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1、Nove. 30 Mon. 第四章 不定积分v不定积分的概念及性质；v不定积分的换元法；v不定积分的分部积分法；v有理函数不定积分.1.微积分产生的原因: :1. 1. 求物体在任意时刻的速度和加速度；2. 2. 求曲线的切线：透镜设计和轨迹的切线方向；3. 3. 求最大值和最小值： 获得炮弹射程最大的发射角问题； 行星离开太阳的最远和最近距离问题；4.4.微小量的累加：曲线长，曲线围成的面积，曲面围 成的体积，物体重心。2.一元函数积分学基本问题 由此引出原函数与不定积分的概念；2. 2. 计算诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量的无穷 累加问题。 由此引出定积分的概念。3.定积分不定积分New
2、ton Leibnize Newton Leibnize 公式(17(17世纪) )一个函数的定积分可以通过计算它的原函数而方便的计算出来。原函数的存在性又可以由定积分决定。4.1 1 不定积分的概念及其性质v原函数及不定积分v不定积分的几何意义；v基本积分表；v不定积分的性质。5.一. . 原函数(primitive function)(primitive function)与不定积分定义：6.问题：(1) (1) 原函数是否唯一？(2) (2) 若不唯一, ,它们之间有什么联系？7.定理：证明：再证它是全部原函数。8.任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量9.原函数存在定理：连续函数一定
3、有原函数. .10.例1 1 求解解例2 2 求11.的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线 . 二. . 不定积分的几何意义12.解：13.简单的初值问题(initial problem)(initial problem)：14.三. . 基本积分表实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式. .15.由不定积分的定义，可知结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆的. .16.基本积分表是常数); );说明：17.18.19.例 求积分解根据积分公式（2 2）20.积分表与微分表不同，不能给出基本
4、初等函数的积分公式，而只给出原函数为基本初等函数的积分公式。由导数的运算法则，可得积分的运算法则. .21.四. . 不定积分的性质（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）证明： 由条件22.证明： 由条件23.解：26.解：27.解：28.解：29.解：30.解：31.解：32.解： 由题设33.解：34.解: 35.小 结3.3.基本积分表(1).(1).5.不定积分的性质.1. 1. 原函数的概念：2.不定积分的概念：4.求微分与求积分的互逆关系.HwHw：p258 1(p258 1(双), 2), 2。36.思考与练习1. 1. 证明 2. 2. 若提示:提示:37.3. 若是的原函数 , , 则提示: 已知38.4. 4. 若的导函数为则的一个原函数是 ( ) .提示: 已知求即B?或由题意其原函数为39.5. 5. 求下列积分: :提示:40.
