《《离散小波变换》PPT课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《离散小波变换》PPT课件.ppt（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章 离散小波变换3.1 尺度和位移的离散化方法对于连续小波而言，尺度a、时间t和与时间有关的偏移量都是连续的。如果利用计算机计算，就必须对它们进行离散化处理，得到离散小波变换。本章主要内容尺度和位移的离散化方法小波框架理论二进小波变换3.1 尺度和位移的离散化方法为了减小小波变换系数的冗余度，我们将小波基函数 的a、限定在一些离散的点上取值。离散化方法（1）尺度的离散化。目前通行的做法是对尺度进行幂数级离散化。即令a取离散化方法（2）位移离散化。通常对进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴， 满足Nyquist采样定理。在a=2j时，沿轴的响应采样间隔是2j 0，在a0=2情况下，j增加1，则
2、尺度a增加一倍，对应的频率减小一半。此时采样率可降低一半而不导致引起信息的丢失。因此在尺度j下，由于 的宽度是 的 倍，因此采样间隔可扩大 ，而不会引起信息的丢失。 可写成：离散小波变换的定义为：一般，取a0=2，则a=2j，=2jk0，则采样间隔为=2j0当a=2j时，的采样间隔是 2j0 ，此时， 变为：一般，将0归一化，即0=1，于是有：此时，对应的WTf为：离散化过程中的两个问题一、离散小波能否完全表征函数f(t)的全部信息。二、是否任何函数f(t)都可以表示为以 为单位的加权和。即如果可以，系数 如何求？3.2 小波的框架理论3.2.1 框架1 框架的定义在希尔伯特空间H中有一族函数
3、 ，如果存在0AB，对所有的fH，有：称 是H中的一个框架。常数A、B的意义。框架的定义若A=B，则称为紧致框架，此时：如果A=B=1，则 此时， 是正交框架，若 ， 则 是规范正交基。2.对偶框架的定义对偶函数： 的对偶函数 也构成一个框架，其框架的上下界是 上下界的倒数。即：3. 通过框架对原函数进行重建重构定理：令 为其对偶框架，则f(t)通过下式重构：如果A=B=1，这时 是一组正交基，所以重建公式为：通过框架对原函数进行重建在紧框架情况下，如果 ，我们定义算子S如下：求逆，得：这时，只有 ，重构公式才成立。当 的时候，如果A，B越接近，上式的误差越小。4. 框架和Riesz基Ries
4、z基的定义：设有 满足下列要求：便意味着 ，也就是要求 是一组线性独立族。则称 为一组Riesz基。3.2.2 小波框架1.小波框架的定义：如果当基本小波函数（t）经伸缩和位移引出的函数族具有如下性质：我们称 都成了一个框架，上式为小波框架条件。其频域表示为： 的对偶函数 也构成一个框架。 2.小波框架的性质（1）满足框架条件的 ，其基本小波必定满足容许性条件。（2）离散小波变换具有非收缩时移共变性。（3）离散小波框架 存在冗余性。3.离散小波变换的逆变换如果离散小波序列 构成一个框架，上下界为A和B，根据上节讨论的函数框架重建原理，当A=B时，离散小波的逆变换为：当 时，但二者比较接近时，作
5、为一阶逼近，可取所以重建公式近似于：同样，A和B越接近，误差就越小。在紧框架情况下， 点的WT为：将f(t)代入上式有：式中3.3 二进小波变换二进小波的表示形式。3.3.1 二进小波变换及其逆变换令小波函数为 ，其傅立叶变换为 ，若存在常数A，B，当 ，使得此时， 才是一个二进小波，上式为二进小波的稳定性条件。定义函数 的二进小波变换系数为：其中：设 的傅立叶变换为 ，由卷积定理得：对 ，总有关系式：此式说明二进小波 构成了 的一个框架，所以它的小波逆变换公式是存在的。二进小波的重建公式为：3.3.2 二进小波的性质（1）二进小波满足小波母函数容许性条件，即二进小波必为基本小波。（2）二进小波是冗余的。由框架理论知：当不满足A=B=1时，框架是冗余的，也就是二进变换系数之间具有一定的相关性。二进变换系数之间的关系满足重建核方程。由重建核方程，可知，不是任意函数序列都可以作为某一函数的二进小波变换，只有当它们都满足重建核方程时，才能看做某一函数的二进小波变换。（3）二进小波具有时移性。f(t)平移的二进小波变换等于它的二进小波变换的平移。论证3.3.3 二进正交小波设 ，且满足 我们称 为二进正交小波变换，尺度参数核平移参数按 离散化，二进正交小波为：
