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1、第二章第二章 数理统计的基本概念数理统计的基本概念与抽样分布与抽样分布第一节第一节 数理统计的几个基本概念数理统计的几个基本概念第二节第二节 经验分布函数和直方图经验分布函数和直方图第三节第三节 常用统计分布常用统计分布第四节第四节 抽样分布抽样分布第五节第五节 顺序统计量与样本极差顺序统计量与样本极差数理统计发展简史数理统计发展简史16621662年年 格朗特格朗特 关于死亡公报的自然和政治观察关于死亡公报的自然和政治观察（1 1）提出了）提出了“数据简约数据简约”的思想；的思想；（2 2）指出了数据的可信性问题；）指出了数据的可信性问题；（3 3）统计比率的稳定性概念；）统计比率的稳定性概
2、念；（4 4）引进了生命表的概念。）引进了生命表的概念。 创新思想：创新思想：“贝叶斯提出了一种归纳推理的贝叶斯提出了一种归纳推理的理论，以后被一些统计学者发展理论，以后被一些统计学者发展为一种系统的统计推断方法，称为一种系统的统计推断方法，称为贝叶斯方法为贝叶斯方法 . .”摘自摘自中国大百科全书中国大百科全书贝叶斯贝叶斯 (17021761 )贝叶斯公式、贝叶斯风险、贝叶斯决策函数、贝叶斯贝叶斯公式、贝叶斯风险、贝叶斯决策函数、贝叶斯决策规则、贝叶斯估计量、贝叶斯方法、贝叶斯统计决策规则、贝叶斯估计量、贝叶斯方法、贝叶斯统计 “他的思想深入数学、空间、他的思想深入数学、空间、大自然的奥秘大
3、自然的奥秘. .他推动了数学他推动了数学的进展直到下个世纪的进展直到下个世纪. .”摘自慕尼黑博物馆高斯画像摘自慕尼黑博物馆高斯画像下的诗句下的诗句 “高斯是世界上最伟大的数学家高斯是世界上最伟大的数学家. .” 拉普拉斯拉普拉斯高斯高斯 (1777-1855 )“高尔顿等人关于回归分析的先高尔顿等人关于回归分析的先驱性的工作，以及时间序列分驱性的工作，以及时间序列分析方面的一些工作，析方面的一些工作，是数理是数理统计学发展史中的重要事件统计学发展史中的重要事件. .”摘自摘自中国大百科全书中国大百科全书高尔顿高尔顿 (18221911 )现代统计学的奠基人，现代统计学的奠基人，公认为统计学之
4、父。公认为统计学之父。皮尔逊皮尔逊 (18571936 )“费希尔是使统计学成为一门费希尔是使统计学成为一门有坚实理论基础并获得广泛应有坚实理论基础并获得广泛应用的主要统计学家之一用的主要统计学家之一. .” 摘自摘自中国大百科全书中国大百科全书费希尔费希尔 (18901962 )“内曼与皮尔逊在内曼与皮尔逊在1928192819381938年年期间发表了一系列文章，建立期间发表了一系列文章，建立了假设检验的一种严格的数学了假设检验的一种严格的数学理论理论. .”摘自摘自中国大百科全书中国大百科全书内曼内曼 (18941981 )“从从1938年到年到1945年年,许（宝騄）许（宝騄）所发表的
5、论文处在多元分析数所发表的论文处在多元分析数学理论发展的前沿学理论发展的前沿.许推进了许推进了矩阵论在统计理论中的作用矩阵论在统计理论中的作用,同同时也证明了有关矩阵的一些新时也证明了有关矩阵的一些新的定理的定理.” 安德逊安德逊许宝禄许宝禄(19101970) “ 我不希望自己的文章登在有名的杂志上而出名，我不希望自己的文章登在有名的杂志上而出名，我希望杂志因为登了我的文章而出名。我希望杂志因为登了我的文章而出名。” 统计的应用领域统计的应用领域统计学统计学经济学经济学经济学经济学管理学管理学管理学管理学医学医学医学医学工程学工程学工程学工程学社会学社会学社会学社会学actuarial wo
6、rkactuarial work ( (精算精算精算精算) ) agricultureagriculture ( (农业农业农业农业) )animal scienceanimal science ( (动物学动物学动物学动物学) ) anthropologyanthropology ( (人类学人类学人类学人类学) )archaeologyarchaeology ( (考古学考古学考古学考古学) ) auditingauditing ( (审计学审计学审计学审计学) )crystallographycrystallography ( (晶体学晶体学晶体学晶体学) ) demographydem
7、ography ( (人口统计学人口统计学人口统计学人口统计学) )dentistry dentistry ( (牙医学牙医学牙医学牙医学) ) ecologyecology ( (生态学生态学生态学生态学) )econometrics econometrics ( (经济计量学经济计量学经济计量学经济计量学) ) education education ( (教育学教育学教育学教育学) ) election forecasting and projectionelection forecasting and projection ( (选举预测和策划选举预测和策划选举预测和策划选举预测和策划
8、) )engineering engineering ( (工程工程工程工程) ) epidemiology epidemiology ( (流行病学流行病学流行病学流行病学) )financefinance ( (金融金融金融金融) )fisheries researchfisheries research ( (水产渔业研究水产渔业研究水产渔业研究水产渔业研究) )gambling gambling ( (赌博赌博赌博赌博) ) geneticsgenetics ( (遗传学遗传学遗传学遗传学) )geographygeography ( (地理学地理学地理学地理学) ) geologyg
9、eology ( (地质学地质学地质学地质学) )historical researchhistorical research ( (历史研究历史研究历史研究历史研究) ) human geneticshuman genetics ( (人类遗传学人类遗传学人类遗传学人类遗传学) )hydrologyhydrology ( (水文学水文学水文学水文学) ) IndustryIndustry ( (工业工业工业工业) ) linguisticslinguistics ( (语言学语言学语言学语言学) ) literature literature ( (文学文学文学文学) )manpower p
10、lanningmanpower planning ( (劳动力计划劳动力计划劳动力计划劳动力计划) )management sciencemanagement science ( (管理科学管理科学管理科学管理科学) )marketing marketing ( (市场营销学市场营销学市场营销学市场营销学) ) medical diagnosismedical diagnosis ( (医学诊断医学诊断医学诊断医学诊断) )meteorology meteorology ( (气象学气象学气象学气象学) ) military sciencemilitary science ( (军事科学军事科
11、学军事科学军事科学) )nuclear material safeguardsnuclear material safeguards ( (核材料安全管理核材料安全管理核材料安全管理核材料安全管理) )ophthalmology ophthalmology ( (眼科学眼科学眼科学眼科学) ) pharmaceuticspharmaceutics ( (制药学制药学制药学制药学) )physics physics ( (物理学物理学物理学物理学) ) political sciencepolitical science ( (政治学政治学政治学政治学) )psychologypsycholog
12、y ( (心理学心理学心理学心理学) ) psychophysicspsychophysics ( (心理物理学心理物理学心理物理学心理物理学) )quality controlquality control ( (质量控制质量控制质量控制质量控制) ) religious studiesreligious studies ( (宗教研究宗教研究宗教研究宗教研究) )sociologysociology ( (社会学社会学社会学社会学) ) survey samplingsurvey sampling ( (调查抽样调查抽样调查抽样调查抽样) )taxonomy taxonomy ( (分类学
13、分类学分类学分类学) ) weather modificationweather modification ( (气象改善气象改善气象改善气象改善) )第一节第一节 数理统计的几个基本概念数理统计的几个基本概念1 总体与样本总体与样本2 统计量统计量1 总总 体体 与与 样样 本本 一个统计问题总有它明确的研究对象一个统计问题总有它明确的研究对象.1.1.总体（总体（population）研究对象的全体称为研究对象的全体称为总体总体，总体中所包含的个体的个数称为总体的总体中所包含的个体的个数称为总体的容量容量.总体中每个成员称为总体中每个成员称为个体个体，因此在理论上可以把因此在理论上可以把总
14、体总体与与概率分布概率分布等同起来等同起来.总总体可以用随机变量及其分布来描述体可以用随机变量及其分布来描述. 在实际研究中在实际研究中, ,我们关心的是总体中的个体的某个我们关心的是总体中的个体的某个或某些指标或某些指标( (如人的身高、灯泡的寿命如人的身高、灯泡的寿命, ,汽车的耗油量汽车的耗油量) ). 例例1 研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量寿命，那么，此总体就可以用随机变量 X 表示，或表示，或用其分布函数用其分布函数 F(x) 表示表示.某批某批灯泡的寿命灯泡的寿命总体总体寿命寿命 X 可用一概率（指
15、数）可用一概率（指数）分布来刻划分布来刻划 类似地，在研究某地区中学生的营养状况时类似地，在研究某地区中学生的营养状况时 ，若关心的数量指标是身高和体重，用若关心的数量指标是身高和体重，用 X 和和Y 分别表分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量(X,Y) 或其联合分布函数或其联合分布函数 F(x, y) 来表示来表示.统计中，统计中，总体就是一个概率分布总体就是一个概率分布.2. 样本（样本（sample）(1)定义定义 为了解总体的分布为了解总体的分布, 从总体中随机地取从总体中随机地取 n 个有代表性的个体个有代表性的个体 X1 , X
16、n , 称称 X1, Xn 为总为总体的体的一个样本一个样本; n 称为称为样本容量样本容量 . 在实施抽样之后，得到在实施抽样之后，得到 n 个实数个实数 x1 , xn , 它们分别是它们分别是 X1, Xn 的观测值，称为的观测值，称为样本值，有样本值，有时简称样本时简称样本.注注: 样本的二重性样本的二重性1. 样本是随机变量样本是随机变量 : X1, X2, , Xn2. 样本是一组数值样本是一组数值 : x1, x2, , xn例例. 啤酒厂生产的瓶装啤酒规定净含量为啤酒厂生产的瓶装啤酒规定净含量为 640 g, 由于随由于随机性机性, 事实上不可能使得所有的啤酒净含量均达到标准事
17、实上不可能使得所有的啤酒净含量均达到标准. 现从某厂生产的啤酒中随机地抽取现从某厂生产的啤酒中随机地抽取 10 瓶测定其净含量瓶测定其净含量, 记为记为X1，X2，X10，具体结果如下：，具体结果如下：641 635 640 637 642 638 645 643 639 640这是一容量为这是一容量为 10 的样本的观测值的样本的观测值, 对应的总体为该对应的总体为该厂生产的瓶装啤酒的净含量厂生产的瓶装啤酒的净含量.最常用的一种抽样叫作最常用的一种抽样叫作“简单随机抽样简单随机抽样”，其特点：，其特点：1. 代表性代表性： X1, X2, Xn 中每一个与所考察的总体有中每一个与所考察的总体
18、有 相同的分布相同的分布.2. 独立性独立性： X1, X2, , Xn 是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量.由简单随机抽样得到的样本称为由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本简单随机样本，它可以看，它可以看成是成是n个个相互独立相互独立且且与总体同分布与总体同分布的随机变量的随机变量X1, X2, , Xn.(2)简单随机抽样简单随机抽样 简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到“ X1, X2 , Xn 是取自某总体的样本是取自某总体的样本”时，时，若不特别说明，若不特别说明，就指简单随机样本就指简单随机样本.=F(x1) F(x
19、2) F(xn) 若总体若总体 X 的分布函数为的分布函数为 F(x) , 则其简单随机样本则其简单随机样本 ( X1, X2, , Xn ) 的联合分布函数为的联合分布函数为 若总体若总体 X 为离散型为离散型, 分布列为分布列为其简单随机样本的联合概率分布列为其简单随机样本的联合概率分布列为 若总体若总体 X 为连续型为连续型, 分布密度为分布密度为 p (x;), 其简单随机样其简单随机样本的联合概率密度函数为本的联合概率密度函数为以后统一称为以后统一称为概率函数概率函数.例例1 设总体设总体 X B(1, p)，设，设 X1 , X2, X3 是来自总体是来自总体 X 的一个样本，的一
20、个样本，（1）写出（）写出（X1 , X2, X3）的（联合）概率函数；）的（联合）概率函数；（2） 求求X1 + X2+ X3 的概率分布。的概率分布。总体（理论分布）？总体（理论分布）？ 样本样本 样本值样本值 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料 样本值，去推断样本值，去推断总体的情况总体的情况总体分布总体分布 F(x) 的性质的性质. 总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体. 样本是联系二者的桥梁样本是联系二者的桥梁注：总体、样本、样本值的关
21、系注：总体、样本、样本值的关系2 统计量统计量定义定义 设设 X1 , Xn 是来自总体是来自总体 X 的一个样本，若样的一个样本，若样本函数本函数 T = T( X1, Xn ) 不含任何未知参数，则称不含任何未知参数，则称 T 是一个是一个统计量统计量。统计量的分布称为统计量的分布称为抽样分布抽样分布。 2.1 定义定义 2.2. 常用统计量常用统计量1 样本均值样本均值 1、定义：、定义：设设 X1 , X2, Xn 是取自某总体的样本，是取自某总体的样本，其算术平均值称为其算术平均值称为样本均值样本均值，即：，即：它反映了它反映了总体均值总体均值的信息的信息 定理定理 1样本均值的分布
22、样本均值的分布 设设 X1, X2, , Xn 是来自某个总体是来自某个总体 X 的样本，的样本， （1）若总体分布为）若总体分布为 ，则，则 （2）若总体分布未知或不是正态分布，但）若总体分布未知或不是正态分布，但 则则 的的渐近分布渐近分布为为 。 （大样本场合）（大样本场合）n 取不同值时样本均值的分布取不同值时样本均值的分布注注 :总体：总体：样本：考虑投掷样本：考虑投掷 n 次，次，X1 , Xn 表示第表示第 i 次投掷情况，次投掷情况，样本均值：样本均值：样本值：投掷样本值：投掷 100 次后，得到正面的次数为次后，得到正面的次数为 51 次，次，样本均值：样本均值：2.2 样本
23、方差样本方差1、定义：、定义：设设 X1 , X 2, Xn 是取自某总体的样本，是取自某总体的样本，则称则称为为样本方差样本方差，其算术平方根，其算术平方根 S 称为称为样本标准差样本标准差。它反映了总体它反映了总体方差的信息方差的信息注：注：定义中的定义中的 n 是样本容量是样本容量, 称为称为偏差偏差平方和平方和, n-1称为称为自由度自由度. 即自由变动的即自由变动的 r.v. 的个数的个数. 这是由于这是由于 在在 确定后确定后, n 个偏差个偏差 中只中只有有n-1个可以自由变动个可以自由变动. 2.3 修正样本方差修正样本方差1、定义：、定义：设设 X1 , X 2, Xn 是取
24、自某总体的样本，是取自某总体的样本，则称则称为为样本方差样本方差，其算术平方根，其算术平方根 S* 称为称为修正样本标修正样本标准差准差。它反映了总体它反映了总体方差的信息方差的信息 定理定理 2设设 X1 , X 2, Xn 是取自某总体是取自某总体 X 的样本，且的样本，且 X 具具有二阶矩，即有二阶矩，即则有则有它反映了总体它反映了总体方差的信息方差的信息思考题若总体四阶矩存在，考虑若总体四阶矩存在，考虑2.4 样本矩样本矩它反映了总体它反映了总体 k 阶原点矩的信息阶原点矩的信息为为样本样本 k 阶原点矩阶原点矩.k =1,2,定义：定义：设设 X1 , X2 , Xn 是取自某总体是取自某总体 X 的样本，的样本，称统计量称统计量2.4 样本矩样本矩为为样本样本 k 阶中心矩阶中心矩.它反映了总体它反映了总体 k 阶阶中心矩的信息中心矩的信息称统计量称统计量 k = 2,3,
