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1、 2 2246448一般地一般地,形如形如 y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a、b b、c c为常数为常数,a0),a0)的函的函数数,叫做二次函数叫做二次函数.其中其中,x是自变量是自变量,a,b,c分别是函数分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.二次函数二次函数: : 下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？(1) y=3x-l (2) y=2x7 (4) y=x-2 (5) y=(x+3)-x (6) y=3(x-1)+1(1)一次函数的图象是一条一次函数的图象是一条_，(2) 通常
2、怎样画一个函数的图象？通常怎样画一个函数的图象？直线直线列表、描点、连线列表、描点、连线(3) 二次函数的图象是什么形二次函数的图象是什么形 状呢？状呢？ 结合结合图象图象讨论讨论性质性质是是数形结合数形结合的研究函数的重要方法我们得从的研究函数的重要方法我们得从最简单的二次函数开始逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质最简单的二次函数开始逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质x x -3-3 -2 -2 -1-10 01 1 2 23 3y=xy=x2 2画函数画函数y=xy=x2 2的图像的图像解解: (1) : (1) 列表列表9 94 41 10 01 14 49 9(2) (2) 描
3、点描点(3) (3) 连线连线1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5根据表中根据表中x,yx,y的数值在的数值在坐标平面中描点坐标平面中描点(x,y),(x,y),再用平滑曲线再用平滑曲线顺次连接各点顺次连接各点, ,就得到就得到y=xy=x2 2的图像的图像. . 还记得如还记得如何用描点法画一个何用描点法画一个函数的图像吗函数的图像吗? ?y=xy=x2 2x x -3-3 -2 -2 -1-10 01 1 2 23 3y=-xy=-x2 2请画函数请画函数y=y=x x2 2的图像的图像解解:(1) :(1) 列表列表 -9-9 -4-4 -1-10 0-1-
4、1 -4-4-9-9 (2) (2) 描点描点(3) (3) 连线连线 根据表中根据表中x,yx,y的数值在的数值在坐标平面中描点坐标平面中描点(x,y),(x,y),再用平滑曲线顺次连接再用平滑曲线顺次连接各点各点, ,就得到就得到y=-xy=-x2 2的图的图像像. .1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10y=y=x x2 2xyoxyo 从图像可以看出从图像可以看出, ,二次函数二次函数y=xy=x2 2和和y=y=x x2 2的图像都的图像都是一条曲线是一条曲线, ,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在
5、空中所经过的路线在空中所经过的路线. .这样的曲线叫做这样的曲线叫做抛物线抛物线. .y=xy=x2 2的图像叫做抛物线的图像叫做抛物线y=xy=x2 2. .y=y=x x2 2的图像叫做抛物线的图像叫做抛物线y=y=x x2 2. . 实际上实际上, ,二次函数二次函数的图像都是的图像都是抛物线抛物线. .它们的它们的开口向上开口向上或者或者向下向下. .一般地一般地, ,二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c +bx+c 的图像叫做抛物线的图像叫做抛物线y=axy=ax2 2+bx+c.+bx+c. 还可以看出还可以看出, ,二次函数二次函数y=xy=x2 2和和y=y=x x
6、2 2的图像的图像都是都是轴对称图形轴对称图形, ,y y轴是它们的对称轴轴是它们的对称轴. .抛物线抛物线与与对称轴对称轴的的交点交点(0,0)(0,0)叫做抛物线的叫做抛物线的顶点顶点. .抛物线抛物线y=xy=x2 2的的顶点顶点(0,0)(0,0)是它的是它的最低点最低点. .抛物线抛物线y=y=x x2 2的的顶点顶点(0,0)(0,0)是它的是它的最高点最高点. .y=xy=x2 2y=y=x x2 2这条抛物线关于这条抛物线关于y轴对称，轴对称，y轴就轴就 是它的是它的对称轴对称轴. 对称轴、顶点、最低点、最高点对称轴、顶点、最低点、最高点对称轴与抛物对称轴与抛物线的交点叫做线的
7、交点叫做抛物线的抛物线的顶点顶点. 抛物线抛物线 y=x2在在x轴上方轴上方(除顶点外除顶点外)，顶点是它的，顶点是它的最最低点低点，开口向上，并且向上，开口向上，并且向上无限伸展无限伸展; 当当x=0时时,函数函数 y的值最小，的值最小，最小值是最小值是0.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y,y随着随着x x的增大而减小的增大而减小. . 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y, y随着随着x x的增大而增大的增大而增大. . y抛物线抛物线 y= -x2在在x轴下方轴下方(除顶点外除顶点外)，顶点，顶点是它的是它的最高点最高点，开口向下，并且向下无限伸展，开口向下，并且向下无限伸展，当当x=0时
8、，函数时，函数y的值最大，最大值是的值最大，最大值是0.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y,y随着随着x x的增大而增大的增大而增大. . 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y, y随着随着x x的增大而减小的增大而减小. . 抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y = x2y = - x2（0，0）（0，0）y轴轴y轴轴 在在x轴上方轴上方(除顶点外除顶点外) 在在x轴下方轴下方( 除顶点外除顶点外)向上向上向下向下当当x=0时时,最小值为最小值为0当当x=0时时,最大值为最大值为0在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y,y随着随着x x的增大而减小的增
9、大而减小. . 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y, y随着随着x x的增大而增大的增大而增大. . 在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y,y随着随着x x的增大而增大的增大而增大. . 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y, y随着随着x x的增大而减小的增大而减小. . y = x2、y= - x2 在同一坐标系中作二次函数在同一坐标系中作二次函数y= x2和和y=2x2的图象，会是什么样的图象，会是什么样? 探究探究探究探究x x -4-4 -3-3 -2 -2 -1-10 01 1 2 23 34 4y= xy= x2 2例例1.1.在同一直角坐标系中画出函数在同一直角坐标系中画出函数y=
10、xy= x2 2和和y=2xy=2x2 2的图像的图像解解:(1) :(1) 列表列表(2) (2) 描点描点(3) (3) 连线连线1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-51 12 2x x -2-2-1.5-1.5-1 -1 -0.5-0.50 00.50.51 11.51.52 2y=2xy=2x2 28 82 20.50.5 0 00.50.5 2 24.54.58 8 4.54.58 82 20.50.50 00.50.52 24.54.58 84.54.51 12 2 函数函数y= xy= x2 2,y=2x,y=2x2 2的图的图像与函数像与函数y=xy
11、=x2 2( (图中虚线图图中虚线图形形) )的图像相比的图像相比, ,有什么共同有什么共同点和不同点点和不同点? ?1 12 2顶点坐标顶点坐标例例2. .画出函数画出函数y=xy=x2 2、y=2xy=2x2 2、y= xy= x2 2的图象：的图象：1 12 2y=xy=x2 2y=2xy=2x2 2y= xy= x2 21 12 2a0，开口开口都向上都向上;对称轴对称轴都是都是y轴轴;增减性增减性相同相同只是只是开口开口大小大小不同不同二次项系数约大，二次项系数约大，开口越小开口越小顶点顶点都是原点都是原点(0,0)探究探究1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91y
12、o-1-2-3-4-5-10x x -4-4 -3-3 -2 -2 -1-10 01 1 2 23 34 4在同一直角坐标系中画出函数在同一直角坐标系中画出函数y=y= x x2 2和和y=y=2x2x2 2的图像的图像解解:(1):(1)列表列表 (2) (2)描点描点(3)(3)连线连线1 12 2x x -2-2-1.5-1.5-1 -1 -0.5-0.50 00.50.51 11.51.52 2y=y=2x2x2 2-8-8-2-2 -0.5-0.5 0 0 -0.5-0.5 -2-2-4.5-4.5-8-8-4.5-4.5-8-8-2-2 -0.5-0.5 0 0 -0.5-0.5
13、-2-2-4.5-4.5-8-8-4.5-4.5 函数函数y=- xy=- x2 2,y=-2x,y=-2x2 2的图的图像与函数像与函数y=y=x x2 2( (图中虚线图形图中虚线图形) )的图像相比的图像相比, ,有什么共同点和不有什么共同点和不同点同点? ?1 12 21 12 2 y= - x2例例3. .画出函数画出函数y=-xy=-x2 2、y=-2xy=-2x2 2、y=- xy=- x2 2的图象：的图象：1 12 2y=-xy=-x2 2y=-2xy=-2x2 2y=- xy=- x2 21 12 2a 0a0时时, ,抛物线的开口向上抛物线的开口向上, ,顶点是抛物线的最
14、低点顶点是抛物线的最低点, ,a越大越大,抛物线的开口越小抛物线的开口越小 当当a0a0 a0 a0 a0a0时时, ,抛物线的开口向上抛物线的开口向上, ,顶点是顶点是抛物线的最低点抛物线的最低点; ; 当当a0a0 a0 a0 a0 a0 a0 m+10 m m2 2+m=2 +m=2 解解得得:m:m1 1= =2, m2, m2 2=1 =1 由由得得:m:m1 1 m=1 m=1 此时此时, ,二次函数为二次函数为: y=2x: y=2x2 2, ,请同学们把所学的二次函数图象的知识归纳小结。请同学们把所学的二次函数图象的知识归纳小结。y=ax2顶点顶点 对称轴对称轴 开口开口图象图
15、象左侧左侧 右侧右侧x y x ya0a0增增大大(0,0)(0,0)最低点最低点(0,0)(0,0)最高点最高点y y轴轴y y轴轴向上向上向下向下增增大大减减小小增增大大增增大大增增大大减减小小增增大大思考题思考题 已知抛物线已知抛物线y=ax2经过点经过点A（-2，-8） （1）求此抛物线的函数解析式；）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上）是否在此抛物线上。解（解（1）把（）把（-2，-8）代入）代入y=ax2,得得-8=a(-2)2,解出解出a= -2,所求函数解析式为所求函数解析式为y= -2x2.（2）因为）因为 ，所以点，所以点B（-1 ，-4）不在此抛物线上。不在此抛物线上。
