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1、小学四年级奥数小学四年级奥数1年级奥数等差数列求和小故事小故事 一位教师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到 100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，一位小男孩即刻把写着答案的小石板交了上去。 1+2+3+4+.+98+99+100=? 老师起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于那个男孩时，才大吃一惊。 而更使人吃惊的是男孩的算法. 2年级奥数等差数列求和小故事小故事 老师发现：第一个数加最后一个老师发现：第一个数加最后一个数是数是101，第二个数加倒数第二个数，第二个数加倒数第二个数的和也是的和也是101，共有共有50对这样的对这样的数，用数，用
2、101乘以乘以50得到得到5050。这种算。这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使老师法，高斯的才华使老师彪特耐尔彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教这位男并声称自己已经没有什么可教这位男孩的了。孩的了。卡尔卡尔弗里德里希弗里德里希高斯高斯 此男孩叫高斯，是德国数学家、此男孩叫高斯，是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。牛顿并列，同享盛名。3年级奥数等差数列求和第一讲
3、第一讲 四则运算四则运算（等差数列求和）（一）（等差数列求和）（一）4年级奥数等差数列求和等差数列的主要内容等差数列的主要内容1、等差数列的基本知识、等差数列的基本知识2、等差数列的项、等差数列的项3、等差数列的和、等差数列的和5年级奥数等差数列求和一、等差数列的基本知识一、等差数列的基本知识6年级奥数等差数列求和（1 1）1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、66（2 2）2 2、4 4、6 6、8 8、1010、1212（3 3）5 5、1010、1515、2020、2525、3030 像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为数列数列数列中的每
4、一个数称为数列中的每一个数称为一一项项；第第1 1项称为项称为首项首项；最后最后1 1项称为项称为末项末项；在第几个位置上的数就叫在第几个位置上的数就叫第几项第几项；有多少项称为有多少项称为项数项数；（一）数列的基本知识（一）数列的基本知识7年级奥数等差数列求和（二）等差数列的基本知识（二）等差数列的基本知识（1）1、2、3、4、5、6 （2）2、4、6、8、10、12 （3）5、10、15、20、25、30 （公差（公差=1）（公差（公差=2）（公差（公差=5） 通过观察，我们可以发现上面的每一个通过观察，我们可以发现上面的每一个数列中，从第一项开始，后项与前项的差数列中，从第一项开始，后项
5、与前项的差都相等的，具有这样特征的数列称为都相等的，具有这样特征的数列称为等差等差数列数列，这个差称为这个数列的，这个差称为这个数列的公差公差。8年级奥数等差数列求和二、等差数列的项二、等差数列的项9年级奥数等差数列求和数列：数列：1、3、5、7、9、11第第2项：项： 3=1+2 首项首项+公差公差1（2-1）第第3项：项： 5=1+2 2 首项首项+公差公差2（3-1）第第4项：项： 7=1+2 3 首项首项+公差公差3（4-1）第第5项：项： 9=1+2 4 首项首项+公差公差4（5-1）第第6项：项： 11=1+2 5 首项首项+公差公差5（6-1） 等差数列的通项公式：等差数列的通项
6、公式：等差数列的某一项等差数列的某一项= =首项首项+ +公差公差（项数（项数-1 1）等差数列的末项等差数列的末项= =首项首项+ +公差公差（项数（项数-1 1）等差数列的首项等差数列的首项=末项末项-公差公差（项数（项数-1）适用条件：适用条件：该数列一定要为等差数列该数列一定要为等差数列10年级奥数等差数列求和等差数列的某一项等差数列的某一项=首项首项+公差公差（项数（项数-1）例例1 已知数列已知数列2、5、8、11、14求：（求：（1）它的第）它的第10项是多少？项是多少？ （2）它的第）它的第98项是多少？项是多少？ （3）这个数列各项被几除有相同的余数？）这个数列各项被几除有相
7、同的余数？分析：首项分析：首项=2 公差公差=3解：（解：（1）第）第10项：项： 2+3 （10-1）=29 （2）第）第98项：项： 2+3 （98-1）=293 11年级奥数等差数列求和等差数列的某一项等差数列的某一项=首项首项+公差公差（项数（项数-1）例例1 已知数列已知数列2、5、8、11、14求：（求：（3）这个数列各项被几除有相同的余数？）这个数列各项被几除有相同的余数？ 分析：分析： 被除数被除数=余数余数+除数除数商商 等差数列的某一项等差数列的某一项= 2+ 3（项数（项数-1） 规律：规律： 等差数列的某一项与被除数相对应，首项与余数相等差数列的某一项与被除数相对应，首
8、项与余数相对应，公差与除数相对应，（项数对应，公差与除数相对应，（项数-1）与商相对应。）与商相对应。 这个数列每这个数列每1项除以项除以3都余都余2。 等差数列的每等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。项除以它的公差，余数相同。答：这个数列第答：这个数列第10项是项是29；第；第98项是项是293；这个数列；这个数列各项除以各项除以3余数相同。余数相同。 12年级奥数等差数列求和例例2 已知数列已知数列2、5、8、11、14、17，这个数列有，这个数列有多少项。多少项。分析：第分析：第2项比首项多项比首项多1个公差，第个公差，第3项比首项多项比首项多2个个公差，第公差，第4项比首项多项比首
9、项多3个公差个公差，那第，那第n项比首项项比首项多（多（n-1)个公差。个公差。规律：规律：末项比首项多的公差的个数，再加上末项比首项多的公差的个数，再加上1，就得到，就得到这个数列的项数。这个数列的项数。 等差数列的项数等差数列的项数= 公差个数公差个数 + 1 =（末项（末项-首项）首项）公差公差 + 1这个数列的项数这个数列的项数= （17-2）3+1=613年级奥数等差数列求和小结：小结：等差数列项的有关规律等差数列项的有关规律等差数列的某一项等差数列的某一项=首项首项+公差公差（项数（项数-1）等差数列的每等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。项除以它的公差，余数相同。等差数列的项
10、数等差数列的项数=（末项（末项-首项）首项）公差公差+114年级奥数等差数列求和练习练习1、一串数：、一串数：1、3、5、7、9、49。（。（1）它的第）它的第21项是多少项是多少?（2）这串数共有多少个？）这串数共有多少个？2、一串数：、一串数：2、4、6、8、2008。（。（1）它的第）它的第25项是多少项是多少?（2）这串数共有多少个？）这串数共有多少个？3、一串数：、一串数：101、102、103、104、199。（。（1）它的第它的第30项是多少项是多少?（2）这串数共有多少个？）这串数共有多少个？4、一串数：、一串数：7、12、17、22。（。（1）它的第）它的第60项项是多少是多
11、少?（2）这个数列各项被几除有相同的余数？）这个数列各项被几除有相同的余数？15年级奥数等差数列求和练习答案：练习答案：1、它的第、它的第21项项=1+2（21-1）=41； 这个数列的项数这个数列的项数= （49-1）2+1=25；2、它的第、它的第25项项=2+2（25-1）=50； 这个数列的项数这个数列的项数= （2008-2）2+1=1004；3、它的第、它的第30项项=101+1（30-1）=130； 这个数列的项数这个数列的项数= （199-101）1+1=994、它的第、它的第60项项=7+5（60-1）=302； 这个数列各项被这个数列各项被5除有相同的余数。除有相同的余数。
12、（提示：等差数列的每（提示：等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。）项除以它的公差，余数相同。）16年级奥数等差数列求和二、等差数列的和二、等差数列的和17年级奥数等差数列求和例：例：6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38分析：这是一个等差数列；首项分析：这是一个等差数列；首项=6，末项，末项=38，公差，公差=4原数列的和：原数列的和：6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38倒过来的和：倒过来的和：38+ 34+ 30 + 26 + 22 + 18 + 14 + 10 + 6 44 44 44 44 44
13、 44 44 44 44两数列之和两数列之和=（6+38）9解：原数列之和解：原数列之和=（6+38）92 =4492 =198 等差数列的和等差数列的和=（首项（首项+末项）末项）项数项数218年级奥数等差数列求和例：计算例：计算1 + 6+ 11 + 16 + 21+ 26 +.+ 276分析：这是一个等差数列；首项分析：这是一个等差数列；首项=1，末项，末项=276，公差，公差=5 等差数列的和等差数列的和=（首项（首项+末项）末项）项数项数2 ？ 等差数列的项数等差数列的项数=（末项（末项-首项）首项）公差公差+1解：等差数列的项数：解：等差数列的项数：（276-1）5+1=56（项）
14、（项） 原数列之和原数列之和=（1+276）562 = 27728 =775619年级奥数等差数列求和练习练习1、计算、计算（1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37（2）7+11+15+19+.+403（3）9+19+29+39+.+99（4）1+3+5+7+.+9920年级奥数等差数列求和练习答案：练习答案：解：（解：（1）这是一个等差数列；首项）这是一个等差数列；首项=7，末项，末项=37，公差，公差=3, 项数项数=（37-7）3+1=11 和和=（7+37）112=242（2）这是一个等差数列；首项）这是一个等差数列；首项=7，末项，末项=403，公差，公差
15、=4， 项数项数=（403-7）4+1=100 和和=（7+403）1002=20500（3）这是一个等差数列；首项）这是一个等差数列；首项=9，末项，末项=99，公差，公差=10， 项数项数=（99-9）10+1=10 和和=（9+99）102=540（4）这是一个等差数列；首项）这是一个等差数列；首项=1，末项，末项=99，公差，公差=2， 项数项数=（99-1）2+1=50 和和=（1+99）502=250021年级奥数等差数列求和等差数列知识总结：等差数列知识总结：怎样判断一个数列是等差数列怎样判断一个数列是等差数列怎样求出等差数列的任意一项或项数怎样求出等差数列的任意一项或项数怎样求出等差数列前几项的和怎样求出等差数列前几项的和必须牢记等差数列的基本公式和重要结论必须牢记等差数列的基本公式和重要结论1、等差数列的某一项、等差数列的某一项=首项首项+公差公差（项数（项数-1）2、等差数列的项数、等差数列的项数=（末项（末项-首项）首项）公差公差+13、等差数列的和、等差数列的和=（首项（首项+末项）末项）项数项数24、等差数列的每、等差数列的每1项除以它的公差，余数相项除以它的公差，余数相同。同。22年级奥数等差数列求和
