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1、第五讲 Ross 的套利定价理论 (APT) 和资产定价基本定理1APT 和资产定价基本定理CAPM 和 APT 的表达形式nCAPM:nAPT: nAPT 开始时作为 CAPM 的替代物出现的。2APT 和资产定价基本定理Stephen Ross (1944-)3APT 和资产定价基本定理摘自 Levy投资学3 2 5页4APT 和资产定价基本定理Markowitz 理论和 CAPMnMarkowitz 理论指出，对于固定的收益（期望收益率)，怎样选取适当的证券组合，使得风险 (收益率方差) 最小。nCAPM 则指出，任何任何证券和证券组合的收益 (期望收益率) 怎样通过两个均值方差有效的收
2、益率的期望值来估计。n两者通过“系统风险”、“非系统风险”之说联系在一起。5APT 和资产定价基本定理“未定权益空间”上的正交分解6APT 和资产定价基本定理正交分解的含义n对于 Markowitz 理论来说，为求“风险”最小，应取“收益率前沿”直线上的点，使“非系统风险” (的长度) 为零。n对于 CAPM 来说，任何证券或证券组合的“收益”可用“收益率前沿”直线上的两点来计算，它并不关心“非系统风险” (的长度) 有多大。n就这两点来说，增加“风险因素”的 APT 不可能有任何新作为。7APT 和资产定价基本定理APT 能取代 CAPM 吗？nAPT 声称它要取代 CAPM, 并认为它所取
3、的“风险因素”不需要“均值方差有效”。n但是如果要求“误差项” 可能是所有“非系统风险”，即所有与“收益率前沿”所在平面正交的元素，那么它将要求所有“风险因素”都“均值方差有效” 。n因此，结论是“误差项” 不能是所有“非系统风险”。8APT 和资产定价基本定理APT 能否提高“收益估计质量”？n如果 APT 的目的是为了提高“收益估计”的“质量”，即要求“误差项” “很小”，这对于个别个别证券或证券组合是可能做到的，它可通过对 继续进行对“更大的风险因素空间”进行正交分解来做到。n但是不可能有一个对所有所有证券或证券组合都是“高质量”的 APT! 因为对于任何确定的“风险因素空间”，总存在“
4、误差项很大”的证券组合。9APT 和资产定价基本定理APT 理论的真正意图nAPT 理论试图回答的问题其实与 Markowitz 理论CAPM 试图回答的问题有很大不同。它回避“均值方差有效”的概念，也不仅仅是要得到“收益估计”，而是对“部分部分” (但是有无限个！) 证券希望得到“相对较好”的“收益估计”，并且认为只要互相独立的“风险因素”越来越多，个别的“收益估计”就会越来越好 （“渐近无套利假设”)。10APT 和资产定价基本定理APT 的出发点、终点与根据n为此，APT 的出发点与以前有很大不同：多“风险因素”，被估计收益的是一系列无限多种证券，“误差项”不是“非系统风险” (不一定与
5、“前沿平面”正交)，它们的方差是有界的。nAPT 的终点是： “误差项”的“总体”“较小”。n理论根据是“渐进无套利假设”，即线性定价函数是连续的。11APT 和资产定价基本定理资产定价基本定理nRoss 在提出他的 APT 理论以后， 1978 年又提出一条很一般的定理。这条定理后来被人们称为“资产定价基本定理”。甚至“金融学基本定理”。n它指出完整的无套利假设等价于正线性定价法则。n这条资产定价基本定理对金融经济学框架的形成，实际上起了决定性的作用。12APT 和资产定价基本定理Ross 1978 年的经典论文13APT 和资产定价基本定理Ross 论文的引言14APT 和资产定价基本定理
6、引言的译文n“在一个没有未被开发的套利机会的资产市场中，存在一个线性估值算子，它可以毫不含糊地以完善的市场替代来为收益流定价，或者对通过市场组合界定的现金流来界定其值。用不到进一步假定，只要预计的收益可以通过购买一个市场资产组合的确定的跨时规划来复制(或界定)，这是可能的。这些结果已被证明，并且被用来简化和统一许多金融经济学中的论述，其中包括项目估值，Modigliani-Miller 理论，远期定价，封闭式互助基金悖论以及有效市场理论。”15APT 和资产定价基本定理资产定价基本定理n所谓资产定价基本定理实际上是一条数学定理，它是指一个正线性 (定价) 函数应该有什么形式。n如果我们考虑的是
7、一般的“未定权益 Hilbert 空间”，那么并没有什么明确的“资产定价基本定理”。n如果假定未来只有有限种状态，那么所有“未定权益”都可以用有限维向量来表示。16APT 和资产定价基本定理S 维向量空间上的正线性函数n对于 S 维向量空间来说，其上的正线性函数一定可以通过一个 S 维正向量来表示，其分量是这个函数在 S 个单位向量上所取的值。每个 S 维向量的正线性函数都可表示为这个正向量与自变向量的内积。17APT 和资产定价基本定理S 维向量空间的经济学对应物nArrow-Debreu 在把不确定性引进一般经济均衡模型时，没有用概率论，而是用一个有限 (S) 维向量来对应一个“未定权益”
8、。n这样，Arrow-Debreu 意义下的“未定权益空间”就是一个 S 维向量空间。在这个空间中的 S 个单位向量，后人把它们称为 Arrow-Arrow-DebreuDebreu 证券。证券。相应的“未定权益空间”常称为“未定市场未定市场 (Contingent (Contingent Market)Market)。18APT 和资产定价基本定理完全市场的资产定价基本定理n金融经济学考虑的问题是：如何用基本证券的价格来为所有的未定权益定价。n如果任何未定权益都是基本证券的未来价值的线性组合，这样的“市场”就称为“完全市场”。n在“未定市场”情形下，即“未定权益空间”是有限维空间时，完全市场
9、就是说基本证券组的未来价值构成空间的“基”。19APT 和资产定价基本定理完全市场的资产定价基本定理n基的数学性质翻译成经济语言为：每一种资产 (未定权益、衍生证券等) 都可以通过基本证券的组合来“复制复制”，或者叫“重构重构”。n在这种情况下，尤其是 S 种 Arrow-Debreu 证券也能被复制。而 Arrow-Debreu 证券的价值一定是正的。由此我们就得到这种情形的资产定价基本定理。20APT 和资产定价基本定理问题在于不完全市场情形n困难的是，基本证券集不能构成向量空间的不完全市场情形。在这种情况下，我们要证明资产定价基本定理，可以通过对证券集不断加入证券来使其成为完全市场。被加
10、入的证券的定价当然要求仍然满足无套利假设。n被加入的证券显然可以是 Arrow-Debreu 证券。21APT 和资产定价基本定理一种最简单的情形n举一个最简单的例子，看这样的过程是怎样进行的。n假设 S=2。而证券只有一种无风险证券，并且它的当前价格是 1，未来价格是 (1,1)。即只有一种没有时间价值的货币。这时我们能对其他证券定价吗？显然，除了与它完全成比例的证券外，别的都定不了。22APT 和资产定价基本定理无套利 (正线性) 定价n但是由于无套利假设的约束，我们仍然可以对任何证券的价格定出其可能的范围。我们在最初的例子中实际上已经指出，如果有一种证券的未来价格是 (a,b)，那么其当
11、前价格只可能在 a 和 b 之间。否则就有套利机会。n因此，对于 Arrow-Debreu 证券例如 (1,0),其当前价格只可能是 0 和 1 之间的数。23APT 和资产定价基本定理一般情形的讨论n这个简单的例子说明，在不完全市场中也能利用无套利假设来定价，但是所定出的价不是唯一的。n一般情况下，对一组不构成完全市场的基本证券集，我们都可通过它们对另一个与它们线性无关的证券定出其当前价格的范围。任取该范围中的一个价格，形成一个新的证券集。继续这一过程。24APT 和资产定价基本定理资产定价基本定理的数学困难n最后形成一个能张成 S 维空间的基本证券集，使问题归结为完全市场情形。n在不完全市
12、场情形下，对一种证券确定其定价范围是问题的关键。解决这一问题有本质的数学困难。它需要凸集分离定理或者其他定价命题。25APT 和资产定价基本定理凸集分离定理26APT 和资产定价基本定理资产定价基本定理的一般提法n资产定价基本定理说到底就是正线性定价法则在数学上怎样表达。n对于“未定权益 Hilbert 空间” 来说，问题可以这样来提：一个连续正线性定价函数是否一定有这样的性质： 这里 是“最大的未定权益空间”。27APT 和资产定价基本定理资产定价基本定理的经济含义n这条定理的经济含义可叙述为：一个“小市场”中的正线性定价法则是否可以扩充到“大市场”？或者说，我们能否通过“已定价商品”的价格
13、来为“未定价商品” 定价，使得正线性定价法则仍然保持？n整个衍生证券定价理论，即 Black-Scholes-Merton 理论就是这样的基本思想，即“相对定价相对定价”思想。28APT 和资产定价基本定理资产定价基本定理的数学解答n一般问题没有一般答案，即以刚才的形式提出的问题不一定有解。n但是当 是有限维空间时，问题的答案是肯定的。只是要得到这样的结果，数学上都不太简单 (涉及凸集分离定理)。n一种有限维的情况是“未来只有有限种状态”的“未定市场 (Contingent Market)”的情况。29APT 和资产定价基本定理“未定市场”的资产定价基本定理n这时，资产定价基本定理这样叙述：设
14、未来有 S 种状态，市场中有 K 种已定价的“基本证券”，其“未来价格”为 “当前价格”为 那么“无套利假设”（正线性定价法则）成立的充要条件为存在 使得30APT 和资产定价基本定理Arrow-Debreu 证券和“状态价格”n 称为状态价格状态价格，它们是未来价值为单位向量的“证券”的价格。这种证券已经被文献上普遍称为 Arrow-Arrow-DebreuDebreu 证券。证券。n“Arrow-Debreu 证券”这一名词起源于 Arrow-Debreu 把“不确定性”引进一般经济均衡理论时的做法。其主要特点是其中没有概率的概念。31APT 和资产定价基本定理引进等价概率鞅测度n如果在“
15、基本证券”中有“无风险证券”，其未来价格为 当前价格为 ，那么有n令 那么 可看作第 i 种状态的概率，这种概率称为“等价概率鞅测度”，即在这种概率测度下，每一种未定权益的当前价格都等于其未来价格的折现值的期望值。32APT 和资产定价基本定理在等价概率鞅测度下的随机折现因子n写成数学表达式就是n由此还可对收益率 得到 即所有未定权益的期望收益率都相等。这就是“鞅”这个名词的含义。n这时随机折现因子是无风险证券！33APT 和资产定价基本定理等价概率鞅测度下，不再有“金融平面几何”！n当随机折现因子为无风险证券时，“金融平面几何”不再有效，即不再有（有意义的） Markowitz 理论，不再有
16、 CAPM。nCAPM 变为“平凡”的情形：所有期望收益率都等于无风险收益率。n这一结果是现代经典金融经济学最重要的结果，因而可称为“金融学基本定理”！34APT 和资产定价基本定理未定权益定价与概率论的早期历史lBlaise Pascal (1623-1662)Pierre de Fermat (1601-1665)未定权益定价问题联系着概率论的起源。1654 年 Pascal 与 Fermat 的五封通信，奠定概率论的基础。他们当时考虑的就是一个“未定权益定价” (掷骰子) 问题。35APT 和资产定价基本定理Pascal Fermat 问题n二人掷骰子赌博，先掷满 5 次双 6 点者赢。
17、有一次，A 掷满 4 次双 6 点，B 掷满 3 次双 6 点。由于天色已晚，两人无意再赌下去，那么该怎样分割赌注？n答案：A 得 3/4, B 得 1/4.n结论：应该用数学期望来定价。36APT 和资产定价基本定理资产定价基本定理与 “P-F 定价”的根本区别n“P-F 定价”直到现在还是“未定权益定价”的一种主要方法。当然，计算时要考虑“折现”。例如，保险定价、NPV 方法等都属这种类型。n但这种方法不能用到一般的衍生证券定价。而“资产定价基本定理”与 “P-F 定价”的根本区别在于后者用的是“客观概率”，前者用的是“等价概率鞅测度”。37APT 和资产定价基本定理一般的资产定价基本定理
18、n资产定价基本定理可推广到一般的多时期模型。这时，需要引进“条件数学期望”、-流等概念。这时，鞅就定义为“当前的值等于未来的（条件）期望值”的随机过程。n“无套利假设”在这时就要比“正线性定价法则”要更复杂些。但除线性定价以外，仍然是“未来值钱的现在也值钱”。38APT 和资产定价基本定理一般的资产定价基本定理（续）n然而，这时“无套利假设”不一定再等价于“存在等价概率鞅测度”。n最好的结果是 Dalang-Morton-Willinger (1990): 有限期、有限种“基本证券”的“市场”，“无套利假设”等价于“存在等价概率鞅测度”。n其他情况都需要加一些比“无套利假设”更高的条件。39APT 和资产定价基本定理资产定价第二基本定理n文献中常称“完全完全市场中无套利假设等价于存在唯一唯一的等价概率鞅测度”为资产定价第二基本定理。n我们这里的资产定价第二基本定理是指：个人最优投资消费问题有解的充要条件是无套利假设成立。n这说明如果我们要为资产定价建立一般经济均衡模型，资产定价基本定理同样是基础。40APT 和资产定价基本定理
