原子的周期性阵列晶格类型晶面指数.ppt

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1、固体物理导论张国成研究對象基本粒子物理(elementary particle physics)原子核物理(nuclear physics)原子分子物理(atomic and molecular physics)凝聚态物理(condensed matter physics)表面物理(surface physics)等离子体物理(plasma physics) 近代物理以研究对象作为分类依据 凝聚态物理的研究对象除晶体、非晶体与准晶体等固相物质外还包括从稠密气体、液体以及介于液态和固态之间的各类居间凝聚相，例如液氦、液晶、熔盐、液态金属、电解液、玻璃、凝胶等。 l固体物理研究对象l固体物理是研究

2、研究固体结构固体结构及其组成及其组成粒子粒子( (原子、原子、离子、电子离子、电子) )之间之间相互作用与运动规律相互作用与运动规律以阐明以阐明其其性能与用途性能与用途的学科。的学科。l固体按结构分为：晶体和非晶体固体按结构分为：晶体和非晶体l固体物理研究首先选择晶体作为研究对象来研究固体电子和原子的运动规律，在此基础上才开始研究非晶体。何为晶体，非晶体？ 理想晶体中原子排列是十分规则的，主要体现是原子排列具有周期性，或者称为是长程有序的。 非晶体则不具有长程有序的性质，但是在非晶体中原子排列也不是杂乱无章、完全无序的，仍然保留有原子排列的短程序。晶体-单晶体：水晶、岩盐、金刚石 -多晶体：金

3、属、陶瓷非晶体：高分子材料，橡胶，塑料， 松香，石蜡 l概念了解：l理想晶体理想晶体内在结构完全规则的固体内在结构完全规则的固体, ,又又叫做完整晶体。叫做完整晶体。l近乎完整的晶体近乎完整的晶体固体中或多或少地存固体中或多或少地存在有不规则性（缺陷），在规则排列的背在有不规则性（缺陷），在规则排列的背景中尚存在微量不规则性的晶体景中尚存在微量不规则性的晶体l固体物理是在研究了固体物理是在研究了理想晶体理想晶体的基础上主要研究的基础上主要研究近乎近乎完整的晶体中微量缺陷的作用展开的。完整的晶体中微量缺陷的作用展开的。参考书目1 1固体物理学固体物理学，方俊鑫、，方俊鑫、 陆栋著，上海科学陆栋著

4、，上海科学技术出版社，技术出版社，19801980； 2 2固体物理学固体物理学，黄昆、韩汝琦著，高等教育出，黄昆、韩汝琦著，高等教育出版社，版社，20002000； 3. 3. 固体物理固体物理，韦丹著，清华大学出版社，韦丹著，清华大学出版社，20032003； 4.4.固体物理简明教程固体物理简明教程，蒋平、徐至中著，复旦，蒋平、徐至中著，复旦大学出版社，大学出版社，20072007；5. 5. 固体物理习题指导书固体物理习题指导书，刘友之等编，刘友之等编第一章第一章 晶体结构晶体结构1.11.1原子的周期性阵列原子的周期性阵列(b)(c)(a)( (a) )、( (b) )、( (c)

5、)为二维晶体结构示意图，它们有何异同为二维晶体结构示意图，它们有何异同? 所有晶体的结构可以用所有晶体的结构可以用晶格晶格来描述，这种晶格的每个来描述，这种晶格的每个格点格点上附有一群原子，这样的一个原子群称为上附有一群原子，这样的一个原子群称为基元基元，基元在空间周，基元在空间周期性重复排列就形成期性重复排列就形成晶体结构晶体结构。 一个一个理想的晶体是由是由完全相同的的结构单元在空间在空间周期性重重复排列而成的。复排列而成的。(b)(c)(a)1.基元、格点和晶格 在晶体中适当选取某些原子作为一个在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个，这个基本结构单元称为基本结构单元称为基元基

6、元，基元是晶体结构中，基元是晶体结构中最小的重复单元，的重复单元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。(1)(1)基元基元( (b) )( (c) )( (a) ) 任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，而每一任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，而每一个基元中不同原子周围情况则不相同个基元中不同原子周围情况则不相同。(2)(2)晶格晶格 晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有规则地做规则地做周期性无限分布，通过这些点做三组不共面的平行直分布，通过这些点做三组不共面的平行直线族，形成

7、一些网格，称为线族，形成一些网格，称为晶格晶格( (或者说这些点在空间周期性或者说这些点在空间周期性排列形成的骨架称为排列形成的骨架称为晶格晶格) )。(b(b) )(c)(c)(a)(a) 晶格是晶体结构周期性的数学抽象，它忽略了晶体结构的具体内容，保留了晶体结构的周期性。用矢量表示用矢量表示格点的排列。格点的排列。 (3)(3)格点格点 晶格中的点子代表着晶体结构中相同的位置，称为晶格中的点子代表着晶体结构中相同的位置，称为格点格点。 一个格点代表一个基元，它可以代表基元重心的位置，它可以代表基元重心的位置，也可以代表基元中任意的点子。也可以代表基元中任意的点子。(b)(a)基元基元+ +

8、晶格晶格= =晶体结构晶体结构第一章第一章 晶体结构晶体结构2.2.晶格平移矢量晶格平移矢量 若有一个二维晶体如下图：若有一个二维晶体如下图：第一章第一章 晶体结构晶体结构 为了描写一个晶格，在二维情况下可以选取为了描写一个晶格，在二维情况下可以选取任意两个不共线的基本矢量，由这两个基本矢量任意两个不共线的基本矢量，由这两个基本矢量的整数倍的和可以确定晶格中任意一个格点的坐的整数倍的和可以确定晶格中任意一个格点的坐标（或晶格矢量）：标（或晶格矢量）： R = R = uaua + + vbvb (u (u、v v 为整数）为整数） 这两个基本矢量这两个基本矢量a a、b b就叫作这个就叫作这个

9、晶格晶格的的初基初基平移矢量，简称基矢。平移矢量，简称基矢。b3a6b5b2b1a3a4b4b6a5a2a1第一章第一章 晶体结构晶体结构 对于一个三维晶格，我们可以选取不共面的三对于一个三维晶格，我们可以选取不共面的三个矢量，由这三个矢量整数倍的线性组合来确定点个矢量，由这三个矢量整数倍的线性组合来确定点阵中任一点的位置即：阵中任一点的位置即： R = R = uaua + + vbvb + +wcwc其中其中u u、v v、w w为整数。为整数。第一章第一章 晶体结构晶体结构 晶体中等同点的排列称之为晶体中等同点的排列称之为布拉菲晶格布拉菲晶格，是，是对某种具体晶格类型的通称，对某种具体晶

10、格类型的通称，是晶体中基元排列是晶体中基元排列周期性的一种数学抽象。周期性的一种数学抽象。 一个三维的布拉菲一个三维的布拉菲晶格晶格可以这样来定义：即可以这样来定义：即由晶格平移矢量由晶格平移矢量 R = R = uaua + +vbvb + +wcwc联系起来的诸点的列阵联系起来的诸点的列阵，其中其中u u、v v、w w为为任意任意整整数，数，a a、b b、c c为不共面的三条基矢。为不共面的三条基矢。第一章第一章 晶体结构晶体结构3.3.结构基元和晶格的初基晶胞结构基元和晶格的初基晶胞 各原子的位置用基元中各原子相对于格点的各原子的位置用基元中各原子相对于格点的相对坐标来表示。基元中第

11、相对坐标来表示。基元中第j j个个原子的坐标为：原子的坐标为： r = x a + y b + z cr = x a + y b + z c其中其中 0 x 0 x 、y y 、z 1z 1第一章第一章 晶体结构晶体结构 组成晶体的最小体积单元称为组成晶体的最小体积单元称为初基晶胞初基晶胞（即（即原胞），将初基晶胞平移所有晶格平移矢量，初原胞），将初基晶胞平移所有晶格平移矢量，初基晶胞必然会填满整个空间既不会留下空隙，也基晶胞必然会填满整个空间既不会留下空隙，也不会自身重叠。不会自身重叠。 周期性周期性和和对称性对称性是晶体结构的是晶体结构的两大特点两大特点，原原胞胞能很好的描述晶体结构的周期

12、性，但有时能很好的描述晶体结构的周期性，但有时不能不能兼顾对称性兼顾对称性第一章第一章 晶体结构晶体结构A第一章第一章 晶体结构晶体结构 由基矢构成的平行六面体必定是初基晶胞，由基矢构成的平行六面体必定是初基晶胞，每个初基晶胞中必定只包含一个格点每个初基晶胞中必定只包含一个格点。第一章第一章 晶体结构晶体结构 对于一个晶格，初基晶胞的选取不是唯一对于一个晶格，初基晶胞的选取不是唯一的，无论初基晶胞的形状如何，初基晶胞的体积的，无论初基晶胞的形状如何，初基晶胞的体积是唯一的，体积就等于基矢构成的平行六面体的是唯一的，体积就等于基矢构成的平行六面体的体积：体积：第一章第一章 晶体结构晶体结构 晶体

13、可以看成是一些相同的积木块堆积起来的晶体可以看成是一些相同的积木块堆积起来的这些积木块往往是一些体积单元，称之为这些积木块往往是一些体积单元，称之为晶胞晶胞。组。组成晶体的最小的体积单元称之为初基晶胞。将初基成晶体的最小的体积单元称之为初基晶胞。将初基晶胞平移所有的晶格平移矢量，初基晶胞必然会填晶胞平移所有的晶格平移矢量，初基晶胞必然会填满整个空间，既不会留下缝隙、也不会自身重叠。满整个空间，既不会留下缝隙、也不会自身重叠。 晶胞可以包含一个以上的格点原胞与晶胞的区别： 原胞是只考虑晶格周期性的最小重复单元，而晶胞是同时计及周期性和对称性的最小重复单元。第一章第一章 晶体结构晶体结构 根据不同

14、的对称性，有的布拉菲晶格的原胞与晶胞相同；有的形状有明显的差别， 但后者的体积为前者的整数倍这一整数正是晶胞中所包含的格点数第一章第一章 晶体结构晶体结构 根据初基晶胞的定义，由基矢组成的平行六根据初基晶胞的定义，由基矢组成的平行六面体必定是初基晶胞（在二维情况下是一个平行面体必定是初基晶胞（在二维情况下是一个平行四边形），四边形），初基晶胞必定只包含一个格点初基晶胞必定只包含一个格点。第一章第一章 晶体结构晶体结构 初基晶胞初基晶胞和和基元基元是两个完全不同的概念，初是两个完全不同的概念，初基晶胞是一个体积单元，而基元是具体的原子或基晶胞是一个体积单元，而基元是具体的原子或原子团，是一个结构

15、单元。一个初基晶胞只包含原子团，是一个结构单元。一个初基晶胞只包含一个格点，也就是说一个初基晶胞中只有一个基一个格点，也就是说一个初基晶胞中只有一个基元元。第一章第一章 晶体结构晶体结构 我们今后还有一种常见的晶胞叫做维格纳我们今后还有一种常见的晶胞叫做维格纳赛茨原胞，它是这样来构成的：赛茨原胞，它是这样来构成的： （1 1）把某个格点同所有与它相邻的格点用直）把某个格点同所有与它相邻的格点用直线连接起来。线连接起来。 （2 2）在这些连线的中点处做垂直面（二维情）在这些连线的中点处做垂直面（二维情况下做垂直线），这些垂直面（或垂直线）所围况下做垂直线），这些垂直面（或垂直线）所围成的最小体积

16、（或最小面积）就称作维格纳赛成的最小体积（或最小面积）就称作维格纳赛茨原胞（简称为原胞）。茨原胞（简称为原胞）。 第一章第一章 晶体结构晶体结构 W-SW-S原胞是一个初基晶胞，也就是说，把这原胞是一个初基晶胞，也就是说，把这个晶胞平移所有晶格平移矢量，它会填满整个空个晶胞平移所有晶格平移矢量，它会填满整个空间，既不会留下缝隙，也不会自身重叠。间，既不会留下缝隙，也不会自身重叠。 特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含原胞只包含1 1个格点。其体积与固体物理学原胞个格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。体积相同。第一章第一章 晶体结构晶体结构 W

17、-SW-S原胞是一个初基晶胞，它的对称性可以反映原胞是一个初基晶胞，它的对称性可以反映出整个晶体的对称性，是一种非常重要的晶胞。出整个晶体的对称性，是一种非常重要的晶胞。( (如如下图下图) )w-s 晶胞第一章第一章 晶体结构晶体结构1.2. 1.2. 晶格的基本类型晶格的基本类型 1. 1. 对称操作对称操作 布拉菲晶格有一些基本性质，对称性是其布拉菲晶格有一些基本性质，对称性是其基本性质之一。晶格的类型是由晶格的对称性基本性质之一。晶格的类型是由晶格的对称性来区分的。来区分的。第一章第一章 晶体结构晶体结构 所谓晶格的对称操作是这样一种运动或动所谓晶格的对称操作是这样一种运动或动作，将晶

18、格经过这样一种操作后，晶格中的所有作，将晶格经过这样一种操作后，晶格中的所有格点都会落到操作前的等价点上，这种操作的结格点都会落到操作前的等价点上，这种操作的结果是把晶格引入到与原始状态完全等价的构型上。果是把晶格引入到与原始状态完全等价的构型上。 对称操作通常包括两大类：对称操作通常包括两大类： 平移对称操作平移对称操作 点对称操作点对称操作第一章第一章 晶体结构晶体结构平移对称操作：平移对称操作： 把晶格或晶体平移晶格矢量群中的任一矢量把晶格或晶体平移晶格矢量群中的任一矢量的操作称之为平移对称操作。经过这种操作晶格的操作称之为平移对称操作。经过这种操作晶格（或晶体）自身是还原的，这种性质称

19、为平移对（或晶体）自身是还原的，这种性质称为平移对称性。称性。第一章第一章 晶体结构晶体结构点对称操作：点对称操作： 在操作的过程中晶格或晶体中至少有一个点在操作的过程中晶格或晶体中至少有一个点是保持不动的，这种操作称为点对称操作。同是保持不动的，这种操作称为点对称操作。同样，经过点对称操作，晶格或晶体也观察不到任样，经过点对称操作，晶格或晶体也观察不到任何变化。何变化。第一章第一章 晶体结构晶体结构点对称操作主要分以下几类：点对称操作主要分以下几类： （1 1）转动）转动 将晶格（或晶体）绕通过某一定点的轴进行将晶格（或晶体）绕通过某一定点的轴进行旋转，如果每转动旋转，如果每转动2/2/晶格

20、都是自身还原的，晶格都是自身还原的，则相应的转动轴，我们称之为重转动轴。则相应的转动轴，我们称之为重转动轴。 转动轴的符号用转动轴的符号用1 1、2 2、3 3、4 4、6 6表示。表示。第一章第一章 晶体结构晶体结构 （2 2）镜面反映）镜面反映 若一个晶格以通过某一定点的平面为镜面，若一个晶格以通过某一定点的平面为镜面，将晶格反映为它的镜象，晶格是自身还原的，这将晶格反映为它的镜象，晶格是自身还原的，这种对称性称为镜面对称性，这种操作称为镜面对种对称性称为镜面对称性，这种操作称为镜面对称操作。通常用符号或称操作。通常用符号或表示。表示。第一章第一章 晶体结构晶体结构第一章第一章 晶体结构晶

21、体结构 （3 3）中心反演）中心反演 通过某一定点的直线为轴，将晶格或晶体先通过某一定点的直线为轴，将晶格或晶体先转动转动1801800 0 ，然后通过过这一定点而垂直于旋转轴，然后通过过这一定点而垂直于旋转轴的平面再作镜面反映的操作称为中心反演。这样的平面再作镜面反映的操作称为中心反演。这样的操作效果相当于把（，）变成为（的操作效果相当于把（，）变成为（，z z）。）。原点原点O O称为对称心，中心反演称为对称心，中心反演一般用表示。一般用表示。第一章第一章 晶体结构晶体结构 （）转动反演（）转动反演 通过过某定点的轴把晶格先转动通过过某定点的轴把晶格先转动2/，再，再进行中心反演，相应的转

22、动轴称为重转动反演进行中心反演，相应的转动轴称为重转动反演轴，用符号表示，只可能取轴，用符号表示，只可能取1、2、3、4、6 （）转动反映（）转动反映 绕通过某一定点的转轴将晶格先转动绕通过某一定点的转轴将晶格先转动2/，接着对垂直于转轴的平面作镜面反映。接着对垂直于转轴的平面作镜面反映。第一章第一章 晶体结构晶体结构 转动轴、对称心、镜面等这些几何元素，即转动轴、对称心、镜面等这些几何元素，即进行对称操作所依靠的几何元素称为对称元素。进行对称操作所依靠的几何元素称为对称元素。 对称操作是一种运动、是一种动作，只有当对称操作是一种运动、是一种动作，只有当晶体存在对称元素时才能进行对称操作，对称

23、操晶体存在对称元素时才能进行对称操作，对称操作只有与对称元素相联系才可能进行，它们是相作只有与对称元素相联系才可能进行，它们是相互关联的，对称元素的存在只有依靠对称操作才互关联的，对称元素的存在只有依靠对称操作才能证实。能证实。第一章第一章 晶体结构晶体结构2.2.惯用晶胞惯用晶胞： 为了能反映出晶格的为了能反映出晶格的对称性对称性，选取的晶胞称，选取的晶胞称为惯用晶胞。惯用晶胞选取的原则是在反映点对为惯用晶胞。惯用晶胞选取的原则是在反映点对称性的前提下，体积最小的晶胞。称性的前提下，体积最小的晶胞。第一章第一章 晶体结构晶体结构 惯用晶胞可以是初基的，也可以是非初基惯用晶胞可以是初基的，也可

24、以是非初基的，若一个初基晶胞能反映出晶格的对称性，那的，若一个初基晶胞能反映出晶格的对称性，那么它也就是惯用晶胞。比如立方晶格，初基晶胞么它也就是惯用晶胞。比如立方晶格，初基晶胞也就是惯用晶胞。惯用晶胞的体积总是等于初基也就是惯用晶胞。惯用晶胞的体积总是等于初基晶胞体积的整数倍：晶胞体积的整数倍： V VV V 为惯用晶胞中的格点数。为惯用晶胞中的格点数。第一章第一章 晶体结构晶体结构第一章第一章 晶体结构晶体结构 为了反映晶格的对称性就要考虑晶格所选取的为了反映晶格的对称性就要考虑晶格所选取的惯用晶胞的晶胞参量。二维空间中是晶胞的惯用晶胞的晶胞参量。二维空间中是晶胞的棱长棱长和和夹角夹角，三

25、维情况下，是，三维情况下，是三棱的长，三棱的长，及及三棱三棱之间的夹角之间的夹角。第一章第一章 晶体结构晶体结构第一章第一章 晶体结构晶体结构 经常用到的一个物理量是晶格常数。经常用到的一个物理量是晶格常数。 所谓所谓晶格常数是描写惯用晶胞几何尺寸的数晶格常数是描写惯用晶胞几何尺寸的数字字。如立方晶格的晶格常数只要知道棱长即。如立方晶格的晶格常数只要知道棱长即可，长方体为三棱长，。可，长方体为三棱长，。第一章第一章 晶体结构晶体结构3 3二维晶格类型二维晶格类型 （1 1）斜方晶格）斜方晶格 当围绕任何一个格点转当围绕任何一个格点转动时，只有在转动动时，只有在转动1801800 0和和3603

26、600 0时才能保持不变。时才能保持不变。ab,ab,是任意的是任意的, ,是二维是二维晶格中对称性最低的一晶格中对称性最低的一种。种。第一章第一章 晶体结构晶体结构 （2 2）六角晶格）六角晶格 a=ba=b，=120=1200 0第一章第一章 晶体结构晶体结构 （3 3）正方晶格）正方晶格 a=ba=b，=90=900 0第一章第一章 晶体结构晶体结构 （4 4）矩形晶格）矩形晶格 由镜面对称性所要求。由镜面对称性所要求。 （5 5）有心矩形晶格）有心矩形晶格 由镜面对称性所要求。由镜面对称性所要求。 二维矩形二维矩形 ab, = 90 ab, = 90 0 0 二维有心矩形二维有心矩形a

27、b, 90 ab, 90 0 0第一章第一章 晶体结构晶体结构第一章第一章 晶体结构晶体结构4.4.三维晶格类型三维晶格类型 在三维空间点对称操作与平移对称操作的组在三维空间点对称操作与平移对称操作的组合共有合共有1414种，因此三维空间只有种，因此三维空间只有1414种布拉菲晶种布拉菲晶格格，分属分属7 7个晶系个晶系。第一章第一章 晶体结构晶体结构 (1(1）立方晶格）立方晶格 有三种不同的类型，这三种晶格的惯用晶胞有三种不同的类型，这三种晶格的惯用晶胞都是立方体，惯用晶胞的几何特征是都是立方体，惯用晶胞的几何特征是a=b=ca=b=c，=90 =90 0 0 。 立方晶系有三种布拉菲晶格

28、，即简单立方立方晶系有三种布拉菲晶格，即简单立方（scsc），），体心立方（体心立方（bccbcc）和面心立方（和面心立方（fccfcc）。）。 这三个晶格的点对称性相同，惯用晶胞相这三个晶格的点对称性相同，惯用晶胞相同，但平移对称性不同。同，但平移对称性不同。第一章第一章 晶体结构晶体结构第一章第一章 晶体结构晶体结构a.a.简单立方晶格（简单立方晶格（scsc） 惯用晶胞也是它的初级晶胞，惯用晶胞也是它的初级晶胞，初级晶胞与惯用晶胞的体积相等，初级晶胞与惯用晶胞的体积相等，都等于都等于a3，a是立方晶格的晶格常是立方晶格的晶格常数，数，v=vc=a3。简单立方晶格的基。简单立方晶格的基矢的

29、选取通常取它的三个立方轴矢的选取通常取它的三个立方轴作晶轴，每一个格点有六个最近作晶轴，每一个格点有六个最近邻的格点，最近邻距离就是晶格邻的格点，最近邻距离就是晶格常数常数a。第一章第一章 晶体结构晶体结构b.b.体心立方（体心立方（bccbcc） 在在sc晶格的体对角线中点上晶格的体对角线中点上放一个格点，这个格点与角隅上放一个格点，这个格点与角隅上的格点是等价的。的格点是等价的。 体心立方晶格与体心立方晶格与sc晶格一样，晶格一样，都具有立方体的点对称性，但平都具有立方体的点对称性，但平移对称性不同，故属于不同的晶移对称性不同，故属于不同的晶格类型，格类型，第一章第一章 晶体结构晶体结构

30、体心立方晶格的基矢的选取通常用一种比较对称的取法，体心立方晶格的基矢的选取通常用一种比较对称的取法，取一个顶点到相邻的三个体心点，这组基矢用笛卡尔坐标表示取一个顶点到相邻的三个体心点，这组基矢用笛卡尔坐标表示为：为：第一章第一章 晶体结构晶体结构 体心立方晶格的每一个格点的最近邻格点体心立方晶格的每一个格点的最近邻格点有有8 8个，个，a a是惯用晶胞的边长。惯用晶胞中有两个是惯用晶胞的边长。惯用晶胞中有两个格点，相对于立方轴，这两个格点的坐标为格点，相对于立方轴，这两个格点的坐标为: :（000000）（）（1/2, 1/2,1/21/2, 1/2,1/2）。）。第一章第一章 晶体结构晶体结

31、构C.C.面心立方（面心立方（fccfcc） 在在sc晶格的每一个面的中心晶格的每一个面的中心附加一个格点，惯用晶胞也是一附加一个格点，惯用晶胞也是一个立方体，点对称操作与个立方体，点对称操作与sc晶格晶格一样，平移对称操作与一样，平移对称操作与sc晶格不晶格不同，惯用晶胞也不是初级晶胞，同，惯用晶胞也不是初级晶胞，因为惯用晶胞中含有因为惯用晶胞中含有4个格点个格点（八个顶点算一个，每个面心算（八个顶点算一个，每个面心算1/2个，共有个，共有6个面），惯用晶胞个面），惯用晶胞的体积是初级晶胞体积的的体积是初级晶胞体积的4倍。倍。第一章第一章 晶体结构晶体结构 面心立方面心立方晶格晶格基矢的选取

32、通常取一个顶角点基矢的选取通常取一个顶角点到最近面心的矢量为基矢，用笛卡儿坐标写出来到最近面心的矢量为基矢，用笛卡儿坐标写出来就是就是：第一章第一章 晶体结构晶体结构(2(2）四角晶系）四角晶系 将立方体沿某一晶轴拉长，立方体就变成了四将立方体沿某一晶轴拉长，立方体就变成了四角体，惯用晶胞的晶胞参量角体，惯用晶胞的晶胞参量a=a=bcbc，=90=900 0 ，四角体的对称性比立方体要低，若四角体的对称性比立方体要低，若将立方晶系的三种布拉菲晶格的将立方晶系的三种布拉菲晶格的c c轴都拉长，就过渡轴都拉长，就过渡到两种四角晶系的布拉菲晶格，即简单四角和体心到两种四角晶系的布拉菲晶格，即简单四角

33、和体心四角，体心四角是由四角，体心四角是由bccbcc，fccfcc晶格沿晶格沿c c轴拉长得到的。轴拉长得到的。第一章第一章 晶体结构晶体结构(3(3）正交晶系）正交晶系 将四角晶系的另外一个晶轴再拉长，就得到将四角晶系的另外一个晶轴再拉长，就得到正交晶系，惯用晶胞的晶胞参量正交晶系，惯用晶胞的晶胞参量abcabc，=90 =90 0 0 ，正交晶系有四种布拉菲晶格。正交晶系有四种布拉菲晶格。分别为简单正交、底心正交、体心正交、面心正分别为简单正交、底心正交、体心正交、面心正交，惯用晶胞都一样，正交晶系的点对称性低于交，惯用晶胞都一样，正交晶系的点对称性低于四角晶系。四角晶系。第一章第一章

34、晶体结构晶体结构(4(4）单斜晶系）单斜晶系 进一步将正交晶系体变形，即将其一晶轴倾进一步将正交晶系体变形，即将其一晶轴倾斜，就过渡到单斜晶系，对于单斜晶系斜，就过渡到单斜晶系，对于单斜晶系abcabc，=90 =90 0 0 ，90 90 0 0，单斜晶系有两种布拉菲单斜晶系有两种布拉菲晶格：简单单斜和有心单斜（上下底面各有一个晶格：简单单斜和有心单斜（上下底面各有一个格点），它比正交晶系的点对称性还低）。格点），它比正交晶系的点对称性还低）。第一章第一章 晶体结构晶体结构(5(5）三斜晶系）三斜晶系 将单斜晶系的另一个晶轴再倾斜就得到三斜晶将单斜晶系的另一个晶轴再倾斜就得到三斜晶系，系，

35、对于三斜晶系，惯用晶胞的晶胞参量对于三斜晶系，惯用晶胞的晶胞参量abcabc，它只有一种布拉菲晶格，它只有一种布拉菲晶格，即简单三斜，这是对称性最低的布拉菲晶格。即简单三斜，这是对称性最低的布拉菲晶格。第一章第一章 晶体结构晶体结构(6(6）三角晶系）三角晶系 将一个完整的正方体沿体对角线方向拉长，将一个完整的正方体沿体对角线方向拉长，三个晶轴不正交，但夹角相等，边等长，惯用晶三个晶轴不正交，但夹角相等，边等长，惯用晶胞的特征是胞的特征是a=b=ca=b=c，=90 =90 0 0 1201200 0， 对对称性低于立方体，只有一种布拉菲晶格。称性低于立方体，只有一种布拉菲晶格。第一章第一章

36、晶体结构晶体结构(7(7）六角晶系）六角晶系 前面六种晶系均可由立方体变形得到，但六前面六种晶系均可由立方体变形得到，但六角晶系不能由立方体变形得到，惯用晶胞的特征角晶系不能由立方体变形得到，惯用晶胞的特征是：是：a=bca=bc，=90 =90 0 0，=120=1200 0，惯用晶胞是惯用晶胞是菱形正棱柱，如选用如图的直角坐标系，基矢用菱形正棱柱，如选用如图的直角坐标系，基矢用笛卡儿坐标表示为：笛卡儿坐标表示为：第一章第一章 晶体结构晶体结构第一章第一章 晶体结构晶体结构1.31.3、晶面指数系统、晶面指数系统 1. 1. 晶列和晶向晶列和晶向 由于晶格和晶体有平移对称性，晶格中的格点由于

37、晶格和晶体有平移对称性，晶格中的格点可以看作分布在一系列相互平行的直线上，可以看作分布在一系列相互平行的直线上，一组一组相相互平行的直线成为晶列，晶列的方向就是格点分布互平行的直线成为晶列，晶列的方向就是格点分布的方向，的方向，晶列的方向称为晶向晶列的方向称为晶向，它代表格点排列的，它代表格点排列的方向，一个晶格可以有不止一种晶列，通常晶体暴方向，一个晶格可以有不止一种晶列，通常晶体暴露在外观的都是晶向，为了描写晶向，通常要给出露在外观的都是晶向，为了描写晶向，通常要给出晶向指数。晶向指数。第一章第一章 晶体结构晶体结构l所有的格点都在一族彼此平行的直所有的格点都在一族彼此平行的直线上上晶列晶

38、列晶体外晶体外观上的晶棱就是某一晶列上的晶棱就是某一晶列 l晶列：晶列：布拉菲布拉菲格子中的两个格点的格子中的两个格点的连线l任一晶列上周期性地排列着无任一晶列上周期性地排列着无穷多个格点多个格点 l同族晶列上的格点具有相同的周期性同族晶列上的格点具有相同的周期性 l所有的格点都在一族晶列上所有的格点都在一族晶列上 l在一平面中，相在一平面中，相邻晶列晶列间距相等距相等 l晶向：晶列的方向。怎么表示？晶向：晶列的方向。怎么表示？l过原点的晶列上的任一格矢原点的晶列上的任一格矢Rl可表示晶向可表示晶向l使使l1l2l3互互质最短的格矢可表示晶向最短的格矢可表示晶向l与与基矢的基矢的选取取有关有关

39、！Oa1a201第一章第一章 晶体结构晶体结构 首先选定晶轴，然后取晶列方向最短的平移矢首先选定晶轴，然后取晶列方向最短的平移矢量，把它的三个指数放在方括号中表示晶向，则此晶量，把它的三个指数放在方括号中表示晶向，则此晶向为：向为： uvwuvw 。 也可以取晶列方向上的任一矢量，用基矢表示，也可以取晶列方向上的任一矢量，用基矢表示，然后把然后把R R1 1R R2 2R R3 3化成三个互质的最小整数，放在方括号化成三个互质的最小整数，放在方括号中，仍为中，仍为 uvwuvw 。 要确定一个的方向指数，首先要定出晶轴，知道要确定一个的方向指数，首先要定出晶轴，知道晶轴后，沿晶列方向的最短平移

40、矢量的指数就是晶向。晶轴后，沿晶列方向的最短平移矢量的指数就是晶向。简单立方的晶列（用 表示）立方边OA： 100面对角线OB：110体对角线OC：111OABCijkOl所有的格点都在一族相互平行的平面上所有的格点都在一族相互平行的平面上晶面晶面 l可作一系列平行的等可作一系列平行的等间距的平面距的平面 2.晶面指数晶面指数l任一晶面上二维周期性地排列着无穷多个格点任一晶面上二维周期性地排列着无穷多个格点 l同族晶面上的格点具有相同的二维周期性同族晶面上的格点具有相同的二维周期性 l所有的格点都在一族晶面上所有的格点都在一族晶面上 l同族晶面中，相邻晶面的间距相等同族晶面中，相邻晶面的间距相

41、等 l晶面的方向晶面的方向垂直于晶面的方向垂直于晶面的方向表示表示第一章第一章 晶体结构晶体结构 首先要确定原点和晶轴，任取一个格点为原点，取首先要确定原点和晶轴，任取一个格点为原点，取3 3个个晶轴晶轴, ,晶轴的端点必定是格点，这些端点必定要落在这组平行晶轴的端点必定是格点，这些端点必定要落在这组平行平面的某些平面上平面的某些平面上, ,若落在第若落在第h h面上面上, ,落在第落在第k k个平面上个平面上, ,落在第落在第l l个平面上个平面上, ,也就是说这组平面必须是等间距的切割晶轴也就是说这组平面必须是等间距的切割晶轴, ,分别将、切割成分别将、切割成h,k,Lh,k,L等份等份,

42、 ,这一组平面中距原点最近这一组平面中距原点最近的那一个平面在三个晶轴上的截距分别为的那一个平面在三个晶轴上的截距分别为/ /, ,/ /，/ /通常我们用晶轴的长度为单位量度截距通常我们用晶轴的长度为单位量度截距, ,最近的平面截距为最近的平面截距为/ /，/ /, ,/ /我们把我们把hkLhkL括在圆括号中括在圆括号中, ,表示为表示为( (hkLhkL),),它就它就作为这组晶面的晶面指数。若截距无穷大（平行于晶轴）则倒作为这组晶面的晶面指数。若截距无穷大（平行于晶轴）则倒数为数为0 0。第一章第一章 晶体结构晶体结构 根据以上分析，我们可以确定找出一个晶面根据以上分析，我们可以确定找

43、出一个晶面指数的基本方法指数的基本方法: : （) )先找出晶面在三个晶轴上的截距值先找出晶面在三个晶轴上的截距值, ,晶晶轴可以是初基的轴可以是初基的, ,也可以是非初基的。也可以是非初基的。 （) )将这些数取倒数。将这些数取倒数。 （) )通常将三个数化成三个互质的整数，通常将三个数化成三个互质的整数，放在圆括号中（放在圆括号中（hklhkl），），若选定的晶轴是初基的若选定的晶轴是初基的（即是基矢），则（即是基矢），则hklhkl是不含公约数的。是不含公约数的。l假定某族晶面中的一个晶面在基矢假定某族晶面中的一个晶面在基矢轴上的截距上的截距是是则则该族晶面的密勒指数为该族晶面的密勒指数为晶面指数晶面指数举例例l如果某族晶面与某一基矢如果某族晶面与某一基矢轴没有相交没有相交 l截距是无限大截距是无限大现在现在密勒指数为密勒指数为晶面指数晶面指数举例例第一章第一章 晶体结构晶体结构