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1、第 01练 空间向量及其运算、空间向量基本定理善积累运用【 知识梳理】知识点一向量的概念与向量的模【 向量概念】既有大小又有方向的量叫做向量( 如物理中的矢量:速度、加速度、力) ,只有大小没有方向的量叫做数量( 物理中的标量:身高、体重、年龄) . 在数学中我们把向量的大小叫做向量的模,这是一个标量.【 向量的几何表示】用有向线段表示向量, 有向线段的长度表示有向向量的大小, 用箭头所指的方向表示向量的方向. 即用表示有向线段的起点、终点的字母表示,例如标、皮 ,字母表示,用小写字母之、总表示. 有向向量的长度为模,表示为| 靛| 、百 ,单位向量表示长度为一个单位的向量;长度为。的向量为零
2、向量.【 向量的模】族的大小,也就是乱的长度( 或称模) ,记作| 屈| .【 零向量】长度为零的向量叫做零向量,记作1 ,零向量的长度为o ,方向不确定.【 单位向量】长度为一个单位长度的向量叫做单位向量瓦( 与耗共线的单位向量是lABl【 相等向量】长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性.知识点二平行向 ( 共线)1、平行向量:方向相同或相反的非零向量. 如果Z,b- 3是非零向量且方向相同或相反( 向量所在的直线平行或重合) ,则 可 即 位 任 一 组 平 行 向 量 都 可 移 动 到 同 一 条 直 线 上 ,因此平行向量又叫共线向量,任一向量都与它自身是平行向量
3、,并且规定,零向量与任一向量平行.2、共线向量:如果几个向量用同一个起点的有向线段表示后, 这些有向线段在同一条直线上, 这样的一组向量称为共线向量. 零向量与任一向量共线.说明:(1)向量有两个要素:大小和方向.( 2)向量Z与向量i共线的充要条件是:向量4与向量6的方向相同或相反,或者有一个是零向量.共线向量又叫平行向量,指的是方向相同或方向相反的向量.知识点三两向量的和或差的模的最值【 知识点的知识】向量的虽然有大小和方向, 但也还是可以进行加减. 就像速度是可以加减的一样,向量相加减之后还是向量. 当两个向量相加时,有N+E国力+ 后| , 当且仅当之与E方向相同时取得到等号;也有N+
4、E国 图 - | 讪,当且仅当Z与E方向相反时取得到等号.另外还有。 -bl| al - lbll当且仅当之与E方向相同时取得到等号.知识点四向量的加法【 知识点的知识】向量的加法运算求几个向量和的运算叫向量的加法运算,其运算法则有二:( 1)三角形法则:设Z与E不共线,在平面上任取一点A ( 如 图1) ,依次作标=a, BC=Z,则向量叫做Z与E的和,记作Z+E,即7+芯 = 族 + 前 = 正图1特征:首尾相接的几个有向线段相加,其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点.( 2)平行四边形法则:如图2所示,ABC)为平行四边形,由于标=灰 ,根据三角形法则得 标 + 屈 = 标 + 前
5、 =正 ,这说明,在平行四边形A8C。 中,所表示的向量就是屈与屈的和.特征: 有共同起点的两个向量相加, 其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线 . ( 首尾相接,结果为首尾)图2( 3)向量的加法性质 a+ 0= 0+ a= a; a+( - a) = 0; a+b= b+ a; (a+b)+ c= a+( b+ c) 知识点五向量的臧法【 知识点的知识】向量的减法及其几何意义:求两个向量差的运算叫向量的减法运算.法则:以将向量与向量6的负向量的和定义为之与E的差,即Z -E=Z +(-E) .设 之 = 金 ,b=OB.则 . 即 = 赢 - 丽 = 赢 + ( - 而 )
6、= 赢 + 丽 = 丽 + 5 1 = 痴 . 即 赢 - 丽 = 诬特征;有共同起点的两个向量W、V 其 差 W - E 仍然是一个向量,叫做Z 与E的差向量,其起点是减向量E的终点,终点是被减向量之的终点. ( 减终指向被减终)知识点六向量的三角形法则【 知识点的知识】三角形法则:设之与E 不共线,在平面上任取一点A ( 如 图 1 ) ,依次作标=4,正 = 6 则向量叫做二与E的和,记作Z + E ,即1 + 芯 = 标 + 前 = 菽特征:首尾相接的几个有向线段相加,其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点.知 识 点 七 向量加减混合运算【 知识点的知识】1 、向量的加法运算求几
7、个向量和的运算叫向量的加法运算,其运算法则有二:( 1 )三角形法则:设之与E不共线,在平面上任取一点A ( 如 图 1 ) ,依次作族= a , 皮 = b ,则 向 量 叫做Z 与E 的和,记作W + E ,即晶 石 = 族 + 前 = 菽特征:首尾相接的几个有向线段相加,其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点.( 2 )平行四边形法则:如图2所示,A B C 。为平行四边形,由于标=前 ,根据三角形法则得 标 + 屈 = 标 + 前 =正 ,这说明,在平行四边形A8C。 中,所表示的向量就是屈与屈的和. 特征:有共同起点的两个向量相加,其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对
8、角 线 . ( 首尾相接,结果为首尾)( 3)向量的加法性质 a+ 0= 0+ a= a; a + ( - a) = 0; a+b= b+ a; ( a+b)+c= a + ( b+ c) 2、向量的减法运算.求两个向量差的运算叫向量的减法运算.法则:以将向量”与向量b 的负向量的和定义为Z 与E的差,B P a - b= a + ( - b) .设 之 = 金 ,b=OB则 . 即 = 赢 - 而 = 示 + ( - 而 ) = 赢 + 丽 = 丽 + 51=而 .BPOA-OB = BA特征;有共同起点的两个向量、b - 其 差 仍 然 是 一 个 向 量 ,叫做Z与E的差向量,其起点是减
9、向量E的终点,终点是被减向量之的终点. ( 减终指向被减终)知识点八向量数乘和线性运算【 知识点的知识】( 1)实数与向量之的积是一个向量,记作入之,它的大小为仇之| = 仇| | 力,其方向与入的正负有关. 若仄之快0 , 当儿0 时,入 Z 的方向与Z 的方向相同,当入0 时,入 Z 的方向与力的方向相反. 当入= 0 时,入 a与Z平行. 对于非零向量。 、b ,当? # 0 时,有 2 匕 = 2= 九 6( 2)向量数乘运算的法则 1 a= a;( - 1)a= a; ( 入 g a = ( H)a=N ( 入 a) ; ( 九 +i) a= a+ na;九( a+b)=a+b.一般
10、地,n +几 叫做Z ,E的一个线性组合( 其中,限 N均为系数) 如果7 = 武 + 国 ,则称i 可以用之,5线性表示.基础过关综1. ( 2022镇海区校级模拟)已知向量沅, 元, 则“ 存在实数; I , 使得玩= 而 ” 是“ 所 , 万共线” 的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2 . ( 2 0 2 2 江西模拟) 已知向量4=( 2 , 4 ) , 5 = ( - 2 , , ” ) ,.a + h=a-b,则机= ( )A . / 3 B . 1 C.毡 D . 2347r3 . ( 2 0 2 2 洛阳模拟) 已知向量 1
11、 = ( 1 , s i n 。 ) ,6 = ( - 1 , co s,则“ ( = 下 ” 是“ G / / 5 ” 的 (4)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4 . ( 2 0 2 2 辽宁模拟) 已知点P为A 4 B C 的重心,A 8 = 3 , A C = 6 , A = ,点Q是线段3 P 的中点,贝 ”而|为( )A . 2 B . - C . 6 D.-2 25 . ( 2 0 2 2 乌鲁木齐模拟) 若平面向量万与5 = ( 1 , - 1 ) 方向相同,且| & | = 2 & , 则& = ( )A . ( - V 2 ,
12、 V 2 ) B . ( V 2 , - V 2 ) C . ( - 2 , 2 ) D . ( 2 , - 2 )6 . ( 2 0 2 2 榆林二 模 ) 已知|函 |= |通 |= 2 , |函 = 1 , 则 例 + 3 函 = ( )A . 2 B . 4 C . 7 1 0 D . V 1 57 . ( 2 0 2 1 浙江模拟) 已知&, 6 为单位向量,向量守满足|2 1 : + 利= |无6 | , 则| - 6 的最大值为( )A . B . 2 C . y/3 D . 38 . ( 2 0 2 2 吕梁一模) 在 A A B C 中,。为 3 C 的中点,EB = 2 A
13、 E , AF = 2FC, E F 与 A D 交于 G , A G = A A D ,则几= ( )_ _ 3 _ , _ .9 . ( 2 0 2 1 新乡二模) 在Z V U 5 c 中, 荏 = 一 ( 而 + 同 , 。为 BC边的中点,则( )A. 3AE = 1ED B. 1AE = 3ED C. 2AE = 3ED D. 3AE = 2ED二 . 填 空 题 ( 共 6 小题)10. ( 2022呼和浩特一模)已知菱形A8C。的边长为3, NBAO=120。 ,点 E , F 分别在边BC, CD h , 且满足8 g = 后 ? , 口 = 2。 户,贝 1|4百+ 4 尸
14、|= .11. ( 2022惠农区校级三模) 设2 , 6 是两个不共线的非零向量, 若 向 量 % + 26与8G + 防的方向相反,则 =.12. ( 2021贵溪市校级模拟)若 向 量 岫 = - 3 8 , 则向量油与向量C/5共线. ( 判断对错)13. ( 2021芜湖模拟)已知1 , b , 5 是单位向量,a + b + c = 0 , 贝力&- 5| =.14 . ( 2022重 庆 模 拟 ) 点 M 在 AABC内 部 , 满 足 2环 ( + 3M月+ 4MC = 。 , 则“ M A C S/MAB =-15. ( 2022长安区校级三模) 在 AABC中, 43 =
15、 2 , AC = . 。是 8 c 边上的中点, 则 A b 8不的值为.n _ .16. ( 2020滨州三模) 已知O 是三角形? 1BC内部一点, 满足04 + 20月 + 加 片 = 。, 戛 理 = 9 ,SM BC 7则实数机=( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 517. ( 2017宝鸡三模)已知点尸是圆:/ + , 2 = 4 上的动点,点A, B, 。是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点,且 A反3 c = 0 , 则|% + 尸方+ 尸小的最大值为( )A. 5 B. 6 C. 7 D. 818. ( 2020天津)如图,在四边形 ABCD中,ZB = 6O, AB
16、= 3, B C = 6 ,且 A/5 = ;18C,AD.AB = ,则 实 数 彳 的 值 为若 M , N是线段BC上的动点,且则26D M D N的 最 小 值 为 .19. ( 上海) 已知平面向量1、b、; 满足且 伍|5| , |可 = 1 , 2, 3 ,则|d +石+ 即的最大值是.20. ( 2019广元模拟) 在 A48C 中,4 4 c = 90。 ,= 1 , AC = 2 ,设点 P ,。满足 A 户=4A 2,A Q = ( -A) AC, 2e/?, B Q CP = - 2 ,贝= ( )124A. - B. - C. - D. 233321. ( 2013浙江模拟)已知AABC中,A B A Ct |丽 - 恁| = 2 ,点M是线段BC ( 含端点)上的一点,且而心( 4万+祕) =1 ,则|A M 1的 取 值 范 围 是 .