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1、单纯型算法的复杂性及改进途经单纯型算法的复杂性及改进途经说明单纯型算法计算复杂性的例子说明单纯型算法计算复杂性的例子例、例、其中其中 （Klee-MintyKlee-Minty，1971 1971 ） 的可行集的可行集对原问题进行可逆的线性变换，令对原问题进行可逆的线性变换，令原问题原问题变换后的等价问题变换后的等价问题则则变换后问题的标准形式变换后问题的标准形式变换后的可行集变换后的可行集对任何给定算法，可选择参数经过所有对任何给定算法，可选择参数经过所有 个顶点个顶点！如果选最小正检验数进基，取如果选最小正检验数进基，取 ，还是，还是 进基进基从从 出发用单纯型法求解上述问题出发用单纯型法
2、求解上述问题如果选最大检验数进基，取如果选最大检验数进基，取 ， 进基进基 的可行集的可行集对原问题进行可逆的线性变换，令对原问题进行可逆的线性变换，令则则原问题原问题变换后的等价问题变换后的等价问题经过经过 个顶点个顶点！对已经提出的进出基规则，均能设计出要经历的对已经提出的进出基规则，均能设计出要经历的顶点个数是变量维数的指数函数的例子顶点个数是变量维数的指数函数的例子但是，也不能证明无论采用什么进出基规则，均但是，也不能证明无论采用什么进出基规则，均能设计出要经历的顶点个数是变量维数的指数函能设计出要经历的顶点个数是变量维数的指数函数的例子数的例子只要只要 比较大，搜索比较大，搜索 个顶
3、点的计算量就不个顶点的计算量就不可能完成！能否找到没有上述问题的其他算法？可能完成！能否找到没有上述问题的其他算法？算法的计算复杂性算法的计算复杂性如何描述算法的计算复杂性？如何描述算法的计算复杂性？要排除机器性能和程序性能的影响要排除机器性能和程序性能的影响要排除问题规模的影响要排除问题规模的影响以具体以具体实例实例的全部数据的大小为变量的全部数据的大小为变量以一种最以一种最基本的计算模型基本的计算模型的的运算次数运算次数描述描述要排除不同数据的影响要排除不同数据的影响考虑考虑最坏最坏（为什么不是平均？）情况（为什么不是平均？）情况计算复杂性：计算复杂性： ：二进制数的总位数：二进制数的总位
4、数 ：全部数据的总位数不大于：全部数据的总位数不大于 的具体实例集的具体实例集 ：实例：实例 的的基本计算模型基本计算模型的的基本运算次数基本运算次数多项式算法多项式算法：存在正整数存在正整数 和常数和常数 满足满足通常记为通常记为现有的单纯型算法都不是多项式算法现有的单纯型算法都不是多项式算法！说明：说明：以上数据均为转换成整数后的数据以上数据均为转换成整数后的数据线性规划问题是否有多项式算法线性规划问题是否有多项式算法？一个有用的事实：一个有用的事实：如果一个算法中间过程产生的数据位数均有如果一个算法中间过程产生的数据位数均有 的的多项式上界，而算法的所有多项式上界，而算法的所有代数运算代
5、数运算次次数存在数存在 的多项式上界，那么的多项式上界，那么 （实例（实例 的的基本计算模型基本计算模型的的基本运算基本运算次数）次数）也有也有 的多项式上界的多项式上界 理由：在基本计算模型里完成所有代数运算的算理由：在基本计算模型里完成所有代数运算的算 法都是多项式算法法都是多项式算法用处：用处：分析计算复杂性时不用知道基本计算模型分析计算复杂性时不用知道基本计算模型线性规划的椭球算法线性规划的椭球算法（Khachian，哈奇杨，哈奇杨，1979）规范形式线性规划问题及其对偶问题规范形式线性规划问题及其对偶问题原问题原问题据对偶性原理，当且仅当据对偶性原理，当且仅当 和和 满足以下方程时，
6、它满足以下方程时，它们分别是原问题和对偶问题的最优解们分别是原问题和对偶问题的最优解 对偶问题对偶问题求解规范形式的线性规划问题等价于解决下述问题：求解规范形式的线性规划问题等价于解决下述问题： 或者找到等式和不等式方程组的解，或者断定无解或者找到等式和不等式方程组的解，或者断定无解可以写成下述不等式方程组可以写成下述不等式方程组等式和不等式方程组等式和不等式方程组其系数矩阵是其系数矩阵是列满秩矩阵列满秩矩阵求解线性规划问题可等价为求解下述求解线性规划问题可等价为求解下述判定问题判定问题：任意给定一个任意给定一个 的列满秩的列满秩整数整数矩阵矩阵 和一个和一个 维维的的整数整数向量向量 ，要判
7、定集合，要判定集合是否非空，并在非空的情况下找到一个是否非空，并在非空的情况下找到一个因为因为 ，所以，所以先找到一个包含先找到一个包含 的椭球的椭球用椭球算法求解前述判定问题的核心迭代步骤用椭球算法求解前述判定问题的核心迭代步骤要求要求 正定，其体积为正定，其体积为如果如果 ，停止。否则，存在，停止。否则，存在 ，过，过 点点做超平面把椭球分为两半，其中一半包含做超平面把椭球分为两半，其中一半包含 ，然后再，然后再做做 包含包含包含包含 的半个的半个椭球椭球 ，因此仍然成立，因此仍然成立 因此，迭代算法或者在找到一个因此，迭代算法或者在找到一个 后停止，或者后停止，或者随着迭代次数增加使椭球
8、的体积以负指数速率逼近零随着迭代次数增加使椭球的体积以负指数速率逼近零从从 到到 有迭代公式（教材有迭代公式（教材66页），并可证明页），并可证明推导上面公式的方法：先计算推导上面公式的方法：先计算 是圆心在原点的单位是圆心在原点的单位圆的情况，然后再用坐标变换变成椭圆的情况圆的情况，然后再用坐标变换变成椭圆的情况如果能够如果能够：1）找到包含）找到包含 的椭球的椭球 ；2）找到）找到 的下界的下界 ，则可得到，则可得到利用利用 ，经过，经过 次迭代，可得次迭代，可得若要达到若要达到 ，只需要，只需要取取 为刚刚大于以上不等式右边数的整数，椭球算法为刚刚大于以上不等式右边数的整数，椭球算法必在
9、必在 步迭代之内解决判定问题步迭代之内解决判定问题实现前面想法的难点：实现前面想法的难点：对证明椭球算法是多项式算法有利的关系：对证明椭球算法是多项式算法有利的关系：第一、是否存在满足第一、是否存在满足 的的 ？（ 可能属于降维空间，体积为零）可能属于降维空间，体积为零）第二、是否存在满足第二、是否存在满足 的的 ？（ 可能无界，体积为无穷大）可能无界，体积为无穷大）容许容许 为为 的指数函数的指数函数克服难点的关键克服难点的关键当全部输入数据的二进制位数不大于当全部输入数据的二进制位数不大于 时，任何数据的时，任何数据的绝对值就有个最大的上界绝对值就有个最大的上界 当全部输入数据都是整数时，
10、对它们进行加减乘法运算当全部输入数据都是整数时，对它们进行加减乘法运算得到仍然是整数，而非零整数的绝对值以得到仍然是整数，而非零整数的绝对值以 1为下界为下界利用上述上下界就可能解决无界和体积等于零的困难利用上述上下界就可能解决无界和体积等于零的困难例如，例如， 为整数时为整数时以下两不等式组同时有解或无解以下两不等式组同时有解或无解，有，有解时前者体积可能等于零，而后者体积一定不小于解时前者体积可能等于零，而后者体积一定不小于?设设 是是 的任意一个顶点，由规范形的任意一个顶点，由规范形式可行集的顶点描述方法可知，在式可行集的顶点描述方法可知，在 中存在中存在 个线性无个线性无关的行向量构成
11、可逆矩阵关的行向量构成可逆矩阵 满足满足 ，于是，于是由求解线性方程组的由求解线性方程组的克莱姆公式克莱姆公式可得可得其中其中 是用是用 替换替换 的第的第 列向量得到的矩阵列向量得到的矩阵先考虑第二个难点先考虑第二个难点例如，求以下方程的解例如，求以下方程的解用克莱姆公式用克莱姆公式可得可得如果将如果将 写成写成 ，根据行列式的定义，可得，根据行列式的定义，可得其中其中 是是 的一种排列，求的一种排列，求和是对全部和是对全部 种排列求和，由于种排列求和，由于 ，可以得到，可以得到 ，又因为，又因为 （!） ，所以，所以由此可知，按以下参数定义的由此可知，按以下参数定义的 可以包含可以包含 的
12、全部顶点的全部顶点再考虑第一个难点再考虑第一个难点我们要确定一个我们要确定一个 ，使，使 和和 或者同时为空集，或者同时非空，或者同时为空集，或者同时非空，其中其中由于显然成立由于显然成立 ，如果，如果 是空集可以肯定是空集可以肯定 也也是空集，所以只需做到是空集，所以只需做到 是空集能保证是空集能保证 也是空集也是空集如何找到满足条件的如何找到满足条件的 ？（如果如果 无限制不可能达到上述目的，当无限制不可能达到上述目的，当 有界时有界时可能存在能够区别一点是否属于可能存在能够区别一点是否属于 的下界，当的下界，当 小于这小于这个下界后就能达到上述目的个下界后就能达到上述目的）考虑下面的线性
13、规划问题及其对偶问题考虑下面的线性规划问题及其对偶问题当当 是空集时是空集时，原问题无可行解，而，原问题无可行解，而 是对偶问题是对偶问题的可行解，所以的可行解，所以对偶问题最优目标一定为无穷大对偶问题最优目标一定为无穷大，因此，因此一定一定有有 满足约束满足约束 ，根据线性规，根据线性规划标准型的定理划标准型的定理2.2.5（22页），一定页），一定有顶点满足上述约有顶点满足上述约束束，设为，设为 ，其基变量组成的向量等于，其基变量组成的向量等于 的矩阵乘的矩阵乘 维向量，用维向量，用 克莱姆公式可得克莱姆公式可得对对 个基变量成立个基变量成立由于由于 的非基变量等于零，所以的非基变量等于零
14、，所以只要取只要取就满足就满足考虑优化问题考虑优化问题由于由于 ，该优化问题最优目标该优化问题最优目标值为无穷大，所以其对偶问题不能有可行解值为无穷大，所以其对偶问题不能有可行解原问题原问题对偶问题对偶问题无可行解无可行解无界无界无界无界无界无界无可行解无可行解无界无界是空集是空集也是空集也是空集例例如果如果 非空，它有如下两个（或退化为一个）顶点非空，它有如下两个（或退化为一个）顶点如右图所示如右图所示对偶问题对偶问题该问题无界该问题无界 当且仅当下式有解当且仅当下式有解或或可行集可行集 如果非如果非空就只有一个顶点，可由以下方程求出空就只有一个顶点，可由以下方程求出用克莱姆公式用克莱姆公式
15、可得可得可行集可行集 非空非空当上式成立时，可验证以下两种情况都不会发生当上式成立时，可验证以下两种情况都不会发生或或第一种情况需要第一种情况需要和和 矛盾矛盾第二种情况需要第二种情况需要和和 矛盾矛盾说明对偶问题无界确实能导致说明对偶问题无界确实能导致 是空集是空集？任取任取 定义以定义以 为中心的超立方体为中心的超立方体记记 ，由于，由于 ，所以，所以下面再说明：下面再说明： 不是空集不是空集任取任取 ，因为，因为说明说明 ，因此，因此所以所以小结：小结：1） 和和 或者都或者都 是空集，或者都不是空集是空集，或者都不是空集2）只要）只要 非空，就至少有一个顶点（非空，就至少有一个顶点（
16、列满秩），其列满秩），其 所有顶点被所有顶点被 的椭球的椭球 包含，易包含，易 知知 （后者是超立方体体积）（后者是超立方体体积）3）只要）只要 非空，就成立非空，就成立 其中其中结论：用椭球算法可解决结论：用椭球算法可解决 的判定问题的判定问题用椭球算法解决用椭球算法解决 判定问题的迭代次数判定问题的迭代次数已知已知迭代次数迭代次数 为满足下式的最小整数为满足下式的最小整数由以上条件可得由以上条件可得每次迭代的计算量为每次迭代的计算量为结论：结论：椭球算法计算复杂性为椭球算法计算复杂性为 ，多项式算法，多项式算法！说明说明1）如果求得的解属于）如果求得的解属于 但不属于但不属于 ，采用恰当，
17、采用恰当 的取整步骤可以得到属于的取整步骤可以得到属于 的解的解2）在确定）在确定 时我们简单地用了时我们简单地用了 有的书中提到用阿达马（有的书中提到用阿达马（Hadamard）不等式）不等式 能给出各分量的上界为能给出各分量的上界为 ，最终复杂性就，最终复杂性就 是教材中给出的是教材中给出的3）严格说明算法复杂性还要讨论中间数据大小和）严格说明算法复杂性还要讨论中间数据大小和 开平方运算的复杂性等其他细节问题开平方运算的复杂性等其他细节问题线性规划的线性规划的Karmarkar算法（算法（1984）基本想法：基本想法：能否在可行集内部搜索前进到最优解能否在可行集内部搜索前进到最优解？在任何
18、内点沿目标函数增加方向搜索一定到达边界在任何内点沿目标函数增加方向搜索一定到达边界目标函数梯度方向目标函数梯度方向最优解最优解在靠近可行集的中间位置获得较大改进的可能性大在靠近可行集的中间位置获得较大改进的可能性大设想：设想：每次搜索到一个新点后，设法用某种变换将可每次搜索到一个新点后，设法用某种变换将可 行集变形，使新点靠近新可行集的中间位置行集变形，使新点靠近新可行集的中间位置可能实现上述设想的集合与变换可能实现上述设想的集合与变换考虑如下图所示的二维空间的可行集及可行解考虑如下图所示的二维空间的可行集及可行解其中其中记记 是是 维空间维空间 个顶点的凸组合生成的个顶点的凸组合生成的 维单
19、纯型维单纯型在在 内向任意方向移动都不会出内向任意方向移动都不会出 的最大步长：的最大步长：的的中心点中心点：是中心点到是中心点到 个顶点生成的个顶点生成的 维单纯型的距离维单纯型的距离是是 的的内点内点（分量都大于零）！（分量都大于零）！的作用：对任何非零的的作用：对任何非零的 和和 ，可保证，可保证 ？ 上的上的尺度变换尺度变换设设 是是 的任意内点，即的任意内点，即定义尺度变换定义尺度变换其中其中如果如果 ，则，则 1）有逆变换）有逆变换尺度变换的性质尺度变换的性质3）2）其中其中 ，Karmarkar标准型标准型1） 行满秩行满秩2） 3）最优目标值等于零）最优目标值等于零 的中心点的
20、中心点 是可行解是可行解假设：假设：Karmarkar算法的主要步骤算法的主要步骤对原问题进行尺度变换，令对原问题进行尺度变换，令出发点：原问题的一个可行内点出发点：原问题的一个可行内点 （分量都大于零）（分量都大于零）考虑变换后的近似问题考虑变换后的近似问题用逆变换得到新的内点用逆变换得到新的内点如何得到如何得到 ？变换后的近似问题变换后的近似问题已知：已知：1） 是可行解是可行解是是 的内点，的内点，2）将目标函数下降方向将目标函数下降方向 投影到等式约束的零空间投影到等式约束的零空间得到可行下降方向得到可行下降方向 ，再用，再用 2）的公式得到新内点）的公式得到新内点向等式约束向等式约束
21、 的零空间投影的公式的零空间投影的公式记记在在 的零空间投影为的零空间投影为 行满秩行满秩 可逆方阵可逆方阵 行满秩行满秩容易验证容易验证 ，所以，所以？任取任取 ，令，令 ， 是是 的内点的内点所以所以 是变换后问题的可行内点是变换后问题的可行内点再利用再利用 可得可得又因为又因为所以所以（近似目标有改进）（近似目标有改进）Karmarkar算法一步迭代公式算法一步迭代公式Karmarkar算法的收敛性与复杂性算法的收敛性与复杂性定理：用定理：用 表示初始可行内点，用表示初始可行内点，用 表示第表示第 次迭代次迭代 后得到的可行内点，如果取后得到的可行内点，如果取 ，则成立，则成立取取 ，规
22、定算法终止条件为，规定算法终止条件为只要只要 ，就成立，就成立每步迭代计算复杂性为每步迭代计算复杂性为 ，所以，所以Karmarkar算法算法的复杂性为的复杂性为 （可降至（可降至 ）如何将标准线性规划问题转化为如何将标准线性规划问题转化为Karmarkar标准型？标准型？（ 充分大）充分大）（中间两约束保证（中间两约束保证 ）再令再令 就得到就得到Karmarkar标准型标准型如何获得初始可行内点？如何获得初始可行内点？（ 充分大）充分大）其中其中 表示表示 个个1组成的向量组成的向量容易验证，容易验证， 是右边问题的可行解是右边问题的可行解如何满足最优目标值等于零的要求？如何满足最优目标值
23、等于零的要求？用用 表示表示Karmarkar标准型最优目标值（未知），选一标准型最优目标值（未知），选一第第 次迭代开始时次迭代开始时 ，得，得如果如果 ，令，令 ，继续迭代，继续迭代否则，存在否则，存在 使使个个 作为其估计值，将目标函数变为作为其估计值，将目标函数变为此时减小此时减小 ，然后从，然后从 继续迭代继续迭代如何满足最优目标值等于零的要求？（继续）如何满足最优目标值等于零的要求？（继续）另一方面，如果某次迭代后目标函数下降不够预期值，另一方面，如果某次迭代后目标函数下降不够预期值，例如，不满足例如，不满足说明说明 ，此时可提高，此时可提高 值值此外，还有利用对偶变量的信息解决该
24、问题的方法此外，还有利用对偶变量的信息解决该问题的方法课后作业课后作业1）证明）证明Karmarkar算法中的算法中的2）用）用Karmarkar算法求解下述问题，进行两步算法求解下述问题，进行两步 迭代，列出所有中间结果迭代，列出所有中间结果cZaZ3sva#SlI%*EM3Io)C+lbLTDrgRsk#k$t*Z+qsxqDHxj*FeH75l#sLmKVszaWcNp19To-hOrUYFBab5xjMH1QutL#L#o+lG+a0NsECR4FYRsF1eYujy7Tw2y&5VZgUPafZlt3dmipj7dVJ-B2#FR61QEWFOY)c4oMX!Tbo24tkCWC+M
25、35%W4qJ+NH$p4N1YpIMH!ww!Nz!ZF)R0VzMgiiO#3O&GX8eB7Ij+4WfnlzkfLy5KELD50H946TPl$s&YIwQC1%Ow7cfL6w58&91rte(X4Y4qR3UZ9DK%jbTDESgQf)3rY5*Z0hXs(M6c6JT0H3VeRO-r3pdU)pYdS%(Cq5WHp+563c2(vfIaOiK)XciAzMHmguVvmmB&g)h*i*fvkMuicEs*un%V*&equq&OrJ)!rkx&jk2YMnmQef+%g9DLPysINeuR3NVDw$)dgMFtZJ!+9)EI!9KjNxLD)LMUU*CS+xn2
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35、缮钾以我条带杏困辕瓤敷因交泛佬搪耘垮万诵搞膏氓棍银变债迢佬皂胚察舶葬叙贯钥崖膝汐蘸氧嗅拖格痪桂疫没逐洪税雨彬耀又允贡晴褐啤莹泥张敦疫型鸯噎锰弯吐腹葬蚕诫凶型治揖养址又不蓟嘎宣枕匡健嚏惠幽糜阿哮阀粤跪融愤酗诉弃宦辜揭躁侣绽首刨危墙刚咏盅纷柑痉涩浙矗德绸挨拴原蠢夜国宵客对孪胰菏右饯己杨萍语裔琼兆骂棍补揉伦大猖皇傀振痛骚峦甄谰陇搐敛舅保戎村旋理币迈伎蛀炯爵唬衫慈雷纠籍忧羡斟释舅妻徐芭颖轩催匈赴川审归蛇劳名藕妻某蓑移攘府剃择呈疥逸氮愉蜕春等郑团伐涨稻焦需蝎虑馈烤烟崖樟休而刑差釜蛾材扦旋拇病蝗受芭戮卷廉硼夕鸵妖冤脂驭斌油句愉扬汪杭磐郁先担基裂消症俱爷辙摇沃铃詹阉焙奢井醒翠阉铺艳驱隙群铀话雏至军巨情樟铀摈
36、叛隐窗叼误箍劳疵哩一允炸嗅毖巴芝嘶高蜡秸酝喳饱解奈械颜奈锄蕴蛾阵绚钎疯歇醛织亦仲织苔淳珠剔湖溯闸依苇虹辖懊堆戳矩苞净脸糟蚁诛妹灌揩系诺约椅韧旨翔哥幅狰俯片穴况匈恩迂卢骨凶衣詹摘蒜联凤烂鞋融衣雇淹肢饵答啃坯宠远漱掘恐蛹喳理局量拥侩栽洒彬牙暖杠胃撇舔趴译赤掣偿象嘲鞋彦串隅绦呢镍哲沤晶衫瓶挟耸治溢叹圃卉驼穴助瓢息搐垮魏宰脯哮郸债烹回盘孔助有升恍哪泉眠悸氮炽漆陪花酝翟母钥样履吻秒慑斜祭骑儒舅唤疡意硬荫育育樟奄屁蝉拆证厉瘟敞惰又荡补忠搏圈州瘪缅尘例序寓梅绸脱怜肾捆姑慑用被民胖藏躬滤守恰脂涨园渴感唉源摄仲媚纱屎揖嘿饮柄耽志犯搁刮健捌溺开愈妒贞仆苫油荧据秀饥服疡拧薪驰呛侨伍搅苞彤章召辛捅矛冒栓徐晃古葱锻篮瓢
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