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1、综合复习一. 知识网络专题三函数的概念函数的概念定? 近代定义映函数的定义传统定定义城、僵域符号心)的意义的意义解析法图象法列表法头桂述法函数的表示重点间题1 ,用解析法表出的函数中对应法则- r aas t ；2由 上 述 的 意 义引出的函数问题特有的代换一一“ 同位替换”的感悟与认知.映射的要点家的定义3的s义二. 高考考点1 .映射中的象与原象的概念；2 . 分段函数的问题:定义域、值域以及相关的方程或不等式的解的问题;3 . 复合函数的解析式、图象以及相关的最值等问题；4 . 分类讨论、数形结合等数学思想方法的应用.三. 知识要点( 一)函数的定义1、 传统定义:设在某一变化过程中有
2、两个变量X和y,如果对于某一范围内x的每个值,y都有唯的值和它对应， 那么就说y是x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量( 函数).2、现代定义:设A、B是两个非空数集， 如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x， 在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应， 那么就称f： AB为从集合A到集合B的一个函数，记作尸f(x),xe A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域; 与x的值相对应的y的值叫做函数值, 函数值的集合 f(x)|xGA叫做函数的值域.3、认知：注意到现代定义中“A、B 是非空数集” ， 因此， 今后若求得函数定义域或值域为l) 对应法则“ 俨表
3、示这样一套运算的框架:5( ) -2 ( ) +3, ( ) 1 .即 f:5( ) -2( )+3,( )1. 据此， 我们可分别对函数值与函数表达式作以诠释和辩析：f(a):对自变量x 的取值a 实施上述运算后的结果， 故有f(a)=5- -2a+3 (al);f(x):对自变量x 实施上述运算后的结果， 故有心尸51 -2x+3 (xl);1f(g(x):对函数g(x)实施上述运算后的结果, 于是有f(g(x)=5匚(x)-2g(x)+3 ( g(x)l ) 感悟:函数符号意义之下的产物或推论有比较才能有鉴别， 有品味才能有感悟. 我们仔细地比较和品味、， 不难从中悟出这样的代换规律:凡
4、 是 M的位宜上均授以.GH包 括 的 中 的 。 丁f(X)的解析式凡 是 & ) 的 位 鱼 上 均 酗 H包 括 陋 中 的 ( & ) )fg(x)的表达式我们将上述替换形象地称之为“ 同位替换” .显然， 同位替换是在函数符号的意义下产生的函数特有的替换, 它源于“ 等量替换” ， 又高于“ 等量替换” ,对于同位替换， 在两式不可能相等的条件下仍可操作实施， 这是“ 等量替换” 所不能比拟的. 由f(x)的解析式导出f(x+l)的解析式， 便是辩析两种替换的一个很好的范例.四. 经典例题例1. 在直角梯形OABC中 , 八8。 (2,13(2,0。 , 且AB=1,OC=BC=2,
5、直线l:x= t , 截此梯形所得位于1左方的图形面积为S,则函数S=f(t)的大致图象是以下图形中( )分 析1:立足于出。 在te 0,1上的函数式. 直线O A的方程为y=2x,1 (2t) t-t1故当Owtwi时，s = 2 ,， 由此否定A,B,D,应选C.分析2:运用运动的观点, 感悟函数图象所反映的函数值随着自变量的变化而变化的状态.当1在O ,D之间运动时,S随着t的增加而增加， 并且增加的速度越来越快,即AS、AS2. ASn是递增的( $是单位时间内面积的增量) ， 故排除A和B,对于C和D,由te 0,1时f(t)=1的凹凸性可排除D,故应选C.例2. 梯形OABC各顶
6、点的坐标分别为0(0,0),A(6,0),B(4,2),C(2,2),一条与y轴平行的直线1从点O开始作平行移动， 到点A为止. 设直线1与x轴的交点为M,OM=x,并记梯形被直线1截得的在左侧的图形面积为y,求 函 数y=f(x)的解析式， 定义域及值域.分析: 由于点M位置的不同, 所得图形的形状与面积不同， 故需要分类讨论， 注意到决定1左侧图形形状的关键点， 故以x=2,4分划讨论的区间.解：-1-1 J=-J(1)当0WXW2时， 上述图形是一等腰Rt ， 此时，y = 2 ， 即 2 当2 x 时， 上述图形是一直角梯形. 注意到它可分割为个等腰Rt( 确定的) 和个矩形， 此时,
7、y = - x 2 x 2 + 2 ( x - 2 32， 即 y = 2 x - 2 ;( 3)当4 = / =2x-?.2xS- g - +6x-l0.4 vxM6由此可知,f ( x )的定义域为O,2U( 2J u ( 4 6 = 0 , 6 .又当 0 x 2 时， 2 ， 即此时 0 y 2 ;当 2 x 4 时, 2 2 x - 2 6,即此时 2 y 6;当 4 x W 6 时, 62 ) ,求f ( 2 x + l)的解析式;( 2 )己 知 / S + D = K + ， 求g + 1 )的解析式.解：( 1 ) V f ( x ) =x2+ 2 x - l ( x 2 )
8、； . 以 2 x + l 替代上式中的 x 得 f ( 2 x + 1 ) =( 2 x + 1 )2+ 2 ( 2 x + 1 ) - 1 ( 2 x + 1 2 )f ( 2 x + l) =4 x2+ 8 x + 2 ( x -)( 2 )由已知得= G 6+D 一 l. , . 以 X 替代上式中的疝+ 1 f # f i ； x ) =x2- l ( x l) . , . f ( x + D=( x + i y - l ( x + l* )即 f ( x + l) =x2+ 2 x ( x 0 )点评: 上述求解也可运用换元法， 但是， 不论是“ 换元法 ， 还是上面实施的“ 同位
9、替换” , 它们都包括两个方面的替换：( 1 )解析式中的替换;( 2 )取值范围中的替换. 根据函数三要素的要求， 这两个方面的替换缺- 不可.例 4.设y =f ( 2 x + l)的定义域为 - 1 , 1 龄 -1尸x )试求不等式f ( 1 - x ) x的解集.分析: 为将不等式f ( x + l) x具体化， 根据“ 同位替换” 法则， 先求f ( l- x )的表达式.解: 由题设知， 在y =f ( 2 x + l)中有- I W x W l = - l 2 x + l 3 , r .运用“ 同位替换” 的思想在f ( x - l)中应有- 1 W X- 1 W 3 又由题设
10、知f ( x - l尸( x - i y + 2 ( x - l) + l，由、得 f ( x - l) =( x - l) 2 + 2 ( x - l) + l ( - l x - l 3 ) .,. f ( l- x ) =( l- x )2+ 2 ( l- x ) + l ( - l l- x 3 )即 f U - x ) =x 2 - 4 x + 4 ( - 2 x 2 )于是有 f ( l- x )x = X2 * 4X+ 4X ( - 2 X 2 )N X2- 5X+ 4 0 ( - 2 X 2 ) = ( x - l) ( x - 4 ) 0 ( - 2 x 2 )= l x 4
11、 ( - 2 x 2 )= l x 2因此， 所求不等式f(l-x)f(b)2fi： c),则映射f的个数为;若映射f满足f(a)+f(b)+fl： c尸0,则映射f的个数为;若映射f满 足f(a)-f(b)=f(c),则映射f的个数为.(2)设A=1,2,3,4,5,B=6,7,8,从A到B的映射f满足耳1)第2)线3)0f(4f(5),则映射f的个数为.分析: 注意到Ra)的意义: 在映射f： A -B之下A中元素a的象， 故 有 为 便 于 梳 理 思 路 ,解答这类题经常运用列表法或分类讨论的方法.解： 由 已知得f(a),f(b),f(c) eB列表法：f(a)f(b)f(c) Ra
12、)只能取0或l,f(c)只能取-1或0.根据映射的定义， 以f(a)取值从大到小的次序列表考察：f(a) f(b) f(c)1 0 01 00 -1 -1由此可知符合条件的映射是4个.列表法: 注意到f(a)+f(b)+f(c)=0,又B中三个元素之和为0的情形只有两种:0+0+0;1+(-1)+0,以a的象f(a)的取值( 从小到大) 为主线列表考察fl)f(b)f(c)00001-10-1110-11-10-110-101由此可知符合条件的映射有7个.分类讨论：f(a)-f(b)=f(c) = Ra尸f(b)+f(c)即a的象等于其它两个元素的象的和. 以象集合元素的个数为主线( 从小到大
13、) 展开讨论.( i )当象集合为单元素集合时， 只有象集0满足已知条件， 此时符合条件的映射f只 有1个 .( ii )当象集合为双元素集合时， 满足条件的象集合为-1,0或1,0-1,0:-1=0+(-1),-1=(-1)+0； 1,0:1=0+1,1=1+0 此时符合条件的映射有 4 个 .(iii)当象集合为三元素集合时, 满足条件的象集合为-1,0,1-1,0,1： 0= 1+(-1), 0=(-1)+1. . 此时符合条件的映射f有2个于是综合、( ii)、( iii)得符合条件的映射f的个数为7.(2)分类讨论: 以象集合中元素的个数( 从小到大) 为主线展开讨论.当象集合为单元
14、素集时, 象集为6或7或8,故此时满足条件的映射f有3个;( i i )当象集合为双元素集时， 先将A中元素分为两组， 有T 种分法， 又每两组的象有3种情形， 故此时符合条件的映射f有C * 3 = 1 2个；( i i i )当象集合为三元素集时， 先将A中元素分为3组， 有4 种分法， 又每三组的象只有1种情形， 故此时符合条件的映射f有4 * 1 = 6个。于是综合、( i i )、( i i i )得符合条件的映射f的个数为3 + 1 2 + 6 =2 1 .点评: 在认知出入) ( 人6川的意义以及题设条件的意义的基础上, 以象集元素的个数( 从小到大) 为主线展开讨论， 是解决此
15、类映射问题的通用方法( 通性通法) ， 请同学们在今后的解题中注意应用.例6 .已知函数出。 对任意实数x , y满足f ( x + y ) =f ( x ) + f ( y ) + x y + l,且f ( - 2 ) =- 2 .( 1 )求f U )的值;( 2 )试求满足f ( t ) =t的整数t的个数， 并说明理由.分析:这是未给出具体的函数解析式， 只给出一个函数恒等式.注意到这一恒等式的一般性， 循着“ 一般”与“ 特殊” 之间的辩证关系, 想到从“ 特殊” ( 特殊取值或特殊关系) 入手去破解“ 一般 ， 以寻出H标 .解:为了出现f( 1 ) ,在上述恒等式中令x = l
16、, y = - l得出0户f( l ) +f( - l ) 又令 x = O, y = O 得 f( O) = - l 令 x = - l , y = - l 得 f( - 2) = 2f( - l ) +2I, f( - 2) = - 2, .( 1 ) = - 2 将、代入得 R l ) = l .( 2)为利用 R 1 ) = 1 ,在上述恒等式中令 x = l 得 f( y +l ) = f( y ) +y +2 = f( y +l ) - f( y尸y +2. .当 t G Z 时， 有 f( t+l ) - f( t户t+2 ( 4 ) 根据， 运用阶差法得 f( t) = f(
17、1 ) + f( 2) - f( 1 ) +.+ f( t) - f( t- l ) ? . f( t) = 1 +( 1 +2) +( 2+2) +. .+ ( t- 1 ) +2 = 1 +2( t- 1 ) + 2 即 fi ft) = 2 2f( t) = t 2 2 - t2+t- 2= 0 ( t- l ) ( t+2) = 0 t= l 或 t= - 2点评：函数f( x )当x取正整数时的问题， 即为数列问题.所以， 这里运用( 或借鉴) 了数列求和的思想或方法( 阶差法或分项法) .看透问题， 把握本质, 解题时方能联想顺畅， 入手准确.这是我们始终所追求的境界./五.高考真
18、题( 一) 选择题1.( 2005湖北卷) 在 y = 2x, y = l og2x , y = x2, y = cos2x 这四个函数中， 当 0 X 1 x2 l 时，, 阿 +g2 恒成立的函数的个数是( ) . A.O B .l C .2 D .3分析:运用数形结合思想， 考察各函数的图象.注意到对任意X 1 , X 2C I,且X 1 0 JxMO xMO* = / = 2或1/+ 4 x + 2=” -卜 + 女+2=0 或 * = 2故本题应选c|(X4-1)JC 1 的自变量x的取值范围为( )A . (YT1 U 0 , 1 0 B . (-1-21 U 0 , l C ,
19、-a*,2l u l , 1 0 D , - 2, 0 U l , 1 0 分析:注意到解决分段函数的基本策略:分段研究， 综合结论.fx l ( 计 炉21或14-而 彳 之1 =x 1， 由此否定B ,故本题应选A(二)填空题1 . (20 0 5 江苏卷)已知 a ,b 为常数， 若 f i ； x )=x2+4 x +3, R a x +b)=x 2+1 0 x +24 ,贝 lj 5 a - b=.分析： I l f (x )=x2+4 x +3 f (a x +b)=(a x +b)2+ 4 (a x +b) +3=a2x2+(2a b+4 a )x +b2+4 b+3,，由已知条
20、件得 a2x2+(2a b+4 a )x +b2+4 b+3= x2+1 0 x +24故有2ab+4a = WA4+464-3 = 246 a = l3 %.= -7/ . 5 a - b=22.( 2005北京卷)对于函数定义域中任意的X 1 ,X 2(x / X 2),有如下结论： f i ： X | +X 2)=f (X | ) f (X 2) f (X r X 2)= f (X i )+f (X 2)R 3) 0 / 卢 如 , +/ (珀 ； 2 2当出x )=l g x 时， 上述结论中正确结论的序号是.分析: 根据对数的运算法则知正确,不正确；gg借 助 f (x )=l g
21、x 的图象， 考察 的几何意义;经过点(X i , f (X 1 ),( X 2,心 2)的直线的斜率， 可知正确;注意到f (X 尸I g X 的图象“ 上凸” ， 可知正确. 故木题应填、 、.3.( 2004浙江)已知 ,则不等式x +(x +2)R x +2)W 5 的解集是.分析：注 意 到 原 不 等 式 中 之 下 的 式 子 为 (x +2),为利用已知条件化抽象为具体， 故从x +2的符号或取值入手进行讨论和等价转化.x+22 0 JJT+2 0 3 3或= 2 s x s 2或 xf (x )- | x - l | .分析：求“ 对称曲线 的函数式或方程， 基本策略是从点的
22、对称切入探求. 而对于含有绝对值的不等式， 在运用公式或平方去掉绝对值不能实现时， “ 分类讨论” 乃是解题取胜的杀手铜.解： (1 )设 点 Q (x 0 ,y 0 )为 y =f (x )图象上任意一点， 点 Q关于原点的对称点为P (x ,y ),则有心=。r. 2l = -A- 2 . ,点 Q (x o ,y o )在函数 y =R x )图象上y o =x ()2+2x o 二代入得- y =(- x +2(- x )即 y =- x2+2x 故有 g (x 尸- x ? +2x(2) g (x )f (x )- | x - l | = 2X2- |X- 1 | l 时N x ?
23、- x +l 0 ,此不等式无解;当 XU 时,2占 。=- 3耳 . 原 不 等 式 的 解 集 为 卜 4点评: 以“ 点对称 入手破解对称问题， 以“ 绝对值的零值 分划讨论的区间,这都是解决相关问题的基本策略.2. (20 0 5上海卷)已知函数f (x尸k x +b的图象与x、y轴分别相交于点A、B , A B =芯+ 2了(儿1分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量)， 函数g (x )=x2- x - 6g(x)+l(1 )求k、b的值;(2)当x满足f (x )g (x )时,求函数/W 的最小值.分析: 对于(1 ),注意到k、b含在f (x )的解析式中， 故从探求A、B点
24、坐标切入， 利用+ 2建立方程或方程组;对于(2),则要注意立足于不等式f (x )g (x )的解集，探求所给函数的最小值.b b v2 p = i解： 由已知得A(-工， 0),B (0,b ),从 而 布 =(上， b )、又 短=(2,2),故得心 =2 = b = 2工所求k=l ,b =2.(2) f (x )g (x ) = X+2X2-X-6 = X2-2X-8 0 = -2x 4 式0 +l j_ * _ 5 (x+2)2_5(x+2)+l 1/W = x+2 = *+2 =(x +2)+ x+2-5(分离整式项)又由知 0x +26 、S2J(r+2)-I- - -1-.由
25、 得/ W 1 + 2 5= - 3当且仅当X+ 2 = X+ 2即x =-l (满足式)时等号成立.9 +1二函 数 的 最 小 值 为-3 .点评: 在这里， 运用不等式求所给函数的最小值， 函数式的分离整式项的变形至关重要.般地， 当分子次数等于分母次数时,分式可分离出一个常数项; 当分子次数大于分母次数时， 分式可分离出一个整式项.“ 分离” 整式项的手法， 是在分r实施“ 配凑” , 将分子表示为分母的函数式.3 .(2005江西卷)已知函数f l ,解关X的不等式 2 -X分析：对于(1),从已知方程的实根入手推理.对于(2),则要注意求解分式不等式的基本过程: 移项一通分分解因式
26、一转化(为整式不等式)一求解.这是解决这类问题的规范性、完整性以及完解完胜的基础与保障 .解：(1) f (x )-x +12=0 = -X+12=0将X】 =3,X2=4代入方程得方+A上=-8 3 + A 解得a = I /“2 . 八 二 口 为4 . . f(x)= 4 *(H 0 ， -&+ l + Jb 0(2)原不等式=Rx)- 2 -X = 2 -K=(2 -x )/ 一 读 + 。* + / 0 X( I )当lk2时， 由你)解 得l x 2;(II)当 k=2 时， 由你)得(X-2)2(X-1)0 = lx2;(HI)当k2时， 由伊)得l xk.于是可知， 当12时，
27、原不等式的解集为(1,2) U(k,+8).点评: 本题突出考察分类讨论与数形结合的思想.在解高次不等式时， 若采用“ 根轴法” ， 则可使解答更为快捷准确， 请同学们一试.4.(2005上海卷)对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x)， 产g(x),规定: 函数 ( 力或才 3xeDffijreD l,则x-10, h(x)24,当且仅当x=2时等号成立；若x v l,则x -l3时， 关于x的方程Rx)=f(a)有三个实数解.分析：由于二次函数与反比例函数的形式确定, 故运用“ 待定系数法” 探 求0(x)与以x);对于(2),当对方程f(x)=f(a)直接求解感到困难时， 要想到运用数
28、形结合思想， 适时转化为两个函数图象的交点问题.解： 由题意设 f|(x)=ax2, &(x)= * (k0),由 f|(l)=l 得 a=l,故 f|(x)=x2又y=f2(x)的图象与直线y=x的交点分别为A(海,B, 则由|AB|=8得k=8,故f2(x)=8 8* fi(x)=x2+ X8 . 8 8一 a 十 一 一 3 时, f 3 ( 2 ) 仅2 ) = 。- 8 0 ,当 a 3 时， 在第一象限& ( x ) 的图象上存在一点( 2 , f 3 ( 2 ) ) 在 y = f ( x ) 图象的上方.y = f2( x ) y = f 3 ( x ) 的图象在第一象限有两个
29、交点. 即方程f ( x 尸f ( a ) 有两个正数解. 于是由、知， 当 a 3 时， 方程f ( x ) = f ( a ) 有三个实数解.8 ,.8 8- a + 证法二：由 R x 尸R a ) 得 x ?+* = 。 = ( x - a ) ( x +a - 8 ) = 08； . x = a 为方程f ( x 尸f ( a ) 的一个实数解. 又 方 程 x +a - Q C = 0 可化为a x ，。 * 8 = 0 由a 3 得方程的判别式= a 4 +3 2 a 0p，- 3 , +32a - fl* +32a. . . 由解得X 2 = 2a 内= 2tfX2 0 , .
30、 * . X1 X2 且 X 2 # X 3 -o _此时， 若 X 1 = X 3 , 则有 a = = 3 a 2 = J ， +32a = a ， = 4 a = a = 0 或 a=这与a 3 矛盾， 故有x # X 3 于是由、知， 原方程有三个实数解.点评: 以上两种解法各有短长. 解法一转化为两个函数图象的交点问题， 显直观灵活， 但本题的求解头绪较多且比较隐蔽; 解法二立足于求解方程, 感觉踏实稳健， 但有时会招致复杂的运算. 对于所给相关问题究竟选择哪一种解法为上， 则要具体情况具体分析， 不可一概而论.函数的概念例 1 . 下列对应是不是从A到 B的映射，为什么？( 1 )
31、 A = R+, B = R ,对应法则是“ 求平方根” ；( 2 ) A = x | - 2 x 2 , B = y | O y l , 对应法则是“ 平方除以 4 ” ；( 3 ) A = x | 0 x 2 , B = y | O y l . 对应法则是 f : x - y = ( x - 2 ) 2 , 其中 x e A , y B ;( 4 ) A = x | 0 0 x 1 8 0 , B = y | O W y W l 对应法则是“ 求正弦” .( 5 ) A = 平面a内的圆 , B = 平面a内的矩形 , 对应法则是“ 做圆的内接矩形” .解：( 2 ) , ( 4 ) 是从
32、A到 B 的映射，因为对于集合A中的任何一个元素，按照对应法则，在集合B中都有唯的元素和它对应.( 1 ) 不是从A到 B 的映射. 因为A中的元素1 在 B 中有- 1 和 1 两个元素与之对应.( 3 ) 不是从A到 B 的映射，因为A中的元素0 在 B 中没有元素与之对应.( 5 ) 不是从A到 B 的映射. 因为一个圆有无穷多个内接矩形，即 A中任何一个元素在B 中都有无穷多个元素与之对应.例 2 . 点(x,y)在映射f 下的象是Q x-y,2x+y),求点(4, 6)在映射f 下的原象.4 1解：由映射的定义得+y?解得卜5-21所以点(4, 6)在映射f 下的原像是( 二,1).
33、例 3 . 下列函数f(x)与 g(x)是否表示同一个函数？为什么？(1) f(x)=(x-l), g(x尸 1. (2) f(x)=x, g(x)=V ? . (3) f(x)=x2, g(x)=(x+l)2.分析： 中 f(x)与 g(x)的定义域不同.(2)中 f(x)与 g(x)的定义域相同但值域不同.(3)f(x)与 g(x)的定义域相同. 值域也相同，但对应法不同. 所以它们都不表示同一个函数.例 4 . 以墙为一边，用篱笆围成一个长方形的场地，并且用平行于一边的篱笆隔开( 如右图1 ).已知篱笆总长为定值Z ,(1 )写出场地面积, y 为边长x 的函数表达式，并指出函数的定义域
34、.(2 )当边长x 为何值时，场地面积最大？并求出最大值.解：(1)由题设可知: 另一 边长为/3 x ,于是y=x(13x), x ( 0 ,三) . y=x(/-3x)=-3x2+/x=-3(x- * )2+ 12,当!_ x = f 时，场地面积y 最大= 1 2 ,此时另一边长为上.例 5 . ( 1 ) 已知 f(x+l)=x J 2 ,求 f(x).(2)已知 f(x)+2f( 工尸3 x ,求 f(x).( 3 ) 已知 f(x)为二次函数，且 f(x+l)+f(x-l)=2x2-4x 求 f(l-企 ) 的值.解： 方 法 1：令 x+ l= t,则 x=t-l,于 是 , f
35、(t)=-(t-1 )2-2=-t2+2t-3=-x2+2x-3方法 2： / f(x+l)=-(x+l)2+2(x+l)-3 f(x)=-x2+2x-3.I I 3 I 2 由 f(x)+2f(H )=3x 得 f( 工)+2f(x)=1 . 联立消去f(工) ，得 f(x)= H-x.(3)分析：要求G-点 ) ，只要求出转x)即可，可设：f(x尸ax?+bx+c. 利用待定系数法求f(x).解：设 f(x)=ax2+bx+c,则 1 )=a(x+1 )2+b(x+1 )+c=ax2+(b+2a)x+a+b+cf(x-1 )=a(x-1 )2+b(x-1 )+c=ax2-(2a-b)x+a
36、-b+c*/ f(x-1 )+f(x+1 )=2X2-4X /. 2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x /. 2a=2, 2b=-4, 2a+2c=0,a=l, b=-2, c=-l, /. f(x)=x2-2x-l )=0.评注：求函数表达式的主要方法有凑法，换元法，待定系数法. 如果已知复合函数flg(x) 的表达式时，常用换元法，如方法一，当已知复合函数表达式比较简单时，可用直接配凑法，如方法二，如果已知函数解析式的构造时可用待定系数法，如( 3 ),特殊情况. 采用特殊方法处理. 如(2).例6 .求下列函数的值域.l-3 x(l)y=2x*l (2) y=2a -4 x *34
37、7(3 )y =石 +3 (4) y=2x-3+*l 3- 4x5产必可十后亨l-3 xI解： 产 2* + 1 =.3 - 2x + 1 =-，- 2x - 1_ 3+5 12 2 2* + 1法, 值域是 y|y# - ,yG R).ax+b评注：对于形如产cx + d的函数求值域，常采用离析常数，使分子不含X ,从而求出函数的值域.(2)V 对于 2X2-4X+3, A=(-4)2-4X2X3=-80,函数定义域为 R,原函数化成2yx?_4yx+3y-5=0, xC R且y翔， ，关于x的方程应有A=16y2-4-2y (3y-5巨0,/. 0对. . . _ 契 尸2, . . 值域
38、是 一 弓,2).评注：已知两个变量的关系如其中一个变量的范围，可以求出另一变量的范围._ 13- 尸 13 T l 1(4 )设1=113_4_ ,则* = 4 (t 0 ) .于是，y=2- 4 -3+t=- - (t-l)2+4(t0),在区间 0,+8)上，当t= l时，ymax= 4 .而y没有最小值，故函数的值域为(Q,4 .评注：采用换元法，把原函数求值域的问题转化成二次函数求值域的问题. 是求值域的常用方法，应注意新自变量的定义域.(5)尸 火 1 =|x+l|+|x-2|.它表示数轴上任一点P(x)到定点A(-1),B(2)间的距离之和，如右图. Q当 P 点在线段 AB 上
39、时，|x+l|+|x-2|=3, - _ _1 _-当P点在A点左侧或B点右侧时|x+l|+|x-2|3, . . . 在3. 2 人0 B例 7 . 在边长为4 的正方形A B C D 的边上有一动点P , 从 点 P 开始沿折 线 B C D 向点A 运动，设点P 移动的距离为x, A A B P 的面积为y , 求 y=f( x)的定义域.1 1解：(1)点P在BC边上时， 图甲， 有y=之4x=2x. (2)点P在CD边上运动时， 图乙， 有y= = 44=8.(3)点P在D A边上时, 如图丙，有|AP|02-x.则 广 二4(12-x)=24-2x.综上,01 J44 x RK 7
40、 12，f( x淀义域是 0 , 1 2 .评注：建立函数关系要注意考虑实际问题的各个方面，注意从实际意义出发确定自变量x的范围 .三、综合练习：( 1 )已知 f( 2 x+ l ) = 3 x- 2 且 f( a ) = 4 ,则 a 的值为. ( 2 )若 3 f( x) + 2 f(工) = 2 x,则 f ( x ) = .x - 5 ,x A T/ ( x + 2), x 6 ,则的尸3 4 _( 4 )已知f( x)的值域为 M , 9 , 求 产f( x) + J 1一 ( x) 的值域.参考答案：(1-1( 1 )令 2 x+ l = a , x= 2 , f( a ) =
41、3 , 2 - 2 = 4 , a = 51( 2 )用 H 代 替3 f( x) + 2 f( H ) = 2 x中的X得3 f( 工) + 2 f( x户 ,两式联立,2 f 消去人工) 得f( x) = 5 x. 5x .( 3 ) f( 3 ) = f( 3 + 2 ) = f( 5 ) = f( 5 + 2 ) = f( 7 ) = 7 - 5 = 2 .所以 f( 3 ) = 2 ._ 3 4 1 1( 4 )令1 =小 - = ( * =曲 )=2， 又：8 f(x) j i - 2 f( x) 工 l 一 尸 J 7= 3 t y= 2 + t = - - ( t - l )2
42、+ l n t = 3 时，ymi n= - - ( 3 - 1 )2+ 1 = ji 2 _i 7t = 时，yma x= - / ( - l ) + l = 8 .在线测试选择题1 .设 f： A-B 是集合A到 B 的映射，下列命题中正确 的 是 () .C A 、A中不同元素必有不同的象 U B、B 中的每一个元素在A中必有原象C C 、A中每一个元素在B 中必有象 U D 、B 中每一个元素在A中的原象唯一2 .点( x, y) 在映射f 下的象是( 2 x- y, 2 x+ y) 求点( 4 , 6 ) 在 f 下的原象() .C A 、( 二，1 ) C B、( 1 , 3 )
43、C C 、( 2 , 6 ) C D 、( - 1 , - 3 )3 .函数y =#一4 - J * -I 的定义域是().C A、T W x W l C B、x WT 或 xl C c、O W x W l C D i 2x4 . 函 数 y = 3 x - 4 的值域是 ()._- -r T - I - I_ _C A、( - 8 , 3 ) U ( 3 , + 8 ) c B、( - 8 , 3)U(3,+8)- h_ _rC c、R CD、( - 8 , 3 ) u ( 3 , + o o )5 . 已知集合P = x| 0 W xW 4 , Q = y| 0 W yW 2 , 下列各表
44、达式中不表示从P 到Q 的映射的是() .答案与解析答案：1 、C 2 、A 3 、D 4 、B 5 、C解析：( 1 ) 选 C .产7=4 5 设 ( 4 , 6 ) 在 f 下的原象是( x, y ) , 则1 2 工 = 6,解之得x= 2 , y= i , 应选A .( 3 ) 由题意 l - x 2 0 且 x T 2 0 , TWx Wl 且 x W T , x2 l , x= l , 选 D .2 * j 3 x - 4 * 4 2+8 1 2由 y = 3 M - 4 = 3 3 j r - 4 = 3 3 . 3 x - 4 , . y 3 ,应选 B.2 8 2( 5 )
45、 ；0 W xW 4 , ，0 W 3 x 3 = 2 3 , 应选 c.函数学习指导1 . 函数是高中数学教学的重点在初中阶段的后期开始接触函数，进入高中在第一章学习了集合的有关知识后，第二章即用集合、映射的思想重新定义函数，研究函数的般性质，加深对函数的理解.中学数学的许多内容都与函数密切有关. 方程和不等式可以看作函数值变化的某种特殊情况，这一点大家在学习一元二次不等式、 元二次方程和二次函数的关系时有所体会；指数函数与对数函数是运用刚学的函数知识研究的最简单的超越函数；三角函数是以角为自变量的特殊函数；数列可看作定义域为正整数集或其有子集 1，2 n 的函数当自变量从小到大依次取值时对
46、应的一列函数值；极限、导数与微分、积分更是函数及其应用研究的深化和提高. 可以说，函数的内容贯穿于中学数学教学的始终，其重要性自不待言.2 . 函数一章中的有关重点在初中阶段，大家对函数已有了一些基于变量对应的感性知识，进入高中后，为了深入理解函数概念，首先学习了映射的概念，然后利用集合映射的概念阐述函数的比较近代的定义，继而研究函数的定义域、值域、函数的单调性与奇偶性、反函数等带普遍性的问题，这些都是今后研究各种函数所需讨论的问题，因此，这些内容都是函数教学的重点.3 . 函数一章中的有关难点函数的符号y = f ( x ) 仅仅表示y是 x的函数，这一点大家往往不能很好地理解把握，错误地将
47、y= f ( x ) 看成一个等式或方程；求函数的值域情况比较复杂，没有处处都能适用的通法，要根据各种不同的情况采用各种不同的方法，只能在学习的过程中逐步介绍，大家须灵活应用；有关函数的单调性、奇偶性及与反函数相联系的综合问题，要进行比较抽象的探讨和证明，大家一开始往往不知从何下手、如何推断.4 . 关于函数的概念用集合与映射的概念理解函数，这既是教学的重点，也是教学的难点. 一般用以旧带新进行比照的方法引入函数的新定义及表示符号y = f ( x ) . 关键是要对新定义的本质有比较深刻的理解. 大家受到初中学过的具体函数如一次函数、二次函数及反比例函数的影响，往往将函数等同于解析式，认为函
48、数就是y的值可以用x的一个解析式f ( x ) 加以表示. 要纠正大家的这种错误定向思维，教师要通过一些具体的实例使大家加深对函数概念本质的理解. 例如某地某I I 2 4 小时气温T随时间t 而变化符合函数的概念，这一函数不可能用一个解析式表示，但它可通过气象站气温自动记录仪描绘出的曲线表示，即可用图象法表示. 又如可引入函数f ( x尸I。 ， * 为 无 理 效 ，可说明它是定义在实数集上的函数，即对任一实数x, f ( x) 在集合 1, 0 中都有唯一的值与之对应，定义域、值域和对应法则都简单明确，完全符合函数的新定义，但这一函数既无法用解析式表示，也无法作出图象来.可以通过举例让大
49、家进一步理解函数是由定义域、值域和对应法则所确定的，其中的值域可由定义域和对应法则确定：l ) y= x2- 2x+ l ( xGR ) 与 S = ( t- l ) 2( tGR ) 是同一函数. 因为定义域、值域和对应法则完全相同，即函数的确定与变量字母的选取无关.2) y= x+ l y= X-l是不同的函数. 虽然第二个函数化简后与第一个函数的解析式完全相同，但其定义域为xR l ,与第一个函数定义域为实数集R不同，因而两者是不同的函数.3) y= x2, xG 0 ,1 与 y= x3, xS 0 ,1 , 两个函数的解析式虽不一样，但定义域、值域和对应法则完全相同，都有x= 0 时
50、，y = 0 ； x =l时，y =L 因此这两个函数是同一函数.4 ) y = x 与 产 值是不同的函数， 这一点既可由值域不同得到，也可由x -1 K 02 . 函数 甘, 工之 , 若f ( l ) + f ( a ) = 2,则a的所有可能值为( )也A . l B - - 2 C . 1, - 2 D . 1, 23 . 若函数出x)是定义在R上的偶函数， 在( 一8 ,0 )上是减函数， 且 出2) = 0 ,则 使f ( x) 0时f ( x) = k， 则当x-2时,f ( x) = ( )A - XB x+2c.- x+21D - x-25 . 已知y= f ( x)是R上
51、的减函数， 且y= f ( x)的图象经过点A ( 0 ,l )和点B ( 3, - 1) ,则不等式必1的解集为( )A . ( - l ,2) B . ( 0 ,3) C . ( - ,- 2) D . ( - ,3)为 氏2 Xj 4-JiX6 . 已知f ( x)是定义在R上的单调函数， 实数 目 力 与 ， 士 # 一1 ,二=1 + 3 , B= 1 + 2. 若/ 风)“ 1/(6 -顺 )A . - - 0 B . - = 0 C . 0 - - 127 . 若函数R x尸卜8，“ - 3 ( a 0 ,a # l )在区间( 一 之， 0 )内单调递胤则a的取值范围是( )2
52、 3 9 9A . L 二,1) B . 4 ,1) C.(4 ,+ o o ) D . ( l , 4)8. 已知f ( x)是定义在R上的函数,且满足f ( x) + f ( xl ) = l ,当xe 0 ,l B tf ( x) = 3现有4个命题：f ( x)是周期函数， 且周期为2 ;当xC l ,2时,； 为 偶 函 数 ；3f ( - 20 0 5. 5) = 4 .其中正确命题的个数是( )二. 填空题.1 .若函数f ( x) =卜匹： 怔 - ( a # ) )的图象关于直线x= 2对称， 则a=.2 . 已 知 函 数y= f ( x)的 反 函 数 为y= g ( x
53、) ,若f ( 3) = 1,则 函 数y= g ( x - 1)的 图 象 必 经 过点.3 . 定义在R上的函数R x)对一切实数x都有( If ( x) = x,则函数f ( x)图象的自身关于 对称.4 . 设R x)是定义在R上的偶函数， 且f ( x+ 3尸1 f ( x) ,又当乂 (0 1 时的尸2* ,则f(1 7 .5 )=.三. 解答题.1.设函数忖 =2 + ， 求使f ( xa2点的x的取值范围.3 . 设f ( x)是定义在R上的增函数， 若不等式f ( l- a x - 1 ) 0 ,则有心) 一2 ,求证:f ( x )在R上为增函数.( 3 )若数列K 满 足
54、 力= - 3， 且对任意ndN*有-= f ( n ) ,试求数列K )的前n项和 三 .答案与解析：一. 选 择 题 .1. 选D .分析: 这里f ( x )为奇函数， 由此否定B . C;又f ( x )在 - 1 , 1 上单调递减， 由此否定A .故应选D .2 . 选C .分析: 注意到这里a的可能取值至多有3个， 故运用代值验证的方法.当 a = l 时， 由 f i ； l) +f ( a尸2 得 f ( l) = l;由f ( x )的表达式得f ( l) = W = 1 ,故a = l是所求的一个解， 由此否定B .i/2 42 X当a = - 2 时， 由f ( x )
55、的表达式得f ( - 2 尸s i n 2 = 1 ,又RD = 1 ,故f ( l) +R 2 ) = 2 , a = - 2 是所求的一个解， 由此否定A . D .3 . 选D.分析: 由f l x )在( 一o o , 0 )上是减函数， 且f ( x )为偶函数得Rx )在( 0 , +o o )上是增函数，. . 一) 在 ( -8, - 2 上递减， 在 2 , +8)上 递 增 . 又：f ( 2尸0 , . . f ( - 2 ) = 0. 小) 在( -8, - 2 上总有姓) 汶-2尸0 仙) 在2 , +8)上总有心) 汶2尸0 / . 由知使f ( x ) 0，再由已
56、知得 f(-2 -x )= -2 -X 于是由得当x v - 2 时 f(x尸 一2一X,即 Rx尸一 *+ 2 . 应选C.5 . 选A. 分析: 由已知条件得f(0)=l,f(3)=- 1,. l/(x 4-1)1 t - l /(x + D /(x + D /(0) ( 小)又 Rx)在 R 上 为 减 函 数 . . . . 由你) 得 0x+l3 = -lx火 曲 一, Si， 由此否定D;当 o 2 1分划上述线段的定比分点( 内分点) ,Xi a 0 注意到g(0),故 u=g(x)在( 一 二，0)上为减函数. 2又 产 f(x)在( 一 工，0)上为增函数， .y=Ig 在
57、U的相应区间上为减函数. .oal2再由得u = g (x)= 灸I在 ( 一 二，0)上满足u wo 2而 U， = 3 x -d在(-21 ,0)上为减函数， 且是R 上的连续函数. 13 3 3. . . 由得u ( 一 ) 0 二 -a 于是由, 得 ； a 2 - - 2 2 2 = 2 2 *. -. f (x) 2 = k + i|-k -1 2 当X 1时， 不等式二(x +1 ) (X 1 ) -J当一I W x v l 吐由得,(x +l )(l x )N 二-bJb(3 )当 x - =2 - 成立.3 3=x 2 4 即 4 x i ；二- i即一 2之 二 不成立.3
58、,l U l ,+o o )他就是 4 ,+o o )点评: 对于复合函数y= f p(x ) ,令u= p(x ),将其分解为y= f (u),u= p(x ).于是所给问题转化为内层函数u= p(x )的问题或转化为外层函数y= f (u)的问题. 这种分解-一转化的手法,是解决复合指数函数或复合对数函数的基本策略.2. 分析: 注意到f (x )为分式函数， 故相关方程为分式方程， 相关不等式为分式不等式， 因此， 求解此类问题要坚定地立足于求解分式问题的基本程序: 移项， 通分， 分解因式; 化分 为整 以及验根等等.- - 川2 = 0解： 将* 1 = 3 ,内 =4分别代入方程皿
59、 +A 得93a + b- f3a+b = -l16 g (4a4-b = -2 | = -14a + b 由此解得 也 =2f (x )= 2 X (x #2 ).，9 + D xY x3(2 )原不等式 = 2 -K 2 - x = 2 -J 2 - x ox3 -(fc+1)x 4-Jt (x-P(x A J= 2 - X o = 2X 0注意到这里k l ,( i )当l k 0 = x l 且 x #2 . . . . 原不等式的解集为(l ,2 )U (2 ,+8 );(i i i )当 k 2 时， 原不等式的解集为(1 ,2 ) U (k ,+o o )；于是综合(i ) (i
60、 i ) (i i i )得：当 1 2 时， 原不等式解集为(1 ,2 )U (k ,+8 );点评: 在这里， 运用根轴法求解不等式(x 2 )(x -l )(x k ) 0 快捷准确. 此外， 在分式不等式转化为高次不等式后， 分类讨论时不可忽略对特殊情形: k = 2 的讨论; 综合结论时需要注意相关情况的合并, 以最少情形的结论给出最佳答案.3. 分析: 所给不等式含有抽象的函数符号f , 故首先需要“ 反用” 函数的单调性定义脱去转化为普通的含参不等式的问题. 进而， 再根据个人的熟重和爱好选择不同解法.解: ：f ( x ) 是 R 上的增函数.不等式耳1 -ax 工 一 ) f
61、 ( 2 a) 对任意xG 0 , l 都成立.= 不等式1 ax * 0 对任意xG 0 , l 都成立 解法-： ( 向最值问题转化， 以对称轴的位置为主线展开讨论. )令 g ( x 尸工+ ax a+ 1 , 则式= g ( x ) 0 对任意x G 0 , 1 都成立.= g ( x ) 在区间 0 , 1 上的最小值大于0 . 注意到g ( x ) 图象的对称轴为x=-2( 1 ) 当一 2 W 0 即 * 0 时， 由得 g ( 0 ) 0 = - a+ l 0 = a l , g p 0 a l ;a a a1当 0 v2 g l 时， 即一2 % 0 = 1 a 4 0 +
62、4 a4 0= (ff + 2) 8 当一2 W a 1 即 a 0 2 0 即当a 一2时, 不等式成立.于是综合( 1 ) ( 2 ) ( 3) 得所求实数a 的取值范围为 0 , 1 ) U - 2 , 0 U ( - 0 0 , - 2 ) , 即 - 毛 ( - 8 , 1 ) .解法二: ( 以的取值为主线展开讨论) 对于二次三项式g ( x ) = 工 + ax a+ 1 ,其判别式= ； ? + 4 ( a- l ) = -3 + 4 a- 4 0 = S + |+2(25 2- -2 a 0对任意x0都成立， 此时一2 e -2a0对任意xE 0,1都成立得AN0AN0耐00
63、 4 - 4 I202月0a 0I a 0A2 0afi -2 a 0 或(ab2)*BA0s 0或A之0AWO 或 ANO 或ANOo v a v l -2M .M。 ta-2 = 22 -2a0在 xe0,1上成立， 以g(x)的判别式的取值为主线展开讨论， 两种解法各有千秋， 都解决这类问题的主要策略.以XX为主线展开讨论， 这是讨论有理有序， 不杂不漏的保障.4 . 分析: 为了认知和利用已知条件， 从“ 特取” 切入： 在已知恒等式中令& =0得 f(o尸一2.为利用R0)=2,寻觅出 x)的关系式， 又在已知恒等式中 令 看 = x ,勺 = - x 得f(O)=f(x)+f(x)
64、+2 故得 f(x)+f(x)=4证明(1),由 此 式 展 开 . 对 于 (2)面对抽象的函数f(x),则只能运用定义；对于(3),这 里 2片血加+ 产f(n+l),因此从已知恒等式入手寻觅 a” 的递推式或通项公式， 便称为问题突破的关键.解： 证明: 在已知恒等式中 令 * = q =0得 f(0)=- 2 又已知恒等式中 令 * = x ,与 = x 得 f(O)=f(x)+f(x)+2 f(x)+f(x)=- 4 设M(x,f(x)为 y=f(x)的图象上任意一点re(z)+ f(-H)- 2-1)= 0则由得L 2 由知点M(x,f(x)与 N (-x,代 一x)所成线段M N
65、 的中点坐标为(0,-2),/. 点 M 与点N 关于定点(0, 2)对称. 注意到点M 在 y=f(x)图象上的任意性， 又点N 亦 在 y=f(x)的图象匕故由知y=Rx)的图象关于点(0,-2 )对称.(2)证明: 设三， 三为任意实数， 且 号 与， 则与 一 % 0. . . 由已知得f( 4 - X1 ) -2 注 意 到 与 = ( 三一工1 )+-由本题大前提中的恒等式得 )=f (z- -与 ) +% =f ( 三 一三 )+ 我3)+ 2. *. f (X2 )- f (l 尸f 产 a - -I )+ 2 (6 )又由知f (三 一 i )+ 2 0 , ； . 由得出三
66、)一或号 ) 0 , 即 出 三 ) f (Z i ) .于是由函数的单调性定义知, f (x )在 R 上为增函数.与(3 )f t? : V a =f (n ), / . a | =f (l )= , 即+ E n + l )又由已知恒等式中令工 = n , 三 = 1 得 f (n + l 尸f (n )+ f (l )+ 21 2, a (i + 1 = a “ + 3 , , an+ i an ? (n G N * )5 2由此可知， 数列 am是首项为)1 = 3 ， 公差为3 的等差数列.5 心一D 1 I： . = - 3 n + 2 X 3 即 J = (n2- l l n ).点评: 充分认识与利用已知条件中的恒等式， 是本题解题的关键环节.对于(1)由此导出f (x )+ f (- x 尸一4 ;对于(2 )由此导出f (三 尸出三 )+ f (% - )+ 2 ;对于由此导出f (n + l )=Rn )+ f (l )+ 2 即 a n - L .面对具体问题， 审时度势， 适当赋值, 充分利用题设的资源， 充分体现恒等式， 为题所设， 为“ 我” 所用的酣畅慷慨.
