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1、4.1/2 对称性n空间平移对称性：T+(a)H(x,p;t)T(a)=H(x+a,p;t)n时间平移对称性： T+(t)H(x,p;t)T(t)=H(x,p;t+t)n转动不变性：D+(R)H(J)D(R)=H(RJ)n空间反演对称性 + H(x,p,J;t)= H(-x,-p,J;t) (非兼并态/一维束缚态有确定宇称）4.3 分立对称性：晶格平移 n晶格平移这一分立对称性在固体物理中有重的应用。n对一维周期势，+(a)V(x)(a)=V(x+a)=V(x),a为晶格常数。H,(a)=0, (a)和H可同时对角化.n在H和(a)的共同本征矢中，由于并非厄米，的期待值为复数且模为1。为求出(
2、a)的本征态，先考虑无限高势垒的情形。此时电子只能局域于某格点附近。设相应能量本征态为|n,H|n=En|n,n表示格点位置,不同|n简并。n虽然|n是H的本征态,且H与(a)对易，|n不是(a)的本征态。将不同|n线性叠加,可得到(a)的本征形态:n有限高势垒时，|n并不完全局域于格点n，而是主要集中于格点n而随与n的距离而衰减。n以|n为基构造|，|仍为本征值为e-i的本征态n由于n取=ka，则Bloch定理n可见晶格平移的本征态|之波函数可写成平面波与具有晶格周期性的函数之乘：n n且 ，k空间范围称为Brillouin Zone Bloch定理能量本征值n可见不同k=/a的态能量本征值
3、不同.能量本征值n紧束缚近似:=E0, n原来简并的能级被消简并，形成能量范围为 E0-2到E0+2的能带。4.4 时间反演分立对称性 一、牛顿力学的时间反演变换n经典力学情形：一受中心力场作用的粒子其轨迹如图一、牛顿力学的时间反演变换n若x(t)是牛顿方程的解，令t=-t,有nx(-t)也是牛顿方程的解 (时间反演:xx,dx/dt-dx/dt)n时间反演应更确切地称为运动反演或运动的倒转。二、电动力学的时间反演变换nMaxwell方程：nLorentz力：n对t-t变换,若n则Maxwell方程和Lorentz力形式不变。二、电动力学的时间反演变换n即若n上述讨论表明，经典物理中的时间变换
4、为：nt-t， xx, v-v (p-p), n , EE, j-j, B-B三、薛定谔方程的时间反演变换n对薛定谔方程， ，n作时间反演：n 可见(x,-t)与(x,t)满足不同的方程n对上式取复共轭，得：n可见对解(x,t) ，有相应解*(x,-t)n因(x) =,时间反演波函数由*给出四、反幺正算符 n若一对称操作使 ，从前遇到的情况为内积不变，相应对称操作以幺正算符表征n对时间反演,波函数变为复共轭,应有n定义：对变换 ,如果n称为反幺正算符n后一式所定义的算符称为反线性算符。n一般而言，反幺正算符可写成=UK，U为幺正算符，K为复共轭算符。K对右矢的叠加系数作用，即n n若|不是基矢
5、,可展开为以|a为基矢的矢量:n是反幺正的说明：n由 n是反线性的n又n 是反幺正的五、时间反演算符n时间反演态（运动反演态）： |n上面讨论知,动量本征态|p的时间反演态:n|p=|-pn时间反演算符的基本性质：n n由态矢时间反演的对称性n得：-iH=iH，应为反幺正算符nH=H五、时间反演算符n重要等式： n这是因为对 有n故 n对厄米算符A，有n若A-1=A，称A在时间反演下具有偶(奇)对称n由此，n可得A在时间反演态的期待值：n由 ， p-1=-pn类似地, nx-1=x, |x=|xn从 可知J-1=-J六、波函数的变化n由于 可知：n对球谐函数：n可见：n定理：若H在时间反演下不
6、变，且能量本征态非简并，则相应波函数是实的。n证: H|n=H|n=En|n, |n与|n相同,n故=*n注：时间反演态的动量空间波函数为*(-p p)七、自旋1/2体系的时间反演 n因n (时间反演的效果)n得n由于n n所以：n对无自旋体系2=1n两者很不相同！ 八、一般角动量体系的时间反演n由 ,得n而n故对任意|:n此外：n一般地：n需要指出：最方便的相位约定依所处理的物理问题而定，但2=1与相位约定无关。 九、球张量的时间反演性质n对n若A是 的分量，由于Wigner-Eckart定理n只要考虑q=0的分量即可。n对厄米球张量，其时间反演奇偶性由q=0分量确定：n由于x对应于k=1，
7、且对时间反演是偶的，故对jm的本征态=0，这对非宇称本征态亦成立 十、粒子与电和磁场的相互作用：Kramers简并 n电荷在静电场中，V(x)=e(x), H,=0n由于,U(t,t0)0, 不存在量子数的时间反演守恒。但H,=0对无自旋粒子导致非简并态波函数为实数n更重要的后果是Kramers简并。由于|n与|n同为H的本征态，若非简并， |n=ei|n. n对j半整数体系，则-|n=|n=ei|n=|n,故|n与|n不可能为同一状态，存在简并，这不依赖于E的复杂程度。因此，具有不同奇偶电子的晶体在外电场中的行为很不相同。n有外磁场时，H含 在时间反演下是奇的, ,H0 ,不存在Kramers简并
