1.1数学物理方程举例和基本概念PPT课件

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1、工程数学工程数学数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数1目录 上页 下页 返回 结束 第一章第一章典型方程与定解条件典型方程与定解条件引言引言如：如：位移、时间、温度、位移、时间、温度、密度、场强，等等密度、场强，等等. 在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。拉普拉斯拉普拉斯想要探索自然界的奥秘就得解微分方程想要探索自然界的奥秘就得解微分方程牛顿牛顿从数量形式上刻画了从数量形式上刻画了由相应由相应的物理定律所确立的的物理定律所确立的某些物某些物理量之间的相互制约关系理量之间的相互制约关系+=泛定方程泛定方程反映的是反映的是同一类物理现

2、象的共性同一类物理现象的共性，和具体条件无关。，和具体条件无关。求解求解2目录 上页 下页 返回 结束 概述性地描述物理系统数学建模中常用的几个物理学定律：概述性地描述物理系统数学建模中常用的几个物理学定律：3目录 上页 下页 返回 结束 一般说来，由于浓度的不均匀，物质从浓度高的地方向浓度低的地方转移，一般说来，由于浓度的不均匀，物质从浓度高的地方向浓度低的地方转移，这种现象叫这种现象叫扩散扩散。例如：气体、液体、固体中都有扩散现象。例如：气体、液体、固体中都有扩散现象。4目录 上页 下页 返回 结束 参考书目参考书目:数学物理方程学习指导与习题解答数学物理方程学习指导与习题解答陈才生陈才生

3、科学出版社科学出版社2010年年数学物理方程与特殊函数学习指南数学物理方程与特殊函数学习指南王元明王元明高等教育出版社高等教育出版社2004年年数学物理方程与特殊函数学习指导与习题全解数学物理方程与特殊函数学习指导与习题全解赵振海赵振海大连理工大学出大连理工大学出版社版社2003年年数学物理方法学习指导数学物理方法学习指导姚端正姚端正科学出版社科学出版社2001年年数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数导教导教导学导学导考导考张慧清张慧清西北工业大学出版西北工业大学出版社社2005年年超星数字图书馆超星数字图书馆（注（注:网络图书馆）网络图书馆）5目录 上页 下页 返回 结束 数学物理方

4、程：数学物理方程：方程的几个基本概念方程的几个基本概念定义：定义：主要指从物理学以及其他自然科学、工程技术中所产生的偏微分方程，有主要指从物理学以及其他自然科学、工程技术中所产生的偏微分方程，有时也包括与此有关的一些常微分方程、积分方程、微分积分方程等。时也包括与此有关的一些常微分方程、积分方程、微分积分方程等。例如：例如：双曲型双曲型抛物型抛物型椭圆型椭圆型典型方程典型方程数学物理方程的发展历史简述数学物理方程的发展历史简述偏微分方程理论的起源可追溯到十八世纪（微积分产生之后），偏微分方程理论的起源可追溯到十八世纪（微积分产生之后）， 人们将力人们将力学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究

5、。学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究。 例如：例如：1715年，泰勒年，泰勒（1746年，达朗贝尔）年，达朗贝尔）研究了弦线振动规律，归结为一维弦振动方程。研究了弦线振动规律，归结为一维弦振动方程。这一这一6目录 上页 下页 返回 结束 讨论吸引了众多数学家的注意。讨论吸引了众多数学家的注意。例如：欧拉（例如：欧拉（1759年）和丹年）和丹贝努利（贝努利（1762年年）在声波的研究中将该方程推广到二、三维。）在声波的研究中将该方程推广到二、三维。这样就由对弦振动的研究这样就由对弦振动的研究开创开创了了数学物理方程数学物理方程这门学科这门学科。随后，人们陆续地了解了流体的运动、弹性体的平衡

6、与振动、热传导、电磁随后，人们陆续地了解了流体的运动、弹性体的平衡与振动、热传导、电磁相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解。律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解。例如：例如：1780年，年，Laplace在研究引力势的工作中提出了在研究引力势的工作中提出了Laplace方程。方程。Euler与与Lagrange在流体力学的工作中，在流体力学的工作中，Legendre和和Laplace在天体力学的工作中都研究了调在天体力学的工作中

7、都研究了调和方程。和方程。 所有这些都所有这些都丰富了丰富了这门学科的内容。这门学科的内容。数学物理问题的研究数学物理问题的研究繁荣起来繁荣起来是在十九世纪，许多数学家都对数学物理问题的是在十九世纪，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。如：解决做出了贡献。如：Fourier（1811年）年），在研究热的传播中，提出了三维，在研究热的传播中，提出了三维空间的热传导方程。他的研究对偏微分方程的发展产生了重大影响。空间的热传导方程。他的研究对偏微分方程的发展产生了重大影响。Cauchy给给出了第一个关于解的存在定理，出了第一个关于解的存在定理，开创了开创了PDE的现代理论的现代理论。到。到1

8、9世纪末，二阶线世纪末，二阶线性性PDE的一般理论已基本建立，的一般理论已基本建立，PDE这门这门学科开始形成学科开始形成。从二十世纪开始，随着现代科学和技术的进步，数学物理也从二十世纪开始，随着现代科学和技术的进步，数学物理也有了新的面貌有了新的面貌。不。不断涌现新的数学物理方程、理论（广义函数论和索伯列夫空间）、方法。断涌现新的数学物理方程、理论（广义函数论和索伯列夫空间）、方法。例如：例如：爱因斯坦方程（引力场），爱因斯坦方程（引力场），Yang-Mills方程（规范场）方程（规范场）7目录 上页 下页 返回 结束 偏微分方程偏微分方程方程中除了含有几个自变量和未知函数外，还含有未知函数

9、的偏导数方程中除了含有几个自变量和未知函数外，还含有未知函数的偏导数( (也可仅含偏导数也可仅含偏导数) )的方程称为偏微分方程。的方程称为偏微分方程。 定义定义一般形式：一般形式：方程的阶方程的阶方程中涉及到的未知函数偏导数的最高阶数称为方程中涉及到的未知函数偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶偏微分方程的阶。方程的分类方程的分类线性偏微分方程线性偏微分方程如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶偏导数都是线性的（一次如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶偏导数都是线性的（一次的），且其系数仅依赖于自变量，就称之为的），且其系数仅依赖于自变量，就称之为线性偏微分方程线性偏微分方程。非线性偏微分方

10、程非线性偏微分方程如果非线性方程对未知函数的一切最高阶偏导数是线性的（一次的），如果非线性方程对未知函数的一切最高阶偏导数是线性的（一次的），则称其为则称其为拟线性偏微分方程拟线性偏微分方程。若非线性方程对未知函数的一切最高阶偏导数是线性的（一次的），而若非线性方程对未知函数的一切最高阶偏导数是线性的（一次的），而其系数不含未知函数及其低阶偏导数，则称其为其系数不含未知函数及其低阶偏导数，则称其为半线性偏微分方程半线性偏微分方程。8目录 上页 下页 返回 结束 对对线性偏微分方程线性偏微分方程而言，将方程中不含未知函数及其偏导数的项称之为而言，将方程中不含未知函数及其偏导数的项称之为自由项自由

11、项。线性偏微分方线性偏微分方程可分为程可分为当自由项为零时当自由项为零时齐次方程齐次方程当自由项为非零时当自由项为非零时非齐次方程非齐次方程2阶阶2阶阶2阶阶4阶阶2阶阶1阶阶1阶阶3阶阶线性线性线性线性线性线性线性线性非线性非线性非线性非线性线性线性非线性非线性非齐次非齐次齐次齐次齐次齐次非齐次非齐次齐次齐次半线性半线性拟线性拟线性拟线性拟线性9目录 上页 下页 返回 结束 2阶阶2阶阶2阶阶非线性非线性半线性半线性非线性非线性拟线性拟线性非线性非线性完全非线性完全非线性偏微分方程具有偏微分方程具有3个特点个特点特点特点1：解的自由度比常微分方程大解的自由度比常微分方程大。这是因为。这是因为

12、n阶常微分方程的解通常依赖阶常微分方程的解通常依赖于于n个任意个任意常数常数；而对；而对n阶偏微分方程，其解通常依赖于阶偏微分方程，其解通常依赖于n个任意个任意函数函数.注注：一般地，任意函数的个数与方程的阶数相等一般地，任意函数的个数与方程的阶数相等.特点特点2：偏微分方程解的存在性，较常微分方程相比，有较大的差别。偏微分方程解的存在性，较常微分方程相比，有较大的差别。注注：常微分方程在相当一般的条件下，解是局部存在的。但偏微分方程也常微分方程在相当一般的条件下，解是局部存在的。但偏微分方程也有在条件非常好的情况下，解在非常小的局部范围内也不存在的。有在条件非常好的情况下，解在非常小的局部范

13、围内也不存在的。特点特点2：解具有叠加性解具有叠加性注注：解的叠加原理对解的叠加原理对任何阶的线性方程任何阶的线性方程都适用，而对都适用，而对非线性方程非线性方程不成立不成立.10目录 上页 下页 返回 结束 定解条件与定解问题定解条件与定解问题定解条件的定义定解条件的定义定解条件是确定数学物理方程解中所含的任意函数或常数，使解具有唯一性定解条件是确定数学物理方程解中所含的任意函数或常数，使解具有唯一性的充分必要条件。的充分必要条件。定解条件的种类定解条件的种类个数：个数：关于时间关于时间t的的n阶偏微分方程，要给出阶偏微分方程，要给出n个个初始条件才能确定一个特解初始条件才能确定一个特解定义

14、：体现物理过程边界状况的数学表达式定义：体现物理过程边界状况的数学表达式种类种类第一类边值条件第一类边值条件第二类边值条件第二类边值条件第三类边值条件第三类边值条件个数：类似于初始条件的情况个数：类似于初始条件的情况由于系统由不同介质组成，在两种不同介质的交由于系统由不同介质组成，在两种不同介质的交界处需给定两个衔接条件界处需给定两个衔接条件由于物理上的合理性的需要，有时还需对未知函由于物理上的合理性的需要，有时还需对未知函数附加以单值、有限、周期性等限制，这类附加数附加以单值、有限、周期性等限制，这类附加条件称为条件称为自然边界条件自然边界条件.11目录 上页 下页 返回 结束 定解问题定解

15、问题初值问题：初值问题：由泛定方程和初始条件构成的定解问题，也称为柯西由泛定方程和初始条件构成的定解问题，也称为柯西（Cauchy）问题）问题.边值问题：边值问题：由泛定方程和边值条件构成的定解问题由泛定方程和边值条件构成的定解问题.混合问题：混合问题：由泛定方程和初、边值条件构成的定解问题由泛定方程和初、边值条件构成的定解问题.注意：注意：泛定方程只能反映和描述同一类现象的共同规律，即共性泛定方程只能反映和描述同一类现象的共同规律，即共性.定解条件定解条件描述物理问题的特性，即个性。二者构成了描述具体物理问题的定解描述物理问题的特性，即个性。二者构成了描述具体物理问题的定解问题（数学模型）问

16、题（数学模型）.定解问题、微分方程的解、定解问题的适定性定解问题、微分方程的解、定解问题的适定性微分方程的解微分方程的解假设方程的阶数为假设方程的阶数为n，若函数，若函数u在所考虑的区域内具有在所考虑的区域内具有n阶的连阶的连续偏导数，且代入方程后能使方程成为恒等式，续偏导数，且代入方程后能使方程成为恒等式，则称则称u为为方程的方程的解解（或（或古典解古典解）.若方程解若方程解u的表达式中含有的表达式中含有n个任意常数（或函数），则称个任意常数（或函数），则称u是方是方程的程的通解通解（或（或一般解一般解）.通过定解条件确定了通解中的任一常数（或函数）后所得到的通过定解条件确定了通解中的任一常

17、数（或函数）后所得到的解，称之为解，称之为定解问题的解定解问题的解。未经过验证的解，称之为未经过验证的解，称之为形式解形式解。注注：除了古典解外，根据实际应用需要，还研究各种广义意义下的解。它们：除了古典解外，根据实际应用需要，还研究各种广义意义下的解。它们按较弱的意义满足方程，这种解称为按较弱的意义满足方程，这种解称为广义解广义解。12目录 上页 下页 返回 结束 定解问题的适定性定解问题的适定性定解问题是否能够反映实际，定解问题是否能够反映实际，定解问题是否能够反映实际，定解问题是否能够反映实际， 或者，定解问题的提法是否适合？或者，定解问题的提法是否适合？ 从数学的从数学的从数学的从数学

18、的角度看主要从下面三个方面来验证：角度看主要从下面三个方面来验证：角度看主要从下面三个方面来验证：角度看主要从下面三个方面来验证：解的存在性解的存在性解的存在性解的存在性： 即在给定的定解条件下，定解问题是否有解存在即在给定的定解条件下，定解问题是否有解存在即在给定的定解条件下，定解问题是否有解存在即在给定的定解条件下，定解问题是否有解存在? ?解的唯一性解的唯一性解的唯一性解的唯一性： 即在给定的定解条件下，定解问题的解若存在，是否唯一？若即在给定的定解条件下，定解问题的解若存在，是否唯一？若即在给定的定解条件下，定解问题的解若存在，是否唯一？若即在给定的定解条件下，定解问题的解若存在，是否

19、唯一？若能确定问题解的存在唯一性，就能采用合适的方法去寻找它。能确定问题解的存在唯一性，就能采用合适的方法去寻找它。能确定问题解的存在唯一性，就能采用合适的方法去寻找它。能确定问题解的存在唯一性，就能采用合适的方法去寻找它。解的稳定性解的稳定性解的稳定性解的稳定性：当定解条件及方程中的参数有微小变化时，解也只有微小的变当定解条件及方程中的参数有微小变化时，解也只有微小的变当定解条件及方程中的参数有微小变化时，解也只有微小的变当定解条件及方程中的参数有微小变化时，解也只有微小的变动，动，动，动， 则称该定解问题的解是稳定的，否则称之为不稳定的。则称该定解问题的解是稳定的，否则称之为不稳定的。则称

20、该定解问题的解是稳定的，否则称之为不稳定的。则称该定解问题的解是稳定的，否则称之为不稳定的。如果一个定解问题的解存在、唯一、且解连续依赖于定解条件中的初始数据或如果一个定解问题的解存在、唯一、且解连续依赖于定解条件中的初始数据或边界数据，则称该定解问题是边界数据，则称该定解问题是适定的适定的，否则称它是，否则称它是不适定的不适定的.注：注：对不适定问题的研究也是非常有意义的！对不适定问题的研究也是非常有意义的！例如：例如：在流体力学、电磁学、金属探矿、气象预报等实际问题中在流体力学、电磁学、金属探矿、气象预报等实际问题中.例如：例如： 对于某物体，希望在某时刻具有一个实际的温度分布，那么在初始

21、对于某物体，希望在某时刻具有一个实际的温度分布，那么在初始对于某物体，希望在某时刻具有一个实际的温度分布，那么在初始对于某物体，希望在某时刻具有一个实际的温度分布，那么在初始时刻物体应具有一个什么样的温度分布才能达到此目的？时刻物体应具有一个什么样的温度分布才能达到此目的？时刻物体应具有一个什么样的温度分布才能达到此目的？时刻物体应具有一个什么样的温度分布才能达到此目的？ 这是个不适定的问题，它是所谓的这是个不适定的问题，它是所谓的这是个不适定的问题，它是所谓的这是个不适定的问题，它是所谓的数学物理问题的反问题数学物理问题的反问题数学物理问题的反问题数学物理问题的反问题。注：注：对不适定问题的

22、研究已成为偏微分方程的一个重要研究方向。对不适定问题的研究已成为偏微分方程的一个重要研究方向。1923年，阿达马（年，阿达马（J.S.Hadamard，法国）提出，法国）提出13目录 上页 下页 返回 结束 基本步骤基本步骤数学物理方程的导出数学物理方程的导出1 1、明确要研究的物理量是什么？建立适当的坐标系，从所研究的系统中、明确要研究的物理量是什么？建立适当的坐标系，从所研究的系统中2 2、研究物理量遵循哪些物理规律？据此，以数学式子表达这个作用；、研究物理量遵循哪些物理规律？据此，以数学式子表达这个作用；3 3、化简、整理即得所研究问题的偏微分方程（泛定方程）。、化简、整理即得所研究问题

23、的偏微分方程（泛定方程）。划出任一微元，分析邻近部分与它的相互作用；划出任一微元，分析邻近部分与它的相互作用；弦振动弦振动方程和定解条件方程和定解条件物理模型物理模型（弦的微小横振动问题弦的微小横振动问题）14目录 上页 下页 返回 结束 15目录 上页 下页 返回 结束 公式被称为公式被称为弦的强迫横振动方程弦的强迫横振动方程（又称一维非齐次波动方程）（又称一维非齐次波动方程）.讨论讨论 若考虑弦的重量若考虑弦的重量，则，则16目录 上页 下页 返回 结束 推广推广（如薄膜振动等）（如薄膜振动等）二二二二维维维维（如弹性体振动、电磁波或声波传播等）（如弹性体振动、电磁波或声波传播等）三三三三

24、维维维维上述公式虽然为弦振动方程，但在力学上上述公式虽然为弦振动方程，但在力学上弹性杆的纵振动弹性杆的纵振动，建筑物的剪振动建筑物的剪振动，潮汐波潮汐波，地震波地震波，管道中气体小扰动的传播管道中气体小扰动的传播以及以及电报方程电报方程等问题，都等问题，都说明：说明：只是其只是其可以用这个方程描述。可以用这个方程描述。 这些物理现象的这些物理现象的共性共性是振动产生波的传播。是振动产生波的传播。中的未知函数中的未知函数表示的物理意义不同表示的物理意义不同。17目录 上页 下页 返回 结束 定解条件的提法定解条件的提法初始条件初始条件（初始状态）（初始状态）注注：未知函数关于时间为二阶导数，需要

25、两个初始条件！未知函数关于时间为二阶导数，需要两个初始条件！边值边值条件条件（边界上的约束）（边界上的约束）注注：如果研究无界区域中的问题，当然就不再需要边界条件，如果研究无界区域中的问题，当然就不再需要边界条件，但有时需对解在无穷远处的渐进状况加以限制，这实际但有时需对解在无穷远处的渐进状况加以限制，这实际上也是边值条件上也是边值条件（Dirichlet边界条件）边界条件）（Neumann边界条件）边界条件）（Robin边界条件）边界条件）18目录 上页 下页 返回 结束 两端弦的张力对外界沿着垂直方向的作用力分别是两端弦的张力对外界沿着垂直方向的作用力分别是两端受垂直方向的（已知）外力的作

26、用。两端受垂直方向的（已知）外力的作用。两端不受垂直方向的外力的作用（即，可沿着垂直方向自由滑动）。两端不受垂直方向的外力的作用（即，可沿着垂直方向自由滑动）。由于由于它们的负值应分别等于沿着垂直方向所受外力，即它们的负值应分别等于沿着垂直方向所受外力，即此时边界条件为此时边界条件为称为称为自由边界条件自由边界条件19目录 上页 下页 返回 结束 20目录 上页 下页 返回 结束 热传导热传导方程方程（也统称为输运方程）（也统称为输运方程）和定解条件和定解条件物理模型物理模型（热传导问题热传导问题）物理定律物理定律：21目录 上页 下页 返回 结束 22目录 上页 下页 返回 结束 23目录

27、上页 下页 返回 结束 特例特例说明说明 方程虽通常被称为热传导方程，但绝不只用于表述热传导现象方程虽通常被称为热传导方程，但绝不只用于表述热传导现象.例如：例如：考察气体的扩散考察气体的扩散, ,液体的渗透液体的渗透, , 半导体材料中的杂质扩散等物理过程，都可用半导体材料中的杂质扩散等物理过程，都可用这个方程来刻画这个方程来刻画. . 故该方程也被称为故该方程也被称为扩散方程扩散方程. .24目录 上页 下页 返回 结束 定解条件的提法定解条件的提法初始条件初始条件（初始状态）（初始状态）注：注：未知函数关于时间为一阶导数，故只需一个初始条件！未知函数关于时间为一阶导数，故只需一个初始条件

28、！边值边值条件条件25目录 上页 下页 返回 结束 牛顿冷却定律：牛顿冷却定律：在单位时间内，从物体表面单位面积中流向外界的热量在单位时间内，从物体表面单位面积中流向外界的热量q，与，与物体外表面的温度和外界在表面处的温度差成正比物体外表面的温度和外界在表面处的温度差成正比.26目录 上页 下页 返回 结束 薄膜平衡薄膜平衡方程和定解条件方程和定解条件物理模型物理模型（薄膜平衡问题薄膜平衡问题）假设：假设：物理原理物理原理：沿位移沿位移u方向的张力和重力的方向的张力和重力的合力等于合力等于0平衡状态平衡状态；28目录 上页 下页 返回 结束 这就是微翘的这就是微翘的薄膜平衡方程薄膜平衡方程.的

29、方程为的方程为二维泊松方程二维泊松方程.一般地，称形如一般地，称形如若薄膜的重力可忽略，即若薄膜的重力可忽略，即f =0，则方程被称为，则方程被称为二维拉二维拉普拉斯方程普拉斯方程（或（或调和方程调和方程）.29目录 上页 下页 返回 结束 Poisson方程和方程和Laplace方程还可描述许多物理现象，如静电场方程还可描述许多物理现象，如静电场的电势分布的电势分布、热传导问题中定常温度分布、热传导问题中定常温度分布、引力势、流体力学中的势和弹性力学中的调和引力势、流体力学中的势和弹性力学中的调和势，势，概括地说，它所描写的自然现象是稳恒的、定常的，即与时间无关的概括地说，它所描写的自然现象

30、是稳恒的、定常的，即与时间无关的反映物理量在稳恒状态下的变化规律反映物理量在稳恒状态下的变化规律.说明：说明：例如：例如：稳定温度分布稳定温度分布 导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化. . 故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而前述热传导方程即为下列拉普故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而前述热传导方程即为下列拉普拉斯方程和泊松方程拉斯方程和泊松方程.薄膜振动方程薄膜振动方程（二维波动方程）（二维波动方程）（薄膜平衡方程）（薄膜平衡方程）30目录 上页 下页 返回 结束 定解条件的提法定解条件的提法初始条件初始条件（初始状态）（初始状态）

31、 注：注：由于它们都是描述稳定状态的，与时间无关，故不提初始由于它们都是描述稳定状态的，与时间无关，故不提初始条件！条件！边值边值条件条件注意：注意：边界条件并不只限于以上三类，还有其他边界条件（热传边界条件并不只限于以上三类，还有其他边界条件（热传导中有辐射条件），有时甚至还有非线性边界条件。导中有辐射条件），有时甚至还有非线性边界条件。31目录 上页 下页 返回 结束 几个重要的基本原理几个重要的基本原理叠加原理叠加原理 在在物物理理学学中中经经常常出出现现这这样样的的现现象象：一一些些不不同同的的单单个个原原因因的的综综合合所所产产生生的的综综合合效效果果等等于于这这些些不不同同的的单单

32、个个原原因因各各自自产产生生的的单单个效果的累加，这就是个效果的累加，这就是叠加原理叠加原理.适用条件：适用条件：例如：例如：例如：例如：1. 1. 1. 1. 物理中几个外力作用于一个物体上所产生的加速度物理中几个外力作用于一个物体上所产生的加速度物理中几个外力作用于一个物体上所产生的加速度物理中几个外力作用于一个物体上所产生的加速度, , , ,于于于于 各个外力单独作用在该物体上所产生的加速度的矢量和各个外力单独作用在该物体上所产生的加速度的矢量和各个外力单独作用在该物体上所产生的加速度的矢量和各个外力单独作用在该物体上所产生的加速度的矢量和, , , ,这叫做这叫做这叫做这叫做力的叠加

33、原理力的叠加原理力的叠加原理力的叠加原理（或（或（或（或力的独立作用原理力的独立作用原理力的独立作用原理力的独立作用原理）. . . . 2. 2. 2. 2. 如果几个电荷同时存在如果几个电荷同时存在如果几个电荷同时存在如果几个电荷同时存在, , , ,它们它们它们它们电场电场就互相叠加就互相叠加就互相叠加就互相叠加, , , ,形成合电形成合电形成合电形成合电 场场场场. . . .这时某点的场强等于各个这时某点的场强等于各个这时某点的场强等于各个这时某点的场强等于各个电荷电荷电荷电荷单独存在时在该点产单独存在时在该点产单独存在时在该点产单独存在时在该点产 生的场强的生的场强的生的场强的生

34、的场强的矢量矢量矢量矢量和和和和, , , ,这叫做这叫做这叫做这叫做电场的叠加原理电场的叠加原理电场的叠加原理电场的叠加原理. . . . 3. 3. 3. 3. 点电荷系产生的电场中某点的电势等于各个点电荷单独点电荷系产生的电场中某点的电势等于各个点电荷单独点电荷系产生的电场中某点的电势等于各个点电荷单独点电荷系产生的电场中某点的电势等于各个点电荷单独 存在时存在时存在时存在时, , , ,在该点产生的电势的代数和在该点产生的电势的代数和在该点产生的电势的代数和在该点产生的电势的代数和, , , ,称为称为称为称为电势叠加原理电势叠加原理电势叠加原理电势叠加原理. . . .泛定方程、定解

35、条件都是线性的泛定方程、定解条件都是线性的线性定解问题线性定解问题. .数学表述：数学表述： 可可将将复复杂杂的的定定解解问问题题看看作作是是若若个个相相对对简简单单部部分分的的线线性性叠叠加加而而成成，那那么么这这几几个个部部分分所所得得出出的的解解的的线线性性叠叠加加给给出出的的形形式式解解，即为原定解问题的解即为原定解问题的解体现了体现了“化归化归”思想思想.32目录 上页 下页 返回 结束 33目录 上页 下页 返回 结束 利用叠加原理，可以分解成如下两个问题利用叠加原理，可以分解成如下两个问题定解问题的分解定解问题的分解34目录 上页 下页 返回 结束 注注.上面列出的两端边界条件都

36、是第一类的上面列出的两端边界条件都是第一类的.实际上，对于第二类边界条件实际上，对于第二类边界条件以及两端不同类型的边界条件，也成立叠加原理以及两端不同类型的边界条件，也成立叠加原理.36目录 上页 下页 返回 结束 利用叠加原理，可以分解成如下三个问题利用叠加原理，可以分解成如下三个问题定解问题的分解定解问题的分解37目录 上页 下页 返回 结束 （积分形式的）（积分形式的）叠加原理叠加原理III.III.非齐次方程非齐次方程39目录 上页 下页 返回 结束 叠加原理叠加原理IV.IV.带带齐齐次次边边界界条条件件的的初初边边值值问问题题40目录 上页 下页 返回 结束 例如例如.考虑弦振动

37、的初值问题考虑弦振动的初值问题利用叠加原理利用叠加原理IV，可以分解成如下两个问题，可以分解成如下两个问题和和说明：说明：利用利用Duhamel原理求解原理求解由物理意义知，这种振动可看成是仅由强迫力引起的振动和仅由初始状态引由物理意义知，这种振动可看成是仅由强迫力引起的振动和仅由初始状态引起的振动的合成起的振动的合成.41目录 上页 下页 返回 结束 于是，原问题可分解为如下三个问题于是，原问题可分解为如下三个问题利用叠加原理利用叠加原理IV，问题（，问题（1）又可分解成如下两个问题）又可分解成如下两个问题和和42目录 上页 下页 返回 结束 齐次化（齐次化（Duhamel）原理）原理 （杜

38、阿梅尔，法国，杜阿梅尔，法国，1797-18721797-1872）非定常、非齐次线性偏微分方程、齐次条件非定常、非齐次线性偏微分方程、齐次条件的定解问题（柯西问题、初边值问题）的定解问题（柯西问题、初边值问题）.例如：双曲型及抛物型例如：双曲型及抛物型叠加原理的一个重要应用就是它可以把叠加原理的一个重要应用就是它可以把叠加原理的一个重要应用就是它可以把叠加原理的一个重要应用就是它可以把非齐次的线性偏微分方程的求解非齐次的线性偏微分方程的求解化为化为化为化为齐齐齐齐次线性偏微分方程的求解次线性偏微分方程的求解次线性偏微分方程的求解次线性偏微分方程的求解，即所谓的，即所谓的，即所谓的，即所谓的齐

39、次化原理齐次化原理齐次化原理齐次化原理，又叫，又叫，又叫，又叫杜阿梅尔杜阿梅尔（Duhamel）原理原理原理原理. .Duhamel原理（原理（齐次初始条件的齐次初始条件的非齐次方程的非齐次方程的初值问题初值问题）43目录 上页 下页 返回 结束 44目录 上页 下页 返回 结束 该方法可以看作是求解非齐次线性常微分方程时使用的常数变易法的推广该方法可以看作是求解非齐次线性常微分方程时使用的常数变易法的推广.45目录 上页 下页 返回 结束 46目录 上页 下页 返回 结束 47目录 上页 下页 返回 结束 换句话说，我们先考察时间微元换句话说，我们先考察时间微元d内弦的位移量，然后再进内弦的

40、位移量，然后再进行行0t段的积分，就是段的积分，就是t时刻时刻x处弦的位移量处弦的位移量u(t,x).48目录 上页 下页 返回 结束 注：注：通常在求解（通常在求解（2）时，作变换）时，作变换则问题（则问题（2）可转化为可转化为49目录 上页 下页 返回 结束 Duhamel原理（原理（齐次边界条件齐次边界条件的非齐次方程的的非齐次方程的初边值问题初边值问题）50目录 上页 下页 返回 结束 注注:上面对第一边值问题的求解方法，同样适用于第二边值问题及其它类型上面对第一边值问题的求解方法，同样适用于第二边值问题及其它类型的混合问题（比如半无界弦的振动问题等）的混合问题（比如半无界弦的振动问题等）.51个人观点供参考，欢迎讨论