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1、超静定结构超静定结构与静定结构超静定结构与静定结构在计算方面的主要区别在计算方面的主要区别 静定结构静定结构的内力只要根据静力平衡条件即的内力只要根据静力平衡条件即可求出，而不必考虑其它条件可求出，而不必考虑其它条件，即：即：内力是内力是静定的静定的。 超静定结构超静定结构的内力则不能单由静力平衡的内力则不能单由静力平衡条件求出，而必须同时考虑变形协调条件，即：条件求出，而必须同时考虑变形协调条件，即：内力是超静定的内力是超静定的。求解超静定结构的计算方法求解超静定结构的计算方法 从方法上讲基本有两种：从方法上讲基本有两种：力法和位移法。力法和位移法。 从历史上讲分从历史上讲分传统方法和现代方
2、法。传统方法和现代方法。传统方法：传统方法： 精确法：精确法： (1)力法力法(Force method)：取某些取某些力力作基本未知量。作基本未知量。 (2)位移法位移法(Displacement method)：取某些取某些位移位移作作 基本未知量。基本未知量。 (3)混合法混合法(Mixture method): 既有既有力力的未知量的未知量,也有也有位移位移未知量。未知量。 渐近法渐近法 : （1）建立力学方程组，数学上渐近；）建立力学方程组，数学上渐近； （2）从结构的力学模型入手逐步逼近。）从结构的力学模型入手逐步逼近。现代方法：现代方法： 矩阵法矩阵法 ： （1）矩阵力法；）矩阵
3、力法； （2）矩阵位移法）矩阵位移法; （3）矩阵混合法）矩阵混合法 。 第 五 章力 法Force method5-1 超静定结构的组成和超静定次数超静定结构的组成和超静定次数一、超静定结一、超静定结构构1、几何组成：、几何组成： 具有多余具有多余约束的几何不变约束的几何不变体系。体系。FP1FP2FP1FP2FRBFRCFRD2、静力特性： 超静定结构的反力和内力不能完全地由静力平衡条件唯一地加以确定。未知力的数目平衡方程的数目。FPABFxAFyAMAFyBFPFyAFyBFxA3、超静定结构的类型（1） 超静定梁超静定梁（3）超静定拱）超静定拱（二）、超静定次数1、超静定次数的确定及确
4、定方法 超静定次数 n 多余约束的个数。 几何： n= - W 静力：超静定次数=未知力个数 - 平衡方程个数 n = 把超静定结构变成静定结构，所需撤除约束的个数。撤除多余约束的方式与相应 多余约束力之间的关系撤除多余约束的方式撤除多余约束的个数多余力的性质X1X1X11反力Fy1轴力FNX1X2 2反力Fx FyX1X1X2X2 2轴力FN剪力 FQ 撤除多余约束的方式撤除多余约束的个数多余力的性质X1X2X3 3反力Fx,Fy,MX1X2X3 3轴力FN 剪力FQ弯矩MX1 1X1 1反力偶 M弯矩 M提问：1、切开一个闭合框，去掉几个约束？有什么规律可循？如右图：2、在受弯杆上加一个复
5、铰，等于去掉几个约束？反之，在结构上拿去一个复铰，等于去掉几个约束？如下图：2、基本体系（结构）与基本未知量力法基本体系（结构）： 几何不变几何不变（无多余约束，有多余约束）体系体系；计算是可能的。几何可变或瞬变体系不能作基本体系。 计算简便，同一结构可选不同的基本体系。力法基本未知量：与去掉的多余约束相应的多余未知力多余未知力。例：X1 n = 1X1X1X1瞬变瞬变X1 n = 1X1X1X1瞬变X1X2X3X4X5X1X2X3X4X5 n = 5 问：还可以选什么样的基本体系？X1X1X1 n = 1 问：还可以选什么样的基本体系？X1X1X1X1瞬变瞬变 左下图所示基本体系是否正确？
6、n =3 5=15提问: 还可以选什么样的基本体系?X1X2n = 2 请考虑以上两个基本体系，哪一个计算起来更方便？X1X1X2X2X1X2X3X4X1X2X3X4 n = 4请考虑以上两个基本体系， 哪一个计算起来更方便？5-2 力法基本概念力法基本概念一、基本思路：一、基本思路：力法的三个基本概念（三要素）力法的三个基本概念（三要素） 1、力法的基本未知量、力法的基本未知量(fundamental unknown)（与多余约束相应的）多余力。与多余约束相应的）多余力。 如图：与静定结构相比较，有一个多余力，如图：与静定结构相比较，有一个多余力，只要能计算出只要能计算出X1(X1=YB)，
7、其余的问题为静定其余的问题为静定结构问题。结构问题。 2、力法基本体系（结构）、力法基本体系（结构）（去掉多余约（去掉多余约束的）静定结构束的）静定结构 基本体系基本体系(fundamental system)的受力状态和变形的受力状态和变形状态与原结构完全相同。状态与原结构完全相同。 基本体系所受荷载：原荷载基本体系所受荷载：原荷载+多余力多余力X1。（。（本身是本身是静定结构，又可代表原超静定结构，因此是过渡桥梁）。静定结构，又可代表原超静定结构，因此是过渡桥梁）。 3、基本方程、基本方程(equation of force method) 变形条件变形条件 与与X1相应的位移条件，基本体
8、系沿多余未知力相应的位移条件，基本体系沿多余未知力X1方方向的位移向的位移1应与原结构沿应与原结构沿X1方向的位移相等，即：方向的位移相等，即： 1 =0。基本思路基本思路lqEI 原结构MAFyAFyBqX1基本体系1PqX111FxA变形条件：变形条件： 1 = 0 基本体系基本体系 原结构原结构由叠加原理：由叠加原理： 1 = 11 + 1P= 0式中：式中：11基本体系在未知力基本体系在未知力X1单独作用下，沿单独作用下，沿 X1方向的位移方向的位移11 =11 11 X1 。1P基本体系在荷载单独作用下沿基本体系在荷载单独作用下沿X1方向方向 的位移的位移。 1 、 11 、 1P
9、、 1111的方向与的方向与X1方向一方向一致，规定为正。致，规定为正。11由 1 = 11 + 1P= 0 可知 11 X1 + 1P= 0 上式为一次超静定结构的力法基本方程。 至此力法的基本概念已建立。 其中系数11和自由项1P都是基本体系即静定结构的位移。X1=1X1=1lM1 图ql2/2MP 图系数和自由项计算 (图形自乘) 代入变形条件， 得： X1= - 1P/11= 3ql/8 () 最后弯矩图可用叠加原理（也可将X1作用在基本体系上，用平衡条件求其余的反力内力） M= X1M1+MPM= X1M1+MPql2/8ql2/8力法的基本特点： （1）、以多余未知力作为基本未知量
10、。 （2）、以去掉多余约束的静定结构（也可以是超静定结构）作为基本体系。 （3）、基本体系在解除多余约束处的位移 = 原结构在该处的位移，由此建立力法方程。力法方程即位移条件方程： 基本体系在多余力和荷载（或其他因素）共同作用下，各多余未知力作用点的相应位移应与原结构相应点的位移相同。二、多次超静定结构的计算1、以一个三次超静定结构为例位移条件： 1 = 0 2 = 0 3 = 0FP1FP2FP1FP2X1X2X3位移条件： 1 = 0 2 = 0 3 = 0 1 = 0 基本体系沿X1方向的位移=原结构B点的水平位移。 2 = 0 基本体系沿X2方向的位移=原结构B点的竖向位移。 3 =
11、0 基本体系沿X3方向的位移=原结构B点的转角位移。应用叠加原理把位移条件分解为： FP1FP2应用叠加原理把位移条件写成展开式：（1）、 X1 =1单独作用于基本体系，相应位移 11 21 31 未知力X1单独作用于基本体系，相应位移 11 X1 21 X1 31 X1（2）、 X2 =1单独作用于基本体系，相应位移 12 22 32 未知力X2单独作用于基本体系，相应位移 12X2 22 X2 32X2 （3）、 X3=1单独作用于基本体系，相应位移 13 23 33 未知力X3单独作用于基本体系，相应位移 13 X3 23 X3 33 X3（4）、荷载单独作用于基本体系，相应位移 1P
12、2P 3PX1方向的位移1 1=11X1+12X2+13X3+ 1P X2方向的位移2 2=21X1+22X2+23X3+ 2PX3方向的位移3 3=31X1+32X2+33X3+ 3P三次超静定结构的力法方程： 11 X1+12 X2+13 X3+ 1P = 0 21 X1+22 X2+23 X3+ 2P = 0 31 X1+32 X2+33 X3+ 3P = 0注注: 方程左边是基本体系的位移 。 方程右边是原结构的相应位移 。 讨论： （1）、力法方程（典型方程）的物理意义：基本体系中，由全部未知力和已知荷载共同作用，在去掉多余约束处的位移应等于原结构相应位移。 （2）、同一结构可取不同
13、的力法基本体系和基本未知量，但力法基本方程的形式一样，由于基本未知量的实际含义不同，则位移（变形）条件的实际含义不同。 （3）、方程中ij和iP是静定结构的位移，这样超静定结构的反力、内力计算就转化为静定结构的位移计算问题。原结构ABFP2FP1ABFP2FP1基本体系X3X1 X1X2 X2X3X3ABFP2FP1X1X22、n次超静定结构的力法典型方程典型方程11X1+12X2+ +1nXn+ 1P = 021X1+22X2+ +2nXn+ 2P = 0 (7-4) n1X1+n2X2+ nnXn+ nP = 0(n次超静定结构在荷载作用下的力法典型方程）基本未知量：n个多余未知力X1 、
14、X2、 Xn；基本体系：从原结构中去掉相应的n个多余约束后所得的静定结构；基本方程：n个多余约束处的n个变形条件。力法典型方程的讨论：（1）、（7-1）式可写成矩阵形式: X + P = 0系数矩阵、柔度矩阵（2）、力法方程主系数： ii0,恒为正 . 因为ii是Xi=1作用在自身方向上，所产生的位移系数，所以不为零，恒为正。 (3)、副系数： ij (ij) 可正、可负、可为零。 由位移互等定理可知： ij =ji ij由单位力Xj=1作用产生的沿Xi方向的位移系数。（4）、自由项： iP 可正、可负、可为零。 iP由荷载单独作用产生的沿Xi方向的位移。（5）、计算出X1 、X2、 Xn后，
15、由叠加原理 M=M1X1+M2X2+MnXn+MP FQ= FQ1X1+ FQ2X2+FQnXn+ FQP FN=FN1X1+ FN2X2+ +FNnXn+ FNP5 - 3 超静定刚架和排架1、超静定刚架 类型：单跨超静定梁、多跨超静定梁、单层单跨超静定刚架、多层多跨超静定刚架。 计算特点：（一般只考虑弯曲变形）系数和自由项的计算:例：用力法计算图示刚架。各杆例：用力法计算图示刚架。各杆EI=常数常数原结构原结构ABCDqlllABCD基本体系基本体系qX1X2n=2qABCDX1X2基本体系基本体系ABCDqX1X2基本体系基本体系解：解： (1)、 判定超静定次数： n=2 ； 选定基本
16、体系和基本未知量 ； 可选不同的基本体系，挑选计算比较简便的，进行分析计算。 力法方程： 11X1+12X2+1P = 0 21X1+22X2+2P = 0 (2)、作M i 、MP 图，求、 (用第一种基本体系）11 =(1/2ll) (2/3l)+ (ll)l/EI = 4 l 3/3EI22=11= 4l3/3EI12=21= -(ll) l/EI = - l3/EI1P= -(1/3ql2/2l)3/4l +(ql2/2l)l)/EI = -5ql4/8EI 2P=(ql2/2l)l =ql4/2EI （3）、解方程 （求解未知量）力法方程：（可消去 l3/EI） 4/3 X 1 -X
17、 2 - 5ql/8 = 0 -X1+4/3X2+ ql/2 = 0解出： X 1 =3ql/7 X2 = - 3ql/56（4）、作内力图弯矩图M =M1X1+M2X2+MP=3ql/7M1-3ql/56M2+ MPMBC=3ql/7l-3ql/560-ql2/2= - ql2/14 (上边受拉)MBD=3ql/70-3ql/56l+0 = - 3ql2/56 (上边受拉)MBA=3ql/7(-l) -3ql/56l+ql2/2=ql2/56=MAB (右边受拉)弯矩图：剪力由杆件平衡计算； 轴力由结点平衡计算24ql/564ql2/56 -32ql/563ql2/563ql/563ql/5
18、624ql/5632ql/563ql/56FQ图FQBC=FQBD=FN图5ql/832ql/563ql/56 -5ql/8FNBA=讨论：1、一个超静定结构,可选不同的基本体系进行计算。当然希望选择计算较为简便的。本题如选第二个基本体系，则有：12=21=0。（为什么？）力法方程可写为： 11X1+1P = 0 22X2+2P= 0 2、荷载作用下超静定结构反力、内力的特点： 多余力（反力、内力）的大小只与各杆件的相对刚度有关，而与其绝对刚度无关，同一材料所构成的结构，其反力内力也与材料的性质（弹性模量）无关。 右上图刚架的各杆弯矩值与例题中各杆的弯矩值是否相同？如如不同，为什么？不同，为什
19、么？3、变形曲线草图可根据弯矩图大致画出。2、铰接排架计算特点：横梁 : EA=柱: 计算中注意计算中注意阶梯柱阶梯柱的的图的图的图乘图乘问题。问题。例：用力法计算图示两跨不等高排架解：超静定次数 n=2 ，选基本体系和基本未知量，力法基本方程： 11 X1+12 X2+1P = 0 21 X1+22 X2+2P = 0 基本体系和基本未知量 1 、 2 为切口处两个截面的轴向相对位移。变形条件为：切口处的两个截面沿轴向应仍保持接触，沿轴向的相对位移为零。提问：提问：（1）如果水平杆的EA，是有限值，力法方程是否与上面的列法一致？在计算方程的系数时应注意些什么？（2）选取基本体系时如将水平杆拿
20、掉，方程应如何列？（水平杆的EA= 或EA，有何区别？）2、系数和自由项11 =（1/266)2/36/EI1 +(1/266)2/36/EI2 =504/EI222=21/233)2/33/EI1 +2 (1/237)(2/33+1/310) +(1/2107)(1/33+2/310)/EI2 =2270/3EI216/323/312=21=-(1/266)(2/310+1/34) = - 144/EI21P= 02P= -(1/2201)(8/93)/EI1 +(-1)(1/2207)(2/33+1/310) +(1/21607)(1/33+2/310)/EI2 = - 14480/EI2
21、3、解方程（消去1/EI2）504X1 -144X2 = 0-144X1+2270/3X2-14480/3 =0 X1=1.927kN X2=6.745kN 4、作弯矩图 M=1.927M1+6.745M2+MP最后内力： FN=FN1X1+FN2X2+ +FNnXn+FNP5 4 超静定桁架和组合结构计算特点：系数:自由项:1、超静定桁架例：用力法计算图示桁架，各杆EA=常数解：超静定次数 n=1 ，选基本体系如图所示。 注意斜杆12不是去掉，而是截断。 力法方程为： 11X1+1P = 0FPFPX1计算过程:FN1FPFPFPFPFP-FP-FPFNPX1=1习惯上列表计算杆件 l FN
22、1 FNPFN1FNPl 01 a-1/2 01/2a 0+FP /2 13 a-1/2 -FP1/2aFPa /2 - FP /2 23 a-1/2 -FP1/2aFPa /2 - FP /2 20 a-1/2 01/2a 0 +FP /2 032a +12FP2a 2FPa 2FP/2 122a +1 02a 0-2FP/2 2(1+2)a(2+2) FPa FN12lFN讨论：讨论： 1、桁架中的杆件（EA=常数）不是去掉而是截断，计算ij时，不能忘记被截断杆的轴力。如忘记会出现什么问题？ 如在上题选基本体系时，去掉12杆，则力法方程应怎样写呢？ 11X1+1P = - X1l /EA
23、为什么？FPX1X1 2、桁架计算中，一般列表进行计算。 3、超静定桁架常见形式包括：多跨连续式桁架、双重腹杆桁架。要使力法方程计算简便选基本体系是关键；原则：尽量使基本体系在未知单位力作用下，许多杆的轴力为零。X1X2 请考虑以上两个基本体系，哪一个计算起来更方便？X1X2X3X4X1X2X3X42、超静定组合结构计算特点：梁式杆： 二力杆：只考虑轴向变形对位移的影响例: 图示加劲式吊车梁,横梁和竖杆由钢筋混凝土做成,斜杆为16锰圆钢,各杆刚度如下:梁式杆AB: EI=1.989104 kNm2二力杆AD、DB: EA=2.464105 kN二力杆CD： EA=4.95105 kNABCD3
24、m3m1m1.5mFP=74.2kNABCDFPX1基本体系解： 此结构是一次超静定的，取基本体系如图所示。力法典型方程为： 11 X1+1P = 0ABCD X1=1 作M1图，并求各杆轴力。 作MP图。 求系数和自由项。3/2-10/2-10/2ABCDFP83.47555.65 MP 图（kNm）FNP=0 M1 图（m）FN111= FN12 l /EA+M12 dx/EI = 29.786910 -8 m/N1P= FN1 FNP l /EA+M1MP dx/EI=1154.129010 -5 mX1= - 1P / 11 = - 38746 N= - 38.746kN按下列公式计算
25、最后内力M = - 38.746 M1+MP FN = - 38.746FN1+FN PFP M 图（kN m）FN1 ( kN )54.4162.46961.26361.263- 38.7465、讨论：（1）下部桁架部分支撑力为38.746kN 时，横梁最大弯矩为54.416kNm。（2）如没有下部桁架支撑，则最大弯矩为83.475kNm ，由于下部桁架的存在，弯矩减小了 34.8%。（3）超静定结构内力分布与横梁和桁架的相对刚度有关。下部链杆截面小，弯矩图就趋向于简支梁的弯矩图；下部链杆截面大，弯矩图就趋向于连续梁的弯矩图。（4）提问：如果横梁特别“软”，结果会怎样？5-9、支座移动及温度
26、改变时超静定结构计算、支座移动及温度改变时超静定结构计算一、温度改变对超静定结构的影响一、温度改变对超静定结构的影响1、特点：、特点： 静定结构静定结构温度改变时，有变形和位移，但温度改变时，有变形和位移，但不产生反力和内力。不产生反力和内力。 超静定结构超静定结构温度改变时，有变形和位移，温度改变时，有变形和位移，同时产生反力和内力同时产生反力和内力(称为自内力称为自内力)。 其中：其中： 均匀温度改变产生轴向变形；均匀温度改变产生轴向变形； 不均匀温度改变产生轴向变形和弯曲变形；不均匀温度改变产生轴向变形和弯曲变形； 无剪切变形。无剪切变形。 静定结构静定结构 超静定结构超静定结构2、力法
27、分析原理，公式、力法分析原理，公式 （1）、原理：基本体系在温度改变和多）、原理：基本体系在温度改变和多 余未余未知力的共同作用下，去掉多余约束处的位移应与知力的共同作用下，去掉多余约束处的位移应与原结构的位移相同。原结构的位移相同。 (请同学们自己考虑力法典型方程的形式请同学们自己考虑力法典型方程的形式) （2）、力法基本方程：）、力法基本方程： （以两次为例）（以两次为例） 11 11 X1+12 12 X2+1t = 0 21 21 X1+22 22 X2+2t= 0 11 11 X1+12 12 X2+1t = 0 21 21 X1+22 22 X2+2t = 0式式 Kt温度改变在基
28、本体系中产生的沿温度改变在基本体系中产生的沿XK方向的方向的位移。位移。注：计算系数时，刚架只考虑弯曲变形；计算自由项注：计算系数时，刚架只考虑弯曲变形；计算自由项时，刚架要同时考虑弯曲和轴向变形时，刚架要同时考虑弯曲和轴向变形(3)、因为基本结构是静定的，故：、因为基本结构是静定的，故：例：例： 图示刚架，浇注图示刚架，浇注混凝土时室内外温度混凝土时室内外温度为为+15o C，冬季室外为冬季室外为-35o C，室内为室内为+15o C。 各杆件各杆件EI=常数常数， E=2106N/cm2 =2107kN/m2 , =10-5。试作内力图。试作内力图。l =4ml =4m - 350 C +
29、150 C 解解： （1）基本体系如图，）基本体系如图，n=1。 典型方程：典型方程： 11 11 X1+1t= 0 （2）计算系数和自由计算系数和自由项。项。X1t1= - 500 Ct2= 00 C 注：注：t1、t2、是里外两面各自的温度改变量是里外两面各自的温度改变量 。故。故有：有： t1= - 350 C - 150 C= - 500 C t2= 150 C - 150 C= 00 C 11=(ll)l+(1/2 ll)2/3l/EI =4l3/3EI I=bh3/12=7.210-3m4X1t1= - 500 Ct2= 00 CX1=1M 图lFN 0-1X1t1= - 500
30、Ct2= 00 CX1=1M 图l0-1to=(-35-15)+(15-15)/2=1/2(-35+15)-15= -25oCt=0-(-50)=50oC1t = (-25)(-1)l - 50/h(l2+1/2l2) = +25 l - 75l2 /h = -1900 FN （3）、解方程 X1 = -1t / 11 =1900 3EI/(4l3) =22.27EI（4）、作内力图 M AB =X1 M1= 22.27EI4 = 89.08EI =128.3 k N m （左拉） FNAB =X1 FN1= 22.27EI(-1) = - 22.27EI = - 32.01 k N （压力）
31、M(kNm)FN (kN)讨论： （1）、力法方程中的自由项it是由于基本体系温度改变引起的位移。 （2）、温度改变引起的内力与各杆的绝对值有关。温度一定，截面尺寸愈大，内力也愈大；如要改善受力，加大截面尺寸不是唯一有效的途径。 （3）、结构内力全部由未知力引起的（自内力）。 （4）、杆件有温度改变时，弯矩图的竖标出现在降温面。升温面产生压应力，降温面产生拉应力（与静定结构不同）。在钢筋混凝土结构设计中，应特别注意降温面可能出现的裂缝。二、支座移动时的计算二、支座移动时的计算1、特点： 静定结构：在支座移动作用下，只有刚体位移，无弹性变形；不产生反力、内力。 超静定结构：在支座移动作用下，有弹
32、性变形，有位移；有反力、内力（称为自内力）。 因为，超静定结构有多余约束。2、力法分析原理、公式（1）原理： 基本体系在多余未知力和支座移动共同作用下，在去掉多余约束处的位移应与原结构该处的位移相同。（2）力法方程（以两次超静定为例）： 11X1+12X2+1C= 1 21X1+22X2+2C= 2 方程的右端项，视所取的基本体系不同而定。注： 用力法求解支座移动作用下的超静定结构，关键问题是: （1）由于基本体系选取不同，力法方程的右端项K=？不同。 （2）方程自由项KC的定义：KC基本体系发生支座移动时，产生 的沿XK方向的位移。 KC= - FR KcK例： 图示一等截面梁AB ，左端为
33、固定端，右端为可动铰。 如左端支座转动角度已知为，右端支座下沉距离已知为a，求梁中引起的自内力。ABla基本体系X1ABa解： 此梁为一次超静定。基本体系为悬臂梁。 变形条件为基本体系在B点的竖向位移1应与原结构相同。 原结构B点的竖向位移已知为a，方向与X1相反，故变形条件可写为： 1= - a基本体系X1ABa 力法方程为： 11 X1 +1C = - aABlX1=1lM1计算系数和自由项:11 = (1/2ll)(2/3l) /EI =l3/3EI1C = - FR1 c1 = -( l )= - l 1=代入力法方程： 11 X1 +1C = - a l3/3EI X1 - l =
34、- a 解出： X1 = 3EI ( a / l ) /l2将代入弯矩叠加公式： M=M1 X1 作出弯矩图如图所示。3EI (a/l) /lM 图说明： 1、支座移动时的计算特点： （1）、力法方程的右边可能不为零。 （2）、力法方程的自由项是由支座移动产生的。 （3）、内力全部是由多余未知力引起的。 （4）、所有内力与杆件EI的绝对值有关。2、取不同的基本体系计算 若取右图简支梁作基本体系 ，则变形条件为： 简支梁在A点的转角应等于给定值 。 力法方程为： 11 X1 +1C= ABX1 a la1=a/lX1=1 M111/l 计算系数和自由项:11 = 1/EI(1/21l)(2/31
35、)=l/3EI1C = - FR1c1 = -( - l/la )= a/l 由此求得： X1 = 3EI ( a / l) /l思考： 若取右图所示的基本体系，力法方程的形式如何？ 方程右边等于多少？ 力法方程的自由项应为多少？X1 a 例：图示刚架支座A发生水平位移a，竖向位b=4a，转角位移=a/l，用力法求解，作M图。解：（1）基本未知量n=2,力法方程 :11X1+12X2+1C= 1 21X1+22X2+2C= 2 解法：取基本体系如图，力法方程中：1= - a(与X1方向相反) 2 = (与X2方向一致)11X1+12X2+1C = -a 21X1+22X2+2C= 2、计算系数
36、和自由项：11=(1/2ll)2/3 l/EI+(1/2ll) 2/3l/2EI=l3/2EI22=(1/21l)2/31/EI+ (1l)1/2EI=5l/6EI12=21=(1/2ll) 2/3l/EI+ (1/2ll)1/2EI =7l2/12EI1C = -(1b)=-b2C = -(1/lb)=-b/l3、列方程，求解:（a,b均写为的函数，a=l,b =4l )4、内力图由于基本结构是静定的，支座移动在基本结构中不产生反力、内力，故原结构的内力均为多余力引起的。 M=X1M1+X2M2MBA= -60/11EI/l2l+ 108/11 EI/ll =48/11EI/l（右边受拉）M
37、AB= -60/11EI/l20+ 108/11 EI/ll =108/11EI/l（右边受拉）48/11EI/l108/11EI/l解法：力法方程：11X1+12X2+1C = 1 21X1+22X2+2C= 2其中： 1= 0 ， 2 = 0 。所以：11X1+12X2+1C= 021X1+22X2+2C= 011= l3/6EI 22= 5l3/6EI12 = 21= l3/4EI 1C = -1a+l = -a- l= -2l2C= - 1b+l = -b l= - 5l讨论：与荷载作用下的结构计算比较 （1）、取不同的基本体系进行计算，力法方程的右端项有所不同。（为什么？） （2）、
38、力法方程中的自由项KC是由于基本体系发生支座移动，在基本体系中沿多余力方向的位移。（如果所选基本体系的支座移动为零，则KC必为零，正确否？） （3）、支座移动作用下，超静定结构各杆内力与杆件EI的绝对值有关。（为什么？） （4）、结构内力全部由未知力引起的（自内力）。思考：（1）、“无荷载就无内力。”适用范围？（2）、支座移动、温度改变与荷载作用下，超静定结构计算有何异同？（3）、当超静定结构发生制造误差时，如何用力法计算？（4）、计算超静定结构时，在什么情况下，只需给出各杆EI的相对值？在什么情况下，必须给出各杆EI的绝对值？5-10 超静定结构位移的计算一、超静定结构的位移计算一、超静定结
39、构的位移计算 原理：虚功原理。 方法：虚单位荷载法。 注：荷载作用下的最后内力图和相应的单位注：荷载作用下的最后内力图和相应的单位内力图，需按超静定结构的计算方法求出。内力图，需按超静定结构的计算方法求出。（一）、虚拟状态的选取1、虚拟力状态选取在超静定结构上。相应FP=1作用在超静定结构（原结构）上。如前例，求B结点的转角位移B。由图乘法可得如下结果：B = -ql3/56EI (逆时针）2、一般作法：利用基本结构求原结构的位移用静定结构(基本体系)的虚拟状态,即:将相应的单位力加在基本体系上。要点：原结构的内力变形（位移）= 基本结构在外因和多余力共同作用下的内力变形（位移）求原结构的位移
40、问题 求基本结构的位移问题B = -(ql2/56l) 1/EI =-ql3/56EI (逆时针） 由于计算超静定结构时可采用不同的基本结构，（超静定结构的最后内力变形并不随所取的基本结构不同而异），所以可以将单位力加在任一相应的基本结构上。 由图乘可得： B = -ql3/56EI (逆时针）（二）、超静定结构在荷载，支座移动，温度 改变等因素作用下的位移计算公式1、荷载作用、荷载作用 设超静定结构在荷载作用下的内力为M、FN、FQ，杆段微段变形为： 位移公式为：M、FN、FQ取自任一与原结构相应的基本体系。2、支座移动（以超静定刚架为例）、支座移动（以超静定刚架为例） 设超静定结构在支座移
41、动作用下内力为M，杆件微段变形为：=M/EI。位移公式为： i=FRici FRi取自任一与原结构相应 的基本体系，为单位荷载作用下该基本体系的支座反力。 3、温度改变（以超静定刚架为例）、温度改变（以超静定刚架为例） 设超静定结构温度改变时内力为M，这时，除内力引起的弹性变形外，还有微段在自由膨胀条件下由温度引起的变形，即：例：图示结构，求B 。其中a= l,b=4l解解：刚架的弯矩图已作出。取基本体系如图(a)=B= MiMds/EI - R ck = - (1/248/11EI/l l)2/31/EI - 1/l(-b) =-16/11+4 =28/11 （逆时针）（一）、超静定结构总校
42、核依据： 结构的最后内力图应满足平衡条件和变形（位移）条件。 从超静定结构解答唯一性定理出发，结构的最后内力图应满足两个条件。满足平衡是必要条件，但不充分；同时满足变形条件，才是充分的。 5-11 超静定结构的校核 尤其是力法计算结果，力法方程本身是变形条件方程，如要检查校核，则必须使用变形条件。 1、平衡条件：用计算中未用过的平衡条件，一般取杆件或结点隔离体校核其是否平衡。 2、变形条件：因为多余力是由变形条件得出的，最后内力图是将多余力视为主动力，按平衡条件作出的，多余力有误，平衡条件不能反映，必须用变形条件。（二）、变形条件校核1、一般作法： 任意选取基本体系，任取一个多余未知力Xi，根
43、据内力图算出沿Xi方向的位移i，检查i是否与原结构中的相应位移（给定值）相等。 即： i =给定值2、荷载作用 =0 对刚架一般只校核弯矩图。 当结构为无铰封闭框格刚架时，校核封闭框格的任一切口截面两侧的相对转角，取杆中任一截面弯矩为多余未知力MK=1，变形条件为：(以刚架为例)当结构中只受荷载作用，沿封闭框格的M/EI图形总面积之和等于零。0例：校核例题的弯矩图解： 取基本体系如图，用右支座处的反力为X1。验证 DV=0DV=-(1/23ql2/56l) (2/3 l)+(ql2/56l)l/EI =-ql4/56+ ql4/56/EI = 0满足变形条件，弯矩图正确。例：校核图示刚架的弯矩
44、图6m6m q=14kN/m3EI2EI2EI28.8115.263.046.861.2M 图 (kNm) 图示刚架为一封闭框格,弯矩图如右图所示。要校核其弯矩图正确与否，可校核任一截面相对转角是否为零。28.8115.263.046.861.2M 图 (kNm)XK=11111MK 图 -(1/2115.26) + (1/228.86) +(1/2 63.06)-(1/246.86)+(1/261.26)/2EI +-(1/246.86) +(1/228.86) / 3EI = -3.6/EI + 21.6/EI -18/EI =03EI2EI2EI例：定性地判断下列弯矩图的正误。FP请改正
45、请改正5-5、 对称结构的计算一、选取对称的基本体系一、选取对称的基本体系1、什么是结构的对称性（1）、结构的几何形状和支承情况，对某轴（或点）对称。（2）、杆件的截面和材料性质，对此轴（或点）也对称。2、对称简化的目的 （1）、使力法方程中尽可能多的副系数和自由项为零。 关键：选择合理的基本体系，以及设置适宜的基本未知量。 一个极端情况（n次超静定） 11X1+1P = 0 21X1+2P = 0 n1X1+nP = 0 （2）、根据结构的对称性，有时可较简便地定性分析结构的内力和变形。3、选取对称的基本体系 选取对称的基本体系，并取对称力或反对称力为基本未知量。 如图，一对称结构，沿对称轴
46、截面切开，得到一个对称的基本体系。X1、X2正对称未知力；正对称未知力；X3 反对称未知力反对称未知力。X1X3X2X1、X2引起的内力、变形是正对称的；X3引起的内力、变形是反对称的。分析系数：13=31= 023=32= 0X1X3X2X1=1X3=1X2=1 如有荷载作用，则方程简化为： 11X1+12X2+ 1P = 0 21X1+22X2+ 2P = 0 33X3+ 3P = 04、考虑两种荷载情况（1）、对称荷载作用FPFPFPFPX1X2FPFPFPFP MP图是对称的，有3P=0 因此,反对称未知力X3=0； 只有正对称未知力X1，X2。 故：M=M1 X1+M2 X2+MP
47、最后弯矩图也是正对称的。 结论结论：对称结构在正对称荷载作用下，反对称未知力必为零，结构所有的反力、内力及变形均为正对称的。 提问：弯矩图和轴力图是正对称的，剪力图却是反对称的，这是为什么？（2）、反对称荷载FPFPX3FPFPFPFPFPFP MP图是反对称的，有1P=0，2P=0。 因此,正对称未知力X1=0，X2=0。 只有反对称未知力X3。 故：M=M3 X3+MP 最后弯矩图也是反对称的。 结论结论：对称结构在反对称荷载作用下，正对称未知力必为零，结构所有的反力、内力及变形均为反对称的。 提问：弯矩图和轴力图是反对称的，剪力图却是正对称的，这是为什么？5、 荷载分组 任何非对称荷载均
48、可分解为两部分，即：正对称荷载和反对称荷载。 对称结构受一般荷载作用，可将荷载分为正、反对称两组，分别作用在结构上进行计算，然后将结果叠加，起到简化计算之效果。FPqMFP /2FP /2q /2M /2M /2FP /2q /2M /2FP /2M /2二、未知力分组 在某些情况下，一些对称结构选用了对称的基本体系，但其相应的多余未知力，既非正对称，又非反对称。 在此可采用未知力分组的方法。 同样可使方程分为两组，一组只包括正对称未知力，另一组只包括反对称未知力。如图：n=4,取对称基本体系，但任何一个 基 本未知量都不是对称或反对称的。FP qFPqX1X2X3X4FPq 利用未知力分组，
49、组成广义未知力： XA=X1+X2, XB=X1-X2; YA=Y1+Y2, YB=Y1-Y2;力法方程中：12=21= 0，14=41= 0， 23=32= 0，34=43= 0。 方程变为两组，为两个二元一次线性方程组。例：作图示结构的弯矩图。各杆EI=常数20kN20kNX2X1X3X4 10kN10kN10kN10kN解解: 1、荷载分组 分析： （1）、原结构超静定次数为4。如选对称的基本体系，如上图，4个基本未知量可分为两组： X2 X3 X4正对称未知力； X1 反对称未知力。 (2)、正对称荷载作用情况：（在此，我们假设忽略刚架各杆的轴向变形和剪切变形，弯曲变形非常小）。因此，
50、当图示正对称荷载作用时，只有杆中有轴向压力FP /2=10kN，其它杆中无内力。 因为在刚架计算中，忽略轴向变形的影响，在此条件下，上述内力情况不仅满足平衡条件，也满足变形条件，是真正的内力状态。 可知： X2= - 10， X3= X4=0。 提问：、如果在刚架计算中，考虑各杆的轴向变 形的影响，则上述内力状态是否正确？ 、请同学自行验证对称荷载作用下结构的 内力，考虑弯矩图全为零这个结果是否正确？ （3）、反对称荷载作用情况： 由反对称荷载作用分析可知（对称结构在反对称荷载作用下，正对称的未知力必为零），图示基本体系下，X2 = X3 = X4=0，只有X1有值，由此计算出的反对称荷载作用
51、下的弯矩图即为原结构的弯矩图。 2、力法方程： 11X1+1P = 0 3、作M1 、MP图， 求11 、1P 。 EI11=(1/233) 2/334+ (33)32 =9010kN10kNX1X1=110kN10kNX1=1EI1P =(1/2303) 32+(1/2603) 2/332 =6304、解方程： X1=-1P/11 = - 630/90 = - 7kN5、作弯矩图M=X1M1+MP20kN习题课：超静定结构的计算力法 重点重点：熟练掌握用力法求解荷载作用下的超静定结构。 要求要求： 1、准确地判定超静定次数，正确地选用基本体系。 2、掌握力法的基本原理：力法的一般作法；力法方
52、程的物理意义。 3、理解结构在支座移动、温度改变作用下，力法方程的特点。会计算超静定结构的位移；并能校核超静定结构的最后内力图。 4、会利用对称性简化计算。复习： 力法方程： 方程的物理意义；方程左右式的意思。 各系数ik的物理意义和计算方法。 自由项iP的物理意义和计算方法。举例： 11X1+1P=0FPFPX1FPFPX1FPFPX1FPX111X1+1P=011X1+1P=011X1+1C= - c11X1+1P= - X1/k习题一： 判断体系超静定次数，选基本体系。1）n=3n =62）n=93）习题二 1、 用力法计算图示结构，作弯矩图。各杆EI=常数。lllqqX1qX1qX1解：1、基本未知量；基本体系。lllqqX11llM1X1=1qql2/8MP 2、作M1、MP图，计算系数。 11=(2/EI)(1/2ll)(2/3l)+ (1/2ll/2)(2/3l)= l3/EI 1P=0 X1=0 M=MPql2/8 2、图示连续梁结构，各杆EI=常数。讨论基本体系的选取。qFPqFPX1X2X3X4X5qFPX1X2X3X4X53、 用力法计算图示结构，作弯矩图。各杆EI=常数。ADGBCF 12m 16m 12m9m30kN/mX1X3X2基本体系绘Mi、MP图，求各系数。X1=1X2=1X3=19918960 540960 M1M2M3MP
