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1、一、选择题1、设A、B均为阶方阵，则下列命题中不正确的是( ) 。K(4 )=膻 (A B) =A 3 (AB)k =A (BA)k-B2、设A , 8均为“阶方阵且可逆，满足矩阵方程A X B = C ,则下列命题正确的是() 。乂二人一四” 乂 = 6-田 X = A-CB1 X = B-CA-3、 设A , 8均为w阶正交矩阵，A 表示A的转置矩阵， 则下列命题中不正确的是( )。 是 正 交 矩 阵 A7是正交矩阵 A8是正交矩阵 A+5是正交矩阵4、排 列(1 , 8, 2, 7 , 3, 6 , 4 , 5 )是 () 。奇排列 偶排列 非奇非偶 以上都不对5、向量组 = (0 ,
2、 0 , 0 , 1 ), a2 = (1 , 1 , 0 , 1 ), a3 = (2, 1 , 3, 1 ), a4 = (1 , 1 , 0 , 1 ),=(0 , 1 , - 1 ,一1 )的最大无关组是( ) 。 %, %， % 3， %，。5 %， 3 ， %，。5 at,a2,a3,a46、齐次线性方程组A X = 0有非零解的充分必要条件是( ) 。 |A |HO | A | =0 | A | =1 | A M 17、设向量组% =(1 , 2, 1 ), % =(1 , 3,。), = 。 , %3), = (1 , 3, 2), ,当a 满 足 ( ) 时,0不能由4 ,
3、4 ,出 线性表示。a/0 a# 3 a = 0 a= 0或a = 38、设 A =000420000350003，则A的特征值是( ) 。 1 , 1 , 2, 2 1 , 1 , 2, 3 123,3 122,3（ 1 九 ） 玉一2X 2 + - 09、齐次线性方程组2玉+ (3- / 1 )%2+七= 0有非零解，则 ( 2 = 0 , 2或3X 1 + X , + （ 1 九 ） 无3 = 00 , 20 , 32, 3T10、要使。 =0 , 殳2 o 1都是AX = 0 的解，只要系数矩阵是（ ） 口 一） I（ 2 01 -J0 If。-1 1 0 J2 0 1 - 1 、4
4、- 2 - 2、 0 1 L11、设/ 是非齐次线性方程组AX = 8 的解, J 是对应的齐次线性方程组A X = 0 的解，则下列结论中正确的是（ ） 。 J +是AX = 0 的解是AX = 0 的解J + z f是 AX = 。的解一*是 AX = b 的解12、设阶方阵A , B, C 可逆且满足A BC = E , 则 必 有 （） 。 A C B= E C B A =E B A C = E B C A E13、下列命题中正确的是（ ） o设x = 7 ， x = % 是 AX = Z?的解，则x = + %是 AX = Z?的解设x = 7 , x = 小 是AX = 的解，设x
5、 = 7 , x = % 是AX = 人的解，设x = 7 , x = % 是AX = h的解，14、 设A, B , C是任意三个随机事件,（ A U 6 ） - 6 = A - B（ 4 U B） - C = A U （ 8 - C ）15、设 5 = 1, 2, 3, , 10, A = 2, 3, 4,3, 4 2则x = % - % 是 AX = h的解则x = 7 + % 是 AX = 0 的解则x = 7 - % 是 AX = 0 的解则以下命题中正确的是（ ） 。（ A - 矶3 = A（ A U 8 ） = A U M6 = 3, 4, 5 , 则不B = （ ） 。5 5,
6、 616、若随机事件A , 8 , C 两两互不相容，且 P（ A） = 0.2, P（ B ） = 0.3, P（ C） = 0.4 ,则P （ A U 8 C） 等 于 （） 。0 . 50 . 10 . 4 4 0 . 31 7、设随机变量x与丫相互独立，则下列等式中不正确的是（ ） 。 E（ x y） = E（ x） E（ y） 。（ x + y） = o （ x） + D （ y） 。（ X y） = o （ x） o （ y） pXY =o1 8、1 0件新产品中有2件次品，现在其中取两次，每次随机地取一件，作不放回抽样，则两件都是正品的概率为（ ） _ 28 ,4 _ 4 4 _
7、 1 一 一 一 4 5 5 4 5 4 51 9、下列命题中不正确的是（ ） 。 P (A ) = 1 P (A ) P 0 ) = O尸（ A + 3） = P （ A ） + P （ 8） 若AuB,则尸（ 8 - A ） = P （ 8） P （ A ）20、随机变量X的方差记为。（ X） ,则下列等式中不正确的是（ ） 。 。（ C ） =O （ C为常数） 力（ X + C ） = （ X） D（CX） = C2D（X） 。（ x + y） = o （ x） + D （ y）21、A ，表示A的转置距阵，则下列命题不正确的是（ ） 。 （ A ， ） r = A （ A + B ）
8、 T = + 丁 （ / 1 4 ） 7 = Z V （ AB）T = ATBT25（ ） 。42551 21 2291 - 4- 4 25- 51 21 2- 2923、下列命题中不正确的是（ ） o属于不同特征值的特征向量是线性无关的属于同一特征值的特征向量只有一个两个相似矩阵的特征值相同对称矩阵对应于两个不同特征值的特征向量是正交的24、排 列 （2 , 4 , 5 , 3 , 1 , 8 , 7 , 6 ）的逆序数为（ ） 。9 1 0 1 2 825、下列不正确的命题是（ ） 。向量组的最大无关组必定唯一向量组的初等变换不改变向量组的秩和向量组的相关性向量组与其最大无关组等价设A =
9、 ，若A列列相关，则A行行不一定相关- - 2 1 1 -226、设A = 1 2 1 。使 R (A ) = 3 ,则 a 的 值 () 。1 1 2 / a = 1 , a = 2 a w 1 , a = - 2 a = 1 , a 工 2 a 7 1 , a 7 2x , + x2 + = 027、齐次线性方程组1 2玉-+= 0有非零解的充分必要条件是常数a =（ ） 。% , - 2X2 + *3 = 0 1 2 3 428、下列命题中正确的是（ ） 。若, 。2, ,凡 是一组线性相关的维向量， 则对于任意不全为0的数勺, 4 2I，均有a 、 k + a2k2 H- - -卜出鼠
10、=0若是一组线性无关的维向量， 则对于任意不全为0的数左, 21，均有a / 1 + a2k2 H-卜 见彩工 0如果向量组名 , % ， ， * 2 2 ）中任取个加向量（ 加厂） 所组成的部分向量组都线性无关，则这个向量组本身也是线性无关的 若 %,a 2, ， 42 2）是线性相关的，则其中任何一个向量均可由其余向量线性表示 1、29、-1（ 2 3 1 ） =（ ） 。2 - 2- 23- 1 - 231 - - 2- 31 一- - 23- 1- 31- 2- 3- 1- 2- 31- 2- 31- 3- 1- 2- 3- 1- 2- 3- 1- 2- 3- 130、 设A为n阶方阵
11、， 若R （ A ） = H ） ， 则A X = 0的基础解系中所含向量个数为（ ） 。k个 个0个 （ 一 Q 个31、已知向量组囚, 。2， 。 3， % 线性无关，则下列命题正确的是() 。 % +% ， % +% ， % +%0 +% 线性无关(2)Z cc2,ct2 oc3,a3 cc4,(x4 al 线性无关 % + a2,a2 +a3, a3 +a4, a4 - a ,线性无关 a + a2,a2 +a3, a3 - a4, a4 - a , 线性无关32、设 A 是阶方阵，同 = 0 则 A 中 ( ) 。必有两列元素对应成比例 必有一列向量是其余列向量的线性组合任一列向量是
12、其余列向量的线性组合 必有一列向量为零向量33、设A 为m X” 矩阵， 8 = (A, 。 ) , 则方程组AX = 6 有无穷多解的充要条件是( )。 R(A) R(B) R(A) = R (8 )= 7?(A) = R(B) n34、 若随机事件A 和 B都不发生的概率为P , 则以下结论正确的是( )。 P(AB) = l p P (A BU A 8) = l P (AU B) = 1 - P(AB) = l - p35、 设 5 = 卜 0 % 2 , A = x l , B = 1 x | , 则 而 = ( )。 xjO x JC|1 x 2) 他 x W l x |0 x |
13、x|l x (X)57、将一枚硬币抛两次， 观察正反面出现的情况， 设A表示“ 恰有一次出现正面” , 则P(A)=( ) 。| 1 3 人 上 1 士2 4 458、 若事件A与3相互独立，则 有 ( ) 。 尸(AB ) = P(A)P(B) P(A U 3) = P(A) + P(B) P(AB)=O P(AB) = P(A)59、X 的数学期望记为E ( X ) , 则下列等式中不正确的是( )。七(aX+ /?) = aE(X) + Z ? E (X E (X ) = O七(X + Y) = E (X ) + E(y) E(XY) = E(X)E(Y)60、 设 X 服从泊松分布P
14、( / l) , 则下列等式中不成立的是( )。 E (X ) = 4 E(X2) = /l2 E(X2) = X2+X O (x )= 4二、填空题1、4阶行列式中所有包含3并带有负号的项是_ Q 。2332。44，-12233441 14233241 2、排歹U 3 4 1 7 8 2 6 5 9的逆序数为 1 14 12 40 117a2 ab4、 2a a + bb22b = ( a-bY2 2 2、5、设 A = 1 2 3J 3 6,A- 123- 31- 61 0- 42- 426、0 0)( an0 3 1%2 413a22 23a32。33 J。_ Z i13 1a23 0。
15、33人 。a2a22a328 .当 时 ，加个拉维向量线性相关 。r2 5 3 19、矩阵7 5、2 594943 01 7 4 3、5 3 1 3 2的行向量组的一个极大线性无关组是本行向量组 。5 4 1 3 42 0 4 8 ,1 0、方程组/ U 1 + x2 + x3 = 1% , +AX2 + x3 =2当4 = J 时有无穷多解。X + %2 + 万1 1、设A6为两个随机事件，则A ,B至少有一个发 生 可 表 示 为 处 上 。1 2、当尸( 4 8) = 2 4 ) 2 ( 3 )时，称事件A与B是相互独立的。1 3、当随机试验E满足 样本空间的元素只有有限个，且每个基本事
16、件出现的可能性相 同 时 ,称 其 为 等 可 能 性 概 型 。81 4、1 0件产品中有2件次品，从中任取三件，则至少有一件次品的概率是 o1 5、设 P ( A ) = 0 . 4 ,P ( B ) = 0 . 5 ,P ( A 8) = 0 . 2 ,则事件 4 与 8 互相独立1 6、行列式12( T )= (-1 尸 加n-1nn( n- l)1 7、排列1 ( 2 - 1 ) 2 4 ( 2) 的逆序数为 一 厂2 14-13-12-11 8、 = 012 3-15 0 6 - 21 9、设A可逆，A - ,亦可逆，贝iJ(AT)T=A o2 0、，1、 2 1、50 0、150
17、0设八=03 1=01- 1、0 2 b0 - 232 2、 含有零向量: 的向量组线性 相关2 3、向量组/ = ( 6 ,4 ,1 , 1 ,2 ) , a 2 = ( 1 ,0 2 3 , 4), = ( 1 4 - 9,- 6 ,2 2 ) ,= ( 7 ,1 ,0 ,- 1 ,- 3 )的一个极大线性无关组是% ,% ， 二3 ，。4。2 4、若阶方阵A , B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的 特 征 值 相同。2 5、当A 3 = 时 ,称 事 件A与8是互不相容的。2 6、设 A , 8 为两个随机事件，则 P ( A U 8) = P ( A ) + P ( 8)
18、- P ( A 6 )。32 7、5个球中有三个红球，2个白球，从中任取一球，取到红球的概率是-。572 8、1 0件产品中有2件次品，从中任取三件，则恰有一件次品的概率是一。1 52 9、设X服从参数为; 1的泊松分布，则E ( X ) =3 0、若 X ,丫 相互独立则 D ( X + Y) = D ( x ) + D ( Y )3 1、at 0 瓦0 c, 0a2 0 b20 c2 004o“2( a ， 2 cd) 。,1 1 ( 3 3、设4 = - 1 1 1 , B = 1J - 1 J Q2 1、 4 4 0、3 - 1， 则 A684 =5 - 3 - 11 4 )、 3 1
19、 - 1?3 4、设向量组% = ( 6 ,4 ,1 , 1 ,2 ) ,% = ( 1 ,0 ,2 ,3 - 4 ) , a3 = ( 1 ,4 - 9- 6 ,2 2 ) , a4 = ( 7 ,1 ,0 - 1 ,3 ) .向量组的秩等于 4 。3 5、使排列1 2 7 4 / 5 6 k 9为偶排列，则/ 3 , k 83 6、对称阵A为正定的充分必要条件是：3的特征值全为 正 。3 7、设为同阶可逆方阵，则A3也可逆，且( A B尸 三 纪 幺 二。3 8、以A7表示的转置距阵，则( A B ) - 4、3 9、设4 , 4是方阵A的两个特征值，4 W4， P ,P 2分别是对应于4
20、， 4的特征向量，则 ， 必线 性 无 关 。4 0、若方阵A可逆，则|A与同的关系是p r = |A -。41、 设A,8为二事件，若A u B ,则尸(A)_P(B)。42、 设X服从参数为4的泊松分布，则。(X )=4。43、设A, 6, C三个随机事件，则A, B,C都 不 发 生 可 表 示 为 。4 4、X是 一 个 随 机 变 量 ，E (X )为 其 数 学 期 望 ， 则X的 方 差 。(X )定义为EX_E(X) .4、q2-14、 fl 04 - 0108,、0000 - 00； 10 0 七、x2七=X3n01+ %400基础解系A、1 ;-1004 5、设 A, 6
21、相互独立，P(AUB) = 0.6,P(A) = 0 .4 ,则 P(8) = L3三、计算题1、解矩阵方程F 2ix = i3 4 5( 3 4j 15 9(-2 1 )解：A L 3 _J_x1 + 2X2 -X3+ 4X4 = 02、求方程组 x + 3X2 - x3 + 4X4 = 0的基础解系2xl + 4尤2 - 2X3 + 8X4 = 02 -1解：A= 1 3 -14 -2伍 =x3 - 4X41%2 = 3、设某种电阻的的次品率为0. 01,作有放回抽样4次,每次一个电阻,求恰有两次取到次品的概率。解：P(A) = C： * (0.01)2 *(0.99)| =0.00064
22、、设随机变量X的概率密度为/(% )=-ViZ7,710,-1 X1其它试求X 的分布函数尸( x ) 。解：当 X - 1 ,/ (% )= 1 /(%)dx = 0F000 x -1/. F(x) = 15 、设某种电阻的的次品率为0 . 0 1 ,作有放回抽样4次,每次一个电阻,求至少有三次取到次品的概率。解 : P = C ： * ( 0 . 0 1 ) 3 * ( 0 . 99) i +C： * ( 0 . 0 1 ) 4 * ( 0 . 99px _ I COSX,0 x 一6 、连续型随机变量X 的分布密度为/i 2 ,试求分布函数f( x )0,其它解： x 0 , F ( x
23、 ) = 00 a , F ( x ) = 1 2 c o s面=1o sin JCF ( x ) = ix OO 27、设随机变量X的分布函数/(x) = / ,试求y = 2X + 3的分布函数G(y)。解：Y = 2 X + 3X = l/ 2 ( Y - 3 )F ( x ) = x2 G ( y) = l/ 4 ( y- 3 ) 2一、Oc0x xc8、 设 总 体X的 密 度 函 数 为/( X ) = j八 甘其 中 0, 其 匕c 0为已知, 6 1 ,。为未知参数。X1, X2, , X“ 为总体的一个样本，求参数。的极大似然估计量。解：写出似然函数:峋=口限，)1 = 1n
24、 ri=en *(c) *=3 * C y *(口 )- 阿H i= l参数。的极大似然估计ln(L(6*) = nn0 + n0nC + (-1)(。 +1)(之 In x;.)/ = !令:d(ln(L( d07 7 J、- + H ln (C )- ln xz. Z=1=0得：2 = m(C) + ln% ,i=A0 =-n- ln (C) + X l nX ji=X9、 设总体X 的密度函数为, （ % ） = 1 0-e莅2）%。其中。 o , e 为未知参数。o , 其它x , , x2,%为总体的一个样本，求参数e的极大似然估计量。解：写出似然函数: e)=立(奈/ = 1 n*
25、 e 2 2 ) = g - 2 ( n % J ei=lnj nln (L (6 ) = -2n( l ne ) +Z M- Ca 。 ( : “i)i= i=l参数。的极大似然估计令:de2n Z = 110、设总体X 的密度函数为/ （ 幻 = 岳知,0,0 x )= (.1证：J在( a,b)上均匀，其概率密度为：f(x) = jb - a0a=x=b其它J+oo fb *)公 山 * 不 /=a + b2D(X)= E(X2)- (E(X) 2r + 8 c b aE(X2)= x-f(x)dx = J- 3 b -aiD(X)= -1 -b- -3-a- -3 - - -(a- -+- -b-)-? =1 (b -ax)223 b -a 4 122、设 向 量 组 % ， 。2 ，的线性无关，试 证 % ,/ + % ， % + % + %线性无关。证：设 匕 % +%2(。1 +%) + & 3 ( / + % +%) =。n /1 +22 +& ) % +(氏2 +& ) % +43 % =0A + &2 + % =0鼠 + & = 0网=0k = 0n 鼠 =0U = o所以，%,% + 二2 ， % +。2 +。3线性无关
