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1、3.53.5 等比数列的前等比数列的前n n项和项和( (一）一）20 八月八月 2024 1. 1. 等比数列的定义等比数列的定义： 定义：如果一个数列从第定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母比通常用字母 q 来表示来表示. 等比数列的通项公式：等比数列的通项公式： a n = a 1 q n 1 .2. 2. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式：（一）（一）复复 习：习：解决关于
2、国际象棋的传说问题：解决关于国际象棋的传说问题： 也就是求数列：也就是求数列： 1 1，2 2，4 4，8 8， ，2 263 63 的和的和. . S S 64 64 = 1 + 2 + 4 + 8 + = 1 + 2 + 4 + 8 + + 2 + 263 63 . . 两边同时乘以等比数列的公比两边同时乘以等比数列的公比 2 2 ， 2 S 2 S 64 64 = 2 + 4 + 8 + 16 + = 2 + 4 + 8 + 16 + + 2 + 263 63 +2+264 64 . .比较这两个式子：比较这两个式子： - - 得，得， S S 64 64 = = 2 26464 1 .
3、1 . 2 26464 1 1 1.84 1.8410101919（粒），假定千粒重为粒），假定千粒重为40g40g，那么麦粒的总重量约为那么麦粒的总重量约为7378.77378.7亿吨，亿吨，若铺在地若铺在地球表面上，可以得出一个球表面上，可以得出一个麦粒麦粒层，厚度约为层，厚度约为9 9毫米毫米国王是拿不出这么多麦子的国王是拿不出这么多麦子的. .（二）（二）新新 课课 讲讲 解解 等比数列的前等比数列的前 n n 项和公式项和公式 设有等比数列设有等比数列 a 1 ，a 2 ，a 3 ， ，a n ， .它的公比是它的公比是 q q ，它的前它的前 n n 项和为项和为 S n = a
4、1 + a 2 + a 3 + + a n . . 由等比数列的通项公式，上式可以写成：由等比数列的通项公式，上式可以写成：S n = a 1+ a 1q+ a 1q 2+ + a 1q n 2+ a 1q n 1 两边同时乘以公比两边同时乘以公比 q q，q S n = a 1q+ a 1q 2+ + a 1q n 2+ a 1q n 1 +a 1q n - - 得，得， ( 1 - q ) S n = a 1 a 1 q n .因为因为 a 1 q n = ( a 1 q n- -1 ) q = a n q ,所以等比数列的前所以等比数列的前 n 项和公式还可以写成项和公式还可以写成当当
5、q = 1 时，时，S n = n a 1 . 注：注：（1 1）当已知）当已知 a 1，q，n 时用第一个公式，当已时用第一个公式，当已知知 a 1，q，a n 时用第二个公式时用第二个公式 . . （2 2）如果公比）如果公比 q 是一个字母，在求和时要对是一个字母，在求和时要对公比是否为公比是否为 1 1 进行讨论进行讨论. . （3 3）要把公式记准，通项公式要把公式记准，通项公式 a n 中，中，q 的指的指数是数是 n n -1-1，前前 n n 项和公式项和公式 S n 中，中， q 的指数是的指数是 n n . . （4 4）可以用等比数列前可以用等比数列前 n n 项和公式解
6、决关于项和公式解决关于国际象棋的传说问题，国际象棋的传说问题， 因为因为 a 1 = 1 ，q = 2 ，n = 64 ，所以，所以，（三）（三）例例 题题 解解 析析例例1 1 已知等比数列已知等比数列(1)(1)求前求前8 8项之和项之和(2)(2)求第求第5 5项到第项到第1010项的和项的和(3)(3)求此数列前求此数列前2 2n n项中所有偶数项的和项中所有偶数项的和分析：分析：例例1 1 已知等比数列已知等比数列(2)(2)求第求第5 5项到第项到第1010项的和项的和解：解：确定确定 但首项是但首项是此题也可用此题也可用 解得解得例例1 1 已知等比数列已知等比数列 (3) (3
7、)求此数列前求此数列前2 2n n项中所有偶数项的和项中所有偶数项的和解：解：(3)(3)确定项数为确定项数为n n，公比为，公比为 首项为首项为注意：将等比数列中拿出角标码成等差数列的注意：将等比数列中拿出角标码成等差数列的项会组成一个新的等比数列，要确定好新数列项会组成一个新的等比数列，要确定好新数列的首项、公比及项数，才不会出错的首项、公比及项数，才不会出错 例例 2 某商场第某商场第 1 年销售计算机年销售计算机 5000 台，如果台，如果平均每年的销售量比上一年增加平均每年的销售量比上一年增加 10%，那么从第，那么从第 1 年起，约几年内可使总销售量达到年起，约几年内可使总销售量达
8、到 30 000台（保留台（保留到个位）？到个位）？ 分析：分析：根据题意，每年销售量比上一年增加的根据题意，每年销售量比上一年增加的百分数相同，所以从第一年起，每年的销售量组成百分数相同，所以从第一年起，每年的销售量组成一个等比数列一个等比数列 a n ，其中，其中， a 1 = 5000 ，q = 1+10% = 1.1，S n = 30000，代入等比数列求和公式，即可得代入等比数列求和公式，即可得 关于关于 n 的一个方程，的一个方程，解方程即可求得解方程即可求得 n .（解答见教材）（解答见教材）例例3 3 等比数列等比数列 an n 中，中，S S2 2=7,S=7,S6 6=91
9、,=91,求求S4 4解：由题设有解：由题设有(2)(2)(1)(1)得：得：解得解得 ( (舍去舍去) )将将q2 2=3=3代人代人(1)(1)得得当当q=1=1时，不满足上面条件，时，不满足上面条件，v说明：说明： (1)(1)前面在等比数列一节中，已经分析了在前面在等比数列一节中，已经分析了在等比数列解题中的运算特点，在本节牵涉到和等比数列解题中的运算特点，在本节牵涉到和的运算中，仍要注意消元方法；的运算中，仍要注意消元方法； (2)(2)另外在和的运算中，还要注意整体意另外在和的运算中，还要注意整体意 识，即将识，即将 作为一整体求解；作为一整体求解； (3)(3)另外还要注意：套用
10、求和公式时是在另外还要注意：套用求和公式时是在q1 1的时候成立的，要注意讨论的时候成立的，要注意讨论 q是否能为是否能为1 1练练 习习v1. 教科书教科书 练习练习 1、2 2.辨析下面证法：辨析下面证法： 已知数列已知数列 an n 是等比数列，是等比数列，Sn n是前是前n n项和，证明：项和，证明：S S7 7, S, S1414-S-S7 7, S, S2121-S-S1414成等比数列成等比数列证明证明: : 评析评析: : 套用求和公式时是在套用求和公式时是在q1 1的时候成立的，要注意的时候成立的，要注意讨论讨论q是否能为是否能为l l所以所以, ,上面的证明是在上面的证明是
11、在q1 1的时候成的时候成立立, ,当当q=1 1时时,S,S7 7=7=7a1 1,S,S1414=14=14a1 1,S,S2121=21=21a1,1,可可证之证之. . 所以对公比所以对公比q为字母时一定要有讨论意识为字母时一定要有讨论意识 成等比数列成等比数列小小 结结1.1.等比数列前等比数列前n n项和公式项和公式2.2.熟悉并应用公式，要掌握好错位相减法熟悉并应用公式，要掌握好错位相减法 作业作业 1 1教科书教科书 习题习题3.5 13.5 1，2 2，5 5 2 2思考题：思考题： 回忆等差数列中性质：回忆等差数列中性质：Sn n为等差数列的前为等差数列的前n n项和，则项和，则 会成新的等会成新的等差数列差数列 类比到等比数列中来：类比到等比数列中来： 一定会组成新的等比数列一定会组成新的等比数列吗吗? ?你能用此思路找到解例题你能用此思路找到解例题3 3的另外解法吗的另外解法吗? ?不一定，例如数列：不一定，例如数列：1 1，-l-l，1 1，-l-l中，中，S S2 2=0,S=0,S4 4=0,=0,S S6 6=0, =0, S S2 2,S,S4 4-S-S2 2,S,S6 6-S-S4 4不成等比数列不成等比数列) )结论：当结论：当q-1-1或或q=-1=-1但但k k为奇数时，成等比数列为奇数时，成等比数列
