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1、2.1 一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布刘妍丽主讲刘妍丽主讲随机变量离散型非离散型连续型混合型（奇异型）分布分布列密度函数分布函数一、一维随机变量一、一维随机变量l1、符号表示：用大写字母、符号表示：用大写字母X,Y,Z,表示；表示；随机变量的取值用小写字母随机变量的取值用小写字母x,y,z,表示。表示。l2、引入作用：把随机事件数量化、引入作用：把随机事件数量化l3、定义：实值函数、定义：实值函数X= ,使样本空间使样本空间 实数实数l4、分类：、分类： 离散型：取值有限个或无限可列个离散型：取值有限个或无限可列个 非离散型非离散型 连续型：取值充满区间连续型：取值充满区间 混合型：
2、既非离散型又非连续型混合型：既非离散型又非连续型举例说明随机变量的定义举例说明随机变量的定义l研究产品，有放回抽样。研究产品，有放回抽样。 一次检验的产品不合格率为一次检验的产品不合格率为p.l（1）一个产品。）一个产品。X表示不合格品数，则取值为表示不合格品数，则取值为0,1l（2）两个产品。）两个产品。X表示不合格品数，则取值为表示不合格品数，则取值为0,1,2X01P1-ppX012Pl三个产品。三个产品。 X表示不合格品数，则取值为表示不合格品数，则取值为0,1,2,3ln个产品。个产品。 X表示不合格品数，则取值为表示不合格品数，则取值为0,1,2,3,nl这就是这就是二项分布二项分
3、布（常见的离散分布）（常见的离散分布）X0123P二、分布函数二、分布函数l1、DEF X的分布函数的分布函数可以看作可以看作 的概率累加的概率累加所有区间的概率都可以用所有区间的概率都可以用Xx的概率表示出来的。的概率表示出来的。l2、分布函数的运算、分布函数的运算abxxxabxxx3、分布函数的性质、分布函数的性质l（1）单调性单调性由单调性得，由单调性得，即即l（2）有界性有界性： 根据概率的非负性，得到根据概率的非负性，得到l（3）右连续性右连续性：证明：证明：例例2.1.1 构造分布函数构造分布函数X解：令X表示此点到圆心的距离，则取值0,rrxr1 几何概率例例2.1.2 判断是
4、否为分布函数判断是否为分布函数l（1）xF(x)10单调性有界性右连续性左连续性（Cauchy）柯西分布）柯西分布F(x)是分布函数。是连续型随机变量的分布函数。单调有界的连续函数（2）c1xF(x)单调性有界性右连续性F(x)是分布函数。是离散型随机变量的分布函数。单调有界的右连续阶梯函数单点分布单点分布（3）xF(x)011单调性有界性右连续性F(x)是分布函数。但X既不是离散型也不是连续型三、分布列三、分布列离散型随机变量离散型随机变量l1、DEF列表描述列表描述 XP.l2、性质、性质（1）非负性）非负性（2）正则性）正则性例例2.1.3用于判定是否为分布列3、常见计算、常见计算l（1
5、）分布列）分布列l（2）分布列）分布列分布函数例例2.1.4概率l（3）分布函数）分布函数l（4）分布函数）分布函数分布列例例2.1.4概率常见分布常见分布l单点分布单点分布lX取值单点取值单点l分布列分布列 P（X=c）=1l分布函数分布函数 F(x)=01XcXc 其它例子其它例子:例例2.1.5l解：令解：令X表示首次遇到红灯前已通过的路口数，取值为表示首次遇到红灯前已通过的路口数，取值为0,1,2,3。因为每个信号灯显示红灯信号的时间相等，所以因为每个信号灯显示红灯信号的时间相等，所以P（红灯）（红灯）=P（绿（绿灯）灯）=1/2法一：根据古典概率法一：根据古典概率法二：根据独立性法二
6、：根据独立性Ai=“第第i个信号灯红灯个信号灯红灯”，i=1,2,3P(X=0)=P(A1)=1/2X0123P四、密度函数四、密度函数连续型随机变量连续型随机变量l1、DEF 则则p(x)为密度函数。为密度函数。l2、性质、性质（1）非负性）非负性（2）正则性）正则性 判定是否为密度函数判定是否为密度函数l3、常见计算、常见计算（1） （3） （2） （4）例例1.2.7 均匀分布均匀分布l解：解：例例2.1.8 三角分布三角分布五、比较离散型与连续型五、比较离散型与连续型密度函数单调有界、连续函数连续型（ 是阶段点）其它情况为0分布列单调有界、右连续、阶梯函数离散型区间的概率点的概率特有分
7、布描述分布函数取值六、应用六、应用l例例2.1.10解：解：X表示寿命，则表示寿命，则例例2.1.11l解：解：X表示这个点的坐标，取值（表示这个点的坐标，取值（0， a）例例2.1.12习题习题2.1 16题题 P(x)偶函数的分布函数的特殊性质偶函数的分布函数的特殊性质l（1）（2）（3）例例2.1.3 掷两颗骰子掷两颗骰子l(1)令令X为点数之和，则为点数之和，则X取值取值2,3,12X23456789101112P因为总数确定，只须定第一颗骰子的可能性，则第二颗骰子就确定了。l（2）令）令Y为点为点6的个数，则的个数，则Y取值为取值为0,1,2Y012Pl（3令令Z为最大点数，则为最大点数，则Z取值为取值为1,2,3,4,5,6Z123456P例例2.1.4 由分布列求分布函数，求概率由分布列求分布函数，求概率X-123P0.250.50.25分布列分布函数例例2.1.4 由分布函数求分布列，求概率由分布函数求分布列，求概率X-123P0.250.50.25分布函数分布列
