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1、第九章圆锥曲线与方程 第一课时椭圆的定义与方程第九章圆锥曲线与方程第一课时考纲要求掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程.第九章圆锥曲线与方程第一课时第九章圆锥曲线与方程第一课时知识梳理一、椭圆的定义平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长2a 的点的轨迹叫做_，即点集MP| |PF1|PF2|2a, 2a|F1F2|是椭圆；其中两定点F1，F2叫_，定点间的距离叫_(2a 时，点的轨迹为线段F1F2,2ab0)；焦点在y轴上： 1(ab0)三、点P(x0，y0)和椭圆 1(ab0)的关系1点P(x0，y0)在椭圆外_；2点P(x0，y0)在椭圆上_；3点P(x0，y0)在椭圆内_.第九章圆锥曲
2、线与方程第一课时答案：三、1. 12. 13. 1第九章圆锥曲线与方程第一课时基础自测1(2011年上海闸北区模拟)设P是椭圆 1上的点若F1，F2是椭圆的两个焦点，则 等于()A4B5C8 D10 解析： 由椭圆的第一定义知 2a10.答案：D第九章圆锥曲线与方程第一课时2(2012年北京海淀区模拟)已知椭圆 1，长轴在y轴上若焦距为4，则m等于 ()A4 B5 C7 D8解析：由题意得m210m且10m0，于是6m4)，由椭圆的定义知点C的轨迹是椭圆，其中a3，c2，b ，但点C、A、B不能共线，因此y0.第九章圆锥曲线与方程第一课时动点C的轨迹方程为： 1(y0)点评：(1)求椭圆的标准
3、方程关键是确定a，b的值；(2)由椭圆的一个短轴端点，一个焦点，中心O为顶点组成的直角三角形在求解椭圆问题中经常用到；(3)注意利用椭圆的定义解题，常常会起到事半功倍的效果第九章圆锥曲线与方程第一课时变式探究4椭圆的对称轴在坐标轴上，长轴是短轴的2倍，且过点(2,1)，则它的方程是_答案：第九章圆锥曲线与方程第一课时 已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为 和 ，过点P作长轴的垂线，恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程思路分析：由题设条件设出椭圆的标准方程，求出焦距与长轴长是求解本题的关键因椭圆的焦点位置未明确在哪个坐标轴上，故应有两种情况解析：设椭圆的两个焦点分别为F1，
4、F2，|PF1| ，|PF2| ，由椭圆的定义知2a|PF1|PF2|2 ，即a ，由|PF1|PF2|知PF2垂直于长轴所以在RtPF2F1中，4c2|PF1|2 |PF2|2 ，所以c2 ，于是b2a2c2 ，第九章圆锥曲线与方程第一课时又由于所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为点评：求椭圆的标准方程，需要一个定位条件和两个定形条件，通常采用待定系数法解决椭圆中有“六点”(即两个焦点与四个顶点)、“四线”(即两条对称轴与两条准线)，因此在解题时要注意它们对椭圆方程的影响，如在求椭圆的标准方程时，当遇到焦点位置不确定时，应注意有两种结果第九章圆锥曲线与方程第一课时
5、变式探究5已知三点P(5,2)、F1(6,0)、F2(6,0)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程解析：由题意，可设所求椭圆的标准方程为 1(ab0)，其半焦距c6.2a|PF1|PF2|a ，b2a2c245369，故所求椭圆的标准方程为 1.第九章圆锥曲线与方程第一课时 分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1)焦点在坐标轴上，且经过两点P 、Q ；(2)经过点(2，3)且与椭圆9x24y236具有共同的焦点思路分析：对于(1)，由题设条件不能确定椭圆的焦点在哪一坐标轴上，因此应分别设出焦点在x轴、y轴上的标准方程，进行讨论求解；或采用椭圆方程mx2ny21(m0，n0，且mn)直
6、接求解，避免讨论；对于(2)由于椭圆9x24y236的焦点坐标为 ，因而可设所求的椭圆方程为 1(0)，再由题设条件确定的值即可第九章圆锥曲线与方程第一课时解析：(1)解法一：当所求椭圆的焦点在x轴上时，设它的标准方程为 1(ab0)，依题意应有 ，解得 ，因为ab从而方程组无解；当所求椭圆的焦点在y轴上时，设它的标准方程为 1(ab0)，第九章圆锥曲线与方程第一课时依题意应有 ，解得 ，所以所求椭圆的标准方程为 = 1.解法二：设所求椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，且mn)，依题意得 ，解得 ，从而所求椭圆的标准方程为 1.第九章圆锥曲线与方程第一课时(2)因为椭圆9x24y236的
7、焦点坐标为(0， )，从而可设所求的椭圆的方程为 1(0)，又因为经过点(2，3)，从而得 1，解得10或2(舍去)，故所求椭圆的标准方程为： 1.点评：由于题(1)中的椭圆是唯一存在的，为了运算方便，可设其方程为mx2ny21(m0，n0，且mn)，而不必考虑焦点的位置，直接求得椭圆的方程；题(2)中椭圆9x24y236变形为 1，其焦点坐标为F1 ，F2 ， 所设的方程 1(0)是具有共同焦点的F1 ， F2 的椭圆系方程遇到与本题类似的问题，我们可以采用类似的方法来求解椭圆的方程另外本题还可以设方程第九章圆锥曲线与方程第一课时 等解决一般说来，与椭圆 1(ab0)具有相同焦点的椭圆方程可
8、设为 1(min (m，n)，其中|mn|c2.本题实质上运用的也是待定系数法第九章圆锥曲线与方程第一课时6(2010年辽宁卷)设F1，F2分别为椭圆C： 1(ab0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，F1到直线l的距离为 .(1)求椭圆C的焦距；(2)如果 ，求椭圆C的方程第九章圆锥曲线与方程第一课时解析：(1)设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离 c ，故c2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y10，y20，直线l的方程为y (x2)联立得(3a2b2)y24b2y3b40.解得y1 ，y2 .因为
9、，所以y12y2.第九章圆锥曲线与方程第一课时即得a3.而a2b24，所以b .故椭圆C的方程为 1.第九章圆锥曲线与方程第一课时1本课时重点是椭圆的定义、标准方程；难点是理解参数a、b、c的关系及利用定义解决问题关键是注意数形结合，函数与方程的思想，等价转化的运用2思维方式：待定系数法与轨迹方程法3椭圆的定义是解决问题的出发点，如果运用恰当可收到事半功倍之效第九章圆锥曲线与方程第一课时4特别注意(1)椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和小于|F1F2|时，其
10、轨迹不存在(2)椭圆标准方程中两个参数a和b确定了椭圆的形状和大小两种标准方程中，总有ab0；椭圆的焦点位置决定标准方程的类型，并且椭圆的焦点总在长轴上；a、b、c的关系是c2a2b2；在方程Ax2By2C中，只要A、B、C同号且AB，就是椭圆方程第九章圆锥曲线与方程第一课时第九章圆锥曲线与方程第一课时2(2010年福建卷)若点O和点F分别为椭圆 1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则 的最大值为()A2B3C6D8第九章圆锥曲线与方程第一课时解析：由题意，F(1,0)，设点P(x0，y0)，则有 1，解得 ，因为 ，所以 ，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x02，因为2x02，所以当x02时， 取得最大值 236，故选C.答案：C第九章圆锥曲线与方程第一课时
