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1、学习必备 欢迎下载 1 2 “隐形圆”问题 江苏省通州高级中学 一、问题概述 江苏省高考考试说明中圆的方程是 C 级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没 有直接给出圆方面的信息， 而是隐藏在题目中的， 要通过分析和转化， 发现圆 （或圆的方程） ， 从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题 二、求解策略 如何发现隐形圆（或圆的方程）是关键，常见的有以下策略 策略一 利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆 例 1（1）如果圆(x2a)2(ya3)24 上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数 a 的取 值范围是 6 a 0 5 略解：到原点的距离为 1
2、 的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆， 转化到此单位圆与已知 圆相交求解 （2）（2016 年南京二模）已知圆 O：x2y21，圆 M：(xa)2(ya4)21若圆 M 上 存在点 P，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A，B，使得APB60，则 a 的取值范 围为 解： 由题意得 OP 2 ，所以 P 在以 O 为圆心 2 为半径的圆上，即此圆与圆 M 有公共 点，因此有 2 1 OM 2 1 1 a2 (a 4)2 9 2 2 a 2 2 2 2 （3）（2017 年苏北四市一模）已知 A、B 是圆 C : x2 y2 1 上的动点， AB= 3 ， P 是圆 C : (x 3）2 (
3、 y 4)2 1 上的动点，则 PA PB 的取值范围是 7,13 1 略解：取 AB 的中点 M，则 C1M= 2 1 ，所以 M 在以 C1 圆心，半径为 2 的圆上，且 PA PB 2PM ，转化为两圆上动点的距离的最值 （4）若对任意 R，直线 l：xcosysin2sin( )4 与圆 C：(xm)2(y 3 m)2 6 1 均无公共点，则实数 m 的取值范围是 ( 1 , 5 ) 2 2 略解：直线 l 的方程为：(x-1)cos(y- 3 )sin4，M(1, 3 )到 l 距离为 4，所以 l 是 以 M 为圆心半径为 4 的定圆的切线系，转化为圆 M 与圆 C 内含 学习必备
4、 欢迎下载 0 0 O 2 ， 注：直线 l：(x-x0)cos(y- y0)sinR 为圆 M： (x x )2 (x y )2 R2 的切线系 例 2（2017 年南通市一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B，C 为圆 x2 y2 4 上两点， 点 A(1， 1) ，且 ABAC，则线段 BC 的长的取值范围为 解：法一（标解） ：设 BC 的中点为 M x, y ， 因为 OB2 OM 2 BM 2 OM 2 AM 2 ， y 所以 4 x2 y2 x 12 y 12 ， B M C 2 2 化简得 x 1 y 1 3 ， A 2 2 2 x 所以点 M 的轨迹是以 1 1 为圆心
5、， 3 2 为半径的 2 6 圆， 所以 AM 的取值范围是 2 2 ， 6 2 ， 所 2 2 例 2 以 BC 的取值范围是 6 2 ， 6 2 法二：以 AB、AC 为邻边作矩形 BACN，则 BCAN ， 由矩形的几何性质 （矩形所在平面上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方 和相等） ，有 OB2 OC2 OA2 ON 2 ，所以 ON 6 ， 故 N 在以 O 为圆心，半径为 6 的圆上，所以 BC 的取值范围是 6 2 ， 6 2 变式 1 （2014 年常州高三期末卷）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O : x2 y2 16 ，点 P (1, 2) ，M、N 为圆
6、 O 上两个不同的点，且 PM PN 0 ，若 PQ PM PN ，则 PQ 的 最小值为 3 3 5 y 2 2 2 2 变式 2 已知圆 C1 ： x y 9 ，圆 C2 ： x y 4 ，定点 A P(1, 0) ， 动点 A, B 分别在圆 C1 和圆 C2 上， 满足 APB 90 ， 则线段 AB 的取值范围 2 3 1, 2 3 1 B O P x 变式 3 已知向量 a、b、c 满足 a 3, b 2, c 1, (a c) (b c) 0 ，则 a b 范围 为 2 3 1, 2 3 1 考但有些时候在条件中没有直接给出圆方面的信息而是隐藏在题目中的要通过分析和转化发现圆或圆
7、的方程从而最终可以利用圆的知识来求解我们称这类问题为隐形圆问题二求解策略如何发现隐形圆或圆的方程是关键常见的有以下则实数的取值范是略解到原点的距离为的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆转化到此单位圆与已知圆相交求解年南京二模已知圆圆若圆上存在点过点作圆的两条切线切点为使得则的取值范为解由题意得所以在以为圆心为半径的圆上以圆心半径为的圆上且转化为两圆上动点的距离的最值若对任意直线与圆均无公共点则实数的取值范是略解直线的方程为到距离为所以是以为圆心半径为的定圆的切线系转化为圆与圆内含学习必备欢迎下载注直线为圆的切线系例年学习必备 欢迎下载 0 策略二 动点 P 对两定点 A、B 张角是 900 （ k
8、 PA kPB 1 ，或 PA PB 0）确定隐形圆 例 3 （1）（2014 年北京卷）已知圆 C： (x 3)2 ( y 4)2 1 和两点 A( m, 0) ， B(m, 0) ， 若圆上存在点 P，使得 APB 90 ，则 m 的取值范围是 4, 6 略解：由已知以 AB 为直径的圆与圆 C 有公共点 （2）（海安 2016 届高三上期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P ( 1，0) ， Q(2 ，1) ，直线 l：ax by c 0 其中实数 a，b，c 成等差数列，若点 P 在直线 l 上 的射影为 H，则线段 QH 的取值范围是 2, 3 2 解：由题意，圆心 C(1，
9、2)在直线 axbyc0 上，可得 a2bc0，即 c2ba 直线 l：(2ab)x(2bc)y(2ca)0，即 a(2xy3)b(4x)0， 2x y 3 0, 由 4 x 0 ，可得 x4，y5，即直线过定点 M(4，5)， 由题意，H 在以 PM 为直径的圆上，圆心为 A(5，2)，方程为(x5)2(y2)250， |CA|4 2 ，CH 最小为 5 2 4 2 2 ，CH 最大为 4 2 5 2 9 2 ， 线段 CH 长度的取值范围是 2 ，9 2 （3）（通州区 2017 届高三下开学初检测）设 m R ，直线 l1 ： x my 0 与直线 l2 ： mx y 2m 4 0 交于
10、点 P(x0 , y0 ) ，则 x0 2 y 2 2x0 的取值范围 是 12 4 10,12 4 10 略解： l1 过定点 O(0， 0)， l2 过定点 A(2， -4)， 则 P 在以 OA 为直径的圆上 （除去一点） ， 变式 （2017 年南京二模）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1：kxy20 与 直线 l2： xky20 相交于点 P，则当实数 k 变化时，点 P 到直线 xy40 的距 离的最大值为 3 2 策略三 两定点 A、B，动点 P 满足 PA PB 确定隐形圆 例 4 （1） （2017 年南通密卷 3）已知点 A(2, 3) ，点 B(6, 3) ，点 P
11、 在直线 3x 4 y 3 0 上， 若满足等式 AP BP 2 0 的点 P 有两个，则实数 的取值范围是 解：设 P（x，y），则 AP (x 2, y 3) ， BP ( x 6, y 3) ， 根据 AP BP 2 0 ，有 x 42 y 2 13 2 13 . 由题意 2 考但有些时候在条件中没有直接给出圆方面的信息而是隐藏在题目中的要通过分析和转化发现圆或圆的方程从而最终可以利用圆的知识来求解我们称这类问题为隐形圆问题二求解策略如何发现隐形圆或圆的方程是关键常见的有以下则实数的取值范是略解到原点的距离为的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆转化到此单位圆与已知圆相交求解年南京二模已知圆圆
12、若圆上存在点过点作圆的两条切线切点为使得则的取值范为解由题意得所以在以为圆心为半径的圆上以圆心半径为的圆上且转化为两圆上动点的距离的最值若对任意直线与圆均无公共点则实数的取值范是略解直线的方程为到距离为所以是以为圆心半径为的定圆的切线系转化为圆与圆内含学习必备欢迎下载注直线为圆的切线系例年学习必备 欢迎下载 心， 圆： x 42 y 2 13 2 13 圆与直线 3x 4 y 3 0 相交， 2 3 4 4 0 3 圆心到直线的距离 d 3 32 42 13 2 ，所以 2 . （2）（2016 年盐城三模）已知线段 AB 的长为 2，动点 C 满足 CA CB （ 为常数）， 且点 C 总不
13、在以点 B 为圆 1 2 为半径的圆内， 则负数 的最大值是 . 3 4 略解：动点 C 满足方程 x2 y2 1 . 策略四 两定点 A、B，动点 P 满足 PA2 PB2 是定值确定隐形圆 例 5 （1）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：(xa)2(ya2)21，点 A(0，2)，若 圆 C 上存在点 M，满足 MA2MO210，则实数 a 的取值范围是 0，3 略解：M 满足的方程为 x2 ( y 1)2 4 ，转化为两圆有公共点 （2）（2017 年南京、盐城一模）在 ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a, b, c ，若 a2 b2 2c2 8 ，则 ABC 面积的最大
14、值为 2 5 5 解：以 AB 的中点为原点，AB 所在直线为 x 轴，建系. 设 A( c , 0) ， B( c , 0) ， C(x, y) ，则由 a2 b2 2c2 8 ， 2 2 得 (x c )2 y2 ( x c ) y2 2c2 8 ，即 x2 y2 4 5 c2 ， 2 2 所以点 C 在此圆上，S c r c 4 5 c2 1 4 (4 5 c2 ) 5 c2 2 5 2 2 4 5 4 4 5 策略五 两定点 A、B，动点 P 满足 PA ( 0, 1) 确定隐形圆（阿波罗尼斯圆） PB 例 6（1） 略解：点 P 满足圆的方程为 x2 y2 4 ，转化到直线与圆相交.
15、 （2）（2016 届常州一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2y21， O1：(x4)2y24，动点 P 在直线 x 3 y b 0 上，过点 P 作圆 O，O1 的两条切线， 考但有些时候在条件中没有直接给出圆方面的信息而是隐藏在题目中的要通过分析和转化发现圆或圆的方程从而最终可以利用圆的知识来求解我们称这类问题为隐形圆问题二求解策略如何发现隐形圆或圆的方程是关键常见的有以下则实数的取值范是略解到原点的距离为的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆转化到此单位圆与已知圆相交求解年南京二模已知圆圆若圆上存在点过点作圆的两条切线切点为使得则的取值范为解由题意得所以在以为圆心为半径的圆上以
16、圆心半径为的圆上且转化为两圆上动点的距离的最值若对任意直线与圆均无公共点则实数的取值范是略解直线的方程为到距离为所以是以为圆心半径为的定圆的切线系转化为圆与圆内含学习必备欢迎下载注直线为圆的切线系例年学习必备 欢迎下载 y 2 3 切点分别为 A，B，若满足 PB 2PA 的点 P 有且仅有两个，则 b 的取值范围 20 ,4 3 例 7（2017 年南通二模）一缉私艇巡航至距领海边界线 l（一条南北方向的直线）3.8 海里的 A 处，发现在其北偏东 30 方向相距 4 海里的 B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追 击已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的 3 倍 假设缉私艇和走私船均按直线
17、方 向以最大航速航行 （1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截 成功；（参考数据： sin17 3 ， 33 5.7446 ） 6 （2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由 北 l 领海 公海 B 30 A 解：（1）略 ( 例 7) （2）如图乙，以 A 为原点，正北方向所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系 xOy 则 B 2 ， 2 3 ，设缉私艇在 P(x ，y) 处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私 船相遇，则 PA 3 ，即 x2 y2 3 l PB ( x 2)2 y 2 3领海 公海 整理得， 9 9
18、 3 9 2 2 x 4 y 4 4 ， B 所以点 P(x ，y) 的轨迹是以点 9 ，9 3 为圆心， 4 4 60 2 为半径的圆 A x 图乙 因为圆心 9 ，9 3 到领海边界线 l ： x 3.8 的距离为 1.55，大于圆半径 3 ， 4 4 2 所以缉私艇能在领海内截住走私船 策略六 由圆周角的性质确定隐形圆 例 8 （1）已知 a, b, c 分别为 ABC 的三个内角 A, B, C 的对边， a 2 ， (a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC 则 ABC 面积的最大值为 3 考但有些时候在条件中没有直接给出圆方面的信息而是隐藏在题目中的要通过分析和转化发现圆
19、或圆的方程从而最终可以利用圆的知识来求解我们称这类问题为隐形圆问题二求解策略如何发现隐形圆或圆的方程是关键常见的有以下则实数的取值范是略解到原点的距离为的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆转化到此单位圆与已知圆相交求解年南京二模已知圆圆若圆上存在点过点作圆的两条切线切点为使得则的取值范为解由题意得所以在以为圆心为半径的圆上以圆心半径为的圆上且转化为两圆上动点的距离的最值若对任意直线与圆均无公共点则实数的取值范是略解直线的方程为到距离为所以是以为圆心半径为的定圆的切线系转化为圆与圆内含学习必备欢迎下载注直线为圆的切线系例年学习必备 欢迎下载 略解：cosA 1 ，A60，设 ABC 的外接圆的圆心为
20、 O，外接圆的半径为 2 3 ，则 2 3 O 到 BC 的距离为 3 ，则边 BC 上的高 h 的最大值为 3 + 2 3 = 3 ，则面积的最大值 3 3 3 为 3 （2）（2017 年常州一模） 在 ABC 中， C45o， O 是 ABC 的外心， 若 OC mOA nOB (m， nR)，则 mn 的取值范围是 2,1) 略解： AOB2C90，点 C 在以 O 为圆心，半径 OA 的圆上（在优弧 AB 上） 三、同步练习 1已知直线 l : x 2 y m 0 上存在点 M 满足与两点 A( 2, 0) , B(2, 0) 连线的斜率之积为 1 ， 则实数 m 的取值范围是 2
21、5 , 2 5 2(2016 年泰州一模)已知实数 a，b，c 满足 a2 b2 c2 ， c 0 ，则 b a 2c 的取值范围 为 3 , 3 3 3 3 已知 , t R ， 则 (cos t 2)2 (sin t 2)2 的取值范围是 2 2 1, 2 2 1 4 已知圆 C : ( x 3)2 ( y 4)2 1 和两点 A( m, 0), B(m, 0) (m 0) 若圆 C 上存在点 P，使 得 PA PB 1 ，则 m 的取值范围是 15, 35 7 （2016 年无锡一模）已知圆 C : ( x 2)2 y2 4 ，线段 EF 在直线 l : y x 1 上运动，点 P 为线
22、段 EF 上任意一点，若圆 C 上存在两点 A、B，使得 PA PB 0 ，则线段 EF 长度 的最大值是 14 8如图，已知点 A(1,0)与点 B(1,0)，C 是圆 x2y21 上的 动点(与点 A,B 不重合)，连接 BC 并延长至 D，使得|CD| 考但有些时候在条件中没有直接给出圆方面的信息而是隐藏在题目中的要通过分析和转化发现圆或圆的方程从而最终可以利用圆的知识来求解我们称这类问题为隐形圆问题二求解策略如何发现隐形圆或圆的方程是关键常见的有以下则实数的取值范是略解到原点的距离为的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆转化到此单位圆与已知圆相交求解年南京二模已知圆圆若圆上存在点过点作圆的两
23、条切线切点为使得则的取值范为解由题意得所以在以为圆心为半径的圆上以圆心半径为的圆上且转化为两圆上动点的距离的最值若对任意直线与圆均无公共点则实数的取值范是略解直线的方程为到距离为所以是以为圆心半径为的定圆的切线系转化为圆与圆内含学习必备欢迎下载注直线为圆的切线系例年学习必备 欢迎下载 1 |BC|，则线段 PD 的取值范围 ( 2 , 2) 3 9在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A( t ， 0)(t 0) ， B(t ， 0) ，点 C 满足 AC BC 8 ， 且点 C 到直线 l： 3x 4y 24 0 的最小距离为 9 ，则实数 t 的值是 1 5 10 （2013 年江苏卷第
24、17 题改编）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 O(0, 0) ， A(0, 3) 如果 圆 C : ( x a)2 ( y 2a 4)2 1 上总存在点 M 使得 MA 2MO ，则圆心C 的横坐标 a 的 取值范围是 0, 12 5 11已知向量 a、b、c 满足 a 2 ， b a b = 3 ，若 (c 2a)(2 b 3c) 0 ，则 b c 的最大 值是 1 2 12设点 A, B 是圆 x2 y2 4 上的两点，点 C(1, 0) ，如果 ACB 90 ，则线段 AB 长度的取 值范围为 7 1, 7 1 13在 ABC 中，BC 2，AC1，以 AB 为边作等腰直角三角形
25、ABD (B 为直角顶点，C、 D 两点在直线 AB 的两侧)当C 变化时，线段 CD 长的最大值为 3 14（2016 年南通三模）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C : x 12 y2 2 ， 圆 C : x m 2 y m 2 m2 ，若圆 C 上存在点 P 满足：过点 P 向圆 作两条切线 1 2 C1 PA、PB，切点为 A、B， ABP 的面积为 1，则正数 m 的取值范围是 解：设 P(x，y) ，设 PA，PB 的夹角为 2 ABP 的面积 S= 1 PA2 sin 2 PA2 2 PA 1 2 PC1 PC1 由 3 2 2 2PA PC1 PA 2 ，解得 PA 2 ，
26、所以 PC1 2 ，所以点 P 在圆 (x 1) 2 y2 4 上 所以 m 2 (m 1)2 ( m)2 m 2 ，解得 1 m 3 2 3 考但有些时候在条件中没有直接给出圆方面的信息而是隐藏在题目中的要通过分析和转化发现圆或圆的方程从而最终可以利用圆的知识来求解我们称这类问题为隐形圆问题二求解策略如何发现隐形圆或圆的方程是关键常见的有以下则实数的取值范是略解到原点的距离为的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆转化到此单位圆与已知圆相交求解年南京二模已知圆圆若圆上存在点过点作圆的两条切线切点为使得则的取值范为解由题意得所以在以为圆心为半径的圆上以圆心半径为的圆上且转化为两圆上动点的距离的最值若对任意直线与圆均无公共点则实数的取值范是略解直线的方程为到距离为所以是以为圆心半径为的定圆的切线系转化为圆与圆内含学习必备欢迎下载注直线为圆的切线系例年
