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1、第一节特尔菲（Delphi）法第二节层次分析法（AHPAHP） (Analytics Hierarchy ProcessAnalytics Hierarchy Process)第三节数据包络分析法（DEA)第四节多准则评估的区间评估方法（Interval Analysis)第十章第十章 多目标决策多目标决策多目标决策例子干部评估：德才兼备教师晋升：教学数量与质量；科研成果购买冰箱：价格，质量，耗电，品牌等球员选择：技术，体能，经验，心理找对象：容貌，学历，气质，家庭状况多目标决策与单目标决策区别点评价与向量评价点评价与向量评价单目标：方案dj评价值f(dj)多目标：方案dj评价向量(f1(dj
2、)，f2(dj)，fp(dj)全序与半序全序与半序:方案di与dj之间单目标问题:didj多目标问题：除了这三种情况之外,还有一种情况是不可比较大小决策者偏好决策者偏好：多目标决策过程中，反映决策者对目标的偏好。解概念区别解概念区别解的概念单目标决策的解只有一种（绝对）最优解多目标决策的解有下面四种情况：绝对最优解劣解有效解(pereto解)弱有效解数学外语专业解的类型d1807588有效解有效解d2758185有效解有效解d3767889有效解有效解d4858292劣解d5797486绝对最优解多目标决策解的例子第一节特尔菲(e)法特尔菲法是美国兰德公司于1964年首先用于决策领域的，是一种
3、重要的的多目标决策方法，其主要优点是简明直观。实践中经常使用特尔菲法确定各目标权数，并进行多目标决策。思路：特尔菲法是请一批有经验的专家(老手)对如何确定各目标权数发表意见，然后用统计平均方法估算出各目标的权数。步骤:1把较为详尽的背景资料发送给选定的n位专家，请专家们分别各自独立地估计各目标的权数列入下表中。 目标权重估计值专家数f1f2fp1w11w12w1p2w21w22w2pMNwn1wn2wnp2计算各目标权数的样本平均值及各偏差值。样本平均值为 =niijjpjwnwM1, 2 , 1 ,1)(L每一位专家对各目标权数估计值与平均估计值的偏差为 )(jijijwMw -=D3进一步
4、分析)(jwM是否合理，特别让估计值偏差ij较大的专家充分发表意见，消除估计中的一些误解。4附上进一步的补充资料后，请各专家重新对各目标权数作出估计值wij，再一次计算平均估计值及方差。=-=nijijjniijjwMwnwDpjwnwM121)(11)(, 2 , 1 ,1)(L5.重复上述步骤，经过几次反复后，直至第k步估计方差小于或等于预先给定的标准)0(ee。DELPHI法使用要点独立性独立性，专家尽可能互不见面，防止心理影响（权压，声压，从众行为）统计处理统计处理滤波技术滤波技术第二节层次分析法(Analytics Hierarchy Process, AHP)一、简介一、简介二、基
5、本模型二、基本模型三、基本步骤三、基本步骤四、应用案例四、应用案例简介层次分析法是由美国匹兹堡大学教授T.L.Saaty在70年代中期提出的。它的基本思想是把一个复杂的问题分解为各个组成因素，并将这些因素按支配关系分组，从而形成一个有序的递阶层次结构。通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性，然后综合人的判断以确定决策诸因素相对重要性的总排序。层次分析法的出现给决策者解决那些难以定量描述的决策问题带来了极大的方便，从而使它的应用几乎涉及任何科学领域。基本模型基本模型单层次模型单层次模型1.单层次模型结构C目标，Ai隶属C的n个评价元素决策者 问题： 由决策者在这个目标意义下对这n 个元素
6、进行评价，对他们进行优劣排序并作出相对重要性的权量。CA1A2An2. 思想：思想：(1) 整体判断整体判断 n个元素的两两比较。(2) 定性判断定性判断 定量表示（通过标量）（3）通过数学公式（特征值）确定各元素评价权重通过数学公式（特征值）确定各元素评价权重3.计算步骤计算步骤（1）构造两两比较判断矩阵（2）计算单一准则下元素的相对重要性(层次单排序)（3）单层次判断矩阵A的一致性检验(1)判断矩阵判断矩阵标度（aij）的含义：Ai比Aj时由决策者回答下列问题所得判断矩阵中的元素具有下述性质判断矩阵中的元素具有下述性质例：决策者认为Ai比Aj明显重要，则aij5这样由决策者的定性判断转换为
7、定量表示，这是AHP的特点之一。由此得到的特征向量W= (w1, w2, ,wn)T 就作为对应评价单元的权重向量。max和W的计算一般采用幂法、和法和方根法(2)层次单排序层次单排序AHP方法计算原理问题：为什么两两比较判断矩阵A的最大特征值的向量W=(w1,w2,wn)T，可以作为评价单元A1,A2,An的权重向量？解解释释：假设事先已知这n个评价单元的权重向量为W=(w1,w2,wn)T，比较Ai与Aj重要性时，标量aij=wi/wj是一精确比值所构成的两两比较判断矩阵是完全精确的判断矩阵判断矩阵满足W是 的最大特征值的向量。实际评价时，并不知道这权重向量比较Ai与Aj重要性时，通过询问
8、决策者只能得到近似的比值aijaijwi/wj得到的判断矩阵是近似的判断矩阵A.A精确判断矩阵 的最大特征值的向量 W= (w1,w2,wn)T是完全精确的权重向量近似判断矩阵A最大特征值的向量W=(w1,w2,wn)T可以作为近似的权重向量 (3)单层次判断矩阵A的一致性检验多层次分析法的基本步骤多层次分析法的基本步骤1 1建立递阶层次结构建立递阶层次结构2 2计算单一准则下元素的相对重要性计算单一准则下元素的相对重要性( (单层次模型单层次模型) )3 3计算各层次上元素的组合权重计算各层次上元素的组合权重( (层次总排序层次总排序) )4 4评价层次总排序计算结果的一致性评价层次总排序计
9、算结果的一致性递阶层次结构递阶层次结构决策目标准则1准则2准则k子准则1子准则2子准则m方案1方案2方案n目标层准则层子准则层方案层计算单一准则下元素的相对重要性计算单一准则下元素的相对重要性这一步是计算各层中元素相对于上层各目标元素的相对重要性（层次单排序），参见前面的单层次模型。例：如图相对于目标A1而言，C1、C2、C3、C4相对重要性权值为w11、w12、w13、w14，同理相对目标A2， C1、C2、C3、C4相对重要性权值为w21、w22、w23、w24。A1A2C1C2C3C4w11w12w13w14计算各元素的总权重计算各元素的总权重评价层次总排序计算结果的一致性评价层次总排序
10、计算结果的一致性应应 用用 例例 子子某厂有一笔企业留成利润要决定如何使用，根据各方意见提出的决策方案有：发奖金；扩建集体福利设施；办技校；建图书馆；购买新设备。在决策时要考虑调动职工劳动积极性、提高职工技术文化水平、改善职工物质文化生活三方面，据此构造各因素之间相互联结的层次结构模型如下图所示。层次结构图合理使用企业留利 万元调动职工劳动积极性提高企业技术水平改善职工物质文化生活状况发奖金扩建集体福利设施办技校建图书馆购买新设施准则层C方案层 D目标层AAC1C2C3d1d2d3d4d5计算单一准则下元素的相对重要性计算单一准则下元素的相对重要性1.第二层相对于第一层的判断矩阵通过计算得判断
11、矩阵的特征向量和特征值分别为：W=(0.105,0.637,0.258)max=3.308对判断矩阵进行一致性检验，即计算C.I.和C.R.C.I.=0.019C.R.=0.0330.1说明判断矩阵的一致性可以接受。C1C2C3w1=0.105W2=0.637W3=0.258A2.第三层元素相对于第二层元素判断矩阵第三层元素相对于第二层元素判断矩阵w11W12W13C1C2C3d1d2d3d4d5w14w152)C1-Dd1d2d3d4d5d112347d21/21325d31/31/311/21d41/41/2213d51/71/511/31W=(0.491,0.232,0.092,0.13
12、8,0.046)126. 5max=lC.I=0.032C.R.=0.0280.1w21W22W23C1C2C3d1d2d3d4d5w24w25w31W32W33C1C2C3d1d2d3d4d5w34w35计算各元素的总权重计算各元素的总权重结论发奖金，福利设施，办技校，建图书馆，新设备W=(0.157,0.164,0.393,0.113,0.172)C.I.=0.028R.I.=0.923CR=0.030.10计算结果表明，对于合理使用企业留成利润来说，办技校办技校是首选的方案。返回提纲AHP案例分析案例1 运用AHP方法选择世界杯上场队员案例本案例运用AHP方法，对中国男子足球队在世界杯比
13、赛中应该首发出场的中后卫人选进行决策；目标A是在世界杯比赛中取得好成绩；准则C有四个：技术、心理、经验、伤病；方案D（可供选择的球员）是范志毅、杜威、李伟峰、张恩华和徐云龙五位可踢中后卫的球员。据此建立模型的递阶层次结构如下图：D1范志毅A：比赛中取得好成绩C1：技术C2：心理C3：经验C4：伤病D2杜威D3李伟峰D4张恩华D5徐云龙构造第二层相对第一层的判断矩阵： W=(0.398, 0.236, 0.167, 0.199) max=4.060 C.I.=0.020 C.R.=0.0220.1 判断矩阵的一致性可以接受1C4:伤病11C3:经验121C2:心理2221C1:技术C4:伤病C3
14、:经验C2:心理C1:技术A-CAC1:技术C2:心理C3:经验C4:伤病第三层各因素对于第二层元素的判断矩阵：1D5:徐云龙21D4:张恩华531D3:李伟峰211/21D2:杜威311/221D1:范志毅D5:徐云龙D4:张恩华D3:李伟峰D2:1杜威D1:范志毅C1:技术 W=(0.217,0.151,0.395,0.160,0.077) max=5.015 C.I.=0.017 C.R.=0.0150.1 一致性检验通过C1:技术C2:心理C3:经验C4:伤病D1:范D3:李D2:杜D4:张D5:徐 W=(0.370,0.069,0.169,0.326,0.066) max=5.018
15、 C.I.=0.012 C.R.=0.0110.1 一致性检验通过1D5:徐云龙51D4:张恩华31/21D3:李伟峰11/41/31D2:杜威51351D1:范志毅D5:徐云龙D4:张恩华D3:李伟峰D2:杜威D1:范志毅C1:技术C2:心理C3:经验C4:伤病D1:范D3:李D2:杜D4:张D5:徐C2:心理 W=(0.439,0.044,0.161,0.271,0.085) max=5. 186 C.I.=0.047 C.R.=0.0420.1 一致性检验通过1D5:徐云龙1/21D4:张恩华31/31D3:李伟峰1/31/51/41D2:杜威62471D1:范志毅D5:徐云龙D4:张恩
16、华D3:李伟峰D2:杜威D1:范志毅C1:技术C2:心理C3:经验C4:伤病D1:范D3:李D2:杜D4:张D5:徐C3:经验 W=(0.082,0.260,0.138,0.260,0.260) max=5.010 C.I.=0.002 C.R.=0.0020.1 一致性检验通过1D5:徐云龙11D4:张恩华1/21D3:李伟峰1121D2:杜威1/31/31/21/31D1:范志毅D5:徐云龙D4:张恩华D3:李伟峰D2:杜威D1:范志毅C4:伤病C1:技术C2:心理C3:经验C4:伤病D1:范D3:李D2:杜D4:张D5:徐最后计算出层次总排序的权重向量为：W=(0.263, 0.136,
17、 0.251, 0.238, 0.112)C.I.=0.049 R.I.=1.120 C.R.=0.0440,u00，则称DMUj0为DEA有效。D模型下：模型下：弱弱DEA有效：有效：规划问题(D1)的最优值*=VD1=1DEA有效：有效：规划问题(D1)的最优值*=VD1=1，并且它的每个最优解都满足S-0=S+0=0。2.具有非阿基米德无穷小量的C2R模型P模型和D模型判断DEA有效的困难：1.在P模型中，需要判断是否存在是否存在最优解w0，u0满足：2.在D模型中，需要判断是否其所有最优解所有最优解都满足：非阿基米德无穷小量非阿基米德无穷小量是一个小于任何正数且大于零的“抽象数”。再实
18、际使用中一般取=10-7具有非阿基米德无穷小量的模型（具有非阿基米德无穷小量的模型（P）具有非阿基米德无穷小量的模型（具有非阿基米德无穷小量的模型（D）DDEA有效性判断有效性判断i)若0=1，则DMUj0为弱弱DEA有效有效。ii)若0=1，并且s-0=0、s+0=0， 则DMUj0为DEA有效有效。3、效率与、效率与DEA评估模型评估模型效率一般效率一般含义效率含义-在业务活动中投入与产出或成本与收益之间的对比关系.它是其资源的有效配置，是市场竞争能力、投入产出能力和可持续发展能力的总称技术效率与规模效率技术效率反映在给定投入的情况下获取最大产出的能力规模效率则反映了是否在最合适的投资规模
19、下进行经营 经济学下效率的概念经济学下效率的概念yxy=f(x)A DCBOEFGn1A的技术效率BD/BAn2A的规模效率BC/BDn3A的总效率BC/BA规模效率规模收益递增：在E点左面，函数“加速上升”，增加投入量可以使产出有较高的增加，被考察单元有投资的积极性，。规模收益递减：在E点右面，投入量为x时，如再增加，产出y增加的效率不高，被考察单元已没有再继续增加投资的积极性。规模有效：E点所代表被考察单元的投入规模是最适当的。总效率BC/BA总效率=技术效率规模效率被考察单元的总效率值为1时，称为有效。被考察单元同时达到技术有效和规模有效时，则为有效，二、效率的评估模型二、效率的评估模型
20、DEA模型模型DEA方法来能对被考察单元进行相对效率评价。最高的的效率定为1，其它被考察单元的效率定在0到1之间。CR模型与总效率模型得出的即是第k家被考察单元的总效率模型得出的即是第k家被考察单元的总效率值，满足01。其经济含义是当第k家被考察单元的产出水平保持不变(投入导向)时，如以样本中最佳表现(处于效率前沿面上)的考察单元为标准与实际所需要的投入比例。就是第k家被考察单元是可以减少(或称浪费)投入的最大比例。当=1时，有效状态，被考察单元是效率前沿面上的点，。求解（CCR）模型n遍，可得到每家被考察单元的效率值BCC模型与技术效率CCR模型是需规模收益不变的假设规模收益不变是假设被考察
21、单元可以通过增加投入等比例地扩大产出规模，这一假设相当严格，与实际差距较大，在许多情况下并不满足，在CCR模型中增加一个凸性假设模型得出的即是第k家被考察单元的技术效率三、DEA有效性(C2R)的经济含义1.基本概念(1)生产可能集(2)生产函数(3)规模收益2DEA有效性（C2R）的经济含义(1)生产可能集生产可能集(x,y)生产活动生产活动 X=(x1,xm)T投入量投入量，Y=(y1,y2,ys)产出量产出量(Xj,Yj)经验生产活动，观察值表示经验生产活动，观察值表示DMUj 参考集参考集T=(x,y）生产可能集生产可能集，产出y能用输入x生产出来为所有可能的生产活动构成的集合。经济分
22、析目的经济分析目的根据上述参考集去估计生产可能集T，并确定哪些决策单元的生产活动是相对有效的。T满足的公理经验生产可能集（CCR）决策单元的经验生产可能集（CCR），它为一凸锥。(2)生产函数技术有效：技术有效：设(X,Y)T，若不存在(X,Y)T，XX,且YY生产函数生产函数：Y=f(X)；生产函数表示在一定的技术条件下，生产处于最理想状态时，投入量为X所能获得的最大产出量Y。对生产可能集T，所有有效生产活动点(X,Y)构成的Rm+s空间的超曲面称为生产函数生产函数。处于生产函数上的生产活动均为“技术有效”生产活动。(3)规模收益规模收益规模收益：产出增量的相对百分比与对应投入增量的相对百分
23、比的比值。规模收益递增：规模收益不变：规模收益递减：规模有效：规模有效：对投入规模X0，无论投入规模大于或小于X0都不是最好的，这样的DMU0为规模收益不变或规模有效。DEA有效性（有效性（C2R）的经济含义的经济含义（1）C2R模型求解的经济意义解释模型求解的经济意义解释模型(D1)求解是致力于在生产可能集T内，保持产出Y0不变，同时将投入量X0按同一比例尽量减少。如果X0不能按同一比例减少，即(D1)的最优值V0=0=1，则是有效的生产活动。(2)DMUjDEA有效的信息此DMUj规模有效和技术有效(3)DMU0非DEA有效包含:1.存在一个更优的DMU0（X0,Y0)，Y0=Y0且X0X
24、0并指出投入的改进值为2.规模收益分析几何与投影分析(4)DMUj0对应的点位于有效生产前沿面上，则DMUj0为DEA有效。(6)所有位于生产前沿面上的生产点均为DEA有效，反之为非DEA有效。(7)DEA投影分析：如何改进一个非DEA有效的决策单元。四、DEA的一般工作过程1.问题描述与系统定义2.选择评价模型3.收集和整理数据资料4.求解DEA规划模型5.结果分析及辅助决策五、应用案例(1)案例：利用BCC模型对天津、上海、海口等城市共七个污水处理厂的实际进行测评分析。选用的投入和产出指标为：投入指标：(1)年总运行成本（万元）；(2)总投资额（万元）产出指标：(1)日处理污水量（万立方米
25、./日）；(2)投资利税率（%）各污水厂投入产出指标数据各污水厂有效性评价结果（评价模型：BCC）污水一厂：*=1，1*=1， 结论：DEA有效，规模收益不变。污水二厂：*=1，2*=1， 结论：DEA有效，规模收益不变。污水三厂：*=1，3*=1， 结论：DEA有效，规模收益递减。污水四厂：*=.9677，2*=.0367，5*=.5367，7*=.4266，S2+*=.2935， 结论：非DEA有效，规模收益递减。污水五厂：*=1，5*=1， 结论：DEA有效，规模收益递减。污水六厂：*=.4853，2*=.8171，3*=.1712，7*=.0117，S1-*=7002.089，结论：非
26、DEA有效，规模收益递减。污水七厂：*=1，7*=1， 结论：DEA有效，规模收益不变。返回提纲DEA案例分析(2)案例1 华北石化公司产品经营有效性评价案例本案例选取华北石化公司2001年1月份的投入产出数据，对华北石化公司各不同产品的生产经营效率进行评价。决策单元：9种产品DMU1 液化气 DMU4 200#溶剂油 DMU7 0#溶剂油 DMU2 石脑油 DMU5 90#溶剂油 DMU8 5#溶剂油 DMU3 120#溶剂油 DMU6 93#溶剂油 DMU9 10#溶剂油 评价指标体系投入指标：投入指标：X1原材料成本（万元）X2辅助材料（万元）X3制造费用（万元）产出指标产出指标：Y1产
27、量（万吨）Y2销售收入（万元）各产品投入产出指标数据评价结果：上表显示华北石化目前产品中第2，4，5，6，8，9种产品的生产是有效率的，而第1，3，7种产品的生产效率则有待改进。 DEA评价案例(3)普通中学相对有效性评价普通中学相对有效性评价参考评价指标体系输入指标输入指标：X1：师资力量X2：教育经费X3：仪器设备，图书资料总额X4：学生入学平均成绩输入指标输入指标：Y1：毕业生人数Y2：毕业学生平均成绩Y3：毕业生的身体素质Y4：毕业生的德育合格率指标意义解释师资力量师资力量(X1)：各层次职称人数加权取和得到，权重由专家确定教育经费教育经费(X2)：按国家和社会拨给的学校的年办学经费，
28、或评估阶段中的全部经费。仪器设备和图书资料总额仪器设备和图书资料总额(X3)：学校拥有的全部仪器设备，图书资料折合成人民币值。学生入学人平均成绩学生入学人平均成绩(X4)：指毕业生当时入学统考的总成绩除以人数所得到的结果。毕业生人数毕业生人数(Y1)：按评估学年或阶段中毕业的全部学生人数。毕业生平均成绩毕业生平均成绩(Y2)：按全体毕业生的毕业统考成绩除以毕业人数得到。毕业生的身体素质毕业生的身体素质(Y3)：按毕业生的毕业体检合格率，或按毕业生的体育达标率。毕业生的德育合格率毕业生的德育合格率(Y4)：指毕业生中未受学校处分无社会犯罪的人数所占比重。由于DEA方法评估结论与输入输出的量纲无关
29、，所以不必对各数据进行无量纲化处理。河北某市普通中学有效性评实例评价单元评价单元：该市市区二十个普通中学该市市区二十个普通中学市二中 市四中; 市六中;市十中市九中 市十一中;市十二中;北二中北三中 山一中山二中 山三中山四中 山五中耀化中学 秦铁中泰附中农技中黄庄中学 山桥中输出输出：Y1：毕业生人数。按90届毕业人数。Y2：毕业生平均成绩。以90届毕业生毕业统考的人均成绩计算。Y3：毕业生的身体素质。以90届毕业生的体育达标率计算。输入输入：X1：师资力量。X1=2z1+1.5z2+1.2z3+z4，其中z1,z2,z3分别为学校在编的特级、一级、二级教师人数，z4为其它人数。X2：教育经
30、费。按90年度下拨教育经费计算。X3：仪器设备。图书资料总额，按截止到90年8月普通初中所拥有仪器设备、图书资料总额计算。数据结构数据结构评价结论DEA评价案例(4)-商业银行的效率评价商业银行的效率评价指标体系投入指标：投入指标：期内平均人数(x1)、 期内平均资产总额(x2)、 期内综合费用(x3)；产出指标：产出指标：期内存款总额(y1)、 期内贷款总额(y2)、 期内利润总额（y3）某省20家商业银行投入产出数据DMU投入指标产出指标期内平均人数（个）期内平均资产总额期内综合费用期内存款总额期内贷款总额期内利润总额银行1205052412.13121.442291.991825.42.
31、77银行2329671953.275.731885.541462.76.45银行314915942.3350.13903.38811.86-1.27银行4269801628.9672.81466.181263.446.64银行53640381.4910.16372.64273.30.58银行61404243.679.38228.77189.1-0.34银行7620190.785.72177.13137.470.62银行8746184.76.13161.36145.10.754银行924454.122.1745.3951.97-0.24银行10805176.815.47137.26172.791
32、.35银行11242117.573.59104.55112.660.33银行1220385.582.8876.4771.180.6银行1315450.981.7143.9839.920.0945银行141020199.423.98131.2493.231.24银行158481168.196.21122.71102.410.56银行161093140.334.398.6370.410.53银行171496134.346.494.3878.620.3银行1868858.092.253.8941.450.094银行1947439.291.1428.6122.980.16银行20100485.63.1
33、458.3347.350.36DEA计算结果表DMU效率值技术效率值规模效率值规模递增/递减银行10.9891.0000.989递减银行21.0001.0001.000不变银行31.0001.0001.000不变银行40.9641.0000.964递减银行51.0001.0001.000不变银行60.9981.0000.998递减银行71.0001.0001.000不变银行80.9540.9760.977递减银行90.9941.0000.994递增银行101.0001.0001.000不变银行111.0001.0001.000不变银行121.0001.0001.000不变银行130.9451.
34、0000.945递增银行141.0001.0001.000不变银行150.7760.7820.991递增银行160.7660.7740.989递增银行170.7410.7540.983递增银行180.9571.0000.957递增银行190.8221.0000.822递增银行200.7410.7790.952递增六、DEA研究进展DEA模型的发展1抉择者偏好信息的DEA模型2具有无穷多个DMU的DEA模型3随机DEA模型4含模糊灰色因素的DEA模型5反映输入输出指标特性的DEA模型6综合DEA模型DEA理论发展1对DEA有效性研究2对DEA评价效果研究3DEA灵敏度分析4DEA和其他方法比较D
35、EA应用进展1管理效率和效益评价方面的应用2预测和预警方面的应用3经济系统建模和参数估计应用第四节第四节 多准则评估的区间评估方法1区间分析简介区间分析简介2区间评估与决策的思想区间评估与决策的思想3区间评估的模型与方法区间评估的模型与方法4 -区间层次分析法区间层次分析法5 -区间线性规划区间线性规划6 -区间区间DEA1 区间分析区间分析（Interval Analysis）简介简介 一、区间分析的产生一、区间分析的产生源于数值计算中的误差分析源于数值计算中的误差分析某观测值某观测值x ,误差限误差限，则准确值：则准确值：x ， x +二、区间数及其四则运算二、区间数及其四则运算区间数区间
36、数(Interval Number):区间数的另一表示：区间数的另一表示：，其中，其中，区间数的四则运算区间数的四则运算 ，其中，其中特殊地：特殊地：特殊地：特殊地：区间数四则运算区间数四则运算-应用举应用举例例例：例：证明证明在区间在区间8，10上没有根。上没有根。解：解：把把x= 8，10带入函数，可得：带入函数，可得： f(8,10)=1.5,23.9, 01.5,23.9.三、区间向量与区间矩阵三、区间向量与区间矩阵区间向量：区间向量：，其中，其中为区间数为区间数区间矩阵：区间矩阵：，其中，其中为区间数为区间数区间向量与区间矩阵的运算：区间向量与区间矩阵的运算：运算法则同一般的向量和矩
37、阵运算法则同一般的向量和矩阵区间矩阵的特征值与特征向量：区间矩阵的特征值与特征向量： 设设A为一区间矩阵，为一区间矩阵，是一区间数，若存在一个非是一区间数，若存在一个非零区间数向量零区间数向量x，使得使得Ax= x，则称则称为为A的一个的一个特征值特征值，x为为A对应于对应于的一个的一个特征向量特征向量。四、区间分析的其它内容四、区间分析的其它内容 区间序列及其收敛性区间序列及其收敛性 区间函数及其计算区间函数及其计算 区间线性方程组区间线性方程组估计一般函数的积分值区间估计一般函数的积分值区间求区间函数的积分求区间函数的积分 区间积分区间积分2 区间评估与决策的思想区间评估与决策的思想传统的
38、评估与决策：传统的评估与决策：点数据点数据刚性模型刚性模型刚性评估刚性评估完全完全理性理性决策决策区间评估与决策：区间评估与决策：区间数据区间数据柔性模型柔性模型柔性评估柔性评估有限有限理性理性决策决策信息充分信息充分静态系统静态系统约束确定约束确定信息不充分信息不充分动态系统动态系统约束不确定约束不确定注：处理不确定信息的工具注：处理不确定信息的工具模糊数学模糊数学随机数学随机数学区间数学区间数学区间评估模型举例区间评估模型举例例例某鸡场有某鸡场有1000只小鸡，用黄豆和玉米混合的饲料只小鸡，用黄豆和玉米混合的饲料喂养，每只鸡每天要吃喂养，每只鸡每天要吃1-1.3公斤饲料，从营养方面看，每公
39、斤饲料，从营养方面看，每只鸡每天需要只鸡每天需要0.004-0.006公斤的钙，并至少需要公斤的钙，并至少需要0.21-0.23公斤的蛋白质。已知黄豆的蛋白质含量为公斤的蛋白质。已知黄豆的蛋白质含量为48%-52%，钙的含量为，钙的含量为0.5%-0.8%，其价格为每公斤，其价格为每公斤0.38-0.42元；元；玉米的蛋白质含量为玉米的蛋白质含量为8.5%-11.5%，钙的含量为，钙的含量为0.3%，其价格为每公斤其价格为每公斤0.2元；问每天如何配料最节省？元；问每天如何配料最节省？ 例例 层次分析法中，某决策者对某两方案比较时，认为第层次分析法中，某决策者对某两方案比较时，认为第一方案比第
40、二方案的重要程度，介于一方案比第二方案的重要程度，介于“稍微重要稍微重要”和和“明显重要明显重要”之间。之间。例例 S省拟建一污水处理厂，该方案投资额如表所示，省拟建一污水处理厂，该方案投资额如表所示，但不知投入数额是否恰当。准备进行效率评价。但不知投入数额是否恰当。准备进行效率评价。评价单元评价单元总投资额总投资额（百万元）（百万元）年运营成本年运营成本（十万元）（十万元）日处理污水日处理污水规模（万规模（万m3）S省拟建省拟建23.027.58.09.53.0A省以建省以建34.271.522.3B省以建省以建59.255.175.1C省以建省以建18.8618.013.5D省以建省以建1
41、2.045.681.23 区间评估的模型与方法区间评估的模型与方法一、区间层次分析法（一、区间层次分析法（Interval AHP）简单回顾简单回顾AHP的一般步骤：的一般步骤：建立递阶建立递阶层次结构层次结构建立判断建立判断矩阵矩阵层次单排序及层次单排序及一致性检验一致性检验层次总排序及层次总排序及一致性检验一致性检验问题问题： （1）构造判断阵时，某些判断没有把握）构造判断阵时，某些判断没有把握 （2）群组）群组AHP中，各专家意见不尽相同中，各专家意见不尽相同解决办法解决办法区间标度区间标度区间层次分析法区间层次分析法(1 ) 区间判断矩阵的建立区间判断矩阵的建立定义：定义：称称为为区间
42、判断矩阵区间判断矩阵，如果，如果均有均有例：例：区间判断矩阵的构造（只需构造上三角）：区间判断矩阵的构造（只需构造上三角）：1）对于不确定判断，分别估计区间的中值）对于不确定判断，分别估计区间的中值rij 和变和变异度异度，则则aij=rij - ， rij + 2）对于群组决策，分别取所有专家的最小值和最）对于群组决策，分别取所有专家的最小值和最大值作为区间数的两端大值作为区间数的两端(2) 一致性检验的问题一致性检验的问题区间判断矩阵的一致性：问题：问题：尚无可操作的判断方法尚无可操作的判断方法(3) 层次单排序的方法层次单排序的方法 随机抽样法随机抽样法 详见详见“许树柏，层次分析法原理
43、，天津大学出版社，许树柏，层次分析法原理，天津大学出版社，1988 ” 传统单排序方法的区间扩展传统单排序方法的区间扩展 如：如： -区间特征根方法（区间幂法），参考区间特征根方法（区间幂法），参考“吴育华，区间层次分析法吴育华，区间层次分析法IAHP，天津大学学报，天津大学学报，1995，9：700-705” -区间对数最小二乘法区间对数最小二乘法 -区间梯度特征向量法区间梯度特征向量法 以点推面法以点推面法 通过求解数字矩阵的排序向量，再由误差传递公式计算得到最后的区间排通过求解数字矩阵的排序向量，再由误差传递公式计算得到最后的区间排序向量，参考序向量，参考 （1）樊治平等，不确定性判断矩
44、阵权重计算的一种实用方法，系统工程，）樊治平等，不确定性判断矩阵权重计算的一种实用方法，系统工程，1996，3：57-61 （2）许先云等，不确定）许先云等，不确定AHP判断矩阵的一致性逼近与排序方法，系统工判断矩阵的一致性逼近与排序方法，系统工程理论与实践，程理论与实践，1998，2：19-224 层次总排序的问题层次总排序的问题IAHP的最后的权重结果为一些区间数的最后的权重结果为一些区间数问题：问题：如何对之排序如何对之排序例：例：w1=0.4646, 0.5205w2=0.1746, 0.2443w3=0.1313, 0.1646w4=0.1117, 0.1585w1w2w3w4最后排
45、序结果w1w2w3w4二、区间线性规划二、区间线性规划 （interval linear programming，简称简称IvLP）简单回顾简单回顾LPLP的一般模型：的一般模型：Min Z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn =b1a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn =b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn =bmx1 ，x2 ， ，xn 0s.t.Min Z = CXAX=bX 0s.t.矩阵表示矩阵表示问题：问题：三种系数A、b、C不确定解决方法解决方法：IvLPIvLPIvLP的
46、一般模型：的一般模型：IvLPIvLP的求解：的求解：客观的方法客观的方法主观的方法主观的方法(1) 客观方法求解客观方法求解IvLP 即分别求解即分别求解IvLP的最好最优值和最差最优值，由此得的最好最优值和最差最优值，由此得到其区间最优值。到其区间最优值。最好最优值模型：最好最优值模型：STEP1：确定最优目标函数确定最优目标函数例：约束条件：例：约束条件：1,2x1+ 1,4x22,4边界不等式：边界不等式：1 x1+ 1x221 x1+ 4x222x1+ 1x222 x1+ 4x221 x1+ 1x241 x1+ 4x242x1+ 1x242 x1+ 4x241 x1+ 1x242 x
47、1+ 4x22最大范围不最大范围不等式等式最小范围不最小范围不等式等式STEP2：确定最大范围约束：确定最大范围约束：STEP3：确定最好最优值模型确定最好最优值模型最差最优值模型：最差最优值模型：最优值记为：最优值记为：最优值记为：最优值记为：IvLP的最优值为：的最优值为：例、求解例、求解IvLP的最优值区间的最优值区间解、解、分别建立该分别建立该IvLP的最好、最差模型的最好、最差模型：分别求解两分别求解两LP，得得IvLP的最优值区间为：的最优值区间为：0.5,8(2) 主观方法求解主观方法求解IvLP思路：基于区间数的序关系，将思路：基于区间数的序关系，将IvLP化为一确定型化为一确
48、定型LP并求解。并求解。两个区间数两个区间数、称称为为AB的满意度。的满意度。当决策者给定满意度当决策者给定满意度0 ，IvLP中的约束中的约束于是，于是，IvLP化为一个确定型化为一个确定型LP例、给定满意度例、给定满意度0.5，求解，求解IvLP解、解、化为确定型化为确定型LP求解求解三、区间数据包络分析三、区间数据包络分析 （interval DEA，简称简称IDEA）xmnxm2xm1mx2nx22x212x1nx12x111ysny2ny1nsys2ys12y22y211y12y11X1X2XnY1Y2Ynn个个DMU：m个投入，个投入，s个产出个产出问题：由于问题：由于观测误差观测
49、误差、信息不完备信息不完备，导致数据，导致数据不准确不准确(1) 区间区间DEA模型：模型：对偶模型：对偶模型：(2) 区间区间DEA的求解的求解 客观的方法：客观的方法：分为分为客观的方法、主观的方法客观的方法、主观的方法STEP1：考虑对考虑对DMU0最有利的情形，求得最有利的情形，求得主观的方法：基于主观的方法：基于IvLP的主观求解的主观求解STEP2：考虑对考虑对DMU0最不利的情形，求得最不利的情形，求得STEP3：得到得到DMU0的区间效率值的区间效率值 DMUX1Y1Y2A1,24,67,8B2,34,56,8C4,630,3432,34D2,410,134,5E1,327,2
50、920,21例例 求每个求每个DMU的区间效率值的区间效率值解、解、以以A为例为例DMUX1Y1Y2A1,24,67,8B2,34,56,8C4,630,3432,34D2,410,134,5E1,327,2920,21例例 求每个求每个DMU的区间效率值的区间效率值解、解、以以A为例：为例：首先建立确定型模型，求得其最高效率值首先建立确定型模型，求得其最高效率值DMUX1Y1Y2A1,24,67,8B2,34,56,8C4,630,3432,34D2,410,134,5E1,327,2920,21例例 求每个求每个DMU的区间效率值的区间效率值解、解、以以A为例：为例： 首先建立确定型模型，
51、求得其最高效率值首先建立确定型模型，求得其最高效率值 A的区间效率值为的区间效率值为:再建立确定型模型，求得其最高效率值再建立确定型模型，求得其最高效率值计算结果：计算结果：DMUX1Y1Y2区间效率值区间效率值A1,24,67,80.17,1B2,34,56,80.1,0.6C4,630,3432,340.25,1D2,410,134,50.09,0.72E1,327,2920,211,1(3) 区间区间DMU的评价的评价 区间区间DMU的分类：的分类：区间有效区间有效区间部分有效区间部分有效区间无效区间无效 区间区间DMU的排序：的排序：-按区间效率值对其排序，最终归结为区间数的排按区间效率值对其排序，最终归结为区间数的排序序(4) 区间区间DEA的其它研究领域的其它研究领域 DEA其它模型（除其它模型（除C2R外）的区间扩展及其应用研究外）的区间扩展及其应用研究 投影问题投影问题 DMU的鲁棒性分析的鲁棒性分析
