,户 =(1, 0 ,… ，0 )Q -\则4是非零列向量,是非零行向量， 且充分性.因为T是都是非零向量， 所以A是非零矩阵， 从而R(A)>1.因为1
只有零解， 即X -y = 0 ,也就是X=y. 第四章 向量组的线性相关性1 . 设”=(1, L 0 [ ，匕= (0, L 1[，七= (3, 4, 0)「 ,求匕一乙及3匕+ 2匕 一 匕 •解 匕-- = (1, 1 , 07-(0, 1 , l)r=(l-o, 1-1, 0-l)r=(l, 0, -1)T3V,+ 2V2-V3 = 3(1, 1 , O),+2(0, 1 , I)? - (3, 4, 0)r= (3xl + 2x0-3, 3x14-2x1-4, 3x0 + 2xl-0)7'= (0, L 2)7'2 . 设 3(q-々 ) + 2(4+〃 )= 5(%+Q) 其 中 ax = (2,5,1,3)7 ,a2 = (10,1,5,10)7 ,a3 = , 求〃 .解 由 3(% - a) + 2(% + ) = 5(% + ) 整理得a = -(3a, +2a2 -5a3) =-[3(2,5,l,3)r + 2(10,1,5,10)r -5(4,1,-1,l)r] = (1,2,3,4)r6 63 .已知向量组A :田= ( 0, 1 , 2, 3 ) 1 畋= (3 , 0, 1 , 21 ,的= ( 2, 3 , 0, 1 7 ;B ：仇= ( 2, 1 , 1 , 2) 1 b2=(0, -2, 1 , l )r,%= ( 4, 4, 1 , 3 ) 1证明B组能由A组线性表示， 但A组不能由B组线性表示." 0( 4为 = ；证明由3 2 2 0 410 3 1 - 2 41 0 1 1 12 1 2 1 3 )4479二2057127T3268二03121ooO 1所以8组能由A组线性表示.(1 0 3 1 -2 4) fl 0 3 1 -20 1 -6 -1 5 -7工0 1 -6 -1 50 0 20 5 -15 250 0 4 1 -3[0 0 4 1 -3 5Jto 0 0 0 04)-75oj知 R(A)=R(A, 8 ) = 3 ,由(2 0B b- 1 -2~ 1 1( 2 11G4 -1I1/1o*o2o11107noo"rco1oo2400知R⑻ =2 .因为R(B )/R(B , A ) ,所以A组不能由B组线性表示.4 .已知向量组A :田= ( 0,1 , 1 ) 1 42= ( 1 ,1 ,0) 7 ；B ： " = ( 一1 , 0, 1 ) 1 岳= ( 1 , 2, 1 1 ,仇= ( 3 , 2, — 1 1 ,证明A组与3组等价.证 明 由f-1 1 3(B, A)= 0 2 21 1 -10 lV f-11 1 〜010乂00 1} r(- \ 11 1 - 0 21 1 J (00o ni io oj1知R(B )=R(B , 4) = 2.显然在A中有二阶非零子式， 故R(A)> 2 ,又R(A)
3线性表示；⑵出不能由即3 3线性表示证明 ⑴由R ( " 2, « 3 ,4) = 3知« 2,3 , « 4线性无关， 故3也线性无关.又由宠⑷,2,% ) = 2知a 1 , 42, a 3线性相关， 故 能 由 2, “ 3线性表示.( 2)假如%能由田，” 2 , “ 3线性表示， 则 因 为 能 由 2 ,线性表示， 故3线性表示， 从而42,3 , “ 4线性相关， 矛盾.因此“ 4不能由“ 3线性表示. 6 .判定下列向量组是线性相关还是线性无关：( 1 ) ( -1 ,3 , 1 ) 1 ( 2, 1 ,0) 1 ( 1 ,4, 1 1 ；( 2) ( 2, 3 , O R ( -1 , 4, 01 ,( 0, 0, 21 .解( 1 )以所给向量为列向量的矩阵记为4因为< -1 2 1 A0 1 1 ,I 0 0 0)所以R ( A ) = 2小于向量的个数， 从而所给向量组线性相关.( 2)以所给向量为列向量的矩阵记为民因为1412102T317272oOAT4O230一一为G O ,2所以R ( 8 ) = 3等于向量的个数， 从而所给向量组线性相无关.7 .问 。
取什么值时下列向量组线性相关？a\=(a, 1 , I )7, “ 2= ( 1 , a, -l )r, a3= ( l , -1 , a)T.解以所给向量为列向量的矩阵记为A.由a 1 1| A | - 1 a — 1 =Q(G—+1 — 1 a知,当 = -1、0、1时,R ( A ) < 3 ,此时向量组线性相关.8 .设即线性无关,白+ 加2+方线性相关,求向量方用右,2线性表示的表示式.解 因为a]+b, a2+ b线性相关， 故存在不全为零的数即4使办(a 1 +方 ) +42(2+ 5) = 0,由此得力二一3%—与 出 = 一 了 乂 % —( 1 —下冬制2,4十2 人十多 4十42 4十” 2设 C=-T4T，贝 UAy 十4O = C Q i — ( 1 + C ) « 2, CE R .9 .设41 ,2线性相关， 力1 ,b 2也线性相关，问1 +加,2+ 42是否一定线性相关？试举例说明之.解不一定. 例如，当 尸(1,2)7,“2=(2,4)7,"=(—L — lE B X O , ) ,时， 有4]+)尸(1, 2 )4必=(0, 1)7,。
2+岳= (2, 41+(0, 0尸 = (2, 4)1而“ 1+仇, ”2+42的对应分量不成比例， 是线性无关的.10.举例说明下列各命题是错误的：⑴若向量组为必,…,册是线性相关的， 则％可由电 ,…册,线性表示.⑵若有不全为0 的数4, …,4 ”使4a l 4 ---F Amam + 4bl - + -----F Ambm = 0成立， 则为， …,a,“ 线性相关，仇 ， …也， 亦线性相关.(3)若只有当4,4,…,4”全为0 时， 等+ …+ + 44 + …+ %也=0才能成立， 则a ” …,4,“ 线性无关，如…也 “ 亦线性无关.(4)若《 ， …以 线性相关，如…也， 亦线性相关， 则有不全为0 的数,4 , 4 , …, 4 .使4 % + …+4 / , " = o , 44+ …+4也=0 -同时成立.解 ( 1 )设4 = = (1,0,0,…,0), a2 =a3 =■--- am = 0 满足 4” 线性相关， 但卬不能由2,线性表示.⑵ 有不全为零的数4 , 4 , …, 4 “使4 a l — 卜AA, + 4 4+ …+ 4也 ” =o原式可化为 4 ( % +仇 ) +・ - + 4 . (册+超) =0取 为 = 6 ]= - 伉, 生= 02 = - d , …, a , . = e , ” = - 〃” .其中e ” …, e , .为单位向量，则上式成立， 而％， …4,伉 ， …也均线性相关.⑶ 由+•••+“ ,” + 4 4 + …+ 4也 . = 。
仅当4 = 3 = 4 . =0)= > 为 +仇， 2 +〃" 线性无关 取 % = % = •, • = % = 0 ,取配…也为线性无关组.满足以上条件， 但 不 能 说 是 线 性 无 关 的 .(4) a, =(1,0/ % = ( 2,0尸仇= ( 0,3y 3=(0,4),4 1 + %%=0 = 4= — 2/1?, ,3, n 2 3 / = > 4 = 4 = 0与题设矛盾.1 1 .设仇= % + a2,b2 =a2 + a3,b3 =a3 + a4,b4=a4 + a]， 证明向量组仇也也也线性相关.证明设有否, %2，%3，》4使得他 + x2b2 + x3b3 + x4b4 = 0 则X ](q + a2)+ x2(a2 +3)+ %3(/ +4)+ % 4 .4 +卬) =0( X 1 + x4)at + (x, + x2)a2 + (x, + x3)a3 + (x3 + x4)a4 = 0( 1 )若2M 3 M 4线性相关, 则存在不全为零的数女 ” &2,&4 ,由k ［ ， h ， k 3M不全为零， 知苞/2，七 , %4不全为零， 即“ 也也也线性相关.xI + x4 = 0⑵ 若 〃 ” 〃2，。
3，4 线性无关， 则 二 ；=：；1：X2 _ QX)十 Xj — U U 1 1 u工3 +工4 = 0由 ; ; ；；=0知此齐次方程存在非零解. 则仇也也也线性相关. 综合得证.12 .设 仿 = / 也 = | + 2,…也 = 1 + 2 T + 3 ,且 向 量 组 为 , “2,…”线性无关， 证明向量组仇也， …也线性无关.证明 设 她 + k2b2 4-----卜krbr = 0则( 匕 + ■ ■ ■ + kr')a] + (k2 + ■ ■ ■ + kr)a2 + ■ • ■ + (k p + ■ ■ ■ + kr)a p + ■ ■ ■ + krar =0因向量组" ” 出， …, 明线性无关， 故k] + k2-\----- k1 .......... 1丫匕r=0k2 T -----\-kr =0 0 0 1 1 k2 _ 0kr=0(0 …0 1因为° 1… 1=1 H O故方程组只有零解.• ••• •・ ・ •0 ••• 0 1则占=a2 =--- = kr = 0 .所以仇也, …也线性无关13 .求下列向量组的秩， 并求一个最大无关组:2-149100104心21-42、 一8,(2) a： = (L2,l,3), a； = (4,一1,一5,-6) = (1,-3-4-7).解⑴-2% =% => ”1，。
3线性相关, 由aa,r27' 192100( 一2 -4-1 410 42 -8、70,02820-11904-320、7秩为2, 一组最大线性无关组为％ , 电 •/ 7、q⑵㈠kJ3 ] f1-18 〜 0I2 1 3、-9 -9 -180 0 0秩为2, 最大线性无关组为a ； , 尺 .14 . 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组， 并把其余列向量用最大无关组线性表示：’25 31 17 43、’1 1 2 2 1、75 94 53 1320 2 1 5 -1( 1)75 94 54 134； ( 2)2 0 3 - 1 3 ,、25 32 20 48,J 1 0 4 -1?解 ⑴’25 31 17 43、'25 31 17 43、’25 31 17 43、r — 3rr -r75 94 53 1322 10 1 2 34 30 1 2 375 94 54 134G -360 1 3 5G 一 々0 0 1 3、25 32 20 48,、0 1 3 5 )、0 0 0 0,所以第1、2、3 列构成一个最大无关组.⑵1 1 2 2 1、‘1 1 2 2 1、'1 1 2 2 1、0 2 1 5 -1q -0 2 1 5 -1r3+ r20 2 1 5 -12 0 3 - 1 3。
一 八0 -2 -1 -5 140 0 - 2 2 - 21 1 0 4 - 1 ,10 0 — 2 2 -2 ；( 0 0 0 0 0 ； 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.15 .设向量组(a, 3, l)r, (2, b, 3)1 (1,2, 11,(2, 3, I)「的秩为2 ,求a, b.解 设 尸(a, 3, 1)[-= (2, - 3尸 ,©=(1, 2, 11,如= (2, 3, I)7.因为"1( “ 筋44,41， 42) = 21 1<11 1〜 0 1 a -\( 0 1 13)— 1Z?-6?f l 1 10 1 a -\,0 0 231— 1Z?-5?a312)bV1而 R(4], a2, a3, “4) = 2 ,所以 a=2, h=5.16 . 设qg,是一组〃维向量， 已知〃 维单位坐标向量《 电， …, 必能由它们线性表示， 证明% , 电,线性无关.证明〃维单位向量勺勺, …© 线性无关. 不妨设:e, =kllal+kl2a2+--- + klnane2 = 421% + k22a2 4---------F k2nane“ =%《+匕 ,2 a 2 + … + L %所以两边取行列式，得 即 〃 维 向 量 组 ％ …, 知所构成矩阵的秩为〃 .故％, 。
2 ,…, 知线性无关17.设… 4是一组〃维向量， 证明它们线性无关的充分必要条件是：任一" 维向量都可由它们线性表示.证明 设 与 , …©为 一组〃维单位向量，对于任意〃维向量“ =（ 占， 左2 ,…则 有a = + £2k2+ - - - + Enkn即任一n维向量都可由单位向量线性表示.必要性= > % , % ， …, 知线性无关，且生, 七， …, 凡能由单位向量线性表示，即% =& 与 +%2 3 + …+占卢"a? — + k??? + …+ k 2n储ian = kn\£\ + k„2£2 + …+ 尤 ，卢“故T\an Ja：两边取行列式，得 即与,£2,…， 我都能由 /2,…,％线性表示，因为任一〃维向量能由单位向量线性表示，故任一〃维向量都可以由4 ,心， …以线性表示.充分性U已知任一〃维向量都可由外 , 七 , …,4线性表示，则单位向量组：与 © ， …© 可 由4 ，的， • • ・，4线性表示，由16题知6 ,火， …，4线性无关.1 8 .设 向 量 组 … , 即线性相关， 且 芹0 ,证明存在某个向量以(2
1+422+ … + 4跖=0,而且爸几3,・• &不全为零. 这是因为， 如若不然， 则%"1= 0,由知4尸0 ,矛盾. 因此存在攵(24 4 ⑼，使A , A+I=A+2= ■ =4"= ，于是 几 ］41+422+ •一+44=0,四 = 一 (1/4)(为41+222+ •一+4-141) ,即G人能由田, 2,… ,线性表示.1 9 .设向量组B: 4 ,…也能由向量组4: …,4线性表示为( " , …也)=%)K，其中K为sxr矩阵， 且A组线性无关 证明B组线性无关的充分必要 条件是矩阵K的秩R(K) = r.证 明 = > 若8组线性无关令B =( 仇， …也 )A = ® ,…,4 )则有B = AK由定理知 R(B ) = R(AK ) < min{R(A), R(K)} < R(K )由8组:仇也, …也线性无关知R(6) = /" ，故H(K)2r.又知K为rx s阶矩阵则R(K )W min{r,5}由于向量组5 ：仇也， …也能由向量组A :% , 外, …,4线性表示， 则r
0,1 1 1 - 0所以K可逆， 故有A =BK -i.由B=AK和A=BK-i可知向量组0 , 函, 一•, 跖与向量组用,限 … ,四可相互线性表示. 因此向量组a, ◎,•••,a 与向量组为笈， … ， 回等价.21 .已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3X=3/1X-A2X,且向量组x, Ar, A2X线性无关.⑴ 记P=a, A*, T x ) ,求3阶矩阵民 使” = 必 ；解 因 为AP=A(x, Ax, A2X)=(Ax, A2X, A、)=(Ax, A2X, 3AX-A2X)fO 0 0A二 (x, Ax, A2x) 1 0 3 ,Ii -Ufo 0 o )所以6= 1 0 3 .( 0 1 -1J⑵求闽解 由 A3X=3AX-A2X,得 A(3X-AX-A2X)= 0 .因为 X, AX, A2X 线性无关,故3*— Ax—HXM,即方程4*= 0有非零解， 所以R(4)<3, |A|=0.22 .求下列齐次线性方程组的基础解系:西 一8X2 + IO/ + 2% = 0(1) < 2的 +412 +5X3 -x4 = 03% j + 8尤2 + 6X3 - 2X4 = 02x1 - 3X2 - 2X3 + xA =0(2) < 3x] + 5X2 + 4X3 - 2光4 = 08% j + 7X2 + 6X3 - 3X4 = 0(3) nx[ +(n-l)x2 + • •・ 2xfl_l +xn = 0. U 0 4 00 1 - - - -4 4、0 0 0 0 )$ = -4X3所以原方程组等价于 3 1%2 =7* 3 + ] X 4取七=1,》4 =一3得 X ] =-4 ,X 2 = 0 ； 取%3 =°， * 4 = 4得再=0,》2 = L’ 1 -8 10解( 1) A = 2 4 5,3 8 62、-1-2,初等行变换因此基础解系为401<- 3>’ 0、10⑵A， 23I-357-2461、-2-V初等行变换21 0所以原方程组等价于001011197190--2-1914一190j再=一历七+ 历Z14 7x2 =--1-9 冗33 --1-9 尤44取 £ = 1,9=2 得%] =0,々=0 ； 取 X 3 = 0, X 4 = 19 得玉=1, & = 7.0因止匕基础解系为& =& =I」、70( 3 )原方程组即为X ” = ~nxx - ( n - l )x2----取 X ] = 1,々= …= X .1 = 0 得 X “ = 一 〃 取 工2 = 1， X ] == 冗4 = …=%一1 = 0 得 = ~(n - 1) = 一 〃 + 1取 x ,i =1,再= x2 =--- = x „_2 = 0得X “ =-2' 1 0 ••.( )、0 1 , • , 0所以基础解系为( 4 , …,J,i )=：： ：o o • • • 1、 一 〃 一 〃 + 1 … -2,2 3.设A = ( ： - 2 \ :] ,求一个4 x 2矩阵6 ,使A 8 = 0 ,且R ⑻ =2.\ y - J 2 o)解 由于R( B) = 2,所以可设8AB =2 - 2 1 39- 52 8r 1|1°玉lX30、1X2x j可得0、1x2X4 >.则由0000解此非齐次线性方程组可得唯一解/ 、£工、~222_ 5~21、2 >故所求矩阵8011T_ 5J 21i11-CM1i-CM24 .求 一 个 齐 次 线 性 方 程 组 ， 使 它 的 基 础 解 系 为。
0,1,2,3尸芯=( 3 21,0)、 解 显然原方程组的通解为代 ）=k 1k' 2X j = 3k2% 2 = k、+ 2 kx3 = 2kl 4 - k2、 ％4 = 3kl2%] — 3X2 + 勾= 0X ] — 3X3 + 2X4 = 0此即所求的齐次线性方程组.2 5 .设四元齐次线性方程组即消去匕,k2得I:： % +% 2 = 0 TT.% 2 —%4 = °， °% _% 2 +% 3= 0%2—玉+ %4= 0求:⑴方程I与I I的基础解系;( 2) I与I I的公共解.解 ⑴ 由 方 程I得 ：CT、、4 2―尤4取但,% 4 y = （ 1, ）1 得（ 修,X2）T=（0, 0 1 ；取（ X 3 , X 4 ） 7=（ 0, 1） 1 得（ 修,％ 21=（ - 1, if因此方程I的基础解系为 二 (0, 0, 1,0)7,叁=( -1, 1,0, 1尸 .由方程I I得< 为=一/\X2= X3~X4取（ 必,必）7= （ 1,0尸,得（ 修,应）7=（ 0, 1 1 ；取（ 无3 ,必）7=（ 0, 1 1 ,得“ % 2 1 = （ - 1 ,一1了 .因此方程I I的基础解系为铝(0,1, 1,0)7,刍=(-1, -1,0, 1)7.(2)1与I I的公共解就是方程III:% +% 2 = 0x2- x4=o再一%2 +% 3= 0々一七+2二 。
的解.因为方程组III的系数矩阵A =1 1 0 0)< 1 0 0 P0 1 0 - 110 1 0 - 11 - 1 1 00 0 1 - 20 1-1 1J< 0 0 0 0；所以与方程组H I同解的方程组为x1=- x4，%2 二* 4 .值二2 %取心=1,得8 ， %2,尤3 1=( -1,1,2)7,方程组III的基础解系为扭( -1, 1,2, 1)因此I与n的公共解为x =c(- l , 1, 2, 1)7, ceR.26 .设 〃 阶 矩 阵A满 足A2 = A, E为 〃 阶 单 位 矩 阵 ， 证明R( A ) + R( A — E )= 〃( 提示:利用矩阵性质6 和 8)证明 A(A- E) = A2 - A = A- A = O所以由2 1题所证可知R⑷+ 砥A -又 v R(A- E) = R(E- A)由11题所证可知R( A ) + R(A -E ) = R( A ) + R(E - A ) 2 R( A + E - A ) = R(E) = n由 止 匕R( A ) + H( A — E ) = 〃 .27.设A为〃阶矩阵( 栏2), A *为A的伴随阵， 证明f n 当 R( A )=〃R( A * )= 1 当 E ( A )=〃—1.[ O 当 E ( A )W 〃-2证明 当R(A)=n时,H |M,故有 \ AA*\ =\ \ A\ E\ =\ A\ ^O, | A * | ^0,所以 R(A*)=n .当R( A )=〃-1时,| 川 =0,故有AA*=\ A\ E=Q ,即 A * 的列向量都是方程组A x =O的解 因为R( A )=〃-1,所以方程组A x = O的基础解系中只含一个解向量，即基础解系的秩为1.因此R( A * )=1.当R(A)初等行变换10001097-70£-2]_20、1-207 29 .设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知九%,小是它的三个解向量.且求该方程组的通解.解 由 于 矩 阵 的 秩 为3 , 〃 一 「 = 4 -3 = 1, 一维.故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，且由于九% ， % 均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得一( 〃2 + %)=( 7 -〃2)+ ( 7 -〃2)= 5 = 齐次解( 齐 次 解 ) ( 齐 次 解 ) ,4534为其基础解系向量，故此方程组的通解:(kwR)3 0 .设有向量组 A :田=(0， 2, 10)1 色=( -2, 1, 5 ) 1的=( -1, 1, 4 )1 及问 您 何 值 时( 1)向量力不能由向量组A线性表示；( 2)向量方能由向量组A线性表示， 且表示式唯一； ( 3 )向 量b能 由 向 量 组A线性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式.解<-1 -2体,“2， 6 ，力 ) =1 1( 4 5' — 1 — 2 o c 10 — 1 1+。
/?+ 1、0 0 4 + a —3/3,⑴当公一4 ,阱0时,R( A )W R( A , b),此时向量方不能由向量组A线性表示.( 2)当 芬- 4时，R(A)=R(A, b)=3,此 时 向 量 组 即 色， 的线性无关,而向量组田,2,的4线性相关，故向量方能由向量组A线性表示，且表示式唯一.( 3 )当g - 4 ,去0时,R(A)=R(A, b)=2 ,此时向量方能由向量组A线性表示，且表示式不唯一.当k4,庐0时,<-1 -2as， 4 ， " 1 1( 4 5、1— 42101 ( \ 0 -2 1、0— 10 1 3 -1 ,0 0 0 0)7方程组( 1就 %的 解 为+ — i32c+ l )— 3 c— 1 , CG R.因此 )=( 2c+ 1 )© + ( — 3 c— 1 )b即 b= cai+(-3c-1 )a2+ (2 c+ l k , ce R.3 1.设 a=(ax, a2, ,)1 b = ® b2, 3 )1 C=(Q, C2, C3)T,证明三直线Z i ： a]X+ b]y + c\ =0 ,I2 ：。
2%+姐 + 2 = 0 ,( /+ 历％0, i =l , 2, 3 )/3: a3x + bT,y + c3=0 ,相交于一点的充分必要条件为：向量组 ， 方线性无关，且向量组 ,方 ,C线性相关.证明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组 平 +4 , + =0 [axx + bxy =- cx
4线性无关知R ( A )= 3,故 方 程 所 对 应 的 齐 次 方 程A x= o的基础解系中含一个解向量.因此拉( 1 , - 2, 1 , 0)7是方程祗=0的基础解系.方程Ax =b的通解为x= c ( l , - 2, 1 , 0/ +( 1 , 1 , 1 , l )r, c eR .33.设〃* 是非齐次线性方程组A x = 〃 的一个解， 配…名一是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明：( 1 ) 线性无关； ⑵ 心〃* +九…配线性无关证 明( 1 )反证法, 假设〃* 芯, …， …线性相关, 则存在着不全为0的数c 0, G， …, Ci使得下式成立：c ^ + c ^ + - + cn_r^_r=o ( 1 )其中，C°HO否则， 九…线性相关， 而与基础解系不是线性相关的产生矛盾 由 于 〃 * 为 特 解 , 为 基 础 解 系 ，故得A(C( ) 〃* + G - •, + Cn_r^n_r) = C0 A 〃* = C° b而由⑴式可得 A (C 07 f+ G 4 + - + G -岩一 ) = 0故b = 0 , 而题中， 该方程组为非齐次线性方程组, 得b H 0产生矛盾, 假设不成立，故〃* 芯, …线性无关.⑵反证法,假使人〃* +〈 , • • • , 〃 * + 配线性相关.则存在着不全为零的数C 0， G ， …, C - 使得下式成立：C o 〃 ' + G ( 炉 +。
)+ …+ C “ - r ( 〃 , +£ - r ) = 0 ( 2)即( 0+ G +…+ C r ) 〃 " + G4 +…+ c …配 = o1 ) 若C0+G+…+ c , _ = o , 由于心…， , 一是线性无关的一组基础解系， 故 C = G = …= 0 , 由 ⑵ 式 得c0=o此时a = G = …= C ~ = o 与假设矛盾.2 ) 若c ° + q+ …+ C/0 由 题 ⑴ 知 , 7 " , …, 加线性无关， 故c0 + c , +- + c „_r =ct=c2=- - - = c„_r=o 与假设矛盾，综上, 假设不成立, 原命题得证.34.设7 , …， 名是非齐次线性方程组A x = A 的S 个解，匕 , …人为实数，满足匕+怎+…+k , = 1 .证明x = + k2r j2 +…+ a 4, 也是它的解. 证明 由于取…， 2 是非齐次线性方程组A x = b 的s 个解.故有 A q = b (i = I , - - - , 5)而A [ k[7][ + &2% --------卜 氏 . $ 7 ) = A 7 + k2A 7]2 4-------卜 ksA 7]s = b ( k1 4--------k k J = b即 A x = b ( x = A 4 +心 〃2 +…+人/ )从而X也是方程的解.35.设非齐次线性方程组A x = b 的系数矩阵的秩为「 ，7 , …血…是它的〃- r + 1 个线性无关的解( 由题2 4 知它确有〃- 7 + 1 个线性无关的解).试证它的任一解可表示为x = % 7 +原 %+…4 一 川 ( 其中占+…+ 仁川= 1 ) •证 明 设 x为王= 。
的任一解.由题设知：％… 线性无关且均为A x = 〃 的解.取4 = 〃2一 〃1 & =〃3一 〃 ” …， *=% + 1-7，则它的均为A x = b 的解•用反证法证： & ， …&一， 线性无关.反设它们线性相关，则存在不全为零的数：/ ”，2 ,… /一使得+，2&2 hi-r^n-r ~即 4 ( 小 一 7 ) + ( 〃3 - 7 ) + …+1 ,1 (〃,_+1 — 7 ) = o亦即 -(Z j + z2 + • • • + ln_r )/ + / 出 +，2〃3 + … + 4-r+1 = ° 由1 +1线性无关知- a + 4 + … + D =， i =4 = ••, = / " _ = 矛盾，故假设不对.常 *2, …， 配线性无关，为A x = 6的一组基.由于x， 7均 为A x = b的解，所以尤-7为 的A x = b解 = > x -〃 ］ 可由4 ， $ ， …， 配线性表出•X —? =+ &=42（ % - 7） + 左3（ / 一 7） + … + k吁用（ % _加 一 7 1 ）x = 功（ 1 一 %2 -& - - - - - £ - r +l ） + 女2〃 2 + +…+ %“ _ 川 〃 “ _ 什 | = 0令占=1 - & - & - - - -k n _ r + i 则 ki + k2 + k3 + ••- + k “ n = 1X = % 7+ ^% + …+匕— +用 …+1 ， 证毕•3 6 .设匕= {x = ( X ］ , X 2, …, x.)［ x” …, x〃e R满思］ +》2 + … + X " = 0}匕= {x = ( x”X 2, …, 招 )［ 阳 , …,x“ e R满 思 । + x2+ - - - + xn = 1 }问匕, 匕是不是向量空间？为什么？证明集合丫成为向量空间只需满足条件：若awV,夕e V,贝i j " +夕e V若ae V. /lwR,则/ l a eV 匕 是向量空间，因为：ex = ( / ,(X]，… , ) 7 / + % + , • ♦ + M — 0 .) = ( 凡乃2,…，4 )，4 + 0 + … + A ,= 0 .a + /? = (« + 4。
2 +夕2,… ,巴 + 瓦) '，且(6 + 4 ) + (% +四)+…+ ( %+£ “ )= ( .+凤 +…+ 氏) + ( % + & + …+ % ) = 0故a +夕e匕Ae R ,/la =( %, 2,…， / , )2al + Aa2 + … + = k(ax + % + … + a “)= 4 • 0 = 0 故 w 匕匕不是向量空间，因为：( 见+川)+2+£2)+ - 一 + ( %+瓦)= ( 4 +凡 +…+ » , ) + ( %+ % + …+ %) = 1 + 1 = 2故a + 4任V22G /?,4a = …，4a〃 ) .几3 + 4% + … + 4% = A ( 6 ZJ + a [ + • • , + ocn) = A , 1 = A故当；l H l时，4 a三%3 7 . 试证: 由q =(0,1,1)，的 =(1,0,1)，% = (1,1,0)'所生成的向量空间就是R \证明 设A = (q ,% ,生 ) o i ia2, a3| 1 0 11 1 01 1 0= ( - ] )- '1 0 1 = — 2 H 00 1 1于是H( A ) =3故线性无关.由于％, %, %均为三维, 且秩为3,所以为必吗为此三维空间的一组基， 故由《 ， 出， 。
3所生成的向量空间就是R 33 8 . 由/ = ( l , l , 0, 0)r, a2 = ( 1 , 0, I」 ) ， , 所生成的向量空间记作) ， 由h = ( 2, - 1 , 3, 31 , 2 = ( 0, l - l , - l )r,所生成的向量空间记作4 , 试证=L2 •证明 设匕=1=切1 + % 2a 2口 出1 € M ， % = {x = 4夕1+= 川4 , 4 e M任取匕中一向量， 可写成匕q + Z 2a2 ,要证 3 + k2a2 e匕， 从而得匕c V2由 ktat + k2a2 = 入仇 + A2/ 72 得% + h = 24k ] = ^2 — 4 # f 2 4 = k \ + k ?k ? — 34 - 4 4 + 4 = A1k ) = 34 — 4上式中， 把匕也看成已知数， 把4,4看成未知数D]=： a= 2 , 0 = > 4 , 4 有唯一解—1 1• ••匕C匕同理可证：v2 G V , (•「2 = ； ：w o )故匕=% 3 9 . 验证 q =(1, -1, 0 )，必=(2 , 1, 3)， , % =(3, 1, 2 )，为/?3 的一个基， 并把v , = (5 , 0 , 7)。
”(-9 -8 -13)5"用这个基线性表示.1 2 3解 由 于 卜 ] , 2 ，蜀=-1 1 1 = - 6 # 00 3 2即矩阵( q9，3)的秩为3故 生 线 性 无 关 ，则为火的一个基.设 W = 匕4 + % 2 4 2 + & 4 3，贝I」k [ + 2 k 2 + 3k 3 = 5< 一 k、+ 卷+ ⑥=03k 2 + 2 k 3 — 7k [ =2=> < k2 =3& = T故匕=2 q + 3% - %设 岭 =4 4 + A2a2 + 4 %，贝U4 + 2 /i2 + 34 = — 9< —4 +4+4 = — 83 %+2%= - 13=>
2 , "3） = （ ， 1，2 , % ） 1’ 1（ 勺 , ”3） = 0,3）1- 110—110—1n0,V1 Y10i j 于是2（ 瓦）2, 4） = （ % ,2, % ） 2 3U 4q 1= （ % , 4 2 ，3）1 oU - i3）4V101、T ,7121■—7343由基4 ] , 外 , « 3到基bX, b2, b3的过渡矩阵为40-13To207/V一一3432341111VV■I■—711c(lu111*O-111X11=P第五章相似矩阵及二次型i .试用施密特法把下列向量组正交化:r(1)(% ,3)= 1 2 4 ;113 9 ；解根据施密特正交化方法，b =a _ 也， 2 J _2 0 2瓦瓦］ ”r-no ,I u( nI j =n 瓦3〃 ［ 」, % ］3~ 3 ［ b M 1 \ b M-2 •V(2 )( ］ , 3)=10— 111— 101- n11o j解根据施密特正交化方法, A0n-32 .下列矩阵是不是正交阵:32— 1解此矩阵的第一个行向量非单位向量， 故不是正交阵.f 1 _89497解 该方阵每一个行向量均是单位向量， 且两两正交， 故为正交阵.3 .设x为九维列向量,xTx =\ ,令H-E-2XXT, 证明H是对称的正交阵.证 明 因 为 “r=(E — 2 x x7y =E -2 (x x 7)T =E -2 (x ，)7=E-2(XT)TXT=E-2XXT,所以H是对称矩阵.因为 HTH=HH=(E-2XXT)(E-2XXT) =E- 2 x x - 2 x x + (2 x x )(2 x x )=E- 4x xI+ 4x (xIx )xI=E-4XXT+4XXT=E,所以H是正交矩阵.4 .设4与8都是八阶正交阵， 证明AB也是正交阵.证明 因为A ,8是〃阶正交阵， 故4 7 = * ,尸=",(AB )T(AB )=BTATAB =B -iA-1A B = E M AB 也是正交阵.5 .求下列矩阵的特征值和特征向量：< 2 - 1 2)(1) 5 - 3 3 ;1-1 0 - 2 J2— 4 — 1 2解 \ A- AE\ = 5 - 3 - 2 3 = -(2+ 1)\— 1 0 — 2— A故A的特征值为於-1(三重).(3对于特征值Q - 1 ,由A+E= 51T-1 2、 (\- 2 3 - 00 -1J 10n1oj010得方程(A+外日)的基础解系0=(1, 1, - 1 / ,向量”就是对应于特征值在-1的特征值向量.「1 2 3)(2) 2 1 3 ;(3 3 6)解 \ A- AE\ =Hz33-6A2-311A-23・一=-A(A+l)(A-9),故A的特征值为4 =0, A2=- l , A3=9.对于特征值为= 0 ,由人=fl 2 3、2 1 3 〜(3 3 6)fl 2 3、0 1 1^0 0 oj得方程A x=o的基础解系P产(-1, -1, 1)7,向量P l是对应于特征值4 = 0的特征值向量. (2 2对于特征值也=-1 ,由A+E= 2 2(3 3得方程(A+外人)的基础解系P2 =(-l , 1值4 2 =-1的特征值向量.\I-17337(2 2 310 0 1 ,^0 0 oj向量P2就是对应于特征对于特征值% 3=9 ,由A - 9 E 二-823得方程(A-9 E )r=0的基础解系P3=(l /2 ,征值4= 9的特征值向量.(0 0 0 1 )0 0 1 0⑴ 0 1 0 0 .I 1 0 0 oj1 1 -1〜o T,、0 0 0,1/2 , 1)；向量P3就是对应于特333-283解 \A-AE\=-A0010 - A 1001一40100 -A二 (71一1)2 (/1 + 1)2 ,故A的特征值为4 =几2 =-1,几3=% = 1.对于特征值为= 4 = - 1 ,由A + E =f l00101101100000 0 1J 10010001001000、7得方程(A+外日)的基础解系Pl =(l , 0 , 0 , -1)7,八=(0 , 1, -1, 0 ) 1向量Pl和P2是对应于特征值为=几2 =-1的线性无关特征值向量."-1 0 0 1) p 0 0 -P对于特征值旬=4=1, A-E= 8 7 1 1 8 ~ 8力0 '、1 0 0 - 1 J 10 0 0 07得方程(A-E )x =o 的基础解系P3=(l , 0 , 0 , 1)7， P4 =(O, 1, 1, 0 )r,向量P3和P4是对应于特征值丸3=办=1的线性无关特征值向量.6 .设A为九阶矩阵， 证明” 与A的特征值相同. 证 明 因 为H7-花 | =| (/一 后 )7 |二 以 一 荏 | 7=h一 /1矶所以“ 与4的特征多项式相同， 从而A ，与A的特征值相同.7.设〃阶矩阵4、8满足R (A)+ R 3)<〃 ， 证明A与8有公共的特征值， 有公共的特征向量.证明 设 R (A)=r, R⑻ =t,则 r + t
1 , b2,… ， 仇I是齐次方程组&= 0的基础解系， 则它们是8的对应于特征值在0的线性无关的特征向量.由 于 (〃 一 「 )+ (〃 - =〃 + (〃 — 厂 一 > 〃 ， 故 外 , a2,… ，an.r, b\ , b2,… ， "i 必线性相关.于是有不全为0的数kx, k2,… ,kn.r, Zb l2, •••, 人, 使左11+七敢+ …+ kn_〃 九 _「 +1 1bi + l 2 b2 +…+ -力 〃 -尸记 产 左 m + k2 a 2 +…+ /-/” -产 一 (/g1+ ， 2 ) 2 T ----则k \ , k2, k -不全为0 ,否则/ 1 , / 2,* 不全为0 ,而l i b i + l 2 b2 + …力 "- 尸 0,与仇， 历， … ， 儿T 线性无关相矛盾.因此 产0 ,渥A的也是B的关于心0的特征向量， 所以A与B有公共的特征值， 有公共的特征向量.8 .设T - 3A + 2E = O ,证明A的特征值只能取1或2.证明 设义是4的任意一个特征值,x是A的对应于X的特征向量, 则(A2-3A+2E)X=A2X-3 疝+2X= ("— 3 A + 2> = 0 .因 为xM ,所以下_3/1+ 2= 0 ,即4是方程下-3/1+ 2= 0的根， 也就是说/b=l或届2.9 . 设A为正交阵， 且囿= -1,证明是A的特征值.证明 因为A为正交矩阵， 所以A的特征值为- 1或1 .因为囿等于所有特征值之积， 又|A |二-1,所以必有奇数个特征值为- 1,即 *- 1是A的特征值.10 .设加0是m阶矩阵Ai n XnBn Xtn的特征值， 证明力 也是〃阶矩阵 BA的特征值.证明 设x是A3的对应于加0的特征向量， 则有( A 8 ) x = /?x ,于是 B (AB )x =B (Ax ),或 B A(B x )=A(B x ),从而2是BA的特征值，且 & 是 氏4的对应于4的特征向量.11 .已知3阶矩阵A的特征值为1 , 2, 3,求@ _ 542+ 7川 .解 令妖/lA T _ sR 7 4 则. 1) = 3, «2) = 2, «3) = 3 是在4)的特征值，故4_ 5不+7川= |阳) |= /I ) . a2) "3) = 3x 2x 3= 18 .12 .已知3阶矩阵A的特征值为1 , 2, - 3,求|A * + 3A + 2E |.解 因为|A |= lx 2x ( - 3) = - 6。
0 ,所以A可逆， 故A*=\ A\ A- '=- 6A~\A*+ 3A+ 2 E=- 6A^+ 3A+ 2 E.令久㈤= 一6矛1+ 37 + 2,则 /1) = — 1, a 2) = 5,奴-3) = - 5是贝4)的特征值，故|A * + 3 4+ 2目= |-6〃 + 34+ 2 耳 = | 雨) |= «1), 奴 2)•奴- 3) = — lx 5x ( — 5) = 25.13 .设A、8都是〃阶矩阵，且4可逆， 证明4 8与 附 相 似 证明 取P = A ,贝lj尸7 48 =4-么8 4= 8 4,即A 3与8 A相 彳 以 .(2 o n14 .设矩阵A = 3 1 x可相似对角化，求 尤 .14 0 5；2- A 0 1解 由 |A —花|= 3 1- /1 x = — ( 4— 1) 2( 4— 6) ,4 0 5- A得4的特征值为九=6, /2=几3= 1.因为A可相似对角化，所以对于4= 23= 1,齐次线性方程组5 -石 比= 0有两个线性无关的解，因此R ( A - E ) = L由（ A - E ） =fi o n3 0 X[ 4 04fl 0 1 10 0 x - 31, 0 0 0 J 知当m 3时R(A- E)=1,即m 3为所求.( 21 5 .已知p=(l, 1 ,-1 1是矩阵A= 5、- 1—1ab2 13 一个特征向量.一 2,(1)求参数a, b及特征向量p 所对应的特征值;解 设4是特征向量P 所对应的特征值， 则<2-/1C4TE)p=0,即 5、—1—1a— 42 Y 1、3b — 2 —2人—11 = 0 ,7解之得 A^- l ,a=- 3, b=0 .(2)问A能不能相似对角化？并说明理由.解 由2 —A|A— 花 |= 5—1一 ］- 3 - A023 = _ (2T )3,—2 —2得A的特征值为4=22=/13=1.C 一1 2 )由A—E = 5 - 2 3、 一 1 b -1?二00010-1o j知R(A- E)=2 ,所以齐次线性方程组(4 -石) * = 0 的基础解系只有一个解向量. 因此4不能相似对角化.1 6 .试求一个正交的相似变换矩阵， 将下列对称阵化为对角阵：( 2 - 2 0 )(1) - 2 1 - 2 ;(0 - 2 0 J解将所给矩阵记为A .由2—2 —2 02£|= —2 1 -A —20 - 2 -A=(l-A)(A-4)(/l+2),得矩阵4的特征值为为= -2 ,石=1, A3=4. （4 -2对于办= —2,解方程（ 4+ 2后比=0 ,即一2 3（0 - 20 丫*— 2 %=0，2 AX3?得特征向量（1 , 2, 2） 7 ,单位化得四= （ ； , |, 令7 .(1 - 2对于九2= 1,解方程( A — E ) x = 0 ,即- 2 00 - 2得特征向量( 2, 1, - 2)。
单 位 化 得 里 = ( |[ , - /f- 2 - 2 0丫百)对于办= 4,解方程( A — 4E ) x = 0 ,即- 2 - 3 - 2 x2 = 0 ,、 ° - 2 - 4人均得特征向量( 2, - 2, 1) 7 ,单位化得P 3= ( |, - |, y .于是有正交阵尸=S， P 2, P 3) ,使 P - % P = d i ag ( - 2, 1, 4) .( 2 2 - 2\( 2) 2 5 -4 .( - 2 - 4 5 J解将所给矩阵记为4由2— 4 2 — 2\ A- AE\ = 2 5- A - 4 = — ( 4— 1) 2( 4— 10 ) ,— 2 — 4 5- A得矩阵A的特征值为为= 4= 1, 23= 10 .对于4 = 4 = 1 ,解方程（ A - E比句，得线性无关特征向量（ - 2, 1, O p和（ 2,得即0 ,2Y2A41） ，将它们正交化、单位化2244-4GZX3 760 2, 4, 5尸. 对于义3=10,解方程(A-10E)x=0,即-8 2 - 2丫玉)2 — 5 — 4 % 2~2 一4 ・ 5人%3,(0}0W得特征向量(-1, -2, 2 ) ,单位化得P 3= ； ( - 1, - 2, 2)T.于是有正交阵尸=®,P2,P3) ,使 K ”=diag(l, 1, 10).(1 -2 -4A (51 7 .设矩阵A= -2 x - 2与八二 -4( 一4 - 2 1 J 1一个正交阵P ,使P、AP=A.A相似， 求x ,y ;并求y)解 已知相似矩阵有相同的特征值， 显然在5 ,在-4, 是A的特征值， 故它们也是A的特征值. 因为* -4是A的特征值， 所以5 — 2 — 4|\A+4E\=-2 x+4 -2=9(% -4)=0,解之得I- 4 -2 5 I已知相似矩阵的行列式相同，因为1 — 2 — 4|A |=-2 -4 -2 = -1 0 0 , |A|=— 4 — 2 15— 4 = -20y,y所以—20y=— 100, y=5.对于七5 ,解方程(4-5E)x=0,得两个线性无关的特征向量(1, 0,0)r,将它们正交化、单位化得p尸表。
2 = 5 ( 1 ,一4,1尸 .对于於-4 ,解方程(4+4£)*=0,得特征向量(2, 1, 21，单位化得P3=； (2,1,2)V2于是有正交矩阵尸=0CV2231323］、3724-3721372 J, 使产T「P = A . 18 .设3阶方阵A的特征值为4= 2, 4 = - 2 ,质=1;对应的特征向量依次为 P 1= ( O , 1, 1) 10 2= ( 1, 1, 1尸 , 3= ( 1, 1, 0了, 求依解 令 P=S， P 2， P 3) ,则 P - A P = d i ag ( 2, - 2, 1) = A , A=PAP-\所以f0 1因 为 尸 =1 1U 1f- 1 1 0 )1 - 1 1( 0 1 - 1)A=PNP-' =(0 1 1Y 2 0 O Y - 11 1 1 0-2 0 1U 1 0人0 0 1人 01 o )- 1 1-3、-3-2,19 .设3阶对称阵A的特征值为为=1, A2= -l,九3= 0 ;对应办、% 2的特征向量依次为P i = ( l, 2, 2) 10 2= ( 2, 1, - 2匕 求A' 玉 X2 % 3、解 设 4 =赴%5 ，贝U 4p i = 2p i , 4皿2= - 2〃2,即% 5 8 6/再+2% 2+ 2% 3= 1x2 + 2X4+2X5=2 , ----①% 3+ 2/+ 2% 6= 22% ] + % 2- 2% 3 — — 22X2+ x4—2毛 ——1 - - - - ②2X3 + X5-2X6=2再由特征值的性质， 有修+X 4+ % 6= 4+几2+丸3: =0 . - - -（ 2）由①②③解得1 1 _ 1 _ 2 1石 = 一 大 一 5 / ，% 2= 536，% 3= '一 公 升 ，令 ％6= °,得 %= -g ,X2=。
，毛= ；，*4 = 3 ,/ - I 0 2、因此 A=^ 0 1 2 .3(2 2 0； 20 .设3阶对称矩阵A的特征值为=6,/ 1 2= 3 , 4 = 3 ,与特征值4 = 6对应的特征向量为P i= ( l , 1 , 1 )1求4A,玉 x2解 设4 = %2 %4 %5 -因为办= 6对应的特征向量为p i= ( l , 1 , 1 1 ，所以有X1 + X2 + X3=6, B p < x2+x4+x5= 6 --- ①./ +% 5 +% 6= 64 = 4 3 = 3是A的二重特征值， 根据实对称矩阵的性质定理知R ( A -3 E )= L利用①可推出,玉 一 3 x2 毛 、A-3E= x2 X4-3 X51 %3 *5 % 6 -3 ,Tx21 1、% 4 -3 x5 .%5 %6 - 3 ,因为R ( 4 -3 E )= 1 ,所以历= %4 -3 = % 5且与= 犬5 =尤6-3 ,解之得工2= 13=35= 1, % [= 工4==6=4・( 4 1 n因此 A = 1 4 1 .( 1 1 4 j21 .设 a = ( Q ] , 0 2 ,.:、Q " )。
Q i , AR/ .( 1 )证明Q0是A的n -\重特征值；证明 设2是A的任意一个特征值,x是A的对应于％ 的特征向量, 则有Ax=2x,A2X=A 2x=aa' aa1 x=a 'aAx=2a 'ax,于是可得于二% ％,从而心或设办,办• • • , 4是A的所有特征值，因为A』/的主对角线性上的元素为« i2, az,… , a„ ,所以QJ+Q?2+ ・・• + 々 〃2= ^ 7 =4 ] +4 2+ * * * +4 ? ，这说明在力，凝 … ,%中有且只有一个等于5 4 ,而其余n -1个全为0 ,即/ H)是A的n-1重特征值. (2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量.解 设为=a%, 4 = • • • =%=0.因为Aa=aaTa=(aTa)a=Ai a,所以p】 =a是 对 应 于 办 的 特 征 向量 .对于4 = • • • = 4 = 0 ,解方程Ar=0, BP aaTx - Q .因为“WO,所以aTx =0 ,即 ai Xi + a2x2+ • • • + anxn=Q ,其线性无关解为2=(-2, 0,.： ", 0)1。
3=(一 “3, ° , 0) 1, ,,Pn— ( 一° , 1) •因此n个线性无关特征向量构成的矩阵为— tz2 ,,, 一a；z>. a. a. ••• 0(Pi，% 一 也 ) =・ •2・ •••1 ••• •••q o ,( 1 4 2、2 2 .设4= 0 - 3 4 ,求( 0 4 3)解 由1-/1 4 2|4一 花 | 二 0 -3 -/1 4 = -(^ -W -5 )(2 + 5 ),0 4 3-A得A的特征值为4=1, 4 = 5 ,友= -5.对于4 = 1 ,解方程(4 -£ > = 0 ,得特征向量p产(1, 0,0)4对于4 = 5 ,解方程(A-5后 比 =0 ,得特征向量P2=(2, l ,2 f对于4 = - 5 ,解方程(A+5E)x=0,得特征向量03=(1,-2, 11.令 P=( P1， P2， P3),则p-】P=diag(l, 5,-5)=A,A=PXP~\整 = 尸A］ 尸.因为A100=diag(l, 5100, 5100), 所以f lP-x= 01 01-217JR5( 001-2-5 ^2 ,1 J"12 1 Y1川 。
―0 1 -2 51 0 05.2 1 人f l 0 5吟\=0 51 0 0 0 .0 0 51 0 0丫5 0 - 5 151 0 0J o -2 J23 . 在某国， 每年有比例为P 的农村居民移居城镇， 有比例为q的城镇居民移居农村， 假设该国总人口数不变， 且上述人口迁移的规律也不变. 把n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为工 ” 和为( 为+为= 1 ) .( 1 )求 关 系 式 中 的 矩 阵A ；解由题意知xn+}=xn+qyn-pxn=(l -p)xn+qyn,yn+\=yn+pxn-qyn= pxn+(\-q)yn,可用矩阵表示为q 丫玉］5+八 P 1- 认y j因此^71 -J( 2)设目前农村人口与城镇人口相等，即 ⑻解 由 如 〕 二 止 ］ 可 知 ㈤ = 加 ㈤ • 由倦 )求%4| A 一 阳 」一厂 1_2 =(2一1 )( 4 一 1 +〃 +办得4的特征值为为= 1 , %2=r,其中r=l-p-q. 对于为=1 ,解方程(A-E)x=O,得特征向量pi=(%p)r.对于为= r ,解方程(A-rE)x=O,得特征向量〃2=(-1, 1/.令尸= (Pi， P2)= * ；),贝I」P-1AP=diag(l, r)=A,A=P\.P~\A"=PA"pT.1 (q -1Y1 OY 1 1)- p + q U 1 人。
" 人-P-_ \ ( q+pr" q -q rn\~ p + q [ p -p rn p+qrny1 ( q+ prn q -q rnN 0.5^- <：(2 1 2)( 2)设4 = 1 2 2 ,求a A )= A i°— 6A 9+5屋 .1 2 2 1 J解求得正交矩阵为， T -V3 万-1 A/3 A/2 ,、2 0 V2j使得 k A P = d ia g ( -l , 1 , 5 ) = 4 , 4 = 0 3 .于是^ A )= P ^ A )P-1= P ( A1 0-6A9+5 A8)P-1= P [A8( A -£ )( A -5 E )] P_ |= P d ia g ( l , 1 , 58)d ia g ( -2, 0 , 4 )d ia g ( -6, -4 , 0 ) K= P d ia g ( 1 2, 0 , 0 )P-1/ -I -V3 V2Y1 2 Y -1 - 12、-1 5 ^ V2 0 — 方 6 061 2 0 到 0 ^ 7 2 V2 V2j( 1 1 一2)=2 1 1 -2 .1 - 2 - 2 4；25 .用矩阵记号表示下列二次型:( 1 )/ = x2+4 x y +4 y2+2x z +z2+4 y ^ ;f l解 了= ( % , y ,z ) 2U1Y J21，y大Z,( 2) f=x2+ y2- 7z1- 2 x y - 4x z - ^y z ',' 1 -1 - 2 Y解 f=(x ,y ,z ) -1 1 一2 》1 -2 -2 -7人z j2 2 2 2( 3 ) f^X[ +式2~+工3 +式4 1 -2X]X2+4X]X3—2修 工4+6工2工3—4工2工4. 1— 1 2 — 1Y 玉解 了= （ % " %2，不， %4）— 12— 11 3 — 2 %3 1 0-2 0 1%3人 工4,2 6 .写出下列二次型的矩阵:(l)/(x )= xrK }j x;解二次型的矩阵为A = g ； ）fl 2 3、（ 2） f（x）= xT 4 5 6 x.（ 7 8 9j「1 2 3）解 二次型的矩阵为4 = 4 5 6（ 7 8 9）2 7 .求一个正交变换将下列二次型化成标准形:⑴户2Vl 2+3%22+3尤33+4必x3 ；（2 0 0、解 二次型的矩阵为4= 0 3 2 . 由10 2 3）花| 二Ao23-Ao-232一oo2得A的特征值为为=2, 4 = 5 ,几3=1.当为=2时， 解方程缶-2七. =0 ,由fo 0 0、A -2E = 0 1 2 〜( 0 2<0 1 2)0 0 1( 0 0 oj得特征向量(1,0, o f 取 Pi=(l,0,0)r.当4 = 5时， 解方程（ 4 -5石比=0 ,由[-3 0 0 )A-5E= 0 — 2 2 〜10 2 -2fl 0 0、0 1 -1^0 0 0 J 得特征向量(0, 1, I f取02=(0， *，当43=1时， 解方程(A-E)x=0,由0、(\ 0 0、0221oOZ/IIK22j0 1 1 ,0 0 oj得特征向量(0,-1,1)7.取P3=(0,- 三 ，于是有正交矩阵丁=(P1， P2， P3)和正交变换X=7>,使f=2y\2+5y22+y3'.(2)y^=X । \X2— 2X)X4— 2>¥2% 3+2工344.解二次型矩阵为A =f l1、一0111— 100— 111— 10111-A10— 111-/1- 100— 1 1 -A1— 1011-A=(2+l)(A -3)(/l-l)2,、7.由得A的特征值为义1=-1, 22=3, ^=^4=1.当4 = 7时, 可得单位特征向量P尸当4 = 3时, 可得单位特征向量P2 = ( ； , ； , - ； , - 乎.当43=4=1时， 可得线性无关的单位特征向量P 3 = + ° + ° ), P k。
吉拼•于是有正交矩阵T=(小,P2， P3， P4)和正交变换X=7＞， 使f=-y 12+3y22+y32+y42 -2 8 .求一个正交变换把二次曲面的方程3x2+5y2+5z1+4xy-4xz- 10yz= 1化成标准方程. ’ 3 2 一2、解二次型的矩阵为4 = 2 5-5.1 - 2 - 5 5 J3 — 2 2 — 2由 | A —忿| = 2 5 — 2 - 5 = — 4 ( 4 — 2 )( % - 1 1 ),得 A 的特征值— 2 — 5 5 — 2为4尸2 , 4 2 = 1 1 ，几3 = ° , *对于4 1 = 2 ,解方程( A - 2 E )x= 0,得特征向量( 4 , - 1 , 1 )丁 ， 单位化得对于4 = 1 1 ,解方程( A - 1 1七比=0,得特征向量( 1 , 2 , - 2 )［单位化得2 = (贵， - 令.对于4 3 = 0,解 方 程A x= o,得特征向量( 0, 1 , 1 ) 1单位化得于是有正交矩阵P = S , P 2 , P 3 ),使P 3 p= diag ( 2 , 1 1 , 0),从而有正交变换43 7 2_ _ 1-3 7 213 7 213232-3㈤y01仅1]\VVJ万使原二次方程变为标准方程2 , +1 1 v2= l .2 9 .明： 二次型户/ 4 *在归| = 1时的最大值为矩阵4的最大特征值 .证 明A为实对称矩阵， 则有一正交矩阵。
使得7 M L = diag ( 4 ,爸4 )= A成立， 其中4 , 4 , • • • , 4为A的特征值， 不妨设为最大.作正交变换7 =笈，H P x =Try ,注 意 到 厂 有 f=x rAx=y rTA T!y=y r\y = ^y} 2+A2y22+ •••+ % /.因为广△正交变换，所以当| | x| | = l 时，有| [ y| | = | | x| | = l , 即 ji2+y22+ • • • +y/ = l .因此/ 二办川+4为， … +4 4 2 1 ,又当》1 = 1 ,丁2 = > 3 = ・・= % = 0时/ = / , 所以/m ax = 4 .3 0. 用配方法化下列二次形成规范形，并写出所用变换的矩阵.( 1 )/ ( X i, x2, ^3 )= ^i2+3 x22+5 x32+2 x1j r2- 4 x1x3 ；解 f(X[, x2, X3)= x 1 2+3X22+5% 32+2X 1X2-4X 1X3=(X\+X2~^XT,')~-I-^X2X2~^2X'^+X^= ( 无]+*2 -2 1 3 )~ — 2 X 2 ~ +( 2 必 +为 3 )2 .令yi=xl+x2-2 x3< y2=y12x2y3=2x2+x3，即玉 二 % * % + 2%1X 2 = ®=-y/2y2 + y3二次型化为规范形f=y\ -yz +、 3 ，所用的变换矩阵为/1c=005- V 21孤- V 2A2017( 2 )/ ] , x2, x3)= Jti2+2J C32+2XIX3+2X2 -V 3；解 fiX1, %2, % 3 )= % 1 ~ +2 % 3 ~ +2 % M 3 +2 1 2 % 3= ( X1+X3)^+X32+2X2X3 j= ( % 1 +% 3 )2— X 22+te+- ^3 )2- % 二百十%3%=%2) 3=%2+工令<玉= % +为一%，即，% 3 = f + %二次型化为规范形f=y^-yi+y?,所用的变换矩阵为fl 1 -1}c= 0 1 0 .l o - l 1J 2 2(3)/(^b X2, % 3)=2%1 -+%22+4%32+2% 1%2-2%2^3.人 九1 , X2, X3)-2% 1 \X2— 2、2尤3・= 2 a + ； % 2)?+；石+ 4石- 2X2X3=2(% +^-x2)2+^(x2-2 x3)2+2xf.y尸血—a+于1 2、) 寸_ /1 屈 一正1 % 一五1劣二次型化为规范形f=y^+yi+yy,所用的变换矩阵为1 (1 ― ] — 1、。
；0 2 2 .12(0 0 1 )3 1 .设f^X ] 2+X2-+5X32+2tZX i% 2- 2 尤 1尤3+4工213为正定二次型， 求a.(1 a -A解二次型的矩阵为4= a 1 2 , 其主子式为1 -1 2 5 ) 1 aa“ =l,a 1=l—a2,1 a — 1a \ 2 =- a(5a+ 4).- 1 2 5因为f为正主二次型， 所以必有1 - /〉 （ ） 且_ （ 5 " +4 ） > 0, 解之得4-< o.3 2 . 判别下列二次型的正定性：( 1 2 % ]~ 一 6 % 2 2 — 4 工 3 2 +2 % ]% 2 +2 % 1 尤 3 ；f- 2 1 1 )解 二 次 型 的 矩 阵 为 人 = 1 - 6 0 . 因为I 1 0 - 4 Jau=- 2 <0 , -2 J6P l l > 0, | A ^- 3 8< 0,所以/ 为负定.(2 ) f=X ] 2 +3 1 2 2 +9 比 32+19 x / —2 X ]X z +4 x 送3+2龙 1工416QX4— 1213%4・」- 1 2 1 、解二次型的矩阵为4 = 21 o g .因为J - 3 - 6 1 9 ,= 1 > 0, - 1 3 = 4 > 仇= 6 > 0 , 网= 2 4 > 0,所以/ 为正定.3 3 . 证明对称阵A为正定的充分必要条件是： 存在可逆矩阵U ,使4 = 。
为，即A与单位阵E合同.证明 因为对称阵4为正定的， 所以存在正交矩阵P使P7A P = diag （ 2b 4 , … , 4 J= A , 即 A=PAPT,其中办, 几2, •一, 4均为正数.令A ]= diag （ 筋 , 展 , …， M） ,则A 二 八1A ],A=PA]A]TPT.再令U =A/pT,则 U可逆， 且4 = 也 。