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1、第七章第七章 截交线和相贯线截交线和相贯线形体被平面所截形体被平面所截两形体相贯两形体相贯多形体组合多形体组合一、截交线和相贯线的一、截交线和相贯线的概念概念： 在复杂形体的表面上，经常出现一些交线，在复杂形体的表面上，经常出现一些交线，这些交线有些是由于形体被平面所截而产生，这些交线有些是由于形体被平面所截而产生，有些则是由两形体相交而产生。有些则是由两形体相交而产生。7 71 1 概述概述 u截平面截平面: :假想用于截切形体的平面称为假想用于截切形体的平面称为截平面截平面; ;u截交线截交线: :形体被平面所截，产生的形体表面上形体被平面所截，产生的形体表面上的交线；的交线；u断面断面:
2、 :截交线所围成的平面图形称为截交线所围成的平面图形称为断面断面；u相贯线相贯线: :两形体相交两形体相交( (又称为相贯又称为相贯) )，所产生的，所产生的表面交线。表面交线。截截交交线线共有性共有性表面性表面性封闭性封闭性封闭性封闭性表面性表面性共有性共有性相相贯贯线线截平面与形体表面所共有。截平面与形体表面所共有。截交线的点都在形体的表面上。截交线的点都在形体的表面上。形体有一定大小，截交线多构成封闭的平面或形体有一定大小，截交线多构成封闭的平面或空间图形。空间图形。相贯线为参加相交的两形体共有点的连线。相贯线为参加相交的两形体共有点的连线。相贯线上的点为相交两形体的表面上的点。相贯线上
3、的点为相交两形体的表面上的点。形形体体的的体体积积有有一一定定大大小小，故故相相贯贯线线多多为为封封闭闭的平面或空间图形。的平面或空间图形。二、特性：二、特性：772 2 截交线截交线v平面体上的截交线平面体上的截交线v曲面体上的截交线曲面体上的截交线SCBAP截交线截交线一、平面体被截一、平面体被截1、棱锥上的截交线、棱锥上的截交线u截交线形状截交线形状：多为封：多为封闭的折线图形，转折闭的折线图形，转折点为平面体的棱线与点为平面体的棱线与截平面的交点；截交截平面的交点；截交线所围图形的形状随线所围图形的形状随截平面的位置、数量、截平面的位置、数量、形体种类及其各表面形体种类及其各表面的相交
4、情况而变化的相交情况而变化。u实质实质：求交点的连线。：求交点的连线。例例1 四棱锥被一正垂面四棱锥被一正垂面P截切，求截交线。截切，求截交线。 PV1234dcbas4321dcbasu连线原则：连线原则：只有位于只有位于形体形体同一侧面同一侧面以及以及同同一截平面一截平面上的两个点上的两个点，才能相连。，才能相连。例例2 求带切口正四棱锥的表面交线，补出缺少的投影求带切口正四棱锥的表面交线，补出缺少的投影 。整理内容：整理内容：包括被截掉的包括被截掉的棱线的处理；两截平面的棱线的处理；两截平面的交线；可见性判定等。交线；可见性判定等。PVQVRV12(3)4(5)13245123456(7
5、)7667888例例3 求被截四棱锥的表面交线。求被截四棱锥的表面交线。abcacba (b)c2棱柱上的截交线棱柱上的截交线例例4 四棱柱被截，求截交线四棱柱被截，求截交线;并补出其并补出其W投影。投影。 12(3)4(5)1235476543216(7)7(5)6(4)例例5 求下面形体的求下面形体的H投影图。投影图。 例例6 6 正四棱柱上有一直角三角形的孔，求出该形体的投影图。正四棱柱上有一直角三角形的孔，求出该形体的投影图。 9(10)7(8)1(2)5(6)3(4)10(4)9(3)217(5)8(6)12345678910可见性判定原则：位于可见性判定原则：位于形体可见的表面上的
6、点形体可见的表面上的点的投影才可见。的投影才可见。二、曲面体被截二、曲面体被截u曲面体被平面所截，截交线上的点为截平面与曲面体曲面体被平面所截，截交线上的点为截平面与曲面体表面的共有点，求出足够的共有点，然后依次连接起表面的共有点，求出足够的共有点，然后依次连接起来，即得截交线。求共有点的基本方法有：素线法、来，即得截交线。求共有点的基本方法有：素线法、纬圆法等，求共有点时，通常先求出特殊点：即各极纬圆法等，求共有点时，通常先求出特殊点：即各极限位置点（最高、低、最前、后、最左、右等）和形限位置点（最高、低、最前、后、最左、右等）和形体各轮廓线与截平面的交点等，如有必要，再求出一体各轮廓线与截
7、平面的交点等，如有必要，再求出一些一般位置点，光滑连线即可。些一般位置点，光滑连线即可。1.圆柱上的截交线圆柱上的截交线u形状：圆柱被平面所截，截交线共有形状：圆柱被平面所截，截交线共有3 3种形状：种形状：直线直线、圆圆和和椭圆椭圆，见，见P125P125的表的表7-1(7-1(jcaijcai) )。u作图方法：举例如下作图方法：举例如下例例1 求圆柱被正垂面所截得的表面交线及求圆柱被正垂面所截得的表面交线及W投影投影jcai。 作图方法：找特殊点及一般点，光滑连线即得。作图方法：找特殊点及一般点，光滑连线即得。讨讨论论问问题题：45或或 45时时，截截交交线线投投影影（尤尤其是其是W投影
8、）有何变化？投影）有何变化？123( 4)5(6)7(8)1234567812345678例例2 补出带切口的圆柱的补出带切口的圆柱的H、W投影。投影。 aaab(c)bccbd(e)deed例例3 补出带切口及空洞的圆柱的补出带切口及空洞的圆柱的W投影。投影。 45例例4 补全被切圆柱的补全被切圆柱的H、W投影。投影。45452.圆锥上的截交线圆锥上的截交线形状：五种：圆、椭圆、抛物线、双曲线和三形状：五种：圆、椭圆、抛物线、双曲线和三角形素线。参见教材角形素线。参见教材P128P128表表7 72(jcai)2(jcai)。方法方法: :素线法、纬圆法。素线法、纬圆法。应用举例。应用举例。
9、例例1 求圆锥被正垂面所截的截交线求圆锥被正垂面所截的截交线(jcai)。 PVabc(d)abcd步骤：步骤：1、判断截交线、判断截交线形状；形状；2、求特殊点，、求特殊点，如最高、低、前如最高、低、前后点；再求一般后点；再求一般位置点；位置点；3、光滑连线。、光滑连线。1(2)3(4)1234例例2 求圆锥被铅垂面所截的截交线。求圆锥被铅垂面所截的截交线。 PHaabcdebcde双曲线双曲线例例3 求被截圆锥的求被截圆锥的H、W投影投影(jcai)。1(2)12123334(5)4545u当球被水平面所截，截交线为水平圆，其当球被水平面所截，截交线为水平圆，其H投影为圆的实形，投影为圆的
10、实形，V、W投影积聚成线段，长度等该圆的直径。投影积聚成线段，长度等该圆的直径。u当球被正平面所截，截交线为平行于当球被正平面所截，截交线为平行于V投影面的圆，其投影面的圆，其V投影反映投影反映圆的实形，圆的实形，H、W投影积聚成线段，长度等于该圆的直径。投影积聚成线段，长度等于该圆的直径。u 当球被侧平面所截，截交线为平行于当球被侧平面所截，截交线为平行于W投影面的圆，其投影面的圆，其W投影反投影反映圆的实形，映圆的实形，V、H投影积聚成线段，长度等于该圆的直径。投影积聚成线段，长度等于该圆的直径。3.球上的截交线球上的截交线(jcai)形状：不论截平面的位置如何，球体被平面所截，截交形状：
11、不论截平面的位置如何，球体被平面所截，截交线的实形总是圆。截交线的投影随截平面的位置、特性线的实形总是圆。截交线的投影随截平面的位置、特性和数量等而不同，具体情况如下：和数量等而不同，具体情况如下：作图方法：作图方法：纬圆法。纬圆法。例例1 一正垂面截球，求截交线。一正垂面截球，求截交线。 123(4)12134234步骤：步骤：1、找点，包括椭圆长短轴、找点，包括椭圆长短轴端点及一般位置点，以便光端点及一般位置点，以便光滑连接。滑连接。2、整理。、整理。5(6)7(8)56786578例例2 半球被截，求出投影。半球被截，求出投影。 例例3 3 已知一球体的已知一球体的V V投影如图所示，想
12、象出与其对应的投影如图所示，想象出与其对应的H H、W W投影，并补出来。投影，并补出来。非孔非孔 通孔通孔作业：作业：P58-64。P61第第6题题例例4.7-3 简单体的读图简单体的读图u什么是形体的什么是形体的读图读图? 根据形体的视图，想象出形体的空间形状根据形体的视图，想象出形体的空间形状和结构，这一过程即为读图。和结构，这一过程即为读图。一、读图的基本知识一、读图的基本知识u投影规律（投影规律（2 2个对应关系）；个对应关系）；u掌握各种位置直线和平面的投影特性，尤其是投影面掌握各种位置直线和平面的投影特性，尤其是投影面垂直面的投影特性；垂直面的投影特性；u掌握基本体的投影特性；掌
13、握基本体的投影特性；u读图时，要按照投影关系，把有关的视图联系起来分读图时，要按照投影关系，把有关的视图联系起来分析；见下页图。析；见下页图。u了解视图中了解视图中“线线”的含义：的含义：代表积聚的面；代表积聚的面；表示平面与平面的交表示平面与平面的交线（形体棱线）；线（形体棱线）；代表曲面的转向轮廓素线，见下图。代表曲面的转向轮廓素线，见下图。u了解视图中了解视图中“线框线框”的含义：视图中某一封闭图形称为线框。的含义：视图中某一封闭图形称为线框。视图中每一线框，一般代表形体的一个表面，可能是平面，也视图中每一线框，一般代表形体的一个表面，可能是平面，也可能是曲面，还可能是相切的组合面，特殊
14、情况下是空洞。可能是曲面，还可能是相切的组合面，特殊情况下是空洞。 u视图中反映表面的线框在其他视图中的对应视图中反映表面的线框在其他视图中的对应投影，有两种情况：即类似形或一线段。例如，投影，有两种情况：即类似形或一线段。例如，在某视图中的投影为线框，而另一投影没有与在某视图中的投影为线框，而另一投影没有与它对应的类似形时，其对应的投影一般积聚为它对应的类似形时，其对应的投影一般积聚为一线段，这个关系简述为一线段，这个关系简述为“无类似形必积聚无类似形必积聚”，如右图所示，进行对比。，如右图所示，进行对比。二、读图的基本方法二、读图的基本方法 u断面延伸法（抽拉法）；断面延伸法（抽拉法）；u
15、切割法切割法 ；u叠加法叠加法 ；u线面分析法线面分析法 。V1.端面延伸法比较适合于具有一定端面特征的形体。端面延伸法比较适合于具有一定端面特征的形体。 2.V切割切割法法3.V4.5.V叠加叠加法法切割切割法法VVV6.叠加叠加法法7.线面分线面分析法或析法或叠加法叠加法8.ABCDabcda(b)d(c)abcd线面分线面分析法析法小结小结 以上方法不是孤立的，而是有机联系的，学会综合使以上方法不是孤立的，而是有机联系的，学会综合使用它们，并加强用它们，并加强由图到物由图到物，再，再由物到图由物到图的反复训练、思考的反复训练、思考和推敲，读图能力定会有极大地提高。和推敲，读图能力定会有极
16、大地提高。 由形体的两个投影求第三个投影由形体的两个投影求第三个投影, ,即所谓的即所谓的“二求二求三三”问题，是画法几何的重点内容，希望多加重视。问题，是画法几何的重点内容，希望多加重视。7-4 相贯线相贯线u相贯线的特性（共有性、表面性、封闭性）。相贯线的特性（共有性、表面性、封闭性）。u影响相贯线的形状的因素影响相贯线的形状的因素(.建筑制图学习辅导系统建筑制图学习辅导系统 (F)建建筑制图辅学课件筑制图辅学课件第七章第七章.pps)： 1.参加相交的两形体的种类（平、曲面体）；参加相交的两形体的种类（平、曲面体）； 2.参加相交的两形体的相对位置和大小。参加相交的两形体的相对位置和大小
17、。 3. 形体是否对称等。形体是否对称等。一、两平面立体相贯一、两平面立体相贯u两平面立体相贯，相贯线一两平面立体相贯，相贯线一般为般为闭合的空间折线闭合的空间折线，折线，折线的每一段均是甲立体的一侧的每一段均是甲立体的一侧面与乙立体的一侧面的交线，面与乙立体的一侧面的交线，折线的折线的转折点转折点则是一形体的则是一形体的侧棱与另一形体的侧面的交侧棱与另一形体的侧面的交点，故点，故两平面形体相贯时,相贯线的求作，实质实质就是求就是求两平面的交线或直线与平面两平面的交线或直线与平面的交点。的交点。u说明说明：我们只研究两立体中：我们只研究两立体中至少有一个立体是垂直于投至少有一个立体是垂直于投影
18、面时的相贯线的求解。影面时的相贯线的求解。房屋上的烟囱房屋上的烟囱ABCDEF例例1 已知三棱柱与三棱锥相交，求相贯线。已知三棱柱与三棱锥相交，求相贯线。 方法步骤：方法步骤：1）求）求贯穿点贯穿点；2）按照）按照连线原则连线原则，连接贯穿点；连接贯穿点；3）可见性判定可见性判定。 164532sabc1cbas23456全贯利用积聚性利用积聚性求作相贯线求作相贯线互贯见P133连线原则连线原则：只有位于：只有位于甲立体同一表面甲立体同一表面和和乙立体同一表面乙立体同一表面上的两个上的两个点，才能连线。点，才能连线。 可见性判定原则可见性判定原则：只有位于甲、乙：只有位于甲、乙两立体均可见的表
19、面上的交线才两立体均可见的表面上的交线才可见可见；否则，均不可见，符合如下规则：；否则，均不可见，符合如下规则：例例2 已知屋面及其上气窗的已知屋面及其上气窗的V、W投影，求其投影，求其H投影。投影。 abdcea(c)e(d)abcdebABCDE若无若无W投影时投影时： abdcea2bcde121例例3 求棱锥与棱柱的相贯线。求棱锥与棱柱的相贯线。辅助平面法（见辅助平面法（见动画动画12-112-1）u特性特性：相贯线是两立体表面的共有线，也是两立体表面的分界线。：相贯线是两立体表面的共有线，也是两立体表面的分界线。u形状：形状：一般情况下，相贯线是由几段平面曲线组成的封闭空间曲线，一般
20、情况下，相贯线是由几段平面曲线组成的封闭空间曲线，每一段平面曲线都是平面立体的表面与曲面立体表面的截交线，相邻每一段平面曲线都是平面立体的表面与曲面立体表面的截交线，相邻两段平面曲线的连接点（或结合点）就是平面立体的棱线与曲面立体两段平面曲线的连接点（或结合点）就是平面立体的棱线与曲面立体的贯穿点，故求平面立体与曲面立体的相贯线，的贯穿点，故求平面立体与曲面立体的相贯线，实质实质上就是求作平面上就是求作平面立体的表面与曲面立体的截交线和平面立体的棱线与曲面立体的贯穿立体的表面与曲面立体的截交线和平面立体的棱线与曲面立体的贯穿点。点。二、平曲相贯二、平曲相贯见动见动画画16-7。例例1 给出圆柱
21、薄壳基础的主要轮廓线，求作相贯线。给出圆柱薄壳基础的主要轮廓线，求作相贯线。 12a3b41(4)2(3)ab1(2)4(3)abAB例例2 求正四棱锥与圆柱的相贯线。求正四棱锥与圆柱的相贯线。abcd123456b(c)a(d)132(4)56见动画见动画16-7。例例3 求圆锥与坡屋面的相贯线，如图。求圆锥与坡屋面的相贯线，如图。 acbdef125364de( f)b( c)3(4)5( 6)1(2)aPV例例4 求三棱柱与圆锥的相贯线。求三棱柱与圆锥的相贯线。见动画见动画16-2。三、曲曲相贯三、曲曲相贯u相贯线相贯线形状形状：(.建筑制图学习辅导系统建筑制图学习辅导系统 (F)建筑制
22、图辅学课件建筑制图辅学课件圆柱相贯圆柱相贯1.wmv)( .建筑制图学习辅导系统建筑制图学习辅导系统 (F)建筑制图辅学建筑制图辅学课件课件曲面体相贯曲面体相贯1.wmv) 一般为封闭的空间曲线，特殊情况下为平面曲线或直线，求一般为封闭的空间曲线，特殊情况下为平面曲线或直线，求解两曲面立体的相贯线，实际上就是求它们的表面共有点，亦即解两曲面立体的相贯线，实际上就是求它们的表面共有点，亦即素线与素线的交点。在求共有点时，应先求出特殊点（相贯线上素线与素线的交点。在求共有点时，应先求出特殊点（相贯线上的最上、下，最前、后，最左、右点），它们一般是轮廓线上的的最上、下，最前、后，最左、右点），它们一
23、般是轮廓线上的点，并且往往能从图上直接确定。点，并且往往能从图上直接确定。u求解相贯线的求解相贯线的常用方法常用方法： 1表面取点法表面取点法 2辅助平面法辅助平面法例例1 下图所示两圆柱相贯下图所示两圆柱相贯,求相贯线求相贯线(.建筑制图学习辅导系统建筑制图学习辅导系统 (F)建筑制图辅学课建筑制图辅学课件件圆柱相贯圆柱相贯1.wmv 。1表面取点法表面取点法:(利用形体表面积聚性，直接求作相贯线利用形体表面积聚性，直接求作相贯线)1234561(3)4212(4)35(6)56思考：思考：1）本例中，若将竖直圆柱视为孔，则三投影会有可变化？）本例中，若将竖直圆柱视为孔，则三投影会有可变化？
24、(.建筑制图学习辅导系统建筑制图学习辅导系统 (F)建筑制图辅学课件建筑制图辅学课件圆柱相贯圆柱相贯2.wmv)圆圆孔孔2）两圆柱直径相等，相贯线会有何变化？）两圆柱直径相等，相贯线会有何变化？例如生活中常用的两例如生活中常用的两通、三通管道等。通、三通管道等。见动画见动画16-4.3）水平圆柱直径小于竖直圆柱直径时，相贯线会有何变化？）水平圆柱直径小于竖直圆柱直径时，相贯线会有何变化？两圆柱垂直两圆柱垂直相交相交,相贯相贯线总是弯向线总是弯向直径较小者。直径较小者。2辅助平面法辅助平面法u原理原理：三面共点。：三面共点。u辅助平面选择原则辅助平面选择原则：1、使其截两立体所得截交线、使其截两
25、立体所得截交线的形状最简单，如圆、矩形、的形状最简单，如圆、矩形、三角形等；三角形等；2、辅助平面多选择、辅助平面多选择投影面平投影面平行面行面，如水平面、正平面等。，如水平面、正平面等。 例例1 求圆台与球的相贯线。（求圆台与球的相贯线。（ .建筑制图学习辅导系建筑制图学习辅导系统统 (F)建筑制图辅学课件建筑制图辅学课件曲面体相贯曲面体相贯1.wmv) ）例例2 求四分之一球体与圆柱相贯的相贯线求四分之一球体与圆柱相贯的相贯线 。1234567812345678例例3 求求两两斜斜交交异异径径圆圆柱柱的的相相贯贯线线。12345678152(8)3(7)4(6)371(5)2(4)8(6)
26、243.特殊情况下相贯特殊情况下相贯 1相贯线是相贯线是直线直线 轴线平行的两圆柱相贯时，相贯线是直线，见下图；轴线平行的两圆柱相贯时，相贯线是直线，见下图； 两圆锥共顶时，相贯线是直线，见下图。两圆锥共顶时，相贯线是直线，见下图。 2 2相贯线是相贯线是平面曲线平面曲线图一图一圆柱、圆锥或球等回转体同轴相贯时，相贯线是圆，见图一。圆柱、圆锥或球等回转体同轴相贯时，相贯线是圆，见图一。蒙日定理蒙日定理: :若两个二次曲面外切（或内切）于第若两个二次曲面外切（或内切）于第三个曲面，则这两个曲面交于平面曲线。三个曲面，则这两个曲面交于平面曲线。两等直径圆柱正交两等直径圆柱正交两等直径圆柱倾斜相交两等直径圆柱倾斜相交图二图二轴线相交、直径相等的两圆柱，且内公切于同一球面时，相轴线相交、直径相等的两圆柱，且内公切于同一球面时，相贯线是椭圆贯线是椭圆,见图二。见图二。圆柱与圆圆柱与圆锥正交，锥正交，内公切于内公切于同一球面同一球面圆柱与圆圆柱与圆锥斜交，锥斜交，内公切于内公切于同一球面同一球面相贯线为相贯线为双椭圆双椭圆圆柱和圆锥轴线相交，且内公圆柱和圆锥轴线相交，且内公切于同一球面时，相贯线是两椭切于同一球面时，相贯线是两椭圆，见图三。圆，见图三。图三图三本章完毕，谢谢！本章完毕，谢谢！不要忘记作业啊：不要忘记作业啊：P72-76，其中其中P72、73、75选作。选作。
