《第01练 平面向量及其线性运算-2022年【分层作业】高一数学（人教A版必修第二册）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第01练 平面向量及其线性运算-2022年【分层作业】高一数学（人教A版必修第二册）（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 01练 空间向量及其运算、空间向量基本定理善积累运用【 知识梳理】知识点一向量的概念与向量的模【 向量概念】既有大小又有方向的量叫做向量（ 如物理中的矢量：速度、加速度、力） ，只有大小没有方向的量叫做数量（ 物理中的标量：身高、体重、年龄） . 在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量.【 向量的几何表示】用有向线段表示向量， 有向线段的长度表示有向向量的大小， 用箭头所指的方向表示向量的方向. 即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如标、皮 ，字母表示，用小写字母之、总表示. 有向向量的长度为模，表示为| 靛| 、百 ，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为。的向量为零
2、向量.【 向量的模】族的大小，也就是乱的长度（ 或称模） ，记作| 屈| .【 零向量】长度为零的向量叫做零向量，记作1 ,零向量的长度为o ,方向不确定.【 单位向量】长度为一个单位长度的向量叫做单位向量瓦（ 与耗共线的单位向量是lABl【 相等向量】长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性.知识点二平行向 （ 共线）1、平行向量：方向相同或相反的非零向量. 如果Z，b- 3是非零向量且方向相同或相反（ 向量所在的直线平行或重合） ，则 可 即 位 任 一 组 平 行 向 量 都 可 移 动 到 同 一 条 直 线 上 ，因此平行向量又叫共线向量，任一向量都与它自身是平行向量
3、，并且规定，零向量与任一向量平行.2、共线向量：如果几个向量用同一个起点的有向线段表示后， 这些有向线段在同一条直线上， 这样的一组向量称为共线向量. 零向量与任一向量共线.说明：（1）向量有两个要素：大小和方向.（ 2）向量Z与向量i共线的充要条件是：向量4与向量6的方向相同或相反，或者有一个是零向量.共线向量又叫平行向量，指的是方向相同或方向相反的向量.知识点三两向量的和或差的模的最值【 知识点的知识】向量的虽然有大小和方向， 但也还是可以进行加减. 就像速度是可以加减的一样，向量相加减之后还是向量. 当两个向量相加时，有N+E国力+ 后| , 当且仅当之与E方向相同时取得到等号；也有N+
4、E国 图 - | 讪，当且仅当Z与E方向相反时取得到等号.另外还有。 -bl| al - lbll当且仅当之与E方向相同时取得到等号.知识点四向量的加法【 知识点的知识】向量的加法运算求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：（ 1）三角形法则：设Z与E不共线，在平面上任取一点A （ 如 图1） ,依次作标=a, BC=Z,则向量叫做Z与E的和，记作Z+E，即7+芯 = 族 + 前 = 正图1特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点.（ 2）平行四边形法则：如图2所示，ABC）为平行四边形，由于标=灰 ，根据三角形法则得 标 + 屈 = 标 + 前
5、 =正 ，这说明，在平行四边形A8C。 中，所表示的向量就是屈与屈的和.特征： 有共同起点的两个向量相加， 其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线 . （ 首尾相接，结果为首尾）图2（ 3）向量的加法性质 a+ 0= 0+ a= a； a+（ - a） = 0； a+b= b+ a； （a+b）+ c= a+（ b+ c） 知识点五向量的臧法【 知识点的知识】向量的减法及其几何意义：求两个向量差的运算叫向量的减法运算.法则：以将向量与向量6的负向量的和定义为之与E的差，即Z -E=Z +（-E） .设 之 = 金 ，b=OB.则 . 即 = 赢 - 丽 = 赢 + （ - 而 ）
6、= 赢 + 丽 = 丽 + 5 1 = 痴 . 即 赢 - 丽 = 诬特征；有共同起点的两个向量W、V 其 差 W - E 仍然是一个向量，叫做Z 与E的差向量，其起点是减向量E的终点，终点是被减向量之的终点. （ 减终指向被减终）知识点六向量的三角形法则【 知识点的知识】三角形法则：设之与E 不共线，在平面上任取一点A （ 如 图 1 ） ,依次作标=4,正 = 6 则向量叫做二与E的和，记作Z + E ，即1 + 芯 = 标 + 前 = 菽特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点.知 识 点 七 向量加减混合运算【 知识点的知识】1 、向量的加法运算求几
7、个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：（ 1 ）三角形法则：设之与E不共线，在平面上任取一点A （ 如 图 1 ） ,依次作族= a , 皮 = b ,则 向 量 叫做Z 与E 的和，记作W + E ，即晶 石 = 族 + 前 = 菽特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点.（ 2 ）平行四边形法则：如图2所示，A B C 。为平行四边形，由于标=前 ，根据三角形法则得 标 + 屈 = 标 + 前 =正 ，这说明，在平行四边形A8C。 中，所表示的向量就是屈与屈的和. 特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对
8、角 线 . （ 首尾相接，结果为首尾）（ 3）向量的加法性质 a+ 0= 0+ a= a； a + （ - a） = 0； a+b= b+ a； （ a+b）+c= a + （ b+ c） 2、向量的减法运算.求两个向量差的运算叫向量的减法运算.法则：以将向量”与向量b 的负向量的和定义为Z 与E的差，B P a - b= a + （ - b） .设 之 = 金 ，b=OB则 . 即 = 赢 - 而 = 示 + （ - 而 ） = 赢 + 丽 = 丽 + 51=而 .BPOA-OB = BA特征；有共同起点的两个向量、b - 其 差 仍 然 是 一 个 向 量 ，叫做Z与E的差向量，其起点是减
9、向量E的终点，终点是被减向量之的终点. （ 减终指向被减终）知识点八向量数乘和线性运算【 知识点的知识】（ 1）实数与向量之的积是一个向量，记作入之，它的大小为仇之| = 仇| | 力，其方向与入的正负有关. 若仄之快0 , 当儿0 时，入 Z 的方向与Z 的方向相同，当入0 时，入 Z 的方向与力的方向相反. 当入= 0 时，入 a与Z平行. 对于非零向量。 、b ,当? # 0 时，有 2 匕 = 2= 九 6（ 2）向量数乘运算的法则 1 a= a；（ - 1）a= a； （ 入 g a = （ H）a=N （ 入 a） ； （ 九 +i） a= a+ na；九（ a+b）=a+b.一般
10、地，n +几 叫做Z ，E的一个线性组合（ 其中，限 N均为系数） 如果7 = 武 + 国 ，则称i 可以用之，5线性表示.基础过关综1. （ 2022镇海区校级模拟）已知向量沅， 元, 则“ 存在实数; I , 使得玩= 而 ” 是“ 所 , 万共线” 的（)A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2 . ( 2 0 2 2 江西模拟) 已知向量4=( 2 , 4 ) , 5 = ( - 2 , , ” ) ，.a + h=a-b,则机= ( )A . / 3 B . 1 C.毡 D . 2347r3 . ( 2 0 2 2 洛阳模拟) 已知向量 1
11、 = ( 1 , s i n 。 ) ，6 = ( - 1 , co s,则“ ( = 下 ” 是“ G / / 5 ” 的 (4)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4 . ( 2 0 2 2 辽宁模拟) 已知点P为A 4 B C 的重心，A 8 = 3 , A C = 6 , A = ，点Q是线段3 P 的中点，贝 ”而|为( )A . 2 B . - C . 6 D.-2 25 . ( 2 0 2 2 乌鲁木齐模拟) 若平面向量万与5 = ( 1 , - 1 ) 方向相同，且| & | = 2 & , 则& = ( )A . ( - V 2 ,
12、 V 2 ) B . ( V 2 , - V 2 ) C . ( - 2 , 2 ) D . ( 2 , - 2 )6 . ( 2 0 2 2 榆林二 模 ) 已知|函 |= |通 |= 2 , |函 = 1 , 则 例 + 3 函 = ( )A . 2 B . 4 C . 7 1 0 D . V 1 57 . ( 2 0 2 1 浙江模拟) 已知&, 6 为单位向量，向量守满足|2 1 ： + 利= |无6 | , 则| - 6 的最大值为( )A . B . 2 C . y/3 D . 38 . ( 2 0 2 2 吕梁一模) 在 A A B C 中，。为 3 C 的中点，EB = 2 A
13、 E , AF = 2FC, E F 与 A D 交于 G , A G = A A D ,则几= ( )_ _ 3 _ , _ .9 . ( 2 0 2 1 新乡二模) 在Z V U 5 c 中， 荏 = 一 ( 而 + 同 ， 。为 BC边的中点，则( )A. 3AE = 1ED B. 1AE = 3ED C. 2AE = 3ED D. 3AE = 2ED二 . 填 空 题 （ 共 6 小题）10. （ 2022呼和浩特一模）已知菱形A8C。的边长为3, NBAO=120。 ，点 E , F 分别在边BC, CD h , 且满足8 g = 后 ？ , 口 = 2。 户，贝 1|4百+ 4 尸
14、|= .11. （ 2022惠农区校级三模） 设2 , 6 是两个不共线的非零向量， 若 向 量 % + 26与8G + 防的方向相反，则 =.12. （ 2021贵溪市校级模拟）若 向 量 岫 = - 3 8 , 则向量油与向量C/5共线. （ 判断对错）13. （ 2021芜湖模拟）已知1 , b , 5 是单位向量，a + b + c = 0 , 贝力&- 5| =.14 . （ 2022重 庆 模 拟 ） 点 M 在 AABC内 部 ， 满 足 2环 （ + 3M月+ 4MC = 。 ， 则“ M A C S/MAB =-15. （ 2022长安区校级三模） 在 AABC中， 43 =
15、 2 , AC = . 。是 8 c 边上的中点， 则 A b 8不的值为.n _ .16. （ 2020滨州三模） 已知O 是三角形？ 1BC内部一点， 满足04 + 20月 + 加 片 = 。， 戛 理 = 9 ,SM BC 7则实数机=（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 517. （ 2017宝鸡三模）已知点尸是圆：/ + , 2 = 4 上的动点，点A, B, 。是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且 A反3 c = 0 , 则|% + 尸方+ 尸小的最大值为（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 818. （ 2020天津）如图，在四边形 ABCD中，ZB = 6O, AB
16、= 3, B C = 6 ,且 A/5 = ；18C,AD.AB = ,则 实 数 彳 的 值 为若 M , N是线段BC上的动点，且则26D M D N的 最 小 值 为 .19. （ 上海） 已知平面向量1、b、; 满足且 伍|5| , |可 = 1 , 2, 3 ,则|d +石+ 即的最大值是.20. （ 2019广元模拟） 在 A48C 中，4 4 c = 90。 ，= 1 , AC = 2 ,设点 P ,。满足 A 户=4A 2，A Q = （ -A） AC, 2e/?, B Q CP = - 2 ,贝= （ ）124A. - B. - C. - D. 233321. （ 2013浙江模拟）已知AABC中，A B A Ct |丽 - 恁| = 2 ,点M是线段BC （ 含端点）上的一点，且而心（ 4万+祕） =1 ,则|A M 1的 取 值 范 围 是 .
