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1、曲率、挠率 Frenet 标架与Frenet 公式一挠率分析从法向量 B(s) 对弧长 s 求导所得向量 B (s) 的行为由于从法向量是单位向量场，易知 B (s)B(s) ；而由 B(s) T(s)N(s) 对弧长 s 求导得B T N TN TN T 于是，B N 把 B (s) 在Frenet标架 r(s); T(s) , N(s) , B(s) 下的分量抽象出来，将找到所需要的几何量定定义义1 1 对于无逗留点的曲线 C ，称 B N 为曲线的挠挠率率函函数数，其中 B 为从法向量对弧长的导数；当挠率非零时，称其倒数为挠率半径挠率半径可证（习题2.4.1）挠率在容许参数变换下不变一挠
2、率B N 对于无逗留点的曲线 C ，称 B N 为曲线的挠挠率率函数，其中 B 为从法向量对弧长的导数计算：按挠率定义和Frenet标架的单位正交右手性质，(4.1)B (s) N ，(4.2) (TN)N (TN ) N (T , N , N ) 一挠率定定理理1 1 对曲率非零的曲线 C 而言，C 为平面曲线的充要条件是其挠率函数恒等于零证证明明由上节例4的结论可知，只要证明“从法向量恒等于常向量”等价于“挠率函数恒等于零”， 而这由 B (s) N ，即可得证定定理理2 2 设无逗留点的弧长 s 参数化曲线 C: r r(s) 与 C*: r* r*(s) 合同，则两条曲线在对应点 r(
3、s) 与 r*(s) 处的挠率 (s) 与 *(s) 总相等证证明明与上一节定理2的证明相同，对曲线 C* 各相应量的记号总打星号表示，并设矩阵 ASO(3) 和位置向量 OP (b1 , b2 , b3) ，使 一挠率定定理理2 2 设无逗留点的弧长 s 参数化曲线 C: r r(s) 与 C*: r* r*(s) 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s) 处的挠率 (s) 与 *(s) 总相等证证明明与上一节定理2的证明相同，对曲线 C* 各相应量的记号总打星号表示，并设矩阵 ASO(3) 和位置向量 OP (b1 , b2 , b3) ，使 r OP r*A ，T T*A ，T
4、 T*A ， * 将曲率向量用主法向量表示出来，则进一步有N N*A ，N N*A 故由 (4.2) 式便知有 (T , N , N ) (T*A , N*A , N*A) (T* , N* , N*) A (T* , N* , N*) * 一挠率定定理理1 1对曲率非零的曲线 C 而言，C 为平面曲线的充要条件是其挠率函数恒等于零定定理理2 2设无逗留点的弧长 s 参数化曲线 C: r r(s) 与 C*: r* r*(s) 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s) 处的挠率 (s) 与 *(s) 总相等定理意义定理意义： 挠率确实是刻划曲线弯曲状况的又一个重要的几何量，因而又可称
5、之为曲线的第二曲率第二曲率； 又由于挠率体现了密切平面的扭转状况，通常说它表示了曲线的扭曲扭曲程度挠率的计算在一般参数下，挠率的用位置向量表示的计算公式可以利用复合求导而由弧长参数下的计算公式 (4.2) 式和 (3.9) 式推出（参见习题 4 ），也可以从 (3.8) 式和 (3.9) 式导出例例1对常数 a 0 和常数 b ，计算曲线 r(t) = (a cos t , a sin t , b t) 的挠率.注意解法有多种：可先作弧长参数化，再用定义式计算；或先确定参数与弧长参数的关系，再利用复合求导以及定义式计算；或代入公式 (4.3) 计算这里采用第二种算法，按上节例5接着计算二Fre
6、net公式按照标架运动的一般规律，对于无逗留点的曲线 r ，其Frenet标架关于曲线弧长 s 的运动公式运动公式（作微小位移时的变换公式）现在已经可以确定为这组公式称为曲线论基本方程曲线论基本方程，它包含了曲线几何的最基本信息：弧长，曲率，挠率 在本章的后续内容中，可以进一步体会出这组公式的重要含义二Frenet公式曲线论基本方程曲线论基本方程包含了曲线几何的最基本信息：弧长，曲率，挠率鉴于其重要地位，称为Frenet-Serret公式公式，或简称为Frenet公式公式，并通常写为二Frenet公式在明确了Frenet公式之后，Frenet标架关于弧长的各阶导向量在Frenet标架下的分量就
7、都可以用曲率、挠率以及它们的各阶导数等几何量具体表示出来因此，利用Frenet公式和微积分学的一般知识，就有求解曲线几何问题的常用一般步骤：将几何条件表示成解析表达式；分析条件，合理进行求导（或积分等等）运算和代数运算若干次，寻找所求几何结论所对应的解析表达式；从解析式表述几何结论在学习过程中，特别需要注意培养和提高恰当地使用这种步骤的能力二Frenet公式不仅仅局限在曲线几何上，从更为一般的角度讲，上述步骤实际上是“翻译”和“推演”这两类过程在进行适当的结合和互相提示；这种思维方式是重要的， 适用于一般场合下利用已知知识参与解决问题的过程， 特别适用于理性的数量关系问题的求解过程， 当然包括
8、适用于对曲面几何问题的讨论具体的例子，读者可以回头总结前面的相关例题、定理和公式的证明过程，直至理论框架典型的使用过程，也可以参阅第七章6中球面曲线的局部特征定理及其证明本章7中也经常使用这些步骤三.曲线的曲率和 Frenet 标架一曲率考虑单位切向及其方向相对于弧长的变化率定义定义1曲率向量曲率向量；曲率曲率；曲率半径曲率半径曲率和曲率向量的定义不依赖于正则参数的选取定理定理2设弧长 s 参数化曲线 C: r r(s) 与 C*: r* r*(s) 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s) 处的曲率 (s) 与 *(s) 总相等二Frenet 标架在曲线上与自身几何属性密切相关的标架场当曲率向量非零之时，利用曲率向量的单位化向量建立符合需要的单位正交右手标架场二Frenet 标架在曲线上与自身几何属性密切相关的标架场当曲率向量非零之时，利用曲率向量的单位化向量建立符合需要的单位正交右手标架场
